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10.2 解二元一次方程组
第十章 二元一次方程组
代入消元法（2课时）
2x+ (6-x)=8
x+ y =6，
2x+ y =8.
解：设大型采棉机租x台，则小型采棉机租（6－x）台，依题意得：
解得x=2.
将x=2代入得
6－x=6－2=4.
答：大型采棉机租2台，小型采棉机租4台.
用一元一次方程求解
解：设大型采棉机租x台，则小型采棉机租 y 台，依题意得：
用二元一次方程组求解
y=6-x
引言：某种棉大户租用6台大、小两种型号的采棉机，1h就完成了8h㎡ 棉田的采摘.如果大型采棉机1h完成2h㎡棉田的采摘，小型采棉机1h完成1h㎡棉田的采摘，那么这个种棉大户租用了大、小型采棉机各多少台？
类比反思
3.对比设元方式，可以启发我们如何把二元转化为一元？
等量代换
6－x
2x+ (6-x)=8
二元一次方程组
一元一次方程
消 元
转 化
二元一次方程中有两个未知数，如果消去其中一个未知数，那么就可以把二元一次方程组转化为一元一次方程。这样就可以先求出一个未知数，再求另一个未知数。这种将未知数的个数由多化少、逐一解决的思想，叫做消元思想.
将二元一次方程组中一个方程的一个未知数用含另一个未知数的式子表示出来，再代入另一个方程，实现消元，进而求得二元一次方程组的解. 这种方法叫做代入消元法，简称代入法.
代入法解二元一次方程组
解法提炼
如何解？
3x - 8y = 14
x -y = 3
①
②
把③代入②，得
3(y+3)- 8y = 14
解这个方程，得
y=-1
把 y=-1代入③，得
x=2
∴这个方程组的解是
x=2
y=-1
由①，得
x=y+3
③
代入消元,化为一元一次方程
解一元一次方程得到一个未知数的值
求另一个未知数的值
写出方程组的解
变形
代入
求解
写解
回代
用一个未知数表示另一个未知数
解二元一次方程组的步骤
例题精讲
例1 用代入法解方程组
方程②中y的系数是-1，用含x的式子表示y,再代入方程①，比较简便。
2x - y = 16
3x -5y = 3
①
②
把③代入②，得
3x- 5(2x-16) = 3
解这个方程，得
x=11
把 x=11代入③，得
y=6
∴这个方程组的解是
x=11
y=6
由②，得
y=2x-16
③
例题精讲
例2 用代入法解方程组
先观察是否有系数为±1的未知数项，这样代入时不会出现分数，便于计算。
变形训练
x=3
y=2
解：由②得：y = -2x+8 ③
将③代入①得：
3x-2(-2x+8)=5
解得：x = 3
把x = 3代入③得：y = 2
所以原方程组的解为
（1）
（2）
①
①
②
②
x=2
y=-1
解：由①得：y = 2x-5 ③
将③代入②得：
3x+4(2x-5)=2
解得：x = 2
把x =2 代入③得：y = -1
所以原方程组的解为
练习2 用代入法解方程组
巩固训练
解：由②得：b = 5-2a ③
将③代入①得：
4a-3(5-2a )=5
解得：a=2
把a=2代入③得：b = 1
4a-3b=5 ①
2a+b=5 ②
（3） （4）
s=1
t=1
解：由①得：s = 3t-2 ③
将③代入②得：
3t-2+5t=6
解得：t = 1
把t = 1代入③得：s = 1
所以原方程组的解为
s-3t=-2 ①
s+5t=6 ②
巩固训练
所以原方程组的解为：
例3 用代入法解方程组
解得：y = 3
把y =3 代入③得：x = 2
x=2
y=3
所以原方程组的解为
解：由①得： ③
将③代入②得：
各项系数都不为±1，只好选择一个系数稍小的化为1。
这个环节为解一元一次方程，可以按之前“五步骤”直接往下做，也可以在草稿纸上另做。
代入法解二元一次方程组的简单应用
例4 快递员把货物送到客户手中称为送件，帮客户寄出货物称为揽件。快递员星期一的送件数和揽件数分别为120件和45件，报酬为270元；他星期二的送件数和揽件数分别为90件和25件，报酬为185元。如果这快递员每送一件和每揽一件货物的报酬分别相同，他每送一件和每揽一件的报酬各是多少元？
①本题能否列一元一次方程求解？
列一元表达题意时很麻烦。
星期 送件数 揽件数 报酬
星期一
星期二
分析：由题意可知
②设这名快递员每送一件的报酬为x元，每揽一件的报酬为y元。
送件数 揽件数 报酬 方程
解：设这名快递员每送一件的报酬为x元，每揽一件的报酬为y元。依题意得：
③
①
由 得：
把 代入 得：
③
②
解之得：x=1.5
把x=1.5代入 得：y=2
③
答：这名快递员每送一件的报酬为1.5元，每揽一件的报酬为2元。
化简方程组得：
巩固训练
练习1 用代入法解方程组

í
ì
5x+4y=13 ②
4x-3y=-2 ①
(1)
2.一种商品分装在大、小两种包装盒内，3大盒、4小盒共装108瓶，2大盒、3小盒共装76瓶。大、小包装盒每盒各装多少瓶？
1、用“代入消元法”解方程组 时，①代入②正确的是( )
A.2x-6+3x=19 B.2x-6-3x=19 C.2x-6+x=19 D.2x-6-x=19
①
②

í
ì
2x-3y=19
y=2-x
A
2、关于x，y的方程组 ，则y用只含x的代数式表示为( )
A.y=2x+7 B.y=7-2x C.y=-2x-5 D y=2x-5
①
②

í
ì
x+2y=2
2x+y=7
B
巩固训练
练习1 用代入法解方程组
2.李大叔去年承包了10亩地种植甲、乙两种蔬菜，共获利18000元，其中甲种蔬菜每亩获利2000元，乙种蔬菜每亩获利1500元，李大叔去年甲、乙两种蔬菜各种植了多少亩？
巩固训练
3.若方程5x 2m+n + 4y 3m-2n = 9是关于x、y的二元一次方程，求m 、n 值.
解：
由题可知：
2m + n = 1
3m – 2n = 1
①
②
由①得
n = 1 –2m
③
把③代入②得：
3m – 2（1 – 2m）= 1
把 代入③，得：
拓展练习
先用今天所学的基本方法解答，再考虑有没有更简单的解法
提示：整体代入思想
拓展练习
课堂小结
代
入
消
元
法
思路
要点
方程组中的一个方程变形后，必须代入另一个方程，才能达到消元目的，否则将会得到一个恒等式。
解法步骤
1.从方程组中选取一个系数比较简单的方程，把其中的某一个未知数用含有另一个未知数的式子表示出来；
2.把1中所得到的方程代入另一个方程，消去一个未知数，得到一个一元一次方程；
3.解2所得到的方程，求出一个未知数的值；
4.把3所求得的未知数的值代入1中所得的方程，从而得到另一个未知数的值，由此确定方程组的解。
消元、转化
方法
解二元一次方程组的步骤：
第一步：在已知方程组的两个方程中选择一个适当的方程，将它的某个未知数用含有另一个未知数的代数式表示出来.（一变）
第二步：把此代数式代入没有变形的一个方程中，可得一个一元一次方程.（二代）
第三步：解这个一元一次方程，得到一个未知数的值.（三解）
第四步：回代求出另一个未知数的值.（四回）
第五步：把方程组的解表示出来.（五写）
第六步：检验(口算或在草稿纸上进行笔算),即把求得的解代入每一个方程看是否成立.（六验）
课堂小结

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