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准考证号________________姓名________________
（在此卷上答题无效！）
2025年江西省四月适应性联考
暨普通高等学校招生第三次模拟考试
数 学 试 题
本试卷共4页。满分150分，考试时间120分钟。本场考试结束后，请监考员将考生的试卷和答题卡一并收回。考生不得在考试信号铃声发出前答题。选择题请用2B铅笔规范填涂，如需修改，用橡皮擦干净再选涂其他答案标号；非选择题请用0.5毫米黑色墨水签字笔在答题卡规定的黑色矩形边框区域内认真作答，答题规范，书写清晰。
一 选择题：本题共8小题,每小题5分,共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.
1.已知集合，则
A. B. C. D.
2.已知是两条不同的直线，是两个不同的平面，则的一个充分条件是
A. B.
C. D.
3.的展开式中的常数项是
A.第673项 B.第674项 C.第675项 D.第676项
4.圆锥SO中，S为圆锥顶点，O为底面圆的圆心，底面圆O半径为3，侧面展开图面积为，底面圆周上有两动点A,B，则△SAB的面积最大值为
A. B.4 C.6 D.
5．气象意义上从春季进入夏季的标志为“连续天的日平均温度均不低于”．现有甲、乙、丙三地连续天的日平均温度的记录数据(记录数据都是正整数，单位：)：
①甲地：个数据的中位数为，众数为；
②乙地：个数据的中位数为，总体均值为；
③丙地：个数据中有个数据是，总体均值为，总体方差为．
其中肯定进入夏季的地区有
A．①② B．①③
C．②③ D．①②③
6.已知抛物线C的方程为，F为其焦点，点N坐标为，过点F作直线交抛物线于A,B两点，D是x轴上一点，且满足，则直线AB的斜率为
A. B. C. D.
7.已知，且，则的最小值为
A. B. C.1 D.
8.已知函数，则关于的不等式的解集为
A. B. C. D.
二 选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分.
9.已知某品牌汽车某年销量记录如下表所示：
月份x 1 2 3 4 5 6
销量y（万辆） 11.7 12.4 13.8 13.2 14.6 15.3
针对上表数据，下列说法正确的有
A.销量的极差为3.6
B.销量的60%分位数是13.2
C.销量的平均数与中位数相等
D.若销量关于月份的回归方程为，则
10．设函数，则下列说法正确的是
A．是奇函数 B．在上是单调函数
C．的最小值为1 D．当时，
11．如图，在棱长为1的正方体中，点为线段的中点，且点满足 ，则下列说法正确的是
A．若，则
B．若，则平面
C．若，则平面
D．若时，直线与平面所成的角为，则
三 填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分.
12．与直线和直线都相切且圆心在第一象限，圆心到原点的距离为的圆的方程为_________．
13．已知函数，若，则实数的取值范围为_________．
14.清代数学家明安图所著《割圆密率捷法》中比西方更早提到了“卡特兰数”（以比利时数学家欧仁 查理 卡特兰的名字命名）.有如下问题：在的格子中，从左下角出发走到右上角，每一步只能往上或往右走一格，且走的过程中只能在左下角与右上角的连线的右下方（不能穿过，但可以到达该连线），则共有多少种不同的走法？此问题的结果即卡特兰数.如图，现有的格子，每一步只能往上或往右走一格，则从左下角走到右上角共有__________种不同的走法；若要求从左下角走到右上角的过程中只能在直线的右下方，但可以到达直线，则有__________种不同的走法.
四 解答题（本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明 证明过程或演算步骤.）
15.（本小题满分15分）
已知等比数列的前项和为，且．
（1）求数列的通项公式；
（2）在与之间插入个数，使这个数组成一个公差为的等差数列，在数列中是否存在3项，，（其中，，成等差数列）成等比数列？若存在，求出这样的3项；若不存在，请说明理由．
16.（本小题满分15分）
如图，四边形为圆台的轴截面，，圆台的母线与底面所成的角为，母线长为是的中点.
（1）已知圆内存在点，使得平面，作出点的轨迹（写出解题过程）；
（2）点是圆上的一点（不同于），，求平面与平面所成角的正弦值.
17.（本小题满分15分）
目前高考数学多选题6分制的模式改变了传统的多选题赋分模式，每题具有多个正确答案，答对所有正确选项得满分，答对部分选项也可得分，强调了对知识点理解和全面把握的要求．在某次数学测评中，第11题（6分制多选题）得分的学生有100人，其中的学生得部分分，的学生得满分，若给每位得部分分的学生赠送1个书签，得满分的学生赠送2个书签．假设每个学生在第11题得分情况相互独立．
(1)从第11题得分的100名学生中随机抽取4人，记这4人得到书签的总数为个，求的分布列和数学期望；
(2)从第11题得分的100名学生中随机抽取人，记这人得到书签的总数为个的概率为，求的值；
(3)已知王老师班有20名学生在第11题有得分，若以需要赠送书签总个数概率最大为依据，请问王老师应该提前准备多少个书签比较合理？
18.（本小题满分17分）
已知动直线与椭圆交于，两个不同点，且的面积，其中为坐标原点.
（1）证明和均为定值；
（2）设线段的中点为，求的最大值；
（3）椭圆上是否存在点，，，使得？若存在，判断的形状；若不存在，请说明理由.
19.（本小题满分17分）
定义：如果函数和的图象上分别存在点M和N关于x轴对称，则称函数和具有关系.
(1)判断函数和是否具有C关系；
(2)若函数和不具有C关系，求a的取值范围；
(3)若函数和在区间上具有C关系，求m的取值范围2025年江西省四月适应性联考
暨普通高等学校招生第三次模拟考试
数学试题参考答案
选择题
题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11
答案 A C D C B D A D ACD ABD BC
填空题
12． 13． 14.35；14(第一空2分,第二空3分)
解答题
15．（1）由题意知：当时，①
当时，②
联立①②，解得，．所以数列的通项公式．
（2）由（1）知，
所以．所以．
设数列中存在3项，，（其中，，成等差数列）成等比数列．
则，所以，即
又因为，，成等差数列，所以
所以化简得，所以
又，所以与已知矛盾．
所以在数列中不存在3项，，成等比数列．
16.【解析】（1）是的中点，.
要满足平面，需满足，
又平面平面平面
如图，过作下底面的垂线交下底面于点，
过作的平行线，交圆于，则线段即点的轨迹.
（2）易知可以为坐标原点，所在直线分别为，
轴建立如图所示的空间直角坐标系，
母线长为，母线与底面所成角为，
，
取的位置如图所示，连接，
，即，
则，
则.
设平面的法向量为，
则，即， 令，则.
设平面的法向量为，则，即，
令，则. 设平面与平面所成的角为，则， .
17．【解析】（1）由题意得书签的总数的所有可能取值为4，5，6，7，8，
其中，，
，，
，
所以的分布列为
4 5 6 7 8
（2）因为这人得到书签的总数为个（），
所以其中只有1人得到2个书签，
所以，
则
所以
两式相减得
，
所以．.
（3）在这20名学生中，设得到1个书签的人数为，则得到2个书签的人数为，
所以得到书签的总个数，此时得到书签的总个数为的概率为，所以，整理得，解得
而，，所以，所以
所以需要赠送书签总个数概率最大为依据，王老师应该提前准备25个书签比较合理
18.解：（1）（i）当直线的斜率不存在时，，两点关于轴对称，所以，
在椭圆上①又，②
由①②得，.此时，；
（ii）当直线的斜率存在时，是直线的方程为，将其代入得，故即
又，
点到直线的距离为
又，整理得，
此时，
，
综上所述，，结论成立.
（2）（i）当直线的斜率不存在时，
由（1）知，，因此.
（ii）当直线的斜率存在时，由（1）知，
所以.当且仅当，即时，等号成立.
综合（1）（2）得的最大值为.
（3）椭圆上不存在三点、、，使得
证明：假设存在，，，满足
由（1）得，，，，，
解得：，.
因此，，从集合中选取，，，从集合中选取；
因此、、只能从点集这四个点选取三个不同的点，而这三个点的两两连线必然有一条经过原点，这与矛盾.
所以椭圆上不存在三点、、，使得.
19.（1）与具有C关系，理由如下：
根据定义，若与具有C关系，则在与的定义域的交集上存在x，使得，
又，，，所以，
即，即得，解得，所以与具有C关系.
（2）因为，，
令，，
因为与不具有C关系，又在上的图象连续不断，所以在上的值恒为负或恒为正.
若在上恒成立，则，即，
又当时，，
令，所以，令，所以，
令，解得，所以在上单调递增，在上单调递减，所以，
所以，与假设矛盾，所以不存在使得在上恒成立.
若在上恒成立，即，
令，所以，
又在上单调递减，
所以当时，，所以，
当时，，所以，
所以在上单调递增，在上单调递减，
所以，
所以，即的取值范围是.
（3）因为，，
令，则，
因为与在上具有C关系，所以在上存在零点，
因为，
当且时，
因为，，所以，
所以在上单调递增，则，此时在上不存在零点，不满足题意；
当时，当时，，所以，
当时，令，则，
所以在上单调递增，且，，
故在上存在唯一零点，设为，使得，
所以当，；当，；
又当时，，
所以在上单调递减，在上单调递增，
所以在上存在唯一极小值点，
因为，所以，
又因为，所以在上存在唯一零点，
所以函数与在上具有C关系.
综上，的取值范围是.

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