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期中易错题压轴题专项复习【24大题型】
（考试范围：第6~8章）
【沪科版2024】
【易错篇】 2
【考点1 平方根、立方根】 2
【考点2 无理数】 3
【考点3 实数与数轴】 6
【考点4 实数的运算】 8
【考点5 一元一次不等式】 10
【考点6 一元一次不等式组】 13
【考点7 幂的运算】 15
【考点8 单项式乘单项式】 16
【考点9 单项式乘多项式】 18
【考点10 多项式乘多项式】 21
【考点11 完全平方公式】 24
【考点12 平方差公式】 26
【考点13 因式分解】 28
【压轴篇】 30
【考点14 无理数的整数与小数部分的计算】 30
【考点15 不等式(组)的整数解问题】 33
【考点16 不等式组的有解或无解问题】 36
【考点17 利用不等式的基本性质求最值】 38
【考点18 方程与不等式（组）的实际应用】 41
【考点19 幂的运算的逆用】 47
【考点20 多项式乘积不含某项求字母的值】 50
【考点21 多项式乘多项式与图形面积】 53
【考点22 整式乘法中的规律性问题】 61
【考点23 整式乘法中的恒成立问题】 65
【考点24 因式分解的应用】 68
【易错篇】
【考点1 平方根、立方根】
【例1】（24-25七年级上·黑龙江哈尔滨·期末）下列说法中正确的是（ ）
A．有平方根 B．没有立方根
C．0.09的平方根是 D．的算术平方根是4
【答案】A
【分析】本题考查了立方根、平方根及算术平方根的知识，注意一个正数的平方根有两个，算术平方根只有一个，且为正数．根据立方根及平方根、算术平方根的定义，结合各选项进行判断即可．
【详解】解：、，有平方根，故选项正确；
、的立方根为，故选项错误；
、的平方根是，故选项错误；
、，的算术平方根是，故选项错误；
故选：．
【变式1-1】= ．
【答案】1
【分析】根据算术平方根和立方根的定义进行计算．
【详解】解：
故答案为1．
【点睛】本题考查算术平方根和立方根，正确掌握算术平方根和立方根的意义是解题关键．
【变式1-2】（24-25八年级上·江苏扬州·期末）解方程：
(1)；
(2)．
【答案】(1)或
(2)
【分析】本题考查了平方根，立方根，熟练掌握这两个定义是解题的关键．
（1）根据平方根的定义解方程即可；
（2）根据立方根的定义解方程即可．
【详解】（1）解：，
∴，
∴，
∴或；
（2）解：，
∴，
∴，
∴．
【变式1-3】（24-25八年级上·湖北十堰·期末）已知的平方根是，的立方根是2，求的值．
【答案】
【分析】本题主要考查了平方根、立方根、代数式求值等知识点，掌握平方根和立方根的定义是解题的关键．
根据平方根的定义求出x的值，根据立方根的定义求出y的值，再根据有理数的乘方法则、加法法则计算即可．
【详解】解：∵的平方根是，
，
，
∵的立方根是2，
，
，
．
【考点2 无理数】
【例2】（24-25七年级·安徽安庆·期中）满足的整数是 ．
【答案】、、、
【分析】本题考查估算无理数的大小，理解算术平方根、立方根的意义是解题关键．根据算术平方根、立方根的意义估算，的整数部分，进而得出答案．
【详解】解：∵，，且，
∴，
∴，
∵，，且，
∴，
∴满足的整数有、、、．
故答案为：、、、．
【变式2-1】（24-25七年级·山东泰安·期末）在实数（每两个1之间的3依次多1）中，其中无理数的个数是（ ）
A．2 B．3 C．4 D．5
【答案】B
【分析】此题主要考查了立方根和无理数的定义，熟知无理数的常见形式是解题的关键．首先计算，然后根据无理数是无限不循环小数判断即可．
【详解】解：，
根据无理数的定义可知：，，（每两个1之间的3依次多1）是无理数，
无理数的个数是个．
故选：B．
【变式2-2】（24-25七年级·甘肃天水·期末）因为，可以肯定，也就是在与之间．依据这一方法，对，可以肯定，也就是在与之间，可以得到的近似值．那么的估算结果中正确的是（　　）
A． B．
C． D．
【答案】B
【分析】本题考查了估算无理数的大小，能估算出的范围是解答本题的关键．
利用估算无理数大小的方法即可求得答案．
【详解】解：，
，
故选：B．
【变式2-3】（24-25七年级·辽宁本溪·期末）解答题，在学习第二章第4节《估算》后，某数学爱好小组探究的近似值的过程如下：
面积为110的正方形的边长是
设，其中，
画出示意图，如图所示．根据示意图，可得图中正方形的面积为
，
又，
，
当时，可忽略，得，解得，
．
(1)求的整数部分；
(2)仿照该数学爱好小组的探究过程，求的近似值（结果保留1位小数）．（要求：画出示意图，标注数据，并写出求解过程）
【答案】(1)3
(2)
【分析】本题主要考查了估计无理数的大小，理解示例并合理解答是解题关键．
（1）判断出即可解答；
（2）仿造示例画出图形，可得，据此即可解答．
【详解】（1）解：，
，
的整数部分为3．
（2）解：根据题意画出示意图，标注数据如下：
面积为13.8的正方形的边长是，且，
设，其中，
根据示意图，可得图中正方形的面积，
又，
，
当时，可忽略，得，解得，
．
【考点3 实数与数轴】
【例3】（24-25七年级·浙江杭州·期中）实数a在数轴上对应点A的位置如图所示，若．则：

（1）b的值是 ．
（2）的平方根是 ．
【答案】
【分析】本题主要考查了实数与数轴、平方根及实数的性质，熟知数轴上的点所表示数的特征及平方根的定义是解题的关键．
（1）根据数轴上点A的位置，得出数a的取值范围，再结合绝对值的性质即可解决问题．
（2）根据（1）中求出的b的值，结合平方根的定义即可解决问题．
【详解】解：（1）由所给数轴可知，，
所以，，
则．
（2）由（1）知，
，
所以的平方根是．
故答案为：（1）；（2）．
【变式3-1】（24-25七年级·山西长治·期中）数学课上，为了让同学们更加直观地理解无理数可以在数轴上表示，张老师作了如图所示的演示，把直径为个单位长度的圆沿数轴从原点无滑动地顺时针滚动一周，到达点，此时点表示的数是 ．
【答案】
【分析】本题考查用数轴上的点表示实数，数轴上两点间的距离，根据题意，直径为单位的圆从数轴上的原点沿着数轴无滑动地顺时针滚动一周到达点，则的长为圆的周长，求圆的周长即可．明确长度的实际意义是解题的关键．
【详解】解：如图，
∵直径为单位的圆从数轴上的原点沿着数轴无滑动地顺时针滚动一周到达点，
∴，
∴点表示的数是．
故答案为：．
【变式3-2】（24-25七年级·浙江杭州·期中）数轴上点A表示的数是，点B，C分别位于点A的两侧，且到点A的距离相等．若点B表示的数是，则点C表示的数是 ．
【答案】/
【分析】本题考查了实数与数轴，熟练掌握数轴的性质是解题关键．先画出图形，再求出的长，然后根据数轴的性质求解即可得．
【详解】解：由题意，画出数轴如下：
∵数轴上点表示的数是，点表示的数是，
∴，
∵点分别位于点的两侧，且到点的距离相等,
∴，
∴点表示的数是，
故答案为：．
【变式3-3】（24-25七年级·广东江门·期中）实数a、b在数轴上的位置如图所示．
化简 ．
【答案】
【分析】本题考查了利用绝对值和二次根式的性质进行化简，掌握性质是解题的关键．由数轴可得，，根据进行化简即可．
【详解】解：由数轴知：，
∴，
∴
，
故答案为：．
【考点4 实数的运算】
【例4】（24-25七年级·河北邯郸·期中）任意给出一个非零实数m，按如图所示的程序进行计算．
(1)当m=1时，输出的结果为________．
(2)当实数m的一个平方根是﹣时，求输出的结果．
【答案】(1)0
(2)-2
【分析】（1）将m=1代入流程图，逐步计算即可；
（2）根据题意求出m的值，代入流程图计算即可求出值．
【详解】（1）解：当m=1时，
；
（2）根据题意得：m==3，
∴．
【点睛】此题考查了实数的运算，以及平方根，熟练掌握运算法则是解本题的关键．
【变式4-1】（24-25七年级·重庆云阳·期末）计算： ．
【答案】/
【分析】本题考查实数的运算，根据乘方和绝对值运算法则进行计算即可．
【详解】解：
．
故答案为：
【变式4-2】（24-25七年级·湖北十堰·期末）计算：
(1)
(2)
【答案】(1)
(2)
【分析】本题主要考查了实数的混合运算、乘方、立方根、算术平方根等知识点，灵活运用相关运算法则成为解题的关键．
（1）先根据算术平方根、乘方、立方根化简，然后再计算即可；
（2）先根据乘方、绝对值化简，然后再计算即可．
【详解】（1）解：
．
（2）解：
．
【变式4-3】（24-25七年级·山东烟台·期末）（1）若，，请求出的值；
（2）是的立方根和的算术平方根的和，是比大且最相邻的整数，请求出的立方根
【答案】（1）4或；（2）
【分析】本题考查平方根和立方根，理解平方根和立方根定义是解答的关键．
（1）先根据平方根和立方根定义求得或，，再代值求解即可；
（2）先求得，再根据无理数的估算方法求解，然后代值求解，进而利用立方根定义求解即可．
【详解】解：（1）∵，，
∴或，，
当时，，
当时，，
∴的值为：4或；
（2）∵是的立方根和的算术平方根的和，
∴，
∵，又是比大且最相邻的整数，
∴，
∴，
∴的立方根是．
【考点5 一元一次不等式】
【例5】关于的不等式的解集都是不等式的解，则的取值范围是 ．
【答案】
【分析】此题考查了解一元一次不等式．先求出每个不等式的解集，再根据两个不等式解集的关系得到，即可求出的取值范围．
【详解】解：
去分母得，，
移项合并同类项得，，
系数化为1得，．
，
去分母得，，
去括号得，，
移项合并同类项得，，
解得．
由题意可知，
解得．
故答案为：
【变式5-1】若是关于x的一元一次不等式，则该不等式的解集是（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【分析】本题主要考查了一元一次不等式的定义及解一元一次不等式，先根据一元一次不定式的定义求出k的值，再代入解不等式即可．
【详解】解：∵是关于x的一元一次不等式，
∴且，
解得，
∴原不等式为，
解得．
故选：D．
【变式5-2】已知关于x的方程的解为负数，则m的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】本题主要考查了一元一次方程的解和求不等式的解集．先解方程可得，再建立不等式求解即可．
【详解】解：∵，
∴，
∴，
解得：．
关于的方程的解是负数，
，
解得．
故选：B．
【变式5-3】（24-25八年级·山东聊城·期中）若关于x的一元一次不等式的解集中每一个x的值都能使不等式成立，则的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】本题考查了解一元一次不等式，熟练掌握不等式的解法是解题关键．先求出两个不等式的解集分别为和，再根据题意可得，解不等式即可得．
【详解】解：，
，
，
；
，
，
，
，
；
∵关于的一元一次不等式的解集中每一个的值都能使不等式成立，
∴，
解得，
故选：B．
【考点6 一元一次不等式组】
【例6】（24-25八年级·四川眉山·期末）若不等式组的解集为，则的值为（ ）
A．－1 B．0 C．1 D．2
【答案】A
【分析】本题考查了解一元一次不等式组，按照解一元一次不等式组的步骤，进行计算可得，从而可得，，然后求出m，n的值，再代入式子中，进行计算即可解答．
【详解】解：，
解不等式①得：，
解不等式②得：，
∴原不等式组的解集为：，
∵不等式组的解集为，
∴，
∴，
∴
，
故选：A．
【变式6-1】（24-25八年级·广西贵港·期末）对一个实数按如图所示的程序进行操作，计算机运行从“输入一个实数”到“判断结果是否大于190？”为一次操作，如果操作恰好进行两次操作才停止，那么的取值范围是（）
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】本题考查了程序流程图，一元一次不等式组的应用，根据程序运行一次的结果小于等于，运行两次的结果大于，可得出关于的一元一次不等式组，求解即可，正确列出一元一次不等式组是解题的关键．
【详解】解：根据题意可得，
，
解得：，
故选：B．
【变式6-2】（24-25八年级·山东聊城·期中）若关于x的一元一次不等式组的解集是，则m的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【分析】本题考查了解一元一次不等式组，正确求出每一个不等式解集是基础，根据“同大取大、同小取小、大小小大中间找、大大小小找不到”，据此即可确定m的取值范围．
【详解】解：解不等式，得，
不等式组的解集为，
，
故选：A．
【变式6-3】（24-25八年级·浙江绍兴·期末）关于x的不等式组的解集中每一个值均不在的范围中，则a的取值范围是（ ）
A．或 B．或
C．或 D．或
【答案】B
【分析】本题考查了不等式的解集，先求出不等式的解集，然后根据不等式组的解集中每一个值均不在的范围中，得出或，然后关于a的不等式即可．
【详解】解：解不等式，得，
解不等式，得，
∴不等式组的解集为，
∵不等式组的解集中每一个值均不在的范围中，
∴或，
解得或，
故选：B．
【考点7 幂的运算】
【例7】（24-25七年级·四川资阳·期末）计算的值等于（ ）
A．4 B． C．5 D．
【答案】A
【分析】本题主要考查积的乘方，同底数幂相乘，解答的关键是掌握积的乘方，同底数幂相乘法则的逆用．
先逆用同底数幂相乘将化成，再逆用积的乘方法则计算，即可求解．
【详解】解：
．
故选：A．
【变式7-1】（24-25七年级·吉林白城·阶段练习）下列计算正确的是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】D
【分析】本题考查了同底数幂的乘除法运算，积的乘方，熟悉掌握运算法则是解题的关键．
根据运算法则逐一运算判断即可．
【详解】解：A：，故A错误；
B：，故B错误；
C：，故C错误；
D：，故D正确；
故选：D．
【变式7-2】（24-25七年级·四川成都·期末）已知，则的值为 ．
【答案】3
【分析】本题考查了代数式求值，同底数幂乘除法，幂的乘方的逆运算，掌握相关运算法则是解题关键．由题意可得，再将变形为，即可计算求值．
【详解】解：，
，
，
故答案为：3．
【变式7-3】（24-25七年级·重庆渝北·期末）若，，为整数，则 ．
【答案】
【分析】本题考查了同底数幂除法的逆运算，积的乘方的逆运算，由同底数幂除法的逆运算可得，进而利用积的乘方的逆运算计算即可求解，掌握以上知识点是解题的关键．
【详解】解：，
故答案为：．
【考点8 单项式乘单项式】
【例8】（24-25七年级·四川遂宁·期末）设，则的值为（ ）
A． B． C．1 D．
【答案】A
【分析】本题主要考查了单项式乘单项式、一元一次方程的应用等知识点，熟练掌握同底数幂的乘法法则是解题关键．
先根据单项式乘单项式法则列出关于m、n的方程，进而求得m、n的值，最后代入计算即可．
【详解】解：∵，
，解得：，
∴．
故选：A．
【变式8-1】（24-25七年级·四川成都·期末）先化简，再求值：，其中，．
【答案】，-16．
【分析】先化简，再把a=2，b=1代入求解即可．
【详解】解：原式．
当，时，原式．
【点睛】本题考查了整式的化简求值，解题的关键是正确的化简．
【变式8-2】（24-25七年级·山东聊城·期末）若，则的值为 .
【答案】2
【分析】先把左边根据单项式的乘法法则化简，再与右边比较，求出m、n的值，然后代入计算即可.
【详解】∵，
∴，
∴，
解之得
，
∴=1+1=2.
【点睛】本题考查了单项式的乘法，以及二元一次方程组的解法，根据题意列出关于m、n的二元一次方程组是解答本题的关键.
【变式8-3】（24-25七年级·浙江金华·期中）如图，在正方形内，将2张①号长方形纸片和3张②号长方形纸片按图1和图2两种方式放置（放置的纸片间没有重叠部分），正方形中未被覆盖的部分（阴影部分）的周长相等．

（1）若①号长方形纸片的宽为2厘米，则②号长方形纸片的宽为 厘米；
（2）若①号长方形纸片的面积为40平方厘米，则②号长方形纸片的面积是 平方厘米．
【答案】 4
【分析】（1）根据正方形中未被覆盖的部分（阴影部分）的周长相等可得②号长方形纸片的宽为①号长方形纸片的宽的2倍，进而计算即可；
（2）观察图形，②号长方形纸片的宽为①号长方形纸片的宽的2倍，②号长方形纸片的长的3倍是①号长方形纸片的长，进而计算即可．
【详解】解：（1）由图知，②号长方形纸片的宽为（厘米），
故答案为：4；
（2）设①长方形纸片的长为a，宽为b，则，
由图知，②长方形纸片的长为，宽为，
∴②号长方形纸片的面积是（平方厘米），
故答案为：．
【点睛】本题考查整式的乘法运算的应用，利用图形，正确列出式子是解答的关键．
【考点9 单项式乘多项式】
【例9】（24-25七年级·四川成都·期末）如图，将7张图1所示的小长方形纸片按图2的方式不重叠地放在矩形ABCD内，未被覆盖的部分用阴影表示．如果当BC的长变化时，左上角与右下角的阴影部分的面积的差保持不变，那么b：a的值为 ．
【答案】1：3
【分析】根据题意和图形，设BC的长为x，则可以表示出左上角与右下角的阴影部分的面积的差，然后再根据左上角与右下角的阴影部分的面积的差保持不变，即可得到b：a的值．
【详解】设BC的长为x，
左上角与右下角的阴影部分的面积的差为：
（x﹣a） 3b﹣（x﹣4b） a
＝3bx﹣3ab﹣ax+4ab
＝（3b﹣a）x+ab，
∵左上角与右下角的阴影部分的面积的差保持不变，
∴3b﹣a＝0，
解得a=3b，
∴b：a=1：3
故答案为：1：3．
【点睛】本题考查整式的加减，关键是表示出两个阴影部分的面积，并能正确进行整式的加减运算．
【变式9-1】（24-25七年级·广东深圳·期中）若恒成立，则 ．
【答案】0
【分析】将等式左边按照单项式乘以多项式，再合并同类项，整理后形式和等式右边一致，即可求出a ，b 的值，代入求值即可求出答案．
【详解】解：根据题意可得：
∵等式左边，
∴，
∴，
解得：，
∴．
故答案为：0
【点睛】本题主要考查的是整式的运算，掌握单项式与多项式的乘法运算，合并同类项即可求出结果，也是解题的关键．
【变式9-2】（24-25七年级·湖南邵阳·期末）数学课上，老师讲了单项式与多项式相乘：先用单项式乘多项式中的每一项，再把所得的积相加，小丽在练习时，发现了这样一道题：“（3x﹣■+1）＝”那么“■”中的一项是 ．
【答案】
【分析】利用多项式除以单项式法则计算即可得出“■”中的项，然后利用单项式乘多项式的法则进行计算验证即可．
【详解】解：∵
即 ，
∴“■”中的一项是2y．
故答案为：2y．
【点睛】此题考查了单项式乘多项式和多项式除以单项式，熟练掌握运算法则是解本题的关键．单项式与多项式相乘，就是用单项式去乘多项式的每一项，再把所得的积相加．
【变式9-3】（24-25七年级·湖南常德·期末）如图，某校园的学子餐厅密码做成了数学题，小亮在餐厅就餐时，思索了会，输入密码，顺利的连接到了学子餐厅的网络．若他输入的密码是2842■，最后两被隐藏了，那么被隐藏的两位数是 ．
【答案】70
【分析】本题考查了数字类规律探索、单项式乘多项式的应用，正确发现一般规律是解题关键．先根据已知等式找出规律，再设等式左边三个数分别为，则，，据此求出的值即可得．
【详解】解：由第1个等式可知，，，，
由第2个等式可知，，，，
由第3个等式可知，，，，
由第4个等式可知，，，，
设等式左边三个数分别为，
则，，
所以被隐藏的两位数是，
故答案为：70．
【考点10 多项式乘多项式】
【例10】（24-25七年级·山西临汾·期末）有如图所示的正方形和长方形卡片若干张，若要拼成一个长为、宽为的长方形，需要B类卡片（　　）
A．2张 B．3张 C．4张 D．5张
【答案】D
【分析】本题考查了多项式乘多项式的应用、单项式除以单项式的应用，熟练掌握多项式乘多项式的运算法则是解题关键．根据多项式乘多项式法则求出拼成的长方形的面积，从而可得所用的类卡片的总面积，由此即可得．
【详解】解：由题意得：拼成的长方形的面积为：
，
∵1张类卡片的面积为，
∴需要类卡片的张数为（张），
故选：D．
【变式10-1】（24-25七年级·河南省直辖县级单位·期末）有一块长为米（为正数），宽为米的长方形土地，若把这块地的长增加米，宽减少米，则与原来相比，这块土地的面积（ ）
A．没有变化 B．变大了 C．变小了 D．无法确定
【答案】C
【分析】本题考查了整式乘法和加减的运用，由题意得，新长方形的长为米，宽为米，分别求出新长方形和原长方形的面积，再用作差法比较即可求解，掌握整式的运算法则是解题的关键．
【详解】解：由题意得，新长方形的长为米，宽为米，
∴新长方形的面积为平方米，
原长方形的面积为，
∵，
∴与原来相比，这块土地的面积变小了，
故选：．
【变式10-2】（24-25七年级·四川成都·期末）先化简，再求值：，且单项式与是同类项．
【答案】，
【分析】本题考查了整式的乘法，求代数式的值，同类项的定义；先按照整式乘法法则展开，再合并同类项，得，结合单项式与是同类项，得出，即，代入进行计算，即可作答．
【详解】解：
；
∵与是同类项，
∴，
即，
∴．
【变式10-3】（24-25七年级·福建福州·期末）发现规律：
我们发现，．这个规律可以利用多项式的乘法法则推导得出： ．
运用规律
(1)如果，那么的值是_______，的值是_________；
(2)如果．
①求的值；
②求的值．
【答案】(1)，
(2)①；②
【分析】（）根据多项式的乘法法则计算即可求解；
（）①由多项式的乘法法则可得，，再把值代入展开后的结果中计算即可求解；②先通分，再利用积的乘法的逆运算及完全平方公式的变形运算转化，最后把①所得值代入计算即可求解；
本题考查了分式的求值，整式的运算，掌握分式和整式的运算法则是解题的关键．
【详解】（1）解：∵，
∴，，
故答案为：，；
（2）解：①∵，
∴，，
∴
；
②
．
【考点11 完全平方公式】
【例11】（24-25七年级·甘肃兰州·期中）已知， 则的值是（　　）
A．4 B． C．8 D．
【答案】D
【分析】本题考查了完全平方公式的应用，偶次方的非负性等，熟练掌握完全平方公式是解题的关键．先将变形化为，即可得到，求出即可求解．
【详解】解：∵，
∴
，
∵，
∴，
解得：，
∴，
故选：D．
【变式11-1】（24-25七年级·上海闵行·期中）如果关于的整式是某个整式的平方，那么的值是 ．
【答案】或
【分析】本题考查完全平方式，根据是某个整式的平方，得到，进行求解即可．
【详解】解：∵是某个整式的平方，
∴，
∴，
∴或；
故答案为：或．
【变式11-2】（24-25七年级·福建漳州·期中）若x，y是自然数，且满足，则 ．
【答案】2或4
【分析】本题考查了完全平方公式，代数式求值，熟练掌握完全平方公式是解答本题的关键．先根据完全平方公式变形，再结合x， y是自然数讨论即可．
【详解】解：∵，
∴，
∴，
∴，
∵x， y是自然数，
∴ 或 ．
∴，，或，，
，，或，，．
当，，时，
解得：，，
，
当，，时，
解得：，，
，
当，，时，
解得：，，
，
当，，时，
解得：，，
，
故答案为：2或4．
【变式11-3】（24-25七年级·湖南娄底·期中）已知，则的值是（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】本题考查完全平方公式的应用，熟练掌握完全平方公式是解题的关键，根据题意巧妙构造，再利用完全平方公式展开，合并同类项后即可得到答案．
【详解】解：已知，
则，
那么，
整理得：，
则，
故选：B．
【考点12 平方差公式】
【例12】（24-25七年级·河南新乡·期中）某同学在计算时，把3写成后，发现可以连续运用两数和乘以这两数差公式计算：，请借鉴该同学的经验，计算： ．
【答案】2
【分析】本题考查平方差公式，将原式乘以之后，连续使用平方差公式进而得出答案．
【详解】解：
，
故答案为：2．
【变式12-1】（24-25七年级·甘肃兰州·期中）下列各式中能用平方差公式计算的是（　　）
A． B．
C． D．
【答案】B
【分析】本题考查了平方差公式的运用，根据整式乘法及平方差公式逐项判断即可求解，掌握平方差公式的结构特点是解题的关键．
【详解】解：、，不能用平方差公式计算，该选项不合题意；
、，能用平方差公式计算，该选项符合题意；
、，不能用平方差公式计算，该选项不合题意；
、，不能用平方差公式计算，该选项不合题意；
故选：．
【变式12-2】（24-25七年级·福建泉州·期中）为了美化校园，学校把一个边长为的正方形跳远沙池的一组对边各增加，另一组对边各减少，改造成长方形的跳远沙池．如果这样，你觉得沙池的面积会（　　）
A．变小 B．变大 C．没有变化 D．无法确定
【答案】A
【分析】本题考查平方差公式的几何背景，用代数式表示变化前后的面积是正确解答的前提．
用代数式表示变化前后的面积，比较得出答案．
【详解】解：由题意得正方形跳远沙池的面积为，长方形跳远沙池的面积为，
因为，
所以沙池的面积会变小．
故选：A．
【变式12-3】（24-25七年级·山西临汾·期中）霍州鼓楼位于山西霍州市城内中心，明万历十一年（1583年）建，又称文昌阁．其结构外表是明二假三层，它的间架结构复杂新颖、巧妙结合，采用了我国古建筑中的一种凹凸结合的连接方式——榫卯（sǔn mǎo）结构，精密谨严天衣无缝，行家里手惊佩它是工艺精湛超群绝伦．如图①是一个榫卯结构的零部件，图②是其截面图，整体是一个长为，宽为的长方形，中间凿掉一个边长为的正方形，且该零件的高为．求这个零部件体积．

【答案】
【分析】本题考查了整式混合运算和平方差公式的应用，熟练掌握运算法则是解题的关键；
根据零部件体积（长方形的面积和小正方形的面积）零件的高，列式，然后运用整式混合运算法则和平方差公式即可解答．
【详解】由题意得，这个零部件的体积是
．
答：这个零件体积为．
【考点13 因式分解】
【例13】（24-25八年级上·河南南阳·期末）把下列多项式分解因式
(1)；
(2)；
(3)；
(4)．
【答案】(1)
(2)
(3)
(4)
【分析】本题考查了提公因式法和公式法分解因式，熟练掌握运算法则是解题的关键．
（1）用提取公因式法直接求解即可；
（2）先提取公因式，再利用平方差公式即可得到结果；
（3）先提取公因式，再利用完全平方公式即可得到结果；
（4）用两次提取公因式法直接求解即可．
【详解】（1）解：．
（2）解：
．
（3）解：．
（4）解：．
【变式13-1】（24-25八年级上·福建泉州·期末）若，则的值为_____．
【答案】
【分析】本题考查了公式法分解因式的应用，熟练掌握公式法分解因式是解决问题的关键．
先得到，然后代入合并，然后再提取公因式即可得解．
【详解】解：，
，
，
，
，
，
，
，
．
故答案为：．
【变式13-2】（24-25八年级上·河南开封·期末）下列因式分解正确的是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】B
【分析】 本题主要考查了提取公因式法以及公式法分解因式，正确应用公式是解题关键．直接利用提取公因式法以及公式法分解因式，进而分析即可得解．
【详解】解：A、，故此选项错误，不符合题意；
B、，正确，符合题意；
C、，不是因式分解，故此选项错误，不符合题意；
D、，无法分解因式，故此选项错误，不符合题意；
故选：B．
【变式13-3】（24-25八年级上·湖北荆州·期末）计算的值为 ．
【答案】
【分析】本题考查了平方差公式进行计算，掌握平方差公式是解题的关键．
根据平方差公式因式分解即可求解．
【详解】解：原式
．
故答案为：．
【压轴篇】
【考点14 无理数的整数与小数部分的计算】
【例14】（24-25七年级·浙江宁波·期中）的整数部分为，小数部分为，则 ．
【答案】
【分析】先确定，由此得到，求得，，再代入计算即可.
【详解】∵，
∴，
∴，
∴，
∴的整数部分为13，
小数部分为，
∴，，
.
故答案为：.
【点睛】此题考查实数的大小比较，已知字母的值求代数式的值，实数的混合运算，确定是解此题的关键.
【变式14-1】（24-25七年级·江苏苏州·阶段练习）如图，把两个面积为的小正方形沿对角线剪开，拼成一个面积为的大正方形，所得到的面积为的大正方形的边长就是原先面积为的小正方形的对角线长，因此，可得小正方形的对角线长为．
(1)某同学把长为，宽为的两个长方形沿对角线剪开裁剪，拼成如图所示的一个大正方形仿照上面的探究方法求空白部分正方形的面积及其边长的值；
(2)若为（1）中的整数部分，求的平方根．
【答案】(1)，
(2)
【分析】（1）空白部分面积大正方形面积个直角三角形的面积；
（2）通过估算得出的整数部分是2，即求得，再根据平方根的定义求解．
【详解】（1）解：空白部分面积，
空白部分正方形的边长；
（2）解：∵
∴的整数部分是2，
∴，
c的平方根为．
【点睛】本题考查图形的拼剪，平方根，估算无理数的大小，正方形的性质，解题的关键是理解题意，灵活运用所学知识解决问题．
【变式14-2】（24-25七年级·甘肃兰州·期中）大家知道是无理数，而无理数是无限不循环小数，因此的小数部分我们不能全部地写出来，于是小平用来表示的小数部分，你同意小平的表示方法吗？事实上小平的表示方法是有道理的，因为的整数部分是1，用这个数减去其整数部分，差就是小数部分．请解答：若的整数部分为a，小数部分为b．
(1)求a，b的值；
(2)求的值．
【答案】(1)，；
(2)6
【分析】本题考查了估算无理数的大小，实数的运算，掌握夹逼法估算无理数的大小是解题的关键．
（1）先估算的范围，即可得出a，b的值；
（2）把a，b的值代入，再根据实数的运算法则计算即可．
【详解】（1）解：，
的整数部分为3，小数部分为；
（2）解：由(1)得，
，
，
，
．
【变式14-3】（24-25七年级·浙江杭州·期中）以下是小明与老师之间的对话：
小明：张老师，我们知道是无理数，无理数就是无限不循环小数，那该如何表示出它的小数部分呢？
老师：小明，因为的整数部分是2，所以将这个数减去其整数部分，差就是小数部分，即．
根据上述对话内容，解答下面的问题：
已知，其中是整数，且．
(1)________；________；
(2)求的值．
【答案】(1)10；
(2)33
【分析】此题主要考查了二次根式的计算，估算无理数的大小，正确得出各无理数的整数部分和小数部分是解题的关键．
（1）根据得出，得出，再求得y，即可得答案；
（2）把，的值代入计算即可．
【详解】（1）解：∵，
∴，
∴的整数为，
∵，
∴，
故答案为：10；；
（2）解：原式，
，
．
【考点15 不等式(组)的整数解问题】
【例15】（22-23八年级·重庆北碚·期中）若关于x的不等式组最多有2个整数解，且关于y的一元一次方程的解为非正数，则符合条件的所有整数k的和为（ ）
A．13 B．18 C．21 D．26
【答案】B
【分析】分别求出不等式组的解集，一元一次方程的解，根据题意，求出符合条件的所有整数k，再将它们相加，即可得出结果．
【详解】解：由，可得：，
∵关于x的不等式组最多有2个整数解，
∴或无解，
∵不等式组的整数解最多时为：1，2，
∴，解得：；
解，得：，
∵方程的解为非正数，
∴，解得：，
综上：，
符合条件的的整数值为：，和为；
故选B．
【点睛】本题考查由不等式组的解集和方程的解的情况求参数的值．正确的求出不等式组的解集和方程的解，是解题的关键．
【变式15-1】已知关于x的不等式组的所有整数解的和为－5，则m的取值范围为 ．
【答案】或
【分析】首先确定不等式组的解集，先利用含m的式子表示，根据整数解的个数就可以确定有哪些整数解，根据解的情况可以得到关于m的不等式，从而求出m的范围．
【详解】解：∵不等式组有解，
∴不等式组的解集为－4＜x＜，
∵不等式组的所有整数解的和为－5，
∴不等式组的整数解为－3、－2或－3、－2、－1、0、1．
当不等式组的整数解为－3、－2时，有－2＜≤－1，m的取值范围为2≤m＜4；
当不等式组的整数解为－3、－2、－1、0、1时，有1＜≤2，m的取值范围为－4≤m＜－2．
故答案为：或
【点睛】此题考查了解一元一次不等式组和不等式组的整数解，正确解出不等式组的解集，并会根据整数解的情况确定m的取值范围是解决本题的关键．
【变式15-2】（20-21八年级·上海虹口·期中）已知关于的不等式组的整数解共有5个，且关于的不等式的解集为，则的取值范围 ．
【答案】
【分析】先求于的不等式组的解集，根据整数解的个数求的取值范围，然后根据关于的不等式的解集求的取值范围，最后作答即可．
【详解】解：，
解不等式①得，，
解不等式②得，，
∵不等式组有5个整数解，
∴，
解得，，
，
移项合并得，，
∵关于的不等式的解集为，
∴，
∴，
综上，，
∴的值为；
故答案为：．
【点睛】本题考查了一元一次不等式组的整数解，解一元一次不等式．解题的关键在于对知识的熟练掌握与灵活运用．
【变式15-3】（23-24八年级·北京·期中）（1）关于的不等式有 个整数解；
（2）若关于的不等式组（为常数，且为整数）恰有5个整数解，则的取值为 ；
（3）若关于的不等式（和为常数，且为整数）恰有6个整数解，则共有 组满足题意的和．
【答案】 4 2 4
【分析】本题考查了一元一次不等式，不等式组的整数解问题，解一元一次方程，正确理解题意，熟练掌握知识点是解题的关键．
（1）直接找出的范围内的整数即可；
（2）先求出不等式组的解集为，满足题意得，解方程即可；
（3）由题意得：，化简得到，由于和为常数，且为整数，分类讨论即可．
【详解】（1）解：在的范围内整数为，
∴有4个，
故答案为：4．
（2）解：
由①得：；
由②得：，
则不等式组的解集为：，
∵方程组恰有5个整数解，
∴，
解得：，
故答案为：2．
（3）解：由题意得：，
化简得：，
∵和为常数，且为整数，
∴只有或，
∴有，
∴有4组满足题意的和，
故答案为：4．
【考点16 不等式组的有解或无解问题】
【例16】（2021·湖北襄阳·一模）已知不等式组有解但没有整数解，则的取值范围为 ．
【答案】
【分析】先求得不等式组的解集，根据解集没有整数解，建立起新的不等式组，解之即可
【详解】∵，
∴解①得，x＜-a，解②得，x＞-1，
∴不等式组的解集为：-1＜x＜-a，
∵不等式组有解但没有整数解，
∴，
∴，
故答案为：．
【点睛】本题考查了一元一次不等式组的解法，能根据不等式组无整数解建立新不等式组并解之是解题的关键．
【变式16-1】若不等式组无解，则不等式组的解集是（ ）
A． B． C． D．无解
【答案】C
【分析】根据不等式组无解，得出a＞b，进一步得出3-a＜3-b，即可求出不等式组的解集．
【详解】解：∵不等式组无解，
∴a＞b，
∴-a＜-b，
∴3-a＜3-b，
∴不等式组的解集是．
故选：C
【点睛】本题考查了求不等式组的方法，可以借助口诀“同大取大，同小取小，大小小大中间找，大大小小无解了”求解集．解题的关键是根据已知得到a＞b，进而得出3-a＜3-b．
【变式16-2】关于的方程的解为非负数，且关于的不等式组有解，则符合条件的整数的值的和为 ．
【答案】5
【分析】先求出方程的解与不等式组的解集，再根据题目中的要求求出相应的的值即可解答本题．
【详解】解：解方程，得：，
由题意得，
解得：，
解不等式，得：，
解不等式，得：，
不等式组有解，
，
则，
符合条件的整数的值的和为，
故答案为5．
【点睛】本题考查一元一次方程的解、一元一次不等式组的整数解，解题的关键是明确题意，找出所求问题需要的条件．
【变式16-3】从－2，－1,0,1,2，3，5这七个数中，随机抽取一个数记为m，若数m使关于x的不等式组无解，且使关于x的一元一次方程（m－2）x＝3有整数解，那么这六个数所有满足条件的m的个数有（ ）
A．1 B．2 C．3 D．4
【答案】D
【分析】不等式组整理后，根据无解确定出的范围，进而得到的值，将的值代入检验，使一元一次方程的解为整数即可．
【详解】解：解：不等式组整理得：，
由不等式组无解，得到，
解得：，
即，0，1，2，3，5；
当m=-1时，一元一次方程（m－2）x＝3解为x=-1，符合题意；
当m=0时，一元一次方程（m－2）x＝3解为x=-1.5，不合题意；
当m=1时，一元一次方程（m－2）x＝3解为x=-3，符合题意；
当m=2时，一元一次方程（m－2）x＝3无解，不合题意；
当m=3时，一元一次方程（m－2）x＝3解为x=3，符合题意；
当m=5时，一元一次方程（m－2）x＝3解为x=1，符合题意．
故选：D
【点睛】本题考查根据不等式组的解集确定字母取值及一元一次方程解法，理解好求不等式组的解集的口诀“同大取大，同小取小，大小小大中间找，大大小小无解了”是解题关键．
【考点17 利用不等式的基本性质求最值】
【例17】（20-21八年级·江西景德镇·期中）已知非负数 x，y，z 满足..，设 ，则 W 的最大值与最小值的和为（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】首先设，求得，，，又由，，均为非负实数，即可求得的取值范围，则可求得的取值范围．
【详解】解：设，
则，，，
，，均为非负实数，
，
解得，
于是，
，
即．
的最大值是，最小值是，
的最大值与最小值的和为，
故选：C．
【点睛】此题考查了最值问题．解此题的关键是设：，根据已知求得的取值范围．此题难度适中，注意仔细分析求解．
【变式17-1】（23-24八年级·江苏南通·期末）已知非负数a，b，c满足条件，，设的最大值是m，最小值是n，则的值为 ．
【答案】26
【分析】根据已知的式子可得，，即有，再根据a、b、c为非负实数，可得，即可得，，问题随之得解．
【详解】联立，
把a看作常数，解得，，
∴，
∵，
∴，
解得，
∴，
∴，
∴当时，；当时，；
∴．
故答案为：26．
【点睛】本题主要考查了解二元一次方程组，解一元一次不等式组，熟练掌握解二元一次方程组方法，解一元一次不等式组方法，用一个字母的代数式表示另一个字母，非负实数性质，代数式产生的最值，是解答本题的关键．
【变式17-2】（20-21八年级·湖北黄石·期末）已知实数，，满足，且有最大值，则的值是 ．
【答案】8
【分析】把变形得，故可求出有最大值时，a，b的值，代入故可求解．
【详解】设=
∴a-2b=（m+n）a+(m-n)b
∴，解得
∴=
∵，
∴，
∴
∴有最大值1
此时，
解得a=1，b=0
∴=8
故答案为：8．
【点睛】此题主要考查不等式组的应用与求解，解二元一次方程组，解题的关键是根据题意把把变形得，从而求解．
【变式17-3】（23-24八年级·北京·期末）已知，，，，为正整数，且，若，则的最大值为 ．
【答案】
【分析】本题考查了不等式的性质．熟练掌握不等式的性质是解题的关键．
由题意知，，，，，则，可求，则的最大值为，同理可求，则的最大值为，的最大值为，然后求的最大值即可．
【详解】解：∵，，，，为正整数，且，
∴，，，，
∵，
∴，
解得，，
∴的最大值为，
∴，
∴，
解得，，
∴的最大值为，
同理，的最大值为，
∴的最大值为，
故答案为：．
【考点18 方程与不等式（组）的实际应用】
【例18】（22-23八年级·重庆九龙坡·阶段练习）某家具店经销A、B两种品牌的儿童床，已知A品牌儿童床的售价为4200元，利润率为，B品牌儿童床的成本价为4200元，而每张B品牌儿童床的售价在成本的基础上增长了．
(1)该店销售记录显示，四月份销售两种儿童床共20张，且销售A品牌儿童床的总利润与B品牌儿童床总利润相同，求该店四月份售出两种品牌的儿童床的数量；
(2)根据市场调研，该店五月份计划购进这两种儿童床共30张，要求购进B品牌儿童床张数不低于A品牌儿童床张数的，而用于购买这两种儿童床的资金不超过115000元，请通过计算设计所有可能的进货方案：
(3)在（2）的条件下，该店打算将五月份按计划购进的30张儿童床全部售出后，所获得利润的用于购买甲、乙两款教学仪器捐赠给某希望小学．已知购买甲款仪器每台300元，购买乙款仪器每台130元，且所捐的钱恰好用完，求该店捐赠甲，乙两款仪器的数量．
【答案】(1)该店四月份售出品牌儿童床为张，品牌儿童床为张
(2)该店五月份购进品牌儿童床为张，品牌儿童床为张；该店五月份购进品牌儿童床为张，品牌儿童床为张；
(3)该店捐甲、乙两款机器的数量分别为3台、13台．
【分析】（1）设该店四月份售出品牌儿童床为张，品牌儿童床为张，根据四月份销售两种儿童床共20张和销售A品牌儿童床的总利润与B品牌儿童床总利润相同，可得二元一次方程组，解方程即可；
（2）设该店四月份售出品牌儿童床为张，则品牌儿童床为张，根据购进B品牌儿童床张数不低于A品牌儿童床张数的和两种儿童床的资金不超过115000元，可列一元一次不等式组，解不等式组即可解答；
（3）在（2）的条件下，设该店捐甲、乙两款机器的数量分别为台，分类讨论，求的正整数解，从而得出结论．
【详解】（1）解：设该店五月份购进品牌儿童床为张，品牌儿童床为张，
根据题意可得方程，
解得，
该店四月份售出品牌儿童床为张，品牌儿童床为张；
（2）解：设该店四月份售出品牌儿童床为张，则品牌儿童床为张，
由题意可得，
解得，
是正整数，
或17，
或13，
故所有可能的进货方案由两种，分别为：该店五月份购进品牌儿童床为张，品牌儿童床为张；该店五月份购进品牌儿童床为张，品牌儿童床为张；
（3）解：在（2）的条件下，设该店捐甲、乙两款机器的数量分别为台，
①当购进品牌儿童床为张，品牌儿童床为张时，
售出后的利润为（元），
，
即，
是正整数，
，
②当购进品牌儿童床为张，品牌儿童床为张时，
售出后的利润为（元），
，
即，
是正整数，
无解，
综上所述，该店捐甲、乙两款机器的数量分别为3台、13台．
【点睛】本题考查了二元一次方程的应用，一元一次不等式组的应用，解答本题的关键是仔细审题，将实际问题转化为数学方程或不等式组．
【变式18-1】（23-24八年级·广东韶关·期末）快递公司为提高快递分拣的速度，决定购买机器人来代替人工分拣．已知购买甲型机器人台，乙型机器人台，共需7万元；购买甲型机器人台，乙型机器人台，共需万元．
(1)甲，乙两种型号机器人的单价各为多少万元
(2)已知台甲型和台乙型机器人每小时分拣快递的数量分别是件和件，该公司计划最多用万元购买台这两种型号的机器人，且至少购买甲型机器人台，请问有哪几种购买方案 哪种方案能使每小时的分拣量最大
【答案】(1)甲型机器人的单价是万元，乙型机器人的单价是万元
(2)有购买甲型机器人台，乙型机器人台；购买甲型机器人台，乙型机器人台，这两种购买方案．方案二能使每小时的分拣量最大
【分析】本题考查了二元一次方程组的应用、一元一次不等式组的应用以及一次函数的应用，解题的关键是根据题意列出式子．
（1）设甲型机器人的单价是万元，乙型机器人的单价是万元，根据“购买甲型机器人台，乙型机器人台，共需7万元；购买甲型机器人台，乙型机器人台，共需万元”，即可得出关于的二元一次方程组，解之即可得出结论．
（2）设购买甲型机器人台，则购买乙型机器人台，根据题意，即可得出关于的一元一次不等式组，解之即可得出的取值范围，故有两种购买方案，购买甲型机器人台，乙型机器人台；购买甲型机器人台，乙型机器人台．设台机器人每小时的分拣量为，则．得出关于的函数关系式，再利用一次函数的性质，即可解决最值问题．
【详解】（1）解：设甲型机器人的单价是万元，乙型机器人的单价是万元，
依题意，得，
解得，
答：甲型机器人的单价是万元，乙型机器人的单价是万元．
（2）解：设购买甲型机器人台，则购买乙型机器人台．
依题意，得，
解得．
故整数可以为和，可以为和，
故有两种购买方案，方案一，购买甲型机器人台，乙型机器人台；
方案二，购买甲型机器人台，乙型机器人台．
设台机器人每小时的分拣量为，则．
∵，
∴随的增大而增大，
∴当时，取得最大值，此时，
∴方案二：购买甲型机器人台，乙型机器人台时，才能使每小时的分拣量最大．
【变式18-2】某手机经销商计划同时购进一批甲、乙两种型号的手机，若购进2部甲型号手机和1部乙型号手机，共需要资金2800元；若购进3部甲型号手机和2部乙型号手机，共需要资金4600元．
(1)求甲、乙型号手机每部进价为多少元？
(2)该店计划购进甲、乙两种型号的手机销售，预计用不多于1.8万元且不少于1.74万元的资金购进这两种型号的手机共20台，请问有几种进货方案？
(3)售出一部甲种型号手机，利润率为40%，乙型号手机的售价为1280元．为了促销，公司决定每售出一台乙型号手机，返还顾客现金元，而甲型号手机售价不变，要使（2）中所有方案获利相同，求的值．
【答案】(1)甲型号手机的每部进价为元，乙型号手机的每部进价为元
(2)四种方案：方案一：购进甲型号手机部，购进乙型号手机部；方案二：购进甲型号手机部，购进乙型号手机部；方案三：购进甲型号手机部，购进乙型号手机部；方案四：购进甲型号手机部，购进乙型号手机部．
(3)
【分析】（1）先设甲型号手机每台售价为x元，乙型号手机的每部进价为y元，根据题意列出方程组，解出x及y的值；
（2）设购进甲型号手机a部，则购进乙型号手机部，根据题意列出不等式组，求出a的取值范围，即可得出进货方案．
（3）设总获利W元，购进甲型号手机m台，列出关系式，再求利润相同时，W与a的取值无关，据此解答即可．
【详解】（1）解：设甲型号手机的每部进价为x元，乙型号手机的每部进价为y元，
根据题意，得：，
解得：，
答：甲型号手机的每部进价为元，乙型号手机的每部进价为元；
（2）解：设购进甲型号手机a部，则购进乙型号手机部，
根据题意，得： ，
解得：，
为整数，
取或或或，
则进货方案有如下四种：
方案一：购进甲型号手机部，购进乙型号手机部；
方案二：购进甲型号手机部，购进乙型号手机部；
方案三：购进甲型号手机部，购进乙型号手机部；
方案四：购进甲型号手机部，购进乙型号手机部．
（3）解：设总获利W元，购进甲型号手机a台，则：
；
当时，W的值与a的取值无关，故（2）中的所有方案获利相同．
【点睛】此题考查了一元一次不等式组与二元一次方程组的应用，能根据题意列出不等式组及利润表达式是解题的关键．
【变式18-3】（23-24八年级·江苏南通·期中）【综合与实践】根据以下信息，探索完成设计购买方案的任务．
信息1：某校初一举办了科技比赛，学校为获奖的40名同学每人购买一份奖品，奖品分为，，三类．
信息2：若购买2份A奖品和3份B奖品共需220元；购买3份A奖品和2份B奖品共需230元．单独购买一份C奖品需要15元．
信息3：计划获A奖品的人数要少于获B奖品的人数．购买时有优惠活动：每购买1份A奖品就赠送一份C奖品．
任务1：求A奖品和B奖品的单价；
任务2：若获A奖品的人数等于获C奖品的人数，且获得A奖品的人数超过10人，求此次购买A奖品有几种方案；
任务3：若购买奖品的总预算不超过1150元，要让获A奖品的人数尽量多，请你直接写出符合条件的购买方案．
【答案】任务1：A奖品单价50元，B奖品单价为40元；
任务2：此次购买A奖品共有3种购买方案；
任务3：购买11份A奖品，12份B奖品，6份C奖品．
【分析】本题考查了二元一次方程组和不等式的实际应用，解答本题的关键是读懂题意，列出方程组或不等式．
任务1：设A奖品单价x元，B奖品单价y元．根据题意列方程组解答即可；
任务2：设获A奖品的人数为a人，则获B奖品的人数为人，根据题意列不等式组解答即可；
任务2：设购买A奖品m份，C奖品n份，则B奖品份，根据题意列出不等式组，解得关于m、n的不等式，由m、n都是正整数，即可得到答案．
【详解】任务1：设A奖品单价为x元，B奖品单价为y元，得：
解得：
答：A奖品单价为50元，B奖品单价为40元．
任务2：设购买A奖品a份，则购买B奖品份，得
解得：，
a为正整数，
a可取的值有11，12，13．
答：此次购买A奖品共有3种购买方案．
任务3： 设购买A奖品m份，C奖品n份，
则B奖品份数为：，依题意得：
，
解得：，即，
m、n均为正整数，
可以取的值有：，，，，，，，，，，，
当时，，即，无解
当时，，即，所以
，，此时奖品人数最多
方案为：购买A奖品11份，C奖品6份，B奖品12份，此时预算为（元），符合题意．
故答案为：购买11份A奖品，12份B奖品，6份C奖品．
【考点19 幂的运算的逆用】
【例19】（24-25七年级·湖北武汉·阶段练习）若am=20，bn=20，ab=20，则= ．
【答案】1
【分析】先根据可得，再结合可得，由此结合可得，由此可得，进而可求得答案．
【详解】解：∵，
∴，
即，
∵，
∴，
∴，
又∵，
∴，，
∴，
∴，
∴，
故答案为：1．
【点睛】本题考查了幂的运算，熟练掌握同底数幂的乘除法法则及幂的乘方法则是解决本题的关键．
【变式19-1】（24-25七年级·四川巴中·期中）已知，则= ．
【答案】8．
【分析】根据积的乘方和幂的乘方的逆运算，把等式变形，根据指数相同求解即可．
【详解】解：，
根据积的乘方和幂的乘方，等式可变形为：，
即，
，
解得，
故答案为：8．
【点睛】本题考查了幂的运算的逆运算，解题关键是把等式恰当变形，依据底数相同，指数也相同列方程．
【变式19-2】（24-25七年级·安徽滁州·期中）已知．
（1）若，则自然数 ；
（2）若是一个完全平方数，则自然数 ．
【答案】
【分析】本题考查了同底数幂的乘法，幂的乘方的应用；
（1）根据题意得出，进而即可求解；
（2）根据完全平方公式得出，进而得出，即可求解．
【详解】（1）因为，所以，
所以，所以，
所以，
所以自然数；
故答案为：．
（2），
∴只有时，原式为完全平方数，即自然数.
故答案为：．
【变式19-3】（24-25七年级·浙江温州·期中）已知整数满足且，则的值为 ．
【答案】2
【分析】根据3不是10000的公约数，可得b=0，由和即可得到a，b，c，d的值，故可求解．
【详解】∵，3不是10000的公约数，
∴
则b=0
∴
∵整数满足
∴符合题意
∴a=-2，b=0，c=3，d=4
∴=-8+0+6+4=2
故答案为：2．
【点睛】此题主要考查幂的运算，解题的关键是熟知幂的运算法则及特点．
【考点20 多项式乘积不含某项求字母的值】
【例20】（24-25七年级·湖北武汉·期中）如图，一个长方形被分成四块：两个小长方形，面积分别为 S1，S2，两个小正方形，面积分别为 S3，S4，若 2S1－S2 的值与 AB 的长度无关，则 S3 与 S4 之间的关系是 .
【答案】S4=4S3
【分析】把两个小正方形S3、S4的边长分别设为a、b，分别表示出S1，S2，S3，S4的面积，根据与AB长度无关得出a、b的关系，进而得出S3、S4之间的关系.
【详解】设S3的边长为a，S4的边长为b，则，
∴，
又∵2S1－S2的值与AB的长度无关，
∴2a－b=0，即2a=b，
∴，
∴S4=4S3.
【点睛】本题考查整式加减中的无关问题，正确掌握做题方法是解题的关键.
【变式20-1】（24-25七年级·福建泉州·期末）对于多项式，，，（a，b，c，d是常数），若与的积减去与的积，其差为常数，则a，b，c，d应满足的关系是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】C
【分析】本题考查多项式乘多项式，整式的加减运算，根据为常数，可得化简后式子中x项的系数为0，由此可解．
【详解】解：
，
与的积减去与的积，其差为常数，
，
，
故选C．
【变式20-2】（24-25七年级·四川巴中·期中）若的展开式中不含和项，则 ．
【答案】9．
【分析】根据展开式中不含和项，即和项的系数为0即可求解．
【详解】解：，
=，
=，
根据展开式中不含和项，列方程组得，
，
解得，，
，
故答案为：9．
【点睛】本题考查整式乘法和二元一次方程组，解题关键是根据多项式中不含某一项时，这一项的系数为0列方程组．
【变式20-3】（24-25七年级·安徽淮北·期中）［知识回顾]
有这样一类题：
代数式的值与x的取值无关，求a的值；
通常的解题方法；
把x，y看作字母，a看作系数合并同类项，因为代数式的值与x的取值无关，所以含x项的系数为0，即原式，所以，即．
［理解应用]
(1)若关于x的多项式的值与x的取值无关，求m的值；
(2)已知的值与x无关，求y的值；
(3)（能力提升）如图1，小长方形纸片的长为a、宽为b，有7张图1中的纸片按照图2方式不重叠地放在大长方形ABCD内，大长方形中有两个部分（图中阴影部分）未被覆盖，设右上角的面积为，左下角的面积为，当AB的长变化时，的值始终保持不变，求a与b的等量关系．
【答案】(1)；
(2)；
(3)
【分析】（1）根据含项的系数为0建立方程，解方程即可得；
（2）先根据整式的加减化简整式，再根据含项的系数为0建立方程，解方程即可得；
（3）设，先求出，从而可得，再根据“当的长变化时，的值始终保持不变”可知的值与的值无关，由此即可得．
【详解】（1）解：
，
关于的多项式的值与的取值无关，
，
解得；
（2）
，
的值与无关，
，
解得；
（3）解：设，
由图可知，，，
则
，
当的长变化时，的值始终保持不变，
的值与的值无关，
，
．
【点睛】本题主要考查了整式加减中的无关型问题，涉及整式的乘法、整式的加减知识，熟练掌握整式加减乘法的运算法则是解题关键．
【考点21 多项式乘多项式与图形面积】
【例21】（24-25七年级·云南迪庆·期中）【知识生成】用两种不同方法计算同一图形的面积，可以得到一个等式．
(1)【知识探究】如图1，是用长为，宽为的长方形，沿图中虚线均分成四个小长方形，然后按照图2拼成一个正方形，可以得到、、三者之间的等量关系式：__________；
(2)【知识迁移】类似的，用两种不同的方法计算同一个几何体的体积，也可以得到一个等式，如图3，观察大正方体分割，写出可以得到的等式_______________；若，，求的值；
(3)【拓展探究】如图4，两个正方形、的边长分别为，若这两个正方形的面积之和为34，且，求图中阴影部分的面积．
【答案】(1)
(2)，90
(3)
【分析】本题考查完全平方公式的几何意义，注意掌握并能够由面积相等并过渡到利用体积相等推导公式是解题的关键．
（1）由题意利用面积相等推导公式：；
（2）由题意利用体积相等推导； 可得，再代入求值即可，
（3）由图可知，．求得，，根据图中阴影部分的面积
由此即可解题．
【详解】（1）解：由图可知：边长为的大正方形由四个边长为、的长方形和一个边长为正方形组成，
知识生成：，
故答案为：；
（2）正方体棱长为，
∴体积为，
∵正方体体积是长方体和小正方体的体积和，即，
∴；
∴，
∵，，
∴
（3）有图可知：，．
∴，
∴，，
∵，
∴，
图中阴影部分的面积
【变式21-1】（24-25七年级·北京·期中）长方形窗户（如图1），是由上下两个长方形（长方形和长方形）的小窗户组成，在这两个小窗户上各安装了一个可以朝水平方向拉伸的遮阳帘，这两个遮阳帘的高度分别是a和（即，），其中．当遮阳帘没有拉伸时（如图1），若窗框的面积不计，则窗户的透光面积就是整个长方形窗户（即长方形）的面积．如图2，上面窗户的遮阳帘水平向右拉伸至．当下面窗户
的遮阳帘水平向左拉伸时，恰好与在同一直线上（即点G、H、P在同一直线上）．
(1)求长方形窗户的总面积；（用含a、b的代数式表示）
(2)如果上面窗户的遮阳帘拉伸至，下面窗户的遮阳帘拉伸至处时，窗户的透光面积恰好为长方形窗户面积的一半，求．
【答案】(1)
(2)
【分析】（1）先将长方形的长和宽表示出来，再根据长方形面积公式，即可求解；
（3）求出透光部分的面积，再根据窗户的透光面积恰好为长方形窗户面积的一半，得出等式，即可求出的值．
本题主要考查了整式的混合运算，解题的关键是正确理解题意，根据图形列出式子进行计算，熟练掌握整式混合运算的运算顺序和运算法则是解题的关键．
【详解】（1）解：由题知：，，，，
，，
，
∴长方形窗户的总面积为．
（2）解：根据题意可得，
，
，
，
，
∴
．
，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴．
【变式21-2】（24-25七年级·福建福州·期中）我国著名数学家华罗庚先生曾经说过：“数缺形时少直观，形少数时难入微；数形结合百般好，隔离分家万事休．”可见，数形结合思想在解决数学问题，理解数学本质上发挥着重要的作用．在一节数学活动课上，老师带领同学们在拼图活动中探寻整式的乘法的奥秘．
情境一如下图，甲同学将4块完全相同的等腰梯形木片拼成如下两个图形，请你用含、的式子分别表示图1和图2中阴影部分的面积，并说明由此可以得到什么样的乘法公式；
情境一

情境二乙同学用1块木片、4块木片和若干块木片拼成了一个正方形，请直接写出所拼正方形的边长（用含、的式子表示），并求所用木片的数量；
情境二

情境三丙同学声称自己用以上的，，三种木片拼出了一个面积为的长方形；丁同学认为丙同学的说法有误，需要从中去掉一块木片才能拼出长方形．
你赞同哪位同学的说法，请求出该情况下所拼长方形的长和宽，并画出相应的图形．（要求：所画图形的长、宽与图样一致，并标注每一小块的长与宽）．
【答案】情境一：；情境二：所拼正方形的边长为，所用木片的数量为；情境三：赞同丁同学的说法，该情况下所拼长方形的长为，宽为，长方形如图
【分析】情境一：设等腰梯形的高为，可求，分别表示出图和图的面积，即可求解；
情境二：可得，由拼成了一个正方形可得，能用完全平方公式进行因式分解，即可求解；
情境三：能构成长方形，则要能进行分解，故去掉个后即可进行因式分解，从而可求解．
【详解】解：情境一
如图，设等腰梯形的高为，
，
，
图的面积：
，
图的面积：，
，
，
故可得到的乘法公式为：；
情境二
，
拼成了一个正方形，
当时，
，
所拼正方形的边长为，所用木片的数量为；
情境三
赞同丁同学的说法；
去掉个以后，
，
该情况下所拼长方形的长为，宽为，
长方形如图：

【点睛】本题考查了因式分解，平方差公式、完全平方公式的几何意义，等积转换，掌握等积转换的方法是解题的关键．
【变式21-3】（24-25七年级·黑龙江哈尔滨·期中）八年级数学老师在集体备课中，发现利用“面积法”说明整式的乘法有助于学生的理解，为此老师们用硬纸卡制作了如下的学具（的正方形A，的正方形B，的长方形C），
(1)在一节课的探究中，小高老师利用1张A和1张C拼出如图1所示的长方形，利用“面积法”可以得出的整式乘法关系式为______
(2)在随后的探究中，小高老师在上课时则给同学们发了很多硬纸片(的正方形A，的正方形B，的长方形C），并要求同学们用2张A，1张B和3张C拼成一个长方形，请你在框1中画出对应的示意图，并将利用面积法得出的整式乘法关系式补充完整；
框1
(3)小朱老师在设计本单元的阶梯作业时，给出如图2所示的示意图，请结合图例，在横线上添加适当的式子，使等式成立；
(4)小威老师在培优群中布置了一道思考题：已知，求的最大值，请认真思考，并完成解答．
【答案】(1)
(2)
(3)
(4)10
【分析】本题考查多项式乘以多项式与几何图形的关系，完全平方公式的应用，掌握多项式的乘法是解题的关键．
（1）根据图形用两种方法表示面积即可；
（2）根据（1）种方法画图，并表示面积即可；
（3）根据图形的拼接得到等式即可；
（4）先化简得到，然后设，则有，代入配方得到，根据完全平方式的非负性得到，解题即可．
【详解】（1）解：；
（2）如图，
式子为：；
故答案为：，；
（3）如图，根据面积可得，
故答案为：，；
（4）解：∵，
∴
∴，即，
设，
∴，
∴，
即，
∴，
∴，
解得：，
∴的最大值为．
【考点22 整式乘法中的规律性问题】
【例22】（24-25七年级·四川眉山·期中）观察下列各式：
；
；
；
…
根据规律计算： 的值是（ ）
A． B． C．
【答案】A
【分析】根据题中规律每一个式子的结果等于两项的差，被减数的指数比第二个因式中第一项大1，减数都为1，即可得到规律为，利用规律，当，时，代入其中即可求解．
本题考查了平方差公式、及数字类的规律题，解题的关键是认真阅读，总结规律，并利用规律解决问题．
【详解】解：由；
；
；
…
观察发现： ，
当，时，得
，
∴，
∴．
故选：A．
【变式22-1】（24-25七年级·广西南宁·期中）阅读：在计算的过程中，我们可以先从简单的、特殊的情形入手，再到复杂的、一般的问题，通过观察、归纳、总结，形成解决一类问题的一般方法，数学中把这样的过程叫做特殊到一般．如下所示：
(1)【观察】 _____；
_____；
_____；……
(2)【猜想】由此可得：__________；
(3)【应用】请运用上面的结论，解决下列问题：计算：的值．
【答案】(1)；；
(2)
(3)
【分析】此题主要考查了平方差公式、多项式乘以多项式以及数字变化规律，正确得出式子之间的变化规律是解题关键
（1）利用平方差公式和多项式乘以多项式计算即可；
（2）利用（1）中变化规律进而得出答案；
（3）设，则，即可求解．
【详解】（1）解：；
；
，
故答案为：；；；
（2）解：（1）总结得到，，
故答案为：；
（3）解： 设，
根据
则，
∴．
【变式22-2】（24-25七年级·广东湛江·期末）观察并验证下列等式：
，
，
，
(1)续写等式：________；（写出最后结果）
(2)我们已经知道，根据上述等式中所体现的规律，猜想结论：________；（结果用因式乘积表示）
(3)利用（2）中得到的结论计算：
；
【答案】(1)225
(2)
(3)
【分析】本题主要考查了自然数立方和公式推导及应用，掌握自然数列和公式，自然数平方和公式，自然数立方和推导过程，数字的变化类是解题关键．
（1）直接根据题意给出的规律即可求解；
（2）直接根据题意给出的规律即可求解；
（3）先按积的乘方分出27，提公因式27，再按给出的规律即可求解
【详解】（1）解：原式，
故答案为：225；
（2）解：原式，
故答案为：；
（3）解：原式
．
【变式22-3】（24-25七年级·河南商丘·期末）日历与人们日常生活密切相关，日历中蕴含着丰富的数学问题.如图，在2025年1月份的日历中，两个长方形中四个角上的数字交叉相乘，再相减，例如________，________，不难发现，结果都是________．
2025年1月
(1)完成上面的填空．
(2)请你再选择两个类似的长方形框试一试，看看是否符合这个规律．
(3)若设每个方框的左上角数字设为n，请你利用整式的运算对以上的规律加以证明．
【答案】(1)14；14；14
(2)见解析
(3)见解析
【分析】此题考查了整式的混合运算，以及规律型：数字的变化类，熟练掌握运算法则是解本题的关键．
（1）根据所给算式进行计算即可；
（2）选择两个类似的长方形框试一试即可；
（3）表示出各个角上的数字，再根据“右上角×左下角-左上角×右下角”写出规律；利用多项式乘多项式法则，证明结论．
【详解】（1）解：，
不难发现，结果都是14，
故答案为：14；14；14；
（2）解：如图：
，
，
结果都是14；符合规律；
（3）解：①设左上角的数字为n，则右上角的数字为，
左下角的数字为，右下角的数字为．
发现的规律是．
证明：
；
②设左上角的数字为n，则右上角的数字为，
左下角的数字为，右下角的数字为．
发现的规律是．
证明：
．
【考点23 整式乘法中的恒成立问题】
【例23】（24-25七年级·上海·期中）、为正整数，如果成立，那么（ ）
A．必为奇数 B．必为奇数
C．、必同为奇数 D．、必同为偶数
【答案】B
【分析】本题主要考查了积的乘方计算，根据积的乘方计算法则得到，则，据此可得答案．
【详解】解：∵，
∴，
∴必为奇数，
故选：B．
【变式23-1】（24-25七年级·安徽安庆·阶段练习）若不论为何值时，等式恒成立，则 ， ．
【答案】 1
【分析】本题考查单项式乘以多项式，整式加减运算中的恒等问题，将等式左边的多项式去括号，合并同类项后，根据对应项的系数相同，进行求解即可．
【详解】恒成立，
．
故答案为：1，．
【变式23-2】（24-25七年级·福建泉州·期中）若规定a、b两数之间满足一种运算：记作．即：若，则．我们叫这样的数对称为“一青一对”．例如:因为，所以．
（1）计算( )；
（2）在正整数指数幂的范围内，若恒成立，且x只有两个正整数解，则k的取值范围是 ．
【答案】 且为正整数
【分析】（1）设，，根据题意得出，，则，即可得出答案；
（2）设，则，，，得出，根据，得出，设 ，则，得出，得出，；得出，，即可得出答案．
【详解】解：（1）设，，
则，，
∵，
∴，
∴；
故答案为：；
（2）设，则，，，
∴，
∴，
∵，
∴；
设 ，则
∴，
∴，；
∵，
∴，，且x、k均为正整数，且x只有两个正整数解，
∴，，
∴且为正整数．
故答案为：且为正整数．
【点睛】本题主要考查了同底数幂的乘法运算，新定义运算，解题的关键是理解题意，熟练同底数幂乘法运算法则．
【变式23-3】（24-25七年级·浙江宁波·期末）对，定义一种新运算，规定：，（其中，均为非零常数）．例如：，．当，，则 ；当时，，，对任意有理数，都成立，则，满足的关系式是 ．
【答案】
【分析】（1）根据新运算的定义，得，，故，．那么，，．
（2）由，，，得，故．由当时，，，对任意有理数，都成立，故当时，对任意有理数，都成立．那么，．
【详解】解：（1），，
，．
，．
，．
，．
（2），，，，
，．
，．
若当时，，，对任意有理数，都成立，
当时，对任意有理数，都成立．
当时，对任意有理数，都成立．
．
故答案为：，．
【点睛】本题主要考查整式的运算以及解二元一次方程组，解题的关键是熟练掌握二元一次方程组的解法以及整式的运算．
【考点24 因式分解的应用】
【例24】解答下列各题：
(1)分解因式：；
(2)若a，b()都是正整数且满足，求的值；
(3)若a，b为实数且满足，，求S的最小值．
【答案】(1)；
(2)8；
(3)6．
【分析】（1）利用分组分解法解答即可；
（2）利用因式分解法，求解后求的值即可；
（3）根据，得，代入，构造实数的非负性，求S的最小值．
本题考查了因式分解，解方程组，实数的非负性求最值，熟练掌握因式分解，实数的非负性是解题的关键．
【详解】（1）解：
．
（2）解：
，
∵,,
∴,
∴,
∴,
解得，
故．
（3）解：由，得，
∴
，
∵，
∴，当且仅当时成立，
∴S的最小值为6．
【变式24-1】（24-25八年级上·陕西延安·期末）在学习完“因式分解”后，为了开拓学生的思维，宋老师在黑板上写了题目：
因式分解：．下面是甜甜的解法：
解：
（分组）
（提公因式）
．
请利用上述方法，解答下列各题：
(1)因式分解：；
(2)已知的三边满足，判断的形状，并说明理由．
【答案】(1)
(2)是等腰三角形，理由见解析
【分析】本题考查了分组分解法，等腰三角形的判定，三角形三边的关系．
（1）用分组分解法求解即可；
（2）利用分组分解法求出，可得，从而可判断是等腰三角形．
【详解】（1）解：
；
（2）解：是等腰三角形，理由如下：
，
，
，
，
，
，
是等腰三角形．
【变式24-2】（24-25八年级上·江苏南通·期末）若一个关于x的二次三项式能分解成（其中a为实数，m，n为正整数）的形式，则称这个多项式关于对称．例如：，则关于对称．
(1)请写出一个关于x的二次三项式，使它关于对称；
(2)若关于对称，求t的值；
(3)若，且M关于对称，求b，c的值．
【答案】(1)（答案不唯一）
(2)
(3)，，，，
【分析】本题考查了因式分解的应用，正确理解题新定义是解题的关键．
（1）根据定义直接求解；
（2）根据定义得到，求出，再回代，即可求出t的值；
（3）由题意得，则得到，由于，c为正整数，再枚举即可．
【详解】（1）解：∵关于x的二次三项式，关于对称，
∴，
∴，
∴可取
∴，
∴一个关于x的二次三项式可以为：．
（2）解：∵关于对称，
∴，
解得，
∴，
∴，
∴；
（3）解：∵关于对称，
∴关于对称，
∴，
∵，c为正整数，
∴，，，，．
【变式24-3】（24-25七年级上·江苏苏州·期末）定义：如果一个三位数的百位数字与个位数字之和等于十位数字，则称这个三位数为“和谐数”．如264，因为它的百位数字2与个位数字4之和等于十位数字6，所以264是“和谐数”．
(1)最小的“和谐数”是______，最大的“和谐数”是______；
(2)试说明“和谐数”一定能被11整除．
【答案】(1)110；990
(2)见解析
【分析】此题考查了利用分解因式的应用．
（1）按照题意写出最小的“和谐数”与最大的“和谐数”即可；
（2）可设“和谐数”为，则有，再通过计算即可．
【详解】（1）解：设和谐数百位上的数是a，十位上的数为b，个位上的数为c，
由题意，得，
要想求最小的和谐数，就是a最小时，a最小是1，
b最小是，
此时c最小是0，
所以最小的“和谐数”时110；
最大的“和谐数”，就是a最大时，a最大是9，
十位上b最大是9，
此时，
所以最大的“和谐数”是990．
由题意可得：最小的“和谐数”是110，最大的“和谐数”是990；
故答案为：110；990；
（2）解：设这个“和谐数”（百位数字为a，十位数字为b，个位数字为c），
由题意，得，
∴“和谐数”为，则有：
，
∵a，b是整数，
∴是整数，
∴任意“和谐数”一定能被11整除．期中易错题压轴题专项复习【24大题型】
（考试范围：第6~8章）
【沪科版2024】
【易错篇】 2
【考点1 平方根、立方根】 2
【考点2 无理数】 2
【考点3 实数与数轴】 3
【考点4 实数的运算】 4
【考点5 一元一次不等式】 4
【考点6 一元一次不等式组】 5
【考点7 幂的运算】 5
【考点8 单项式乘单项式】 6
【考点9 单项式乘多项式】 6
【考点10 多项式乘多项式】 7
【考点11 完全平方公式】 8
【考点12 平方差公式】 8
【考点13 因式分解】 9
【压轴篇】 9
【考点14 无理数的整数与小数部分的计算】 9
【考点15 不等式(组)的整数解问题】 10
【考点16 不等式组的有解或无解问题】 11
【考点17 利用不等式的基本性质求最值】 11
【考点18 方程与不等式（组）的实际应用】 12
【考点19 幂的运算的逆用】 13
【考点20 多项式乘积不含某项求字母的值】 13
【考点21 多项式乘多项式与图形面积】 15
【考点22 整式乘法中的规律性问题】 17
【考点23 整式乘法中的恒成立问题】 19
【考点24 因式分解的应用】 19
【易错篇】
【考点1 平方根、立方根】
【例1】（24-25七年级上·黑龙江哈尔滨·期末）下列说法中正确的是（ ）
A．有平方根 B．没有立方根
C．0.09的平方根是 D．的算术平方根是4
【变式1-1】= ．
【变式1-2】（24-25八年级上·江苏扬州·期末）解方程：
(1)；
(2)．
【变式1-3】（24-25八年级上·湖北十堰·期末）已知的平方根是，的立方根是2，求的值．
【考点2 无理数】
【例2】（24-25七年级·安徽安庆·期中）满足的整数是 ．
【变式2-1】（24-25七年级·山东泰安·期末）在实数（每两个1之间的3依次多1）中，其中无理数的个数是（ ）
A．2 B．3 C．4 D．5
【变式2-2】（24-25七年级·甘肃天水·期末）因为，可以肯定，也就是在与之间．依据这一方法，对，可以肯定，也就是在与之间，可以得到的近似值．那么的估算结果中正确的是（　　）
A． B．
C． D．
【变式2-3】（24-25七年级·辽宁本溪·期末）解答题，在学习第二章第4节《估算》后，某数学爱好小组探究的近似值的过程如下：
面积为110的正方形的边长是
设，其中，
画出示意图，如图所示．根据示意图，可得图中正方形的面积为
，
又，
，
当时，可忽略，得，解得，
．
(1)求的整数部分；
(2)仿照该数学爱好小组的探究过程，求的近似值（结果保留1位小数）．（要求：画出示意图，标注数据，并写出求解过程）
【考点3 实数与数轴】
【例3】（24-25七年级·浙江杭州·期中）实数a在数轴上对应点A的位置如图所示，若．则：

（1）b的值是 ．
（2）的平方根是 ．
【变式3-1】（24-25七年级·山西长治·期中）数学课上，为了让同学们更加直观地理解无理数可以在数轴上表示，张老师作了如图所示的演示，把直径为个单位长度的圆沿数轴从原点无滑动地顺时针滚动一周，到达点，此时点表示的数是 ．
【变式3-2】（24-25七年级·浙江杭州·期中）数轴上点A表示的数是，点B，C分别位于点A的两侧，且到点A的距离相等．若点B表示的数是，则点C表示的数是 ．
【变式3-3】（24-25七年级·广东江门·期中）实数a、b在数轴上的位置如图所示．
化简 ．
【考点4 实数的运算】
【例4】（24-25七年级·河北邯郸·期中）任意给出一个非零实数m，按如图所示的程序进行计算．
(1)当m=1时，输出的结果为________．
(2)当实数m的一个平方根是﹣时，求输出的结果．
【变式4-1】（24-25七年级·重庆云阳·期末）计算： ．
【变式4-2】（24-25七年级·湖北十堰·期末）计算：
(1)
(2)
【变式4-3】（24-25七年级·山东烟台·期末）（1）若，，请求出的值；
（2）是的立方根和的算术平方根的和，是比大且最相邻的整数，请求出的立方根
【考点5 一元一次不等式】
【例5】关于的不等式的解集都是不等式的解，则的取值范围是 ．
【变式5-1】若是关于x的一元一次不等式，则该不等式的解集是（ ）
A． B． C． D．
【变式5-2】已知关于x的方程的解为负数，则m的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
【变式5-3】（24-25八年级·山东聊城·期中）若关于x的一元一次不等式的解集中每一个x的值都能使不等式成立，则的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
【考点6 一元一次不等式组】
【例6】（24-25八年级·四川眉山·期末）若不等式组的解集为，则的值为（ ）
A．－1 B．0 C．1 D．2
【变式6-1】（24-25八年级·广西贵港·期末）对一个实数按如图所示的程序进行操作，计算机运行从“输入一个实数”到“判断结果是否大于190？”为一次操作，如果操作恰好进行两次操作才停止，那么的取值范围是（）
A． B． C． D．
【变式6-2】（24-25八年级·山东聊城·期中）若关于x的一元一次不等式组的解集是，则m的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
【变式6-3】（24-25八年级·浙江绍兴·期末）关于x的不等式组的解集中每一个值均不在的范围中，则a的取值范围是（ ）
A．或 B．或
C．或 D．或
【考点7 幂的运算】
【例7】（24-25七年级·四川资阳·期末）计算的值等于（ ）
A．4 B． C．5 D．
【变式7-1】（24-25七年级·吉林白城·阶段练习）下列计算正确的是（ ）
A． B．
C． D．
【变式7-2】（24-25七年级·四川成都·期末）已知，则的值为 ．
【变式7-3】（24-25七年级·重庆渝北·期末）若，，为整数，则 ．
【考点8 单项式乘单项式】
【例8】（24-25七年级·四川遂宁·期末）设，则的值为（ ）
A． B． C．1 D．
【变式8-1】（24-25七年级·四川成都·期末）先化简，再求值：，其中，．
【变式8-2】（24-25七年级·山东聊城·期末）若，则的值为 .
【变式8-3】（24-25七年级·浙江金华·期中）如图，在正方形内，将2张①号长方形纸片和3张②号长方形纸片按图1和图2两种方式放置（放置的纸片间没有重叠部分），正方形中未被覆盖的部分（阴影部分）的周长相等．

（1）若①号长方形纸片的宽为2厘米，则②号长方形纸片的宽为 厘米；
（2）若①号长方形纸片的面积为40平方厘米，则②号长方形纸片的面积是 平方厘米．
【考点9 单项式乘多项式】
【例9】（24-25七年级·四川成都·期末）如图，将7张图1所示的小长方形纸片按图2的方式不重叠地放在矩形ABCD内，未被覆盖的部分用阴影表示．如果当BC的长变化时，左上角与右下角的阴影部分的面积的差保持不变，那么b：a的值为 ．
【变式9-1】（24-25七年级·广东深圳·期中）若恒成立，则 ．
【变式9-2】（24-25七年级·湖南邵阳·期末）数学课上，老师讲了单项式与多项式相乘：先用单项式乘多项式中的每一项，再把所得的积相加，小丽在练习时，发现了这样一道题：“（3x﹣■+1）＝”那么“■”中的一项是 ．
【变式9-3】（24-25七年级·湖南常德·期末）如图，某校园的学子餐厅密码做成了数学题，小亮在餐厅就餐时，思索了会，输入密码，顺利的连接到了学子餐厅的网络．若他输入的密码是2842■，最后两被隐藏了，那么被隐藏的两位数是 ．
【考点10 多项式乘多项式】
【例10】（24-25七年级·山西临汾·期末）有如图所示的正方形和长方形卡片若干张，若要拼成一个长为、宽为的长方形，需要B类卡片（　　）
A．2张 B．3张 C．4张 D．5张
【变式10-1】（24-25七年级·河南省直辖县级单位·期末）有一块长为米（为正数），宽为米的长方形土地，若把这块地的长增加米，宽减少米，则与原来相比，这块土地的面积（ ）
A．没有变化 B．变大了 C．变小了 D．无法确定
【变式10-2】（24-25七年级·四川成都·期末）先化简，再求值：，且单项式与是同类项．
【变式10-3】（24-25七年级·福建福州·期末）发现规律：
我们发现，．这个规律可以利用多项式的乘法法则推导得出： ．
运用规律
(1)如果，那么的值是_______，的值是_________；
(2)如果．
①求的值；
②求的值．
【考点11 完全平方公式】
【例11】（24-25七年级·甘肃兰州·期中）已知， 则的值是（　　）
A．4 B． C．8 D．
【变式11-1】（24-25七年级·上海闵行·期中）如果关于的整式是某个整式的平方，那么的值是 ．
【变式11-2】（24-25七年级·福建漳州·期中）若x，y是自然数，且满足，则 ．
【变式11-3】（24-25七年级·湖南娄底·期中）已知，则的值是（ ）
A． B． C． D．
【考点12 平方差公式】
【例12】（24-25七年级·河南新乡·期中）某同学在计算时，把3写成后，发现可以连续运用两数和乘以这两数差公式计算：，请借鉴该同学的经验，计算： ．
【变式12-1】（24-25七年级·甘肃兰州·期中）下列各式中能用平方差公式计算的是（　　）
A． B．
C． D．
【变式12-2】（24-25七年级·福建泉州·期中）为了美化校园，学校把一个边长为的正方形跳远沙池的一组对边各增加，另一组对边各减少，改造成长方形的跳远沙池．如果这样，你觉得沙池的面积会（　　）
A．变小 B．变大 C．没有变化 D．无法确定
【变式12-3】（24-25七年级·山西临汾·期中）霍州鼓楼位于山西霍州市城内中心，明万历十一年（1583年）建，又称文昌阁．其结构外表是明二假三层，它的间架结构复杂新颖、巧妙结合，采用了我国古建筑中的一种凹凸结合的连接方式——榫卯（sǔn mǎo）结构，精密谨严天衣无缝，行家里手惊佩它是工艺精湛超群绝伦．如图①是一个榫卯结构的零部件，图②是其截面图，整体是一个长为，宽为的长方形，中间凿掉一个边长为的正方形，且该零件的高为．求这个零部件体积．

【考点13 因式分解】
【例13】（24-25八年级上·河南南阳·期末）把下列多项式分解因式
(1)；
(2)；
(3)；
(4)．
【变式13-1】（24-25八年级上·福建泉州·期末）若，则的值为_____．
【变式13-2】（24-25八年级上·河南开封·期末）下列因式分解正确的是（ ）
A． B．
C． D．
【变式13-3】（24-25八年级上·湖北荆州·期末）计算的值为 ．
【压轴篇】
【考点14 无理数的整数与小数部分的计算】
【例14】（24-25七年级·浙江宁波·期中）的整数部分为，小数部分为，则 ．
【变式14-1】（24-25七年级·江苏苏州·阶段练习）如图，把两个面积为的小正方形沿对角线剪开，拼成一个面积为的大正方形，所得到的面积为的大正方形的边长就是原先面积为的小正方形的对角线长，因此，可得小正方形的对角线长为．
(1)某同学把长为，宽为的两个长方形沿对角线剪开裁剪，拼成如图所示的一个大正方形仿照上面的探究方法求空白部分正方形的面积及其边长的值；
(2)若为（1）中的整数部分，求的平方根．
【变式14-2】（24-25七年级·甘肃兰州·期中）大家知道是无理数，而无理数是无限不循环小数，因此的小数部分我们不能全部地写出来，于是小平用来表示的小数部分，你同意小平的表示方法吗？事实上小平的表示方法是有道理的，因为的整数部分是1，用这个数减去其整数部分，差就是小数部分．请解答：若的整数部分为a，小数部分为b．
(1)求a，b的值；
(2)求的值．
【变式14-3】（24-25七年级·浙江杭州·期中）以下是小明与老师之间的对话：
小明：张老师，我们知道是无理数，无理数就是无限不循环小数，那该如何表示出它的小数部分呢？
老师：小明，因为的整数部分是2，所以将这个数减去其整数部分，差就是小数部分，即．
根据上述对话内容，解答下面的问题：
已知，其中是整数，且．
(1)________；________；
(2)求的值．
【考点15 不等式(组)的整数解问题】
【例15】（22-23八年级·重庆北碚·期中）若关于x的不等式组最多有2个整数解，且关于y的一元一次方程的解为非正数，则符合条件的所有整数k的和为（ ）
A．13 B．18 C．21 D．26
【变式15-1】已知关于x的不等式组的所有整数解的和为－5，则m的取值范围为 ．
【变式15-2】（20-21八年级·上海虹口·期中）已知关于的不等式组的整数解共有5个，且关于的不等式的解集为，则的取值范围 ．
【变式15-3】（23-24八年级·北京·期中）（1）关于的不等式有 个整数解；
（2）若关于的不等式组（为常数，且为整数）恰有5个整数解，则的取值为 ；
（3）若关于的不等式（和为常数，且为整数）恰有6个整数解，则共有 组满足题意的和．
【考点16 不等式组的有解或无解问题】
【例16】（2021·湖北襄阳·一模）已知不等式组有解但没有整数解，则的取值范围为 ．
【变式16-1】若不等式组无解，则不等式组的解集是（ ）
A． B． C． D．无解
【变式16-2】关于的方程的解为非负数，且关于的不等式组有解，则符合条件的整数的值的和为 ．
【变式16-3】从－2，－1,0,1,2，3，5这七个数中，随机抽取一个数记为m，若数m使关于x的不等式组无解，且使关于x的一元一次方程（m－2）x＝3有整数解，那么这六个数所有满足条件的m的个数有（ ）
A．1 B．2 C．3 D．4
【考点17 利用不等式的基本性质求最值】
【例17】（20-21八年级·江西景德镇·期中）已知非负数 x，y，z 满足..，设 ，则 W 的最大值与最小值的和为（ ）
A． B． C． D．
【变式17-1】（23-24八年级·江苏南通·期末）已知非负数a，b，c满足条件，，设的最大值是m，最小值是n，则的值为 ．
【变式17-2】（20-21八年级·湖北黄石·期末）已知实数，，满足，且有最大值，则的值是 ．
【变式17-3】（23-24八年级·北京·期末）已知，，，，为正整数，且，若，则的最大值为 ．
【考点18 方程与不等式（组）的实际应用】
【例18】（22-23八年级·重庆九龙坡·阶段练习）某家具店经销A、B两种品牌的儿童床，已知A品牌儿童床的售价为4200元，利润率为，B品牌儿童床的成本价为4200元，而每张B品牌儿童床的售价在成本的基础上增长了．
(1)该店销售记录显示，四月份销售两种儿童床共20张，且销售A品牌儿童床的总利润与B品牌儿童床总利润相同，求该店四月份售出两种品牌的儿童床的数量；
(2)根据市场调研，该店五月份计划购进这两种儿童床共30张，要求购进B品牌儿童床张数不低于A品牌儿童床张数的，而用于购买这两种儿童床的资金不超过115000元，请通过计算设计所有可能的进货方案：
(3)在（2）的条件下，该店打算将五月份按计划购进的30张儿童床全部售出后，所获得利润的用于购买甲、乙两款教学仪器捐赠给某希望小学．已知购买甲款仪器每台300元，购买乙款仪器每台130元，且所捐的钱恰好用完，求该店捐赠甲，乙两款仪器的数量．
【变式18-1】（23-24八年级·广东韶关·期末）快递公司为提高快递分拣的速度，决定购买机器人来代替人工分拣．已知购买甲型机器人台，乙型机器人台，共需7万元；购买甲型机器人台，乙型机器人台，共需万元．
(1)甲，乙两种型号机器人的单价各为多少万元
(2)已知台甲型和台乙型机器人每小时分拣快递的数量分别是件和件，该公司计划最多用万元购买台这两种型号的机器人，且至少购买甲型机器人台，请问有哪几种购买方案 哪种方案能使每小时的分拣量最大
【变式18-2】某手机经销商计划同时购进一批甲、乙两种型号的手机，若购进2部甲型号手机和1部乙型号手机，共需要资金2800元；若购进3部甲型号手机和2部乙型号手机，共需要资金4600元．
(1)求甲、乙型号手机每部进价为多少元？
(2)该店计划购进甲、乙两种型号的手机销售，预计用不多于1.8万元且不少于1.74万元的资金购进这两种型号的手机共20台，请问有几种进货方案？
(3)售出一部甲种型号手机，利润率为40%，乙型号手机的售价为1280元．为了促销，公司决定每售出一台乙型号手机，返还顾客现金元，而甲型号手机售价不变，要使（2）中所有方案获利相同，求的值．
【变式18-3】（23-24八年级·江苏南通·期中）【综合与实践】根据以下信息，探索完成设计购买方案的任务．
信息1：某校初一举办了科技比赛，学校为获奖的40名同学每人购买一份奖品，奖品分为，，三类．
信息2：若购买2份A奖品和3份B奖品共需220元；购买3份A奖品和2份B奖品共需230元．单独购买一份C奖品需要15元．
信息3：计划获A奖品的人数要少于获B奖品的人数．购买时有优惠活动：每购买1份A奖品就赠送一份C奖品．
任务1：求A奖品和B奖品的单价；
任务2：若获A奖品的人数等于获C奖品的人数，且获得A奖品的人数超过10人，求此次购买A奖品有几种方案；
任务3：若购买奖品的总预算不超过1150元，要让获A奖品的人数尽量多，请你直接写出符合条件的购买方案．
【考点19 幂的运算的逆用】
【例19】（24-25七年级·湖北武汉·阶段练习）若am=20，bn=20，ab=20，则= ．
【变式19-1】（24-25七年级·四川巴中·期中）已知，则= ．
【变式19-2】（24-25七年级·安徽滁州·期中）已知．
（1）若，则自然数 ；
（2）若是一个完全平方数，则自然数 ．
【变式19-3】（24-25七年级·浙江温州·期中）已知整数满足且，则的值为 ．
【考点20 多项式乘积不含某项求字母的值】
【例20】（24-25七年级·湖北武汉·期中）如图，一个长方形被分成四块：两个小长方形，面积分别为 S1，S2，两个小正方形，面积分别为 S3，S4，若 2S1－S2 的值与 AB 的长度无关，则 S3 与 S4 之间的关系是 .
【变式20-1】（24-25七年级·福建泉州·期末）对于多项式，，，（a，b，c，d是常数），若与的积减去与的积，其差为常数，则a，b，c，d应满足的关系是（ ）
A． B．
C． D．
【变式20-2】（24-25七年级·四川巴中·期中）若的展开式中不含和项，则 ．
【变式20-3】（24-25七年级·安徽淮北·期中）［知识回顾]
有这样一类题：
代数式的值与x的取值无关，求a的值；
通常的解题方法；
把x，y看作字母，a看作系数合并同类项，因为代数式的值与x的取值无关，所以含x项的系数为0，即原式，所以，即．
［理解应用]
(1)若关于x的多项式的值与x的取值无关，求m的值；
(2)已知的值与x无关，求y的值；
(3)（能力提升）如图1，小长方形纸片的长为a、宽为b，有7张图1中的纸片按照图2方式不重叠地放在大长方形ABCD内，大长方形中有两个部分（图中阴影部分）未被覆盖，设右上角的面积为，左下角的面积为，当AB的长变化时，的值始终保持不变，求a与b的等量关系．
【考点21 多项式乘多项式与图形面积】
【例21】（24-25七年级·云南迪庆·期中）【知识生成】用两种不同方法计算同一图形的面积，可以得到一个等式．
(1)【知识探究】如图1，是用长为，宽为的长方形，沿图中虚线均分成四个小长方形，然后按照图2拼成一个正方形，可以得到、、三者之间的等量关系式：__________；
(2)【知识迁移】类似的，用两种不同的方法计算同一个几何体的体积，也可以得到一个等式，如图3，观察大正方体分割，写出可以得到的等式_______________；若，，求的值；
(3)【拓展探究】如图4，两个正方形、的边长分别为，若这两个正方形的面积之和为34，且，求图中阴影部分的面积．
【变式21-1】（24-25七年级·北京·期中）长方形窗户（如图1），是由上下两个长方形（长方形和长方形）的小窗户组成，在这两个小窗户上各安装了一个可以朝水平方向拉伸的遮阳帘，这两个遮阳帘的高度分别是a和（即，），其中．当遮阳帘没有拉伸时（如图1），若窗框的面积不计，则窗户的透光面积就是整个长方形窗户（即长方形）的面积．如图2，上面窗户的遮阳帘水平向右拉伸至．当下面窗户
的遮阳帘水平向左拉伸时，恰好与在同一直线上（即点G、H、P在同一直线上）．
(1)求长方形窗户的总面积；（用含a、b的代数式表示）
(2)如果上面窗户的遮阳帘拉伸至，下面窗户的遮阳帘拉伸至处时，窗户的透光面积恰好为长方形窗户面积的一半，求．
【变式21-2】（24-25七年级·福建福州·期中）我国著名数学家华罗庚先生曾经说过：“数缺形时少直观，形少数时难入微；数形结合百般好，隔离分家万事休．”可见，数形结合思想在解决数学问题，理解数学本质上发挥着重要的作用．在一节数学活动课上，老师带领同学们在拼图活动中探寻整式的乘法的奥秘．
情境一如下图，甲同学将4块完全相同的等腰梯形木片拼成如下两个图形，请你用含、的式子分别表示图1和图2中阴影部分的面积，并说明由此可以得到什么样的乘法公式；
情境一

情境二乙同学用1块木片、4块木片和若干块木片拼成了一个正方形，请直接写出所拼正方形的边长（用含、的式子表示），并求所用木片的数量；
情境二

情境三丙同学声称自己用以上的，，三种木片拼出了一个面积为的长方形；丁同学认为丙同学的说法有误，需要从中去掉一块木片才能拼出长方形．
你赞同哪位同学的说法，请求出该情况下所拼长方形的长和宽，并画出相应的图形．（要求：所画图形的长、宽与图样一致，并标注每一小块的长与宽）．
【变式21-3】（24-25七年级·黑龙江哈尔滨·期中）八年级数学老师在集体备课中，发现利用“面积法”说明整式的乘法有助于学生的理解，为此老师们用硬纸卡制作了如下的学具（的正方形A，的正方形B，的长方形C），
(1)在一节课的探究中，小高老师利用1张A和1张C拼出如图1所示的长方形，利用“面积法”可以得出的整式乘法关系式为______
(2)在随后的探究中，小高老师在上课时则给同学们发了很多硬纸片(的正方形A，的正方形B，的长方形C），并要求同学们用2张A，1张B和3张C拼成一个长方形，请你在框1中画出对应的示意图，并将利用面积法得出的整式乘法关系式补充完整；
框1
(3)小朱老师在设计本单元的阶梯作业时，给出如图2所示的示意图，请结合图例，在横线上添加适当的式子，使等式成立；
(4)小威老师在培优群中布置了一道思考题：已知，求的最大值，请认真思考，并完成解答．
【考点22 整式乘法中的规律性问题】
【例22】（24-25七年级·四川眉山·期中）观察下列各式：
；
；
；
…
根据规律计算： 的值是（ ）
A． B． C．
【变式22-1】（24-25七年级·广西南宁·期中）阅读：在计算的过程中，我们可以先从简单的、特殊的情形入手，再到复杂的、一般的问题，通过观察、归纳、总结，形成解决一类问题的一般方法，数学中把这样的过程叫做特殊到一般．如下所示：
(1)【观察】 _____；
_____；
_____；……
(2)【猜想】由此可得：__________；
(3)【应用】请运用上面的结论，解决下列问题：计算：的值．
【变式22-2】（24-25七年级·广东湛江·期末）观察并验证下列等式：
，
，
，
(1)续写等式：________；（写出最后结果）
(2)我们已经知道，根据上述等式中所体现的规律，猜想结论：________；（结果用因式乘积表示）
(3)利用（2）中得到的结论计算：
；
【变式22-3】（24-25七年级·河南商丘·期末）日历与人们日常生活密切相关，日历中蕴含着丰富的数学问题.如图，在2025年1月份的日历中，两个长方形中四个角上的数字交叉相乘，再相减，例如________，________，不难发现，结果都是________．
2025年1月
(1)完成上面的填空．
(2)请你再选择两个类似的长方形框试一试，看看是否符合这个规律．
(3)若设每个方框的左上角数字设为n，请你利用整式的运算对以上的规律加以证明．
【考点23 整式乘法中的恒成立问题】
【例23】（24-25七年级·上海·期中）、为正整数，如果成立，那么（ ）
A．必为奇数 B．必为奇数
C．、必同为奇数 D．、必同为偶数
【变式23-1】（24-25七年级·安徽安庆·阶段练习）若不论为何值时，等式恒成立，则 ， ．
【变式23-2】（24-25七年级·福建泉州·期中）若规定a、b两数之间满足一种运算：记作．即：若，则．我们叫这样的数对称为“一青一对”．例如:因为，所以．
（1）计算( )；
（2）在正整数指数幂的范围内，若恒成立，且x只有两个正整数解，则k的取值范围是 ．
【变式23-3】（24-25七年级·浙江宁波·期末）对，定义一种新运算，规定：，（其中，均为非零常数）．例如：，．当，，则 ；当时，，，对任意有理数，都成立，则，满足的关系式是 ．
【考点24 因式分解的应用】
【例24】解答下列各题：
(1)分解因式：；
(2)若a，b()都是正整数且满足，求的值；
(3)若a，b为实数且满足，，求S的最小值．
【变式24-1】（24-25八年级上·陕西延安·期末）在学习完“因式分解”后，为了开拓学生的思维，宋老师在黑板上写了题目：
因式分解：．下面是甜甜的解法：
解：
（分组）
（提公因式）
．
请利用上述方法，解答下列各题：
(1)因式分解：；
(2)已知的三边满足，判断的形状，并说明理由．
【变式24-2】（24-25八年级上·江苏南通·期末）若一个关于x的二次三项式能分解成（其中a为实数，m，n为正整数）的形式，则称这个多项式关于对称．例如：，则关于对称．
(1)请写出一个关于x的二次三项式，使它关于对称；
(2)若关于对称，求t的值；
(3)若，且M关于对称，求b，c的值．
【变式24-3】（24-25七年级上·江苏苏州·期末）定义：如果一个三位数的百位数字与个位数字之和等于十位数字，则称这个三位数为“和谐数”．如264，因为它的百位数字2与个位数字4之和等于十位数字6，所以264是“和谐数”．
(1)最小的“和谐数”是______，最大的“和谐数”是______；
(2)试说明“和谐数”一定能被11整除．

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