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2024-2025学年七年级（下）期中数学试卷（拔尖卷）
【沪科版2024】
参考答案与试题解析
第Ⅰ卷
一．选择题（共10小题，满分30分，每小题3分）
1．（3分）（24-25七年级·陕西西安·期中）若的平方是9，的平方是25，且，则的值是（ ）
A． B．或 C．或8 D．8或
【答案】B
【分析】此题考查了代数式求值，平方根，熟练掌握运算法则确定与的值是解本题的关键．
根据题意，利用平方根的定义求出与的值，即可确定出原式的值．
【详解】解：∵的平方是9，的平方是25，
∴，，
又∵，即，
∴或，
∴或，
故选：B．
2．（3分）（24-25七年级·安徽安庆··阶段练习）若不等式的解都能使关于x的一元一次不等式成立，则a的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【分析】本题主要考查解一元一次不等式，熟练掌握运算法则是解题的关键．分别求出不等式的解集，根据题意得到，即可得到答案．
【详解】解：不等式的解集为，
不等式的解集为，
由题意，得，
解得．
故选A．
3．（3分）（24-25七年级·河南新乡·阶段练习）若，则 的值为（ ）
A． B．8 C．7 D．6
【答案】B
【分析】本题考查幂的运算法则及整体代入思想，解题关键是利用幂的性质对变形后，将作为整体代入求值 ．
根据幂的运算法则对进行化简得，然后由，可得，再代入求值即可解答
【详解】
，
∵，
∴，
∴原式，
故选：B．
4．（3分）（24-25七年级·浙江绍兴·期中）要制作一只如图所示容积为的小玻璃杯，涉及正方体内壁时，内壁边长大致长度在（ ）
A．之间 B．之间
C．之间 D．之间
【答案】C
【分析】本题考查立方根的应用，立方根的估算，熟练掌握立方根的估算方法是解题的关键．设正方体内壁的边长为，得，求出，再利用立方根的估算方法估算即可．
【详解】解：设正方体内壁的边长为，
根据题意，得：，
解得：，
∵，，，， ，
且，
∴，
故选：C．
5．（3分）（24-25七年级·江苏·自主招生）设m，n是正整数，且，若与的末两位数字相同，则的最小值为（ ）
A．9 B．10 C．11 D．12
【答案】B
【分析】由题意可知是100的倍数，从而分析得到的末尾数字是01，设（t为正整数），由，分析判断即可得到正确答案．
【详解】解：由题意知，是100的倍数
∵与100互质
∴是100的倍数
∴的末尾数字是01
∴的数值一定是偶数，且m，n是正整数，
设：（t为正整数）
则：
∵的末尾两位数字为61，的末尾两位数字为41，的末尾两位数字为21，末尾两位数字为01
∴t的最小值为5，
∴的最小值为10
故答案为：B
【点睛】本题考查幂的乘方，牢记相关的知识点并能灵活应用是解题的关键．
6．（3分）（2024·浙江宁波·一模）在矩形内，将两张边长分别为和的正方形纸片按图①，图②两种方式放置（图①，图②中两张正方形纸片均有部分重叠），矩形中未被这两张正方形纸片覆盖的部分用阴影表示，若图①中阴影部分面积为，图②中阴影部分的面积和为．则的值表示正确的是（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【分析】利用面积的和差分别表示出S1和S2，然后利用整式的混合运算计算它们的差．
【详解】解：∵S1=（AB-a） a+（CD-b）（AD-a）=（AB-a） a+（AB-b）（AD-a），
S2=（AB-a）（AD-b）+（AD-a）（AB-b），
∴S1-S2=（AB-a） a+（AB-b）（AD-a）-（AB-a）（AD-b）-（AD-a）（AB-b）
=（AB-a） a-（AB-a）（AD-b）
=（AB-a） （a-AD+b）
=BE FG，
故选：A．
【点睛】本题考查了整式的混合运算：“整体”思想在整式运算中较为常见，适时采用整体思想可使问题简单化，并且迅速地解决相关问题，此时应注意被看作整体的代数式通常要用括号括起来．也考查了正方形的性质．
7．（3分）（24-25七年级·江苏苏州·期中）已知的解集为，则的解集为（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【分析】令1－x=y，则，根据题干可知：，从而得出x的取值范围．
【详解】令1－x=y，则
∵的解集为
∴的解集为：
∴
解得：
故选：D．
【点睛】本题考查解不等式，解题关键是通过换元法，将1-x表示为y的形式．
8．（3分）（24-25七年级·安徽宿州·期中）已知三个实数满足则下列结论一定成立的是（ ）．
A． B． C． D．
【答案】D
【分析】本题考查了整式的运算，因式分解等，将代入化简可得，将此代入可得，通过因式分解可得，从而可得，据此进行逐一判断，即可求解；掌握整式之间转化运算是解题的关键．
【详解】解：将代入，
得，
，
∴，
∴，
，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，
A. ，结论错误，不符合题意；
B. ，结论错误，不符合题意；
C. ，结论错误，不符合题意；
D. ，结论正确，符合题意．
故选：D．
9．（3分）（24-25七年级·北京·开学考试）在数轴上有三个互不重合的点A，B，C，它们代表的实数分别为a，b，c，下列结论中
①若abc0，则A，B，C三点中，至少有一个点在原点右侧；
②若a+b+c＝0，则A，B，C三点中，至少有一个点在原点右侧；
③若a+c＝2b，则点B为线段AC的中点；
④O为坐标原点且A，B，C均不与O重合，若OB﹣OC＝AB﹣AC，则bc0，
所有正确结论的序号是（　　）
A．①② B．③④ C．①②③ D．①②③④
【答案】D
【分析】①根据乘法法则判定a，b，c至少有一个大于0，据此可解；
②根据加法法则判定a，b，c至少有一个大于0，据此可解；
③根据两点距离公式可判断；
④分情况讨论：B、C都在点O的右侧；B、C都在点O的左侧；B、C在点O的两侧且点A在点C的右侧；B、C在点O的两侧且点A在O、C之间（不与O重合）； B、C在点O的两侧且点A在O、B之间（不与O重合）； B、C在点O的两侧且点A在B右侧时；逐一画出图形进行判断，据此可解．
【详解】解：①若abc0，则a，b，c不可能都小于0，至少有一个大于0，所以A，B，C三点中，至少有一个点在原点右侧，故①正确；
②若a+b+c＝0，因为a，b，c不能都为0，则a，b，c中至少有一个大于0，所以A，B，C三点中，至少有一个点在原点右侧，故②正确；
③若a+c＝2b，则a- b＝b- c，点B为线段AC的中点，故③正确；
④如图1, B、C都在点O的右侧,
∵OB﹣OC＝BC， AB﹣AC=BC，
∴OB﹣OC＝AB﹣AC，此时bc0，
如图2, B、C都在点O的左侧,
∵OB﹣OC＝BC， AB﹣AC=BC，
∴OB﹣OC＝AB﹣AC，此时bc0，
如图3, B、C在点O的两侧时，若点A在点C的右侧，
显然OB﹣OC≠AB﹣AC，
如图4, B、C在点O的两侧时，若点A在O、C之间（不与O重合），
显然OB﹣OC≠AB﹣AC，
如图5, B、C在点O的两侧时，若点A在O、B之间（不与O重合），
显然OB﹣OC≠AB﹣AC，
如图6, B、C在点O的两侧时，若点A在B右侧时，
显然OB﹣OC≠AB﹣AC，
综上所述，若OB﹣OC＝AB﹣AC，则B、C在点O的同一侧，所以b和c同号，即 bc0，故④正确；
故选：D．
【点睛】本题考查了数轴的有关知识及实数的运算法则，掌握运算法则及数形结合思想是解题关键．
10．（3分）（24-25七年级·安徽安庆·期中）已知，且，则 -的值为（ ）
A．2022 B．-2022 C．4044 D．-4044
【答案】A
【分析】先将式子整理变形得，进而得出，即，再将展开，最后整理代入即可得出答案．
【详解】因为，
所以，
整理，得，
则，
即．
因为，
所以，
即．
由，得，
所以．
故选：A．
【点睛】本题主要考查了代数式求值，掌握整体代入思想是解题的关键．
二．填空题（共6小题，满分18分，每小题3分）
11．（3分）（24-25七年级·安徽安庆·专题练习）已知的算术平方根是3，的立方根是1，则的平方根是 ．
【答案】
【分析】本题考查了平方根、立方根、算术平方根的应用，解此题的关键是求出x、y的值．
根据算术平方根、立方根的定义求出x、y的值，求出的值，再根据平方根定义求出即可．
【详解】解：∵的算术平方根是3，
∴
解得：，
∵的立方根是1，
∴
解得：，
∴
∴的平方根是．
故答案为：．
12．（3分）（2024七年级·浙江温州·一模）已知，均为完全平方数，则
【答案】或或
【分析】本题考查完全平方数，设①，②（、为整数），得，将所有可能情况列出来即可解答．解题的关键是根据题意列出等式进行试解，同时要知道完全平方数是整数．
【详解】解：设①，②（、为整数），
②－①得：，即，
可能情况如下：
，，，，，，
解得：（舍去），，，（舍去），（舍去），，
当时，，
当时，，
当时，，
∴或或．
故答案为：或或．
13．（3分）（24-25七年级·江苏南通·期末）已知非负数a，b，c满足条件，，设的最大值是m，最小值是n，则的值为 ．
【答案】26
【分析】根据已知的式子可得，，即有，再根据a、b、c为非负实数，可得，即可得，，问题随之得解．
【详解】联立，
把a看作常数，解得，，
∴，
∵，
∴，
解得，
∴，
∴，
∴当时，；当时，；
∴．
故答案为：26．
【点睛】本题主要考查了解二元一次方程组，解一元一次不等式组，熟练掌握解二元一次方程组方法，解一元一次不等式组方法，用一个字母的代数式表示另一个字母，非负实数性质，代数式产生的最值，是解答本题的关键．
14．（3分）（24-25七年级·重庆江津·期中）若关于的不等式组有且仅有个整数解，且的结果不含二次项，则满足条件的整数的值为 ．
【答案】
【分析】先求出一元一次不等式组的解集，再根据不等式组有且仅有个整数解，得出，利用多项式乘多项式化简，根据结果不含二次项，得出，结合即可求出的值．
【详解】解：，解不等式，
解得：，
解不等式，
解得：，
∴
∵不等式组有且仅有个整数解，
∴，
解得：，
又∵，且其结果不含二次项，
∴的系数为零
∴
∴
解得：或
又∵
∴，
故答案为：．
【点睛】本题考查了解一元一次不等式组的整数解，解一元一次不等式，绝对值，多项式乘多项式，熟练掌握以上知识是解题的关键．
15．（3分）（24-25七年级·贵州黔南·期末）如图1，教材有这样一个探究：把两个面积为的小正方形沿着对角线剪开，将所得的四个直角三角形拼在一起，就得到一个面积为的大正方形，所得的面积为的大正方形的边就是原先面积为的小正方形的对角线，因此，可得小正方形的对角线长度为．某同学受到启发，把长为3、宽为2的两个长方形沿着对角线剪开，将所得的4个直角三角形拼成如图2所示的一个正方形，请你仿照上面的探究方法，比较 ．（填“”或“”或“”）
【答案】
【分析】本题考查图形的拼剪，算术平方根的应用，估算无理数的大小，解题的关键是理解题意，灵活运用所学知识解决问题．根据大正方形面积空白部分面积个直角三角形的面积，通过计算得出的整数部分是3，即可解答求解．
【详解】解：大正方形面积为，空白部分面积为，
根据题意得：，
即，
∴（负值舍去），
∵，即，
∴的整数部分是3，
∴，
∴，
故答案为：．
16．（3分）（24-25七年级·浙江温州·期中）已知整数满足且，则的值为 ．
【答案】2
【分析】根据3不是10000的公约数，可得b=0，由和即可得到a，b，c，d的值，故可求解．
【详解】∵，3不是10000的公约数，
∴
则b=0
∴
∵整数满足
∴符合题意
∴a=-2，b=0，c=3，d=4
∴=-8+0+6+4=2
故答案为：2．
【点睛】此题主要考查幂的运算，解题的关键是熟知幂的运算法则及特点．
第Ⅱ卷
三．解答题（共8小题，满分72分）
17．（6分）（24-25七年级·湖南益阳·期末）小明制作了一张面积为的正方形贺卡．现有一个长方形信封如图所示，该信封的长、宽之比为，面积为．
(1)求长方形信封的长和宽．
(2)小明能将贺卡不折叠就放入此信封吗？请通过计算给出判断．
【答案】(1)长方形信封的长为，宽为
(2)能，理由见解析
【分析】本题考查算术平方根的实际应用：
（1）设长方形信封的长为，宽为，利用面积公式列出方程进行求解即可；
（2）求出正方形的边长，比较长方形的宽和正方形的边长的大小关系即可得出结果．
【详解】（1）解：设长方形信封的长为，宽为．
由题意，得，
∴，
∴，．
答：长方形信封的长为，宽为．
（2）能
理由：面积为的正方形贺卡的边长是．
∵，，
∴，即信封的宽大于正方形贺卡的边长，
∴小明能将这张贺卡不折叠就放入此信封．
18．（6分）（24-25七年级·安徽·阶段练习）找规律：观察算式
13＝1
13+23＝9
13+23+33＝36
13+23+33+43＝100
…
（1）按规律填空）
13+23+33+43+…+103＝　 ；
13+23+33+43+…+n3＝　 ．
（2）由上面的规律计算：113+123+133+143+…+503（要求：写出计算过程）
（3）思维拓展：计算：23+43+63+…+983+1003（要求：写出计算过程）
【答案】（1）；；（2）1622600；（3）
【分析】（1）观察等式右边都是平方数，且底数正好是等式左边各底数的和，依此规律类推可分别解决以上两个问题；
（2）由于上面的等式都是从底数是1开始的，所以可以把该式子前面的部分从1开始补上，再把补上的部分减掉即可；
（3）该式中的底数并不是题干中所给出的从1开始的连续整数，因此不能直接用上述规律解题，但该式中的底数却都是从1开始的连续整数的2倍，因此提出2后，各项都含有，逆用乘法分配律即可解决问题．
【详解】解：（1）13+23+33+43+…+103＝（1+2+3+4+…+10）2＝；
13+23+33+43+…+n3＝（1+2+3+4+…+n）2＝；
（2）113+123+133+143+…+503＝（13+23+33+43+…+503）-（13+23+33+43+…+103）
＝
＝1622600；
（3）23+43+63+…+983+1003＝（2×1）3+（2×2）3+（2×3）2+（2×4）3+…+（2×50）3＝23×（13+23+33+43+…+503）
＝23×＝．
【点睛】本题属于数式规律题，考查了学生对数的观察和分析的能力，首先学生应对平方数有一定的认识和感知力，这样才能迈出解决问题的第一步，其次学生要学会对不同的数进行关联，通过它们的和差积商中的一种或多种组合找到它们的联系，才能得出这道题的规律，建议在学习过程中多积累相关经验，发散思维，提高解决该类问题的效率．
19．（8分）（24-25七年级·广东汕头·期末）阅读下列材料：解答“已知x－y＝2，且x>1，y<0，试确定x＋y的取值范围”有如下解法：
解：∵x－y＝2，∴x＝y＋2 又∵x>1，∴y＋2>1，∴y>－1．
又∵y<0，∴－1同理可得1由①＋②得：－1＋1∴x＋y的取值范围是0按照上述方法，完成下列问题：
(1)已知x－y＝3，且x>2，y<1，则x＋y的取值范围是______；
(2)已知关于x，y的方程组的解都是正数，求a的取值范围；
(3)在（2）的条件下，若a－b＝4，b<2，求2a＋3b的取值范围．
【答案】(1)1＜x+y＜5
(2)a＞1
(3)
【分析】（1）模仿阅读材料解答即可；
（2）先把方程组解出，再根据解为正数列关于a的不等式组解出即可；
（3）分别求出2a、3b的取值范围，相加可得结论．
【详解】（1）解：∵x-y=3，
∴x=y+3，
∵x＞2，
∴y+3＞2，
∴y＞-1，
又∵y＜1，
∴-1＜y＜1…①，
同理可得2＜x＜4…②，
由①+②得：-1+2＜x+y＜1+4，
∴x+y的取值范围是1＜x+y＜5，
故答案为：1＜x+y＜5；
（2）解：解方程组，
得，
∵该方程组的解都是正数，
∴x＞0，y＞0，
∴，
解不等式组得：a＞1，
∴a的取值范围为：a＞1；
（3）解：∵a－b=4，b<2，
∴，
∴，
由（2）得，a＞1，
∴，
∴…①，
又∵，
∴，
∵，
∴，
∴…②，
由①+②得：，
∴2a＋3b的取值范围是．
【点睛】本题考查不等式的性质及运算法则，解一元一次不等式组，解二元一次方程组，以及新运算方法的理解，熟练熟练掌握不等式的运算法则是解题的关键．
20．（8分）（24-25七年级·安徽安庆·周测）新定义：若无理数（T为正整数）的被开方数满足（n为正整数），则称无理数的“青一区间”为，同理规定无理数的“青一区间”为．例如：因为，所以的“青一区间”为的“青一区间”为．
(1)的“青一区间”为_______，的“青一区间”为_______；
(2)实数满足关系式，求的“青一区间”．
【答案】(1)，
(2)
【分析】本题考查无理数的估算，理解并掌握“青一区间”的定义和确定方法，是解题的关键．
（1）根据“青一区间”的定义和确定方法，进行求解即可；
（2）利用非负性求出x，y的值，再进行求解即可．
【详解】（1）解：∵，
∴的“青一区间”为；
∵，
∴的“青一区间”为；
故答案为：，；
（2）解：因为，
所以，
即，
所以，所以．
因为，所以的“青一区间”为．
21．（10分）（24-25七年级·江苏宿迁·期末）【项目式学习】
项目主题：数学智慧拼图
项目背景：为了缓解同学们的学习压力，提高思维能力，增强学习兴趣，并促进同学们的全面发展．王老师将数学学习小组分成三组，每组领取一些矩形卡片，开展“数学智慧拼图”为主题的项目式学习．
任务一：观察建模
如图1，第一小组领了8个大小、形状完全相同的小矩形，拼成一个大矩形，每个小矩形的长和宽分别分别为x、y（），小组同学测得拼成的大矩形长为30，宽为16，可得方程组 ，则： ， ；
任务二：推理分析
第二小组也领了8个大小、形状完全相同的小矩形，把它们按图2方式放置在一个大矩形中，求图2中阴影部分的面积；
任务三：设计方案
第三小组领了A、B、C三种类型的矩形卡片，它们的长为18，宽分别为a、b、c，其中且a、b、c均为正整数，分别取A、B、C卡片2、3、4张， 把它们按图3方式放置在一个边长为36的正方形中，则阴影部分的面积为144；若分别取A、B、C卡片3、2、5张，能否把它们放置在边长为36的正方形中（不能有重叠），如果能，请你在图4中画出放置好的示意图，并标注a、b、c的值，如果不能，请说明为什么．
【答案】任务一：5，10任务二：31任务三：，，，图见解析
【分析】此题考查了二元一次方程组的实际应用和不等式组的应用，正确理解图形中各线段之间的关系列出方程组是解题的关键．
任务一：直接解方程组即可；
任务二：设8个大小、形状完全相同的小矩形长为m，宽为n，列方程组求出长宽，再求出阴影部分面积即可；
任务三：先列方程组求出，根据题意得出或2，进而求出两种情况下a、b、c的值，根据面积得出当时无法放置，当时能放置并画出放置方式即可．
【详解】解：任务一：
由①得：，
把代入②，得：，
原方程组的解是；
任务二：设8个大小、形状完全相同的小矩形长为m，宽为n，由题意得：
，
解得：，
则图2中阴影部分的面积；
任务三：由题意得：，
解得：，
且a、b、c均为正整数，
，
解得：，
或2，
当时，，，
分别取A、B、C卡片3、2、5张，拼成的不重叠的图形面积为：，
故此时不能放置；
当时，，，
分别取A、B、C卡片3、2、5张，拼成的不重叠的图形面积为：，
故此时能放置，放置方式如下图：
22．（10分）（24-25七年级·北京西城·期末）阅读材料：
如果整数，满足，，其中，，，都是整数，那么一定存在整数，，使得．例如，，，或，……
根据上述材料，解决下列问题：
(1)已知，，或，……若，则 ；
(2)已知，（，为整数），．若，求（用含，的式子表示）；
(3)一般地，上述材料中的，可以用含，，，的式子表示，请直接写出一组满足条件的，（用含，，，的式子表示）．
【答案】(1)9
(2)或
(3)，
【分析】本题主要考查了实数运算、整式运算、完全平方公式等知识，熟练掌握相关运算法则是解题关键．
（1）结合，，求解即可；
（2）将，代入，整理可得，即可获得答案；
（3）根据题意，可得，结合，可令，，即可获得答案．
【详解】（1）解：∵，
∴，
∴，
∵，
∴．
故答案为：9；
（2）解：根据题意，，，，
∴，
∴
∴，
∴或；
（3）解：∵，，
∴，
又∵，
令，，
此时可有一组解，，
即，．
23．（12分）（24-25七年级·北京·期末）新定义：若一元一次方程的解在一元一次不等式组解集范围内，则称该一元一次方程为该不等式组的“相依方程”，例如：方程的解为，而不等式组的解集为，不难发现在的范围内，所以方程是不等式组的“相依方程”．
(1)在方程①：②；③中，不等式组的“相依方程”是______；（填序号）
(2)若关于x的方程是不等式组的“相依方程”，求k的取值范围；
(3)若关于x的方程是关于x的不等式组的“相依方程”，且此时不等式组有5个整数解，试求m的取值范围．
【答案】(1)①
(2)；
(3)．
【分析】本题考查了解一元一次不等式组，一元一次方程的解，理解材料中的不等式组的“相依方程”是解题的关键．
（1）分别解三个一元一次方程与不等式组，再根据新定义作判断即可；
（2）分别解不等式组与方程，再根据新定义列不等式组，解不等式组可得答案；
（3）先解不等式组可得，再根据此时不等式组有5个整数解，令整数的值为：，，，，，再求解，而为整数，则或0，分两种情况讨论，从而可得答案．
【详解】（1）解：①，
整理得：，
解得：；
②，
解得：；
③，
解得：；
，
解不等式可得：，
解不等式可得：，
所以不等式组的解集为：；
根据新定义可得：方程①是不等式组的“相依方程”．
故答案为：①；
（2）解：，
由①得：，
由②得：，
所以不等式组的解集为：，
，
，
根据“相依方程”的含义可得：
，
，
解得：；
（3）解：，
由①得：，
由②得：，
∴不等式组的解集为：，
此时不等式组有5个整数解，
令整数的值为：，，，，，
，
∴，
则，
解得：，而为整数，则或0，
当时，，
∴，
因为，
解得：，
根据“相依方程”的含义可得：，
解可得：，
解可得：，
所以不等式组的解集为：；
当时，，
∴，
综上：．
24．（12分）（24-25七年级·山东淄博·期中）【阅读材料】：将四项及四项以上的多项式进行因式分解，我们一般使用分组分解法，对于四项多项式的分组分解法有两种分法：一是“”分组，二是“”分组．两种分组的主要区别在于多项式中是否存在三项可以构成完全平方，若可以构成完全平方，则采用“”分组；若无法构成，则采用“”分组．
例如：
像这种将一个多项式适当分组后，再分解因式的方法叫做分组分解法．
【学以致用】：因式分解（1）；
（2）．
【拓展延伸】：对于四项以上的多项式，我们可以据其特征适当地将某一项拆成两项，再进行分组，进而因式分解来解决问题，请你利用这样的思路试一试．
（1）已知为等腰的三边长，且满足，求等腰的面积；
（2）如图，长方形，已知，其中，且，求长方形的边的长度．（，用含的式子表示）
【答案】学以致用：（1）；（2）；拓展延伸：（1）48或；（2）
【分析】本题考查了因式分解的应用，等腰三角形的性质，勾股定理．
[学以致用]
（1）根据提公因式法因式分解，即可求解；
（2）先分组，然后根据完全平方公式与平方差公式因式分解，即可求解；
[拓展延伸]
（1）根据完全平方公式因式分解，进而根据非负数的性质求得的值，进而根据等腰三角形的性质以及勾股定理计算即可求解；
（2）同（1）的方法因式分解，进而得出，即可求解．
【详解】解：[学以致用]
（1）
．
（2）
[拓展延伸]
（1）
等腰的三边为或
，
，
等腰的面积为48或．
（2）
且
．2024-2025学年七年级（下）期中数学试卷（拔尖卷）
【沪科版2024】
考试时间：120分钟；满分：120分；考试范围：第6~8章
姓名：___________班级：___________考号：___________
考卷信息：
本卷试题共24题，单选10题，填空6题，解答8题，满分120分，限时120分钟，本卷题型针对性较高，覆盖面广，选题有深度，可衡量学生掌握本章内容的具体情况！
第Ⅰ卷
一．选择题（共10小题，满分30分，每小题3分）
1．（3分）（24-25七年级·陕西西安·期中）若的平方是9，的平方是25，且，则的值是（ ）
A． B．或 C．或8 D．8或
2．（3分）（24-25七年级·安徽安庆··阶段练习）若不等式的解都能使关于x的一元一次不等式成立，则a的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
3．（3分）（24-25七年级·河南新乡·阶段练习）若，则 的值为（ ）
A． B．8 C．7 D．6
4．（3分）（24-25七年级·浙江绍兴·期中）要制作一只如图所示容积为的小玻璃杯，涉及正方体内壁时，内壁边长大致长度在（ ）
A．之间 B．之间
C．之间 D．之间
5．（3分）（24-25七年级·江苏·自主招生）设m，n是正整数，且，若与的末两位数字相同，则的最小值为（ ）
A．9 B．10 C．11 D．12
6．（3分）（2024·浙江宁波·一模）在矩形内，将两张边长分别为和的正方形纸片按图①，图②两种方式放置（图①，图②中两张正方形纸片均有部分重叠），矩形中未被这两张正方形纸片覆盖的部分用阴影表示，若图①中阴影部分面积为，图②中阴影部分的面积和为．则的值表示正确的是（ ）
A． B． C． D．
7．（3分）（24-25七年级·江苏苏州·期中）已知的解集为，则的解集为（ ）
A． B． C． D．
8．（3分）（24-25七年级·安徽宿州·期中）已知三个实数满足则下列结论一定成立的是（ ）．
A． B． C． D．
9．（3分）（24-25七年级·北京·开学考试）在数轴上有三个互不重合的点A，B，C，它们代表的实数分别为a，b，c，下列结论中
①若abc0，则A，B，C三点中，至少有一个点在原点右侧；
②若a+b+c＝0，则A，B，C三点中，至少有一个点在原点右侧；
③若a+c＝2b，则点B为线段AC的中点；
④O为坐标原点且A，B，C均不与O重合，若OB﹣OC＝AB﹣AC，则bc0，
所有正确结论的序号是（　　）
A．①② B．③④ C．①②③ D．①②③④
10．（3分）（24-25七年级·安徽安庆·期中）已知，且，则 -的值为（ ）
A．2022 B．-2022 C．4044 D．-4044
二．填空题（共6小题，满分18分，每小题3分）
11．（3分）（24-25七年级·安徽安庆·专题练习）已知的算术平方根是3，的立方根是1，则的平方根是 ．
12．（3分）（2024七年级·浙江温州·一模）已知，均为完全平方数，则
13．（3分）（24-25七年级·江苏南通·期末）已知非负数a，b，c满足条件，，设的最大值是m，最小值是n，则的值为 ．
14．（3分）（24-25七年级·重庆江津·期中）若关于的不等式组有且仅有个整数解，且的结果不含二次项，则满足条件的整数的值为 ．
15．（3分）（24-25七年级·贵州黔南·期末）如图1，教材有这样一个探究：把两个面积为的小正方形沿着对角线剪开，将所得的四个直角三角形拼在一起，就得到一个面积为的大正方形，所得的面积为的大正方形的边就是原先面积为的小正方形的对角线，因此，可得小正方形的对角线长度为．某同学受到启发，把长为3、宽为2的两个长方形沿着对角线剪开，将所得的4个直角三角形拼成如图2所示的一个正方形，请你仿照上面的探究方法，比较 ．（填“”或“”或“”）
16．（3分）（24-25七年级·浙江温州·期中）已知整数满足且，则的值为 ．
第Ⅱ卷
三．解答题（共8小题，满分72分）
17．（6分）（24-25七年级·湖南益阳·期末）小明制作了一张面积为的正方形贺卡．现有一个长方形信封如图所示，该信封的长、宽之比为，面积为．
(1)求长方形信封的长和宽．
(2)小明能将贺卡不折叠就放入此信封吗？请通过计算给出判断．
18．（6分）（24-25七年级·安徽·阶段练习）找规律：观察算式
13＝1
13+23＝9
13+23+33＝36
13+23+33+43＝100
…
（1）按规律填空）
13+23+33+43+…+103＝　 ；
13+23+33+43+…+n3＝　 ．
（2）由上面的规律计算：113+123+133+143+…+503（要求：写出计算过程）
（3）思维拓展：计算：23+43+63+…+983+1003（要求：写出计算过程）
19．（8分）（24-25七年级·广东汕头·期末）阅读下列材料：解答“已知x－y＝2，且x>1，y<0，试确定x＋y的取值范围”有如下解法：
解：∵x－y＝2，∴x＝y＋2 又∵x>1，∴y＋2>1，∴y>－1．
又∵y<0，∴－1同理可得1由①＋②得：－1＋1∴x＋y的取值范围是0按照上述方法，完成下列问题：
(1)已知x－y＝3，且x>2，y<1，则x＋y的取值范围是______；
(2)已知关于x，y的方程组的解都是正数，求a的取值范围；
(3)在（2）的条件下，若a－b＝4，b<2，求2a＋3b的取值范围．
20．（8分）（24-25七年级·安徽安庆·周测）新定义：若无理数（T为正整数）的被开方数满足（n为正整数），则称无理数的“青一区间”为，同理规定无理数的“青一区间”为．例如：因为，所以的“青一区间”为的“青一区间”为．
(1)的“青一区间”为_______，的“青一区间”为_______；
(2)实数满足关系式，求的“青一区间”．
21．（10分）（24-25七年级·江苏宿迁·期末）【项目式学习】
项目主题：数学智慧拼图
项目背景：为了缓解同学们的学习压力，提高思维能力，增强学习兴趣，并促进同学们的全面发展．王老师将数学学习小组分成三组，每组领取一些矩形卡片，开展“数学智慧拼图”为主题的项目式学习．
任务一：观察建模
如图1，第一小组领了8个大小、形状完全相同的小矩形，拼成一个大矩形，每个小矩形的长和宽分别分别为x、y（），小组同学测得拼成的大矩形长为30，宽为16，可得方程组 ，则： ， ；
任务二：推理分析
第二小组也领了8个大小、形状完全相同的小矩形，把它们按图2方式放置在一个大矩形中，求图2中阴影部分的面积；
任务三：设计方案
第三小组领了A、B、C三种类型的矩形卡片，它们的长为18，宽分别为a、b、c，其中且a、b、c均为正整数，分别取A、B、C卡片2、3、4张， 把它们按图3方式放置在一个边长为36的正方形中，则阴影部分的面积为144；若分别取A、B、C卡片3、2、5张，能否把它们放置在边长为36的正方形中（不能有重叠），如果能，请你在图4中画出放置好的示意图，并标注a、b、c的值，如果不能，请说明为什么．
22．（10分）（24-25七年级·北京西城·期末）阅读材料：
如果整数，满足，，其中，，，都是整数，那么一定存在整数，，使得．例如，，，或，……
根据上述材料，解决下列问题：
(1)已知，，或，……若，则 ；
(2)已知，（，为整数），．若，求（用含，的式子表示）；
(3)一般地，上述材料中的，可以用含，，，的式子表示，请直接写出一组满足条件的，（用含，，，的式子表示）．
23．（12分）（24-25七年级·北京·期末）新定义：若一元一次方程的解在一元一次不等式组解集范围内，则称该一元一次方程为该不等式组的“相依方程”，例如：方程的解为，而不等式组的解集为，不难发现在的范围内，所以方程是不等式组的“相依方程”．
(1)在方程①：②；③中，不等式组的“相依方程”是______；（填序号）
(2)若关于x的方程是不等式组的“相依方程”，求k的取值范围；
(3)若关于x的方程是关于x的不等式组的“相依方程”，且此时不等式组有5个整数解，试求m的取值范围．
24．（12分）（24-25七年级·山东淄博·期中）【阅读材料】：将四项及四项以上的多项式进行因式分解，我们一般使用分组分解法，对于四项多项式的分组分解法有两种分法：一是“”分组，二是“”分组．两种分组的主要区别在于多项式中是否存在三项可以构成完全平方，若可以构成完全平方，则采用“”分组；若无法构成，则采用“”分组．
例如：
像这种将一个多项式适当分组后，再分解因式的方法叫做分组分解法．
【学以致用】：因式分解（1）；
（2）．
【拓展延伸】：对于四项以上的多项式，我们可以据其特征适当地将某一项拆成两项，再进行分组，进而因式分解来解决问题，请你利用这样的思路试一试．
（1）已知为等腰的三边长，且满足，求等腰的面积；
（2）如图，长方形，已知，其中，且，求长方形的边的长度．（，用含的式子表示）

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