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2025年湖南省洞口县第一中学初中学业水平考试4月数学
学情检测卷
班级 姓名 准考证号码
（本试题卷共26题。时量120分钟。满分120分。）
注意事项：
1.答题前，考生先将自己的姓名、准考证号写在答题卡和本试题卷上，并认真核对条形码上的姓名、准考证号和相关信息；
2.选择题部分请按题号用2B铅笔填涂方框，修改时用橡皮擦干净，不留痕迹；
3.非选择题部分请按题号用0.5毫米黑色墨水签字笔书写，否则作答无效；
4.在草稿纸、试题卷上作答无效；
5.请勿折叠答题卡，保持字体工整、笔迹清晰、卡面清洁；
6.答题卡上不得使用涂改液、涂改胶和贴纸。
一、选择题：本题共10小题，每小题3分，共30分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
1．[3分]如图，若 ，则的度数为（ ）
（第6题图）
A. B. C. D.
2．[3分]字母x说：我虽然不是具体的数，但是我可以表示各种各样的数．那么表示的数（ ）
A．一定是负数 B．一定是正数 C．是0 D．以上都有可能
3．[3分]下列结论错误的是（ ）
A．垂直于同一直线的两条直线互相平行
B．两直线平行，同旁内角互补
C．过直线外一点有且只有一条直线与这条直线平行
D．同一平面内，不相交的两条直线叫做平行线
4．[3分]化学实验小组查阅资料了解到：某种絮凝剂溶于水后能够吸附水中悬浮物并发生沉降，从而达到净水的目的．实验得出加入絮凝剂的体积与净水率之间的关系如图所示，下列说法正确的是（ ）
A. 加入絮凝剂的体积越大，净水率越高
B. 未加入絮凝剂时，净水率为0
C. 絮凝剂的体积每增加，净水率的增加量相等
D. 加入絮凝剂的体积是时，净水率达到
5．[3分]如图，在平行四边形中，对角线,相交于，过点作交于点，若，，，则的长为（ ）
A． B． 6 C． 8 D．
6．[3分]如图，以正方形 的顶点 为原点， 所在的直线为 轴建立平面直角坐标系，点 的坐标为 ，那么以正方形的顶点 为原点， 所在的直线为 轴重新建立平面直角坐标系，这时点 的坐标为（ ）
（第8题图）
A. B. C. D.
7．[3分]下列各数中，为有理数的是（ ）
A． B． C． D．
8．[3分]遥控电动跑车竞速是青少年喜欢的活动.如图是某赛道的部分通行路线示意图，某赛车从入口A驶入，行至每个岔路口选择前方两条线路的可能性相同，则该赛车从口驶出的概率是（ ）
A． B． C． D．
9．[3分]如图，为的中线，为的中线，为的中线， ，按此规律，为的中线，若的面积为1，则的面积为（ ）
A. B. C. D.
10．[3分]在平面直角坐标系中，对于点，若均为整数，则称点为“整点”，特别地，当（其中）的值为整数时，称“整点”为“超整点”．已知点在第二象限，下列说法正确的有（ ）
①；
②若点为“整点”，则点的个数为4个；
③若点为“超整点”，则点的个数为1个；
④若点为“超整点”，则点到两坐标轴的距离之和大于10．
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
二、填空题：本题共8小题，每题3分，共24分。
11．[3分]北京时间2022年11月29日23时08分，神舟十五号载人飞船成功发射，标志着空间站关键技术验证和建造阶段规划的12次发射任务全部圆满完成.23:08时，时针与分针所成夹角的度数是 .
12．[3分]若一个三角形的边长均为整数，且两边长分别为3和5，则第三边的长可以为________________（写出一个即可）.
13．[3分]若一个多边形的内角和是其外角和的2倍，则它是 边形.
14．[3分]如图，在中，是边上的中线，，，垂足分别是，.已知，则与的长度之比是________.
（第15题图）
15．[3分]已知是关于x的一元一次方程，则m的值是 ．
16．[3分]定义：一个三角形的一边长是另一边长的2倍，这样的三角形叫作“倍长三角形”.若等腰是“倍长三角形”，腰的长为6，则底边的长为______.
17．[3分]有两棵树，一棵高，另一棵高，两树相距.一只小鸟从一棵树的树梢飞到另一棵树的树梢，则小鸟至少飞行 .
18．[3分]如图，笔直的河流一侧有一营地，河边有两个漂流点，，其中，由于周边施工，由到的路现在已经不通，为方便游客，在河边新建一个漂流点，，在同一直线上，并新修一条路，测得千米，千米，千米，则原路线的长为 千米.
（第3题图）
三、解答题： 本题共8小题，共66分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。
19．[6分]计算：．
20．[6分]先化简，再求值：且，请选一个合适的整数代入求值．
21．[8分]如下图，点D，H分别在上，点E，F都在上，交于点，平分，，．
(1)求证：；
(2)若，，求的度数．
22．[8分]小明在学习了黄金分割和黄金矩形后，了解到白银矩形和白银分割的知识：如果一个矩形．满足，这个矩形就称为白银矩形，这个比叫做白银比：如果点把线段分成两部分，若，那么称线段被点白银分割，点为线段的白银分割点．小明决定在正方形中构造一个白银矩形，请按要求完成下列问题：
如图，在正方形中，对角线、交于点．
(1)尺规作图：作的角平分线交于点，过点作的垂线交于点，交于点（只保留作图痕迹，不要求写作法）
(2)结合图形，帮助小明完成以下证明过程：
∵四边形是正方形，
∴，，，
∴，
在中，，
∵平分，
∴ ① ，
又∵，
∴，
∴，
∴四边形为矩形，
在和中，
，
∴，
∴， ③ ，
所以矩形是白银矩形，
小明进一步思考发现， ④ ，点为线段的白银分割点．
23．[9分]一条公路上依次有A、B、C三地，甲车从A地出发，沿公路经B地到C地，乙车从C地出发，沿公路驶向B地．甲、乙两车同时出发，匀速行驶，乙车比甲车早小时到达目的地．甲、乙两车之间的路程与两车行驶时间的函数关系如图所示，请结合图象信息，解答下列问题：
(1)甲车行驶的速度是_____，并在图中括号内填上正确的数；
(2)求图中线段所在直线的函数解析式（不要求写出自变量的取值范围）；
(3)请直接写出两车出发多少小时，乙车距B地的路程是甲车距B地路程的3倍．
24．[9分]某果园共收获5万箱鸭梨，为估算该果园鸭梨总产量，从中随机抽取箱进行称重，单箱净重（单位：，精确到）分别有：，根据数据，绘制了如图1和图2所示尚不完整的统计图．
根据以上信息解答问题：
(1)求的值及的度数，并补全条形统计图；
(2)直接写出这箱鸭梨的单箱净重的中位数与众数；
(3)计算这箱鸭梨的单箱净重的平均数，并估算该果园鸭梨总产量．
25．[10分]已知抛物线（a，b为常数）经过点，．
(1)求抛物线的函数表达式．
(2)若点B向右平移个单位长度，再向上平移个单位长度后，恰好落在抛物线的顶点处，求m，n的值．
(3)点C在抛物线上，且在第一象限，若点C的纵坐标小于16，求点C的横坐标的取值范围．
26．[10分]综合与实践：折纸中的数学
【问题提出】在前面的学习中我们通过折纸可以找出一个角的平分线，还可以折出过一个点且与已知直线垂直的直线．那我们能否通过折纸的方式找到过直线外一点且与已知直线平行的直线呢？
【知识初探】（1）王玲同学在探究“过直线外一点作已知直线的平行线”的活动中，通过如下的折纸方式找到了符合要求的直线．
①如图1，在纸上画出一条直线，在外取一点．过点折叠纸片，使得点的对应点落在直线上（如图2），记折痕与的交点为，将纸片展开铺平．则______；
②再过点将纸片进行折叠，使得点的对应点落在直线上（如图3），再将纸片展开铺平（如图4）．此时王玲说，就是的平行线．王玲的说法正确吗？请写出过程予以证明；
【拓展延伸】（2）李强同学在王玲同学折纸的基础上，补充了条件：如图5，在线段上任取一点，连接，请你猜想与这三个角之间的数量关系，并说明理由．
学情检测卷参考答案
1．【答案】B
【解析】如图,因为 ，所以 .因为 ，所以 ，所以 ，故选B.
2．【答案】D
【分析】相反数，x可以表示正数，负数或0，而是x的相反数，根据相反数的定义即可解答．
【详解】解：∵是x的相反数，
∴当x表示正数时，表示负数；
当x表示负数时，表示正数；
当x表示0时，表示0；
∴表示正数，负数或0．
故选D．
3．【答案】A
【分析】初略读题，感觉所有选项都是正确的．此刻，我们需要紧扣概念，发现A中缺少前提条件：在同一平面内．
【详解】A中，两直线垂直于同一条直线，则这两条直线平行，需要前提条件：在同一平面内，故A错误；
B，C，D都是相交线与平行线中的基本性质和推论，正确．
4．【答案】D
【解析】由题意得当加入絮凝剂的体积为时，净水率比加入絮凝剂时降低了，故选项A说法错误，不符合题意；未加入絮凝剂时，净水率为，故选项B说法错误，不符合题意；絮凝剂的体积每增加，净水率的增加量都不相等，故选项C说法错误，不符合题意；加入絮凝剂的体积是时，净水率达到，故选项D说法正确，符合题意．故选D.
5．【答案】A
【解析】如图，连接.在平行四边形中，,，垂直平分，，，，，，是直角三角形， , ,.故选A．
6．【答案】D
【详解】 点B的坐标为 ， 四边形 是正方形， ， ， 以正方形的顶点C为原点， 所在的直线为 轴重新建立平面直角坐标系，这时点B的坐标为 .故选D.
7．【答案】A
【解析】因为，所以选项A符合题意；因为 ，，是无理数，所以选项B、C、D不符合题意.故选A.
8．【答案】B
【解析】画树状图如图.共有4种等可能的结果，其中该赛车从口驶出的结果有1种， 该赛车从口驶出的概率为，故选B.
9．【答案】D
【解析】因为为的中线，所以.因为为的中线，所以.因为为的中线，所以， ，按此规律，为的中线，则的面积为，故选D.
10．【答案】B
【分析】利用各象限内点的特征求出a的取值范围，即可判断①，利用“整点”定义即可判断②，利用“超整点”定义即可判断③，利用“超整点”和点到坐标轴的距离即可判断④．
【详解】解：∵点在第二象限，
∴，
∴，故①错误；
∵点为“整点”， ，
∴整数a为，，0，1，
∴点P的个数为4个，故②正确；
∴“整点”P为，，，，
∵，，，
∴“超整点”P为，故③正确；
∵点为“超整点”，
∴点P坐标为，
∴点P到两坐标轴的距离之和，故④错误，
故此题答案为B．
11．【答案】74
【解析】23：08时，时针与分针所成的夹角是 .故答案为74.
12．【答案】3（答案不唯一）
【解析】设三角形的第三边的长为,则，即.因为第三边的长为整数，所以,4,5,6,7．故答案为3（答案不唯一）．
13．【答案】六
14．【答案】
【解析】因为是边上的中线，所以.因为，，，所以，即，所以，所以，即与的长度之比是故答案为
15．【答案】2
【分析】根据一元一次方程的定义（含有一个未知数且未知数的指数为1）得到，求解即可．
【详解】解：∵方程是关于x的一元一次方程，
∴，
解得：．
16．【答案】3
【解析】分两种情况：当等腰三角形的底边长是腰长的2倍时，， 底边的长为， 长为6，6，12的线段不能组成三角形；当等腰三角形的腰长是底边长的2倍时，， 底边的长为3，满足三角形的三边关系.综上所述，底边的长为3，故答案为3.
17．【答案】10
【解析】如图，设大树高为，小树高为，过点作于，则四边形是长方形，连接，所以，，所以.在中，，所以.故答案为10.
18．【答案】
【解析】在中，因为，，所以，所以是直角三角形且 .设千米，则千米.在中，由已知得，，，由勾股定理得，所以，解得，故答案为.
19．【答案】
【分析】先化简绝对值，零次幂、特殊角的三角函数值，以及运用二次根式的性质化简，再运算乘法，最后运算加减，即可作答．
【详解】解：
．
20．【答案】，
【分析】首先根据分式的乘除混合运算法则化简，然后选择使分式有意义的数代入求解即可．
【详解】解：
，
，且，
满足条件的整数为．
要使分式有意义，
必须满足且且，
不能为．
取．
当时，原式．
21．【答案】(1)证明见解析；
(2).
【分析】（1）根据同位角相等得出，进而根据平行线的性质得出，根据角平分线的定义得出．等量代换得出，可得，即可得证；
（2）根据已知得出，，进而根据平行线的性质得出．
【详解】（1）证明：，
，
，
平分，
，
，
，
，即，
．
（2）解：，，
，
，
，
，
，，
，
，
．
22．【答案】(1)作图见解析；
(2)；；；．
【分析】（）根据尺规作图——作角平分线，作垂线的方法即可；
（）四边形是正方形，得，，，然后证明四边形为矩形，从而可证，再根据全等三角形的性质即可求解．
【详解】（1）解：如图，
（2）证明：∵四边形是正方形，
∴，，，
∴，
在中，，
∵平分，
∴，
又∵，
∴，
∴，
∴四边形为矩形，
在和中，
，
∴，
∴，，
所以矩形是白银矩形，
小明进一步思考发现，，点为线段的白银分割点，
故答案为：；；；．
23．【答案】(1)70，300
(2)
(3)或
【分析】（1）利用时间、速度、路程之间的关系求解；
（2）利用待定系数法求解；
（3）先求出A、B、C两两之间的距离和乙车的速度，设两车出发x小时，乙车距B地的路程是甲车距B地路程的3倍，分甲乙相遇前、相遇后两种情况，列一元一次方程分别求解即可．
【详解】（1）解：由图可知，甲车小时行驶的路程为，
甲车行驶的速度是，
∴A、C两地的距离为：，
故答案为：70；300；
（2）解：由图可知E，F的坐标分别为，，
设线段所在直线的函数解析式为，
则，
解得，
线段所在直线的函数解析式为；
（3）解：由题意知，A、C两地的距离为：，
乙车行驶的速度为：，
C、B两地的距离为：，
A、B两地的距离为：，
设两车出发x小时，乙车距B地的路程是甲车距B地路程的3倍，
分两种情况，当甲乙相遇前时：
，
解得；
当甲乙相遇后时：
，
解得；
综上可知，两车出发或时，乙车距B地的路程是甲车距B地路程的3倍．
24．【答案】(1)；；统计图见解析
(2)这箱鸭梨的单箱净重的众数为，中位数为；
(3)这箱鸭梨的单箱净重的平均数为，该果园鸭梨总产量为
【分析】（1）用重量为的箱数除以其所占百分比即可求出n的值，进而求出重量为的箱数，则可求出的度数，再补全统计图即可；
（2）根据中位数和众数的定义求解即可；
（3）利用加权平均数的计算方法先求出这箱鸭梨的单箱净重的平均数，进而求出该果园鸭梨总产量即可．
【详解】（1）解：由题意得，，
∴净重为的鸭梨共有箱，
∴，
补全统计图如下所示：
（2）解：∵重量为的鸭梨箱数最多，
∴这箱鸭梨的单箱净重的众数为；
把这箱鸭梨的单箱净重按照从低到高排列，处在第10名和第11名的净重都为，
∴这箱鸭梨的单箱净重的中位数为
（3）解：，
∴这箱鸭梨的单箱净重的平均数为，
∴该果园鸭梨总产量为．
25．【答案】(1)
(2)
(3)或
【分析】（1）利用待定系数法求函数解析式即可；
（2）根据二次函数的顶点坐标公式计算解题即可；
（3）求出和时x的值，然后根据二次函数的增减性结合图象解题即可．
【详解】（1）解：把，代入，
得解得
∴抛物线的函数表达式为．
（2）解：当时，，
∴抛物线的顶点坐标为，
∴解得
（3）令，则，解得．
令，则，解得．
∵点C在抛物线上，且在第一象限，
∴由图象可得，的取值范围是或．
26．【答案】（1）①90；②正确，证明见解析；（2），理由见解析.
【分析】（1）①根据折叠的性质求解即可；
②同理①可得，再根据同旁内角互补，两直线平行证明即可；
（2）过点作，根据平行线的性质，得到，，即可求解．
【详解】解：（1）①由题意可知，点，，，共线，
，
由折叠的性质可知，
，即，
故答案为90；
②王玲的说法正确，证明如下：
由①得，
同理①可得，
，
；
（2）如图，过点作，
，
，
，
，
.

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