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2025年山西省阳泉市平定县中考数学一模试卷
一、选择题：本题共10小题，每小题3分，共30分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。
1.计算的结果是( )
A. B. C. D.
2.餐桌对于我们中国人有着非同一般的意义，它承载着家庭团圆的欢声笑语，如图为一张圆形木质餐桌，则其俯视图为( )
A. B. C. D.
3.我国是世界上最大的茶叶种植国，茶园面积最大、增速最快，同时也是世界上茶叶消费量最大的国家年我国茶叶产量为万吨，比上年增产，强势卫冕世界第一则数据万吨可用科学记数法表示为( )
A. 吨 B. 吨 C. 吨 D. 吨
4.下列运算正确的是( )
A. B.
C. D.
5.如图所示，平整的地面上有一个不规则图案图中阴影部分，小明想了解该图案的面积是多少，他采取了以下办法：用一个面积为的长方形，将不规则图案围起来，然后在适当位置随机地朝长方形区域扔小球，并记录小球落在不规则图案上的次数球扔在界线上或长方形区域外不计试验结果，他将若干次有效试验的结果绘制成了如图所示的统计图，由此估计不规则图案的面积大约为( )
A. B. C. D.
6.千里江山图是宋代王希孟的作品，如图，它的局部画面装裱前是一个长为米，宽为米的矩形，装裱后，整幅图画宽与长的比是：，且四周边衬的宽度相等，则边衬的宽度应是多少米？设边衬的宽
度为米，根据题意可列方程( )
A. B.
C. D.
7.冉冉的妈妈在网上销售装饰品．最近一周，每天销售某种装饰品的个数为：，，，，，，关于这组数据，冉冉得出如下结果，其中错误的是( )
A. 众数是 B. 平均数是 C. 方差是 D. 中位数是
8.如图，将平行四边形沿对角线折叠，使点落在处．若，，则的度数为( )
A.
B.
C.
D.
9.如图，在平面直角坐标系中，以坐标原点，，为顶点的，其两个锐角对应的外角角平分线相交于点，且点恰好在反比例函数的图象上，则的值为( )
A.
B.
C.
D.
10.如图，在中，，，，点，，是边上的点，以点为圆心，长为直径的半圆与相切于点，与相切于点，则图中阴影部分的面积为( )
A. B. C. D.
二、填空题：本题共5小题，每小题3分，共15分。
11.分解因式： ______．
12.如图，已知是的内接三角形，若，则 ______度
13.如图是某商场营业大厅自动扶梯示意图．自动扶梯的倾斜角为，在自动扶梯下方地面处测得扶梯顶端的仰角为，、之间的距离为则自动扶梯的垂直高度______结果保留根号
14.如图，在等腰中，，，将沿方向平移，得到，交的中点于点，则点到点的距离为______．
15.如图，在中，，，，分别为线段，上的动点，且，连接，交于点，若点为的中点，则线段的长为______．
三、解答题：本题共8小题，共75分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
16.本小题分
计算：．
化简：．
17.本小题分
如图，已知矩形及对角线．
过点作的垂线，垂足为点；要求：尺规作图，不写作法，保留作图痕迹
结合图形猜想∽，请将下面的证明过程补充完整．
证明：
四边形是矩形，
______， ______矩形的对边平行，每个角都是直角
______填写推理的依据
，
．
．
∽______填写推理的依据
18.本小题分
正值第十四届全国人民代表大会第三次会议召开之际，奋进中学举行党史知识竞赛团委随机抽取了部分学生的成绩作为样本，把成绩按达标、良好、优秀、优异四个等级分别进行统计，并将所得数据绘制成如下不完整的统计图．
请根据图中提供的信息，解答下列问题：
本次调查的样本容量是______，圆心角的度数为______度；
补全条形统计图；
已知奋进中学共有名学生，估计此次竞赛该校获优异等级的学生人数为多少？
若在这次竞赛中有，，，四人成绩均为满分，现从中抽取人代表奋进中学参加县级比赛请用列表或画树状图的方法求出恰好抽到，两人同时参赛的概率．
19.本小题分
炎炎夏日，外观迷你、携带方便的迷你小电扇受到越来越多人的喜爱，某商家计划购进，两款迷你小电扇进行销售，已知款迷你小电扇的进价为元，款迷你小电扇的进价为元该商家购进这两种迷你小电扇共台，用去了元．
该商家分别购进这两款迷你小电扇多少台？
为了满足市场需求，该商家决定用不超过元的资金再购进一批这两款迷你小电扇共台，问该商家这次至少购进款迷你小电扇多少台？
20.本小题分
如图，高铁列车座位后面的小桌板收起时可以近似地看作与地面垂直，展开小桌板后，桌面会保持水平，其中图、图分别是小桌板收起时和展开时的实物，图中的实线是小桌板展开后的示意图，其中表示小桌板桌面的宽度，表示小桌板的支架，连接，此时厘米，，且支架长与桌面宽的长度之和等于的长度，求点到的距离．参考数据，，
21.本小题分
阅读与思考
阅读下列材料，并完成相应任务．
函数是从数量的角度反映变化规律和对应关系的数学模型，初中阶段学习的函数有一次函数、二次函数、反比例函数，学习时可以从数量特征和几何特征图象来研究函数的性质下面是研究三大函数图象沿轴向下平移的特征．
一次函数图象的平移：如图，一次函数分别与轴，轴交于点，，将直线沿轴向下平移个单位，分别与轴，轴交于点，分别将，代入，求得，，则，，由平移的性质得，，，，，∽依据，，，，，，，设直线的函数表达式为，分别将，代入，解得，，直线的函数表达式为．
猜想：将直线：沿轴向下平移个单位后，所得直线的函数表达式为
证明：设点为上的任意一点，沿轴向下平移个单位后的对应点为，将代入，得，点为上的点，，，，点在直线上．
结论：猜想正确．
二次函数图象的平移：
猜想：将二次函数的图象沿轴向下平移个单位后，所得二次函数的函数表达式为
证明：
反比例函数图象的平移：
任务一：填空：证明∽的依据是：______，
用待定系数法确定一次函数的表达式体现的数学思想为：______；
任务二：请完成猜想的证明；
任务三：如图，直线与反比例函数的图象交于点，将反比例函数的图象沿轴向下平移个单位后与直线交于点，图直接写出线段的长．
22.本小题分
综合与实践
项目主题：爱心发卡，温暖传递
项目背景：寒假期间，王老师计划制作、两款手工发卡，并将售卖后的全部利润捐赠给福利院为助力王老师确定最优加工方案，实现利润最大化，从而给予福利院儿童更多帮助，小辉开展了以“探究爱心发卡最佳加工方案”为主题的项目化学习．
驱动任务：探究能获取最大日利润的发卡加工方案．
收集信息：
受制作条件限制，王老师每日最多可制作、两款发卡共只．
经市场调查，两款手工发卡市场需求旺盛，预期每日制作的发卡均可售罄扣除各项成本后，具体获利情况如下：
款：当每天加工只时，每只获利元，如果每天多加工只，那么平均每只获利将减少元；
款：每只获利元．
解决问题：
设王老师每天加工款发卡只，每只款发卡获利元，则与的函数关系式为______；
设每日的销售总利润为元，求关于的函数表达式；
通过计算说明使日销售利润最大的加工方案．
23.本小题分
综合与探究
【问题情境】
在中，，数学活动课上，同学们将绕点顺时针旋转到，连接，过点作于点．
【特例分析】
如图，若点与点重合，判断线段和的数量关系，并说明理由；
【探究发现】
如图，若点在线段的延长线上，且时，判断线段与线段的数量关系，并说明理由；
如图，若点在线段上，且时，设，请用含的代数式表示线段．
参考答案
1.
2.
3.
4.
5.
6.
7.
8.
9.
10.
11.
12.
13.
14.
15.
16.解：
；
．
17.解：如图所示：于；
证明：四边形是矩形，
，矩形的对边平行，每个角都是直角，
两直线平行，内错角相等，
，
，
，
∽有两组角对应相等的两个三角形相似．
18.解：本次调查的样本容量是．
圆心角的度数为．
故答案为：；．
“优秀”的人数为人，
补全条形统计图如图所示．
人．
答：估计此次竞赛该校获优异等级的学生人数约为人．
列表如下：
共有种等可能的结果，其中恰好抽到，两人同时参赛的结果有：，，共种，
恰好抽到，两人同时参赛的概率为．
19.解：设商家购进款迷你小电扇台，款迷你小电扇台，
根据题意得：，
解得：，
答：商家购进款迷你小电扇台，款迷你小电扇台；
设该商家这次购进款迷你小电扇台，则购进款迷你小电扇台，
根据题意得：，
解得：，
的最小值为．
答：该商家这次至少购进款迷你小电扇台．
20.解：延长交于点，
由题可知：，
设，则，
在中，
，
，
在中，
，
，
解得：，
，
答：点到的距离为．
21.任务一：解：从证明过程看，∽的依据是：夹边成比例、夹角相等，
从解答过程看，用待定系数法确定一次函数的表达式体现的数学思想为：函数思想；
故答案为：两边对应成比例且夹角相等，函数思想；
任务二：证明：设点是函数上的一个点，设点，点是函数平移后点所对应的点，
则点，
当时，，
即点在函数上，
即平移后的表达式为：；
任务三：解：由任务一、二知，平移后的函数表达式为：，
当，即，则，即点；
当时，即，则，即点；
则．
22.解：设王老师每天加工款发卡只，每只款发卡获利元，则与的函数关系式为，
故答案为：；
，
，
；
方法一：，
当时，有最大值，
当时，，
每日加工款只，款只可使日销售利润最大；
方法二：，
，
当时，有最大值，
当时，，
每日加工款只，款只可使日销售利润最大．
23.解：．
理由如下：由旋转得点在上，．
，
．
．
，
，
．
．
理由如下：由旋转得点在上，．
．
，
．
．
，
，
由旋转，得，
．
是等边三角形．
，
在和中，
≌，
．
如图所示，由旋转，得点在上，．
．
由旋转，得，
．
，
，
，
作平分交于点，
，
，
，
．
又，
∽．
，
，
．
，，
∽．
，
又．
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