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江西省萍乡市 2025 届高三下学期二模考试数学试卷
一、单选题：本题共 8 小题，每小题 5 分，共 40 分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。
1.已知一组数据为：123，117，117，121，122，120，116，114，120，119，则这组数据的 75%分位数
是( )
A. 114 B. 115 C. 120.5 D. 121
2.过点 (3,1)作圆 : 2 + 2 + 2 + 4 4 = 0 的切线，记其中一个切点为 ，则| | =( )
A. 16 B. 4 C. 21 D. 21
3 3.已知等差数列{ }满足： 3 + 6 + 9 + + 3 = 4 ( + 1)( ∈ +)，则{ }的公差为( )
A. 1 B. 2 C. 1 D. 13 2
4 .在直三棱柱 1 1 1中，∠ = 2， 1 = = ，则直线 1 与 1所成角的大小为( )
A. 4 B.

3 C.

2 D.
2
3
5.已知点 ( 4,0)及抛物线 : 2 = 4 上一点 ，若线段 的垂直平分线经过 的焦点，则 的横坐标为( )
A. 3 B. 4 C. 5 D. 6
6.将六个连续的整数随机排成一行，则从左到右先递增再递减的排列方式有( )
A. 720 种 B. 120 种 C. 32 种 D. 30 种
7 △ = 2 5sin cos .在 中，内角 ， ， 所对的边分别为 ， ， ，若 ，1+cos + sin = 3，则△ 面积的最大
值为( )
A. 3 B. 32 C. 3 D. 2 3
8 1.已知定义在 上的函数 ( )满足： ( ) = ，且 ， ∈ ，都有 sin ( ) sin ( ) ≥ ( 2sin 2sin 2 2 )
( ) ( )恒成立，则 ( )的最大值为( )
A. 12 B.
1
C. D. 2
二、多选题：本题共 3 小题，共 18 分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。
9.已知全集 = {1,2,3,4,5,6}，集合 ， ，且满足： ∩ = {3,5}，( ) ∩ ( ) = {2,4}，则下列
说法正确的为( )
A. 4 ∈ B. 6 ∈ ∪
C.集合 可能是{1,3,5,6} D. ( ) ∪ ( ) = {1,2,4,6}
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10.已知定义在 上的函数 ( )满足： ( ) + ( + 1) = 1，且当 ∈ [0,1) 3时， ( ) = 2 2 ，则下列说法
正确的为( )
A. ( )的最小正周期为 2
B. ( )在(2024,2025)上单调递增
C. ( )在(2025,2026)上单调递增
D.对 ∈ ，都有 (4 ) = (4 3) + 1
11.若数列{ }的前 项中，最大项为 ，最小项为 ，则称数列{ }为{ }的“极差数列”.下列关于
极差数列的说法正确的为( )
A.若数列{ }是等差数列，则它的极差数列{ }也是等差数列
B.若数列{ }的极差数列{ }是等差数列，则{ }也是等差数列
C.数列{ }的极差数列{ }可能为等比数列
D.数列{ }的极差数列{ }的极差数列仍是{ }
三、填空题：本题共 3 小题，每小题 5 分，共 15 分。
12.若复数 满足：( + 2 )(2 + ) = 3 ，其中 为虚数单位，则| | = ．
13.若随机事件 ， 满足： ( ) = 0.6， ( ) = 0.4， ( | ) = 0.5，则 ( | ) = ．
14.已知三棱锥 外接球的球心 为棱 的中点，若 = 4， = 3，则该三棱锥体积的最大值
为 ．
四、解答题：本题共 5 小题，共 77 分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
15.(本小题 13 分)
于 2025 年 1 月 11 日正式发布并上线，它凭借创新的功能和极富吸引力的用户体验，在社交
媒体上引发了广泛的讨论和分享，形成了强大的口碑效应. 公司最近开发了一款新的推荐算法，为
了测试该算法在不同年龄段用户群体中的效果，公司进行了一项调查，调查样本的统计结果如下表所示(单
位：人)．
18 30 岁用户人 31 50 岁用户人
效果
数 数
有效 120
无效 70
总计 150 150
(1)求出 ， 的值，并在显著性水平为 0.005 的情况下，判断推荐算法的效果是否与用户年龄段有关;
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(2)以频率估计概率，在所有效果为有效的人群中抽取 3 人，求恰有 2 人为 31 50 岁用户年龄段的概率．
2
附： 2 = ( )( + )( + )( + )( + )， = + + + ．
0.1 0.05 0.01 0.005 0.001
2.706 3.841 6.635 7.879 10.828
16.(本小题 15 分)
如图，在几何体 中，四边形 与 均为菱形， = ，且∠ = ∠ = 60 ．
(1)求证：平面 ⊥平面 ;
(2)设点 满足 = ( > 0) 30，直线 与平面 所成角的正弦值为 10 ，求实数 的值．
17.(本小题 15 分)
已知函数 ( ) = ln .
(1)证明：函数 ( ) = ( 1)[ ( ) 1]有且只有一个极值点;
(2)若关于 的方程 ( ) = 2 在区间[1,2]上恰有两个实数根，求实数 的取值范围．
18.(本小题 17 分)
2 2
已知椭圆 : 2 + 2 = 1( > > 0)
7 9
的焦距为 2 ( > 0)，离心率为 4 ，点 ( , 4 )在 上.
(1)求椭圆 的标准方程;
(2)若点 在椭圆 上，点 在圆 : 2 + 2 = 12 上，直线 为 和 的公切线，求线段 的长度;
(3)直线 : = ( 3)交椭圆 于 ， 两点，交 轴于点 . 为直线 上一点，满足 2 = + ，其中
为坐标原点，过点 作直线 的垂线交 于点 ，问是否存在一点 ，使得 的长度为定值 若存在，求出
点 的坐标和该定值;若不存在，请说明理由．
19.(本小题 17 分)
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已知 ∈ ， 为正整数，对于函数 ( ) = + 1 1 + + 1 + 0，若对任意的 ，都有 (cos ) =
cos ，则称 ( )为 次切比雪夫函数.例如：因为 cos(2 ) = 2cos2 1，所以 2( ) = 2 2 1 为二次切比
雪夫函数．
(1)求 3( );
(2)证明：对任意正整数 ，都有 +2( ) = 2 +1( ) ( );
(3)若函数 ( ) = 12 [ 6( ) + 1] + 有一个绝对值不大于 1 的零点，证明： ( )所有零点的绝对值都不大于 1．
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参考答案
1.
2.
3.
4.
5.
6.
7.
8.
9.
10.
11.
12. 10
13.0.25
14. 7
15.(1)由题意得： = 80， = 30;
2 = 300×(120×70 30×80)
2
计算 200×100×150×150 = 24 > 7.879，
所以在显著性水平为 0.005 的情况下，认为推荐算法的效果与用户年龄段有关;
(2) 80 2样本的推荐算法有效的群体中抽到为 31 50 岁用户年龄段的频率为200 = 5，
2
以频率估计概率，即推荐算法有效的群体中抽到为 31 50 岁用户年龄段的概率为5，
2 3 36
则 3 人中恰有 2 人为 31 50 岁用户年龄段的概率为： 23 ( 5 )
2 5 = 125．
16.解：(1)证明：连接 交 于点 ，因为 为菱形，所以 ⊥ ①，
且 = ，又 = ，则 ⊥ ②，且 ∩ = ③，
由 ① ② ③可知， ⊥面 ，又 面 ，故平面 ⊥平面 ;
(2)以 为原点， ， ， 方向分别为 轴， 轴， 轴正方向建立空间直角坐标系 ，
设 = 2，则 ( 3, 0,0)， (0, 2, 3)， (0,1,0)， (0,0, 3)， (0,1 , 3 )，
= ( 3, 2, 3)， = ( 3, 0,0)， = ( 3, 1 , 3 )，
设平面 的法向量为 = ( , , )，
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3 = 0
则 ，取 = 3 ，得
= (0, 3 , 1)
，
3 + (1 ) + 3 = 0
设直线 与平面 所成角为 ，则 sin = | 3 3| = 30，
10 4 2 2 +1 10
解得： = 0 4或 = 3，又 > 0，故 =
4
3．
17.(1)证明：由题意知， ( ) = ( 1)(ln 1) 1，所以 ′( ) = ln ，
显然 ′( )在(0, + ∞)上单调递增，
(1) = 1 < 0 (2) = ln2 1 = ln4 1且 ′ ， ′ 2 2 > 0，
故 ′( )在(0, + ∞)上有且只有一个零点 0，
且 ( )在(0, 0)上单调递减，在( 0, + ∞)上单调递增，
即 ( )在(0, + ∞)上有且只有一个极值点;
(2)解：因为 ∈ [1,2]，当 = 1 时，方程 ln = 2 成立，
故只需方程 ln = 2 在 ∈ (1,2]上有且只有一个实数根，
而当 ∈ (1,2]时， 2 > 0 ln ，所以只需方程 = 2 在 ∈ (1,2]上有且只有一个实数根，
( ) = ln 令 2 ( ∈ (1,2])，
( 1) (2 1)ln
则 ′( ) = ( 2 )2 ( ∈ (1,2])，
再令 ( ) = ( 1) (2 1)ln ( ∈ (1,2])，
得 ′( ) = 1 1 2ln ，
显然 ′( )在 ∈ (1,2]上单调递减，
所以 ′( ) < ′(1) = 0，即 ′( ) < 0，
所以 ( )在 ∈ (1,2]上单调递减，
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所以 ( ) < (1) = 0，即 ′( ) < 0，
所以 ( )在 ∈ (1,2]上单调递减，
当 → 1 时， ( ) → 1 ln2，所以 ( ) ∈ [ 2 , 1)，
ln2
即实数 的取值范围为[ 2 , 1)．
2
18. 9 81解：. (1)因为 ( , 4 )在 上，则 2 + 16 2 = 1 ①，
7
又离心率 = 4 ②，且
2 = 2 + 2 ③，
2 2
联立 ① ② ③解得： = 4， = 3， = 7 ，故椭圆 的标准方程为：16 + 9 = 1;
(2)设 ( , )， ( , )，由对称性，不妨设直线 : = + ( > 0, > 0)，因为点 在椭圆 上，又
在直线 上，
2 2
16+
= 1
所以 9 消去 得(9 + 16 2) 2 + 32 + 16( 2 9) = 0，
= +
由于直线 与椭圆 相切，故△= (32 )2 64(9 + 16 2)( 2 9) = 0，
得 2 = 9 + 16 2， = 16 ①，
12 同理，由点 在圆 和直线 上可得 2 = 12(1 + 2)， = ②，
3 2 7
由 ① ②两式得 2 = 2 24， = 7 ，则 = ( ) + (
2 2
) = (1 + )( )2 = 1，故线
段 的长度为 1;
(3)显然 ≠ 0，设 ( 1, 1)， ( 2, 2)，由 2 = + ，得 为线段 的中点，
2 2
16+ 9 = 1联立 ，得(9 + 16 2) 2 96 2 + 144( 2 1) = 0，
= ( 3)
+ = 96
2 1+ 2 48 2 1+ 则 2
1+ 2 27 48 2 27
1 2 9+16 2，从而 2 = 9+16 2， 2 = ( 2 3) = 9+16 2，所以 ( 9+16 2 , 9+16 2 )，
所以直线 : = 916 ③，
在 : = ( 3)中令 = 0，得 (0, 3 ) ⊥ : = 16 ，因为 ，所以直线 9 3 ④，
× 2 = 2 + 27 ( 27 )2 + 2 = ( 27 )2 ( 27 27③ ④得： 16 ，即 32 32 ，所以存在点 32 , 0)，使得 的长度为定值32．
19.解：(1)因为 cos3 = cos cos2 sin sin2 = cos (2cos2 1) 2sin2 cos = 4cos3 3cos ，
所以 3( ) = 4 3 3 ;
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cos ( + 2) = cos [( + 1) + ] = cos ( + 1) cos sin ( + 1) sin
(2)因为 ,
cos ( ) = cos [( + 1) ] = cos ( + 1) cos + sin ( + 1) sin
两式相加得：cos( + 2) + cos( ) = 2cos cos( + 1) ，
即： +2( ) = 2 +1( ) ( );
(3)因为 3(cos ) = cos3 = 4cos3 3cos ，
所以 6(cos ) = cos6 = 2cos23 1 = 2(4cos3 3cos )2 1 = 32cos6 48cos4 + 18cos2 1，
即 6 46( ) = 32 48 + 18 2 1， ( ) = 16 6 24 4 + 9 2 + ，
6(cos ) = cos6
1
，当 ∈ [ 1,1]时， 6( ) ∈ [ 1,1]， ( ) = 2 [ 6( ) + 1] + ∈ [ , + 1]，
因为 ( )有一个绝对值不大于 1 ≤ 0的零点，则 + 1 ≥ 0，即 1 ≤ ≤ 0，
令 = 2 ≥ 0，则 ( ) = 16 3 24 2 + 9 + = ( )，则 ′( ) = 48 2 48 + 9，
①当 > 1 时， > 1， ′( ) > 0， ( )在(1, + ∞)上单调递增， ( )在(1, + ∞)上单调递增，
即 > 1 时， ( ) > (1) = 1 + ≥ 0，即 ( ) > 0 恒成立，即 ( )在(1, + ∞)上无零点;
②当 < 1 时， > 1， ′( ) > 0， ( )在(1, + ∞)上单调递增， ( )在( ∞, 1)上单调递减，
即 < 1 时， ( ) > ( 1) = 1 + ≥ 0，即 ( ) > 0 恒成立，即 ( )在( ∞, 1)上无零点;
综合 ① ②可知， ( )所有零点的绝对值都不大于 1．
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