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2025年九年级数学中考三轮冲刺训练圆中切线的判定与性质综合训练
1．如图，四边形ABCD内接于⊙O，BD是⊙O的直径，AE⊥CD交CD的延长线于点E，DA平分∠BDE．
（1）求证：AE是⊙O的切线．
（2）若AE＝4cm，CD＝6cm，求AD的长．
2．如图，四边形ABCD内接于⊙O，对角线BD为⊙O直径，点E在BC延长线上，且∠E＝∠BAC．
（1）求证：DE是⊙O的切线；
（2）若AC∥DE，当AB＝8，CD＝2，求⊙O的半径．
3．如图，AB是⊙O的直径，弦CD⊥AB，垂足为H，连接AC．过上一点E作EG∥AC交CD的延长线于点G，连接AE交CD于点F，且EG＝FG．
（1）求证：EG是⊙O的切线；
（2）延长AB交GE的延长线于点M，若AH＝2，CH＝2，求OM的长．
4．如图，△ABC中，∠ACB＝90°，∠A＝60°，点O为AB上一点，且3AO＝AB，以OA为半径作半圆O，交AC于点D，AB于点E，DE与OC相交于F．
（1）求证：CB与⊙O相切；
（2）若AB＝6，求DF的长度．
5．如图所示，△ABC内接于⊙O，AC是直径，D在⊙O上，且AC平分∠BCD，AE∥BC，交CD于E，F在CD的延长线上，且AE＝EF．连接AF．
（1）求证：AF是⊙O的切线；
（2）连接BF交AE于G，若AB＝12，AE＝13，求AG的长．
6．如图，△ACB内接于圆O，AB为直径，CD⊥AB与点D，E为圆外一点，EO⊥AB，与BC交于点G，与圆O交于点F，连接EC，且EG＝EC．
（1）求证：EC是圆O的切线；
（2）当∠ABC＝22.5°时，连接CF，
①求证：AC＝CF；
②若AD＝1，求线段FG的长．
7．如图，△ABC内接于⊙O，AB＝AC＝10，BC＝12，点E是弧BC的中点．
（1）过点E作BC的平行线交AB的延长线于点D，求证：DE是⊙O的切线；
（2）点F是弧AC的中点，求EF的长．
8．如图，已知AB是⊙O的直径，AC，BC是⊙O的弦，OE∥AC交BC于E，过点B作⊙O的切线交OE的延长线于点D，连接DC并延长交BA的延长线于点F．
（1）求证：DC是⊙O的切线；
（2）若∠ABC＝30°，AB＝8，求线段CF的长．
9．如图，在矩形ABCD中，以BC边为直径作半圆O，OE⊥OA交CD边于点E，对角线AC与半圆O的另一个交点为P，连接AE．
（1）求证：AE是半圆O的切线；
（2）若PA＝2，PC＝4，求AE的长．
10．如图，AB是⊙O的直径，点D在AB的延长线上，C、E是⊙O上的两点，CE＝CB，∠BCD＝∠CAE，延长AE交BC的延长线于点F．
（1）求证：CD是⊙O的切线；
（2）求证：CE＝CF；
（3）若BD＝1，CD＝，求弦AC的长．
11．如图，AB是⊙O的直径，直线CD与AB的延长线交于点E，AD⊥CD，点C是的中点．
（1）求证：直线CD与⊙O相切于点C；
（2）若∠CAD＝30°，⊙O的半径为3，一只蚂蚁从B点出发，沿着BE﹣EC﹣爬回至点B，求蚂蚁爬过的路程（π≈3.14，，结果保留一位小数）．
12．如图，△ABC为等边三角形，O为BC的中点，作⊙O与AC相切于点D．
（1）求证：AB与⊙O相切；
（2）延长AC到E，使得CE＝AC，连接BE交⊙O与点F、M，若AB＝4，求FM的长．
13．如图，D是⊙O上一点，点C在直径BA的延长线上，且CD是⊙O的切线，OE∥AD交CD的延长线于点E，连结EB．
（1）求证：EB是⊙O的切线．
（2）若AC＝2，AD＝，求⊙O的半径．
14．如图，△ABC中，AB＝AC，以AC为直径的⊙O交BC于点D，点E为C延长线上一点，且∠CDE＝∠BAC．
（1）求证：DE是⊙O的切线；
（2）若AB＝3BD，CE＝2，求⊙O的半径．
15．如图，⊙O与△ABC的AC边相切于点C，与AB、BC边分别交于点D、E，DE∥OA，CE是⊙O的直径．
（1）求证：AB是⊙O的切线；
（2）若BD＝4，EC＝6，求AC的长．
参考答案
1．【解答】（1）证明：连结OA．
∵OA＝OD，
∴∠ODA＝∠OAD．
∵DA平分∠BDE，
∴∠ODA＝∠EDA．
∴∠OAD＝∠EDA，
∴EC∥OA．
∵AE⊥CD，
∴OA⊥AE．
∵点A在⊙O上，
∴AE是⊙O的切线．
（2）解：过点O作OF⊥CD，垂足为点F．
∵∠OAE＝∠AED＝∠OFD＝90°
∴四边形AOFE是矩形．
∴OF＝AE＝4cm． EF＝OA，
又∵OF⊥CD，
∴DF＝CD＝3cm．
在Rt△ODF中，OD＝＝5cm，
即⊙O的半径为5cm，
∴EF＝OA＝5cm，
∴ED＝EF﹣DF＝5﹣3＝2cm，
在Rt△AED中，AD＝＝2．
2．【解答】（1）证明：如图，∵BD是直径，
∴∠BCD＝90°，
∴∠E+∠CDE＝90°，
∵∠E＝∠BAC，
∴∠BAC+∠CDE＝90°，
∵∠BAC＝∠BDC，
∴∠BDC+∠CDE＝90°，
∴∠BDE＝90°，即：BD⊥DE，
∵点D在⊙O上，
∴DE是⊙O的切线；
（2）解：∵AC∥DE，BD⊥DE，
∴BD⊥AC．
∵BD是⊙O直径，
∴AF＝CF，
∴AB＝BC＝8，
在Rt△BCD中，BD＝＝＝2
∴⊙O半径的长是．
3．【解答】（1）证明：连接OE，如图，
∵GE＝GF，
∴∠GEF＝∠GFE，
而∠GFE＝∠AFH，
∴∠GEF＝∠AFH，
∵AB⊥CD，
∴∠OAF+∠AFH＝90°，
∴∠GEA+∠OAF＝90°，
∵OA＝OE，
∴∠OEA＝∠OAF，
∴∠GEA+∠OEA＝90°，即∠GEO＝90°，
∴OE⊥GE，
∴EG是⊙O的切线；
（2）解：连接OC，如图，
设⊙O的半径为r，则OC＝r，OH＝r﹣2，
在Rt△OCH中，（r﹣2）2+（2）2＝r2，解得r＝3，
在Rt△ACH中，AC＝＝2，
∵AC∥GE，
∴∠M＝∠CAH，
∴Rt△OEM∽Rt△CHA，
∴＝，即＝，
∴OM＝．
4．【解答】（1）证明：过O作OH⊥BC与H，
∵∠ACB＝90°，
∴OH∥AC，
∵∠A＝60°，
∴∠HOB＝60°，
∴OH＝OB，
∵3AO＝AB，
∴OA＝BO，
∴OH＝OA，
∴CB与⊙O相切；
（2）解：∵AB＝6，3AO＝AB，
∴AE＝4，OB＝4，
∵△ABC中，∠ACB＝90°，∠A＝60°，
∴BC＝AB＝3，
∵AE是⊙O的直径，
∴∠ADE＝90°，
∴DE∥BC，
∴△ADE∽△ACB，
△OEF∽△OBC，
∴＝，＝，
∴＝，＝，
∴DE＝2，EF＝，
∴DF＝．
5．【解答】证明：（1）∵AC平分∠BCD
∴∠ACB＝∠ACD，
∵AE∥BC
∴∠ACB＝∠CAE＝∠ACD
∴AE＝CE，且AE＝EF
∴AE＝CE＝EF
∴△CAF是直角三角形
∴∠CAF＝90°
∴AF是⊙O的切线
（2）连接AD，
∵AC是直径
∴∠ABC＝90°＝∠ADC
∵∠ACB＝∠ACD，AC＝AC，∠ABC＝∠ADC＝90°
∴△ABC≌△ADC（AAS）
∴AB＝AD＝12，BC＝CD
在Rt△AED中，DE＝＝5
∵AE＝CE＝EF＝13
∴CF＝2EF，CD＝BC＝CE+DE＝18，
∵AE∥BC
∴＝
∴EG＝9
∴AG＝AE﹣EG＝13﹣9＝4
6．【解答】（1）证明：连接OC，
∵OC＝OB，
∴∠OCB＝∠B，
∵EO⊥AB，
∴∠OGB+∠B＝90°，
∵EG＝EC，
∴∠ECG＝∠EGC，
∵∠EGC＝∠OGB，
∴∠OCB+∠ECG＝∠B+∠OGB＝90°，
∴OC⊥CE，
∴EC是圆O的切线；
（2）①证明：∵∠ABC＝22.5°，∠OCB＝∠B，
∴∠AOC＝45°，
∵EO⊥AB，
∴∠COF＝45°，
∴＝，
∴AC＝CF；
②解：作CM⊥OE于M，
∵AB为直径，
∴∠ACB＝90°
∵∠ABC＝22.5°，∠GOB＝90°，
∴∠A＝∠OGB＝∠67.5°，
∴∠FGC＝67.5°，
∵∠COF＝45°，OC＝OF，
∴∠OFC＝∠OCF＝67.5°，
∴∠GFC＝∠FGC，
∴CF＝CG，
∴FM＝GM，
∵∠AOC＝∠COF，CD⊥OA，CM⊥OF，
∴CD＝DM，
在Rt△ACD和Rt△FCM中
∴Rt△ACD≌Rt△FCM（HL），
∴FM＝AD＝1，
∴FG＝2FM＝2．
7．【解答】（1）证明：连接OE交BC于M，
∵E为弧BC中点，
∴由垂径定理得：OE⊥BC，
∵DE∥BC，
∴OE⊥DE，
∵OE为半径，
∴DE是⊙O切线．
（2）连接AF，OF交AC于N，
∵AB＝AC＝10，
∴A在BC的垂直平分线上，
∵OE⊥BC，
∴BM＝CM＝6，
∴A、O、E三点共线，
∴AE是⊙O的直径，
∴∠AFE＝90°，
∵点F是弧AC的中点，
∴OF⊥AC，AN＝CN＝5，
在 Rt△ABM中，AB＝10，BM＝6，
∴AM＝＝8，
∵BM CM＝ME AM，
∴ME＝＝＝，
∴AE＝8+4.5＝12.5，
∴OA＝OF＝，
∴ON＝＝，
∴FN＝OF﹣ON＝﹣＝，
在Rt△AEF中，AF2＝AN2+FN2＝，
∴EF＝＝．
8．【解答】（1）证明：连接OC，
∵OE∥AC，
∴∠1＝∠ACB，
∵AB是⊙O的直径，
∴∠1＝∠ACB＝90°，
∴OD⊥BC，由垂径定理得OD垂直平分BC，
∴DB＝DC，
∴∠DBE＝∠DCE，
又∵OC＝OB，
∴∠OBE＝∠OCE，
即∠DBO＝∠OCD，
∵DB为⊙O的切线，OB是半径，
∴∠DBO＝90°，
∴∠OCD＝∠DBO＝90°，
即OC⊥DC，
∵OC是⊙O的半径，
∴DC是⊙O的切线；
（2）解：在Rt△ABC中，∠ABC＝30°，
∴∠3＝60°，又OA＝OC，
∴△AOC是等边三角形，
∴∠COF＝60°，
在Rt△COF中，tan∠COF＝，
∴CF＝4．
9．【解答】（1）证明：∵在矩形ABCD中，∠ABO＝∠OCE＝90°，
∵OE⊥OA，
∴∠AOE＝90°，
∴∠BAO+∠AOB＝∠AOB+∠COE＝90°，
∴∠BAO＝∠COE，
∴△ABO∽△OCE，
∴＝，
∵OB＝OC，
∴，
∵∠ABO＝∠AOE＝90°，
∴△ABO∽△AOE，
∴∠BAO＝∠OAE，
过O作OF⊥AE于F，
∴∠ABO＝∠AFO＝90°，
在△ABO与△AFO中，，
∴△ABO≌△AFO（AAS），
∴OF＝OB，
∴AE是半圆O的切线；
（2）解：连接PF，FC，FO并延长交⊙O于G，
则∠G＝∠ACF，∠G+∠PFG＝90°，
∵AF是⊙O的切线，
∴∠AFG+∠PFG＝90°，
∴∠AFP＝∠G＝∠ACF，
∵∠FAP＝∠ACF，
∴△AFP∽△ACF，
∴＝，
∴AF2＝AP AC，
∴AF＝＝2，
∴AB＝AF＝2，
∵AC＝6，
∴BC＝＝2，
∴AO＝＝3，
∵△ABO∽△AOE，
∴，
∴＝，
∴AE＝3．
10．【解答】解：（1）连接OC，
∵AB是⊙O的直径，
∴∠ACB＝90°，
∴∠CAD+∠ABC＝90°，
∵CE＝CB，
∴∠CAE＝∠CAB，
∵∠BCD＝∠CAE，
∴∠CAB＝∠BCD，
∵OB＝OC，
∴∠OBC＝∠OCB，
∴∠OCB+∠BCD＝90°，
∴∠OCD＝90°，
∴CD是⊙O的切线；
（2）∵∠BAC＝∠CAE，∠ACB＝∠ACF＝90°，AC＝AC，
∴△ABC≌△AFC（ASA），
∴CB＝CF，
又∵CB＝CE，
∴CE＝CF；
（3）∵∠BCD＝∠CAD，∠ADC＝∠CDB，
∴△CBD∽△DCA，
∴，
∴，
∴DA＝2，
∴AB＝AD﹣BD＝2﹣1＝1，
设BC＝a，AC＝a，由勾股定理可得：，
解得：a＝，
∴．
11．【解答】（1）证明：连接OC，
∵OA＝OC，
∴∠OAC＝∠OCA，
∵∠OAC＝∠DAC，
∴∠OCA＝∠DAC，
∴OC∥AD，
∵AD⊥CD，
∴CD⊥OC，
∴CD为⊙O的切线，
∴直线CD与⊙O相切于点C；
（2）解：∵∠CAD＝30°，
∴∠CAE＝∠CAD＝30°，
由圆周角定理得，∠COE＝60°，
∴OE＝2OC＝6，EC＝OC＝3，
的长为：＝π，
∴蚂蚁爬过的路程＝3+3+π≈11.3．
12．【解答】（1）证明：连接OD，作OG⊥AB于G，如图1所示：
则∠OGB＝90°，
∵△ABC为等边三角形，
∴∠OCD＝∠OBG＝∠ABC＝60°，
∵O为BC的中点，
∴OB＝OC，
∵⊙O与AC相切于点D，
∴AC⊥OD，
∴∠ODC＝90°＝∠OGB，
在△OBG和△OCD中，，
∴△OBG≌△OCD（AAS），
∴OG＝OD，∴AB与⊙O相切；
（2）解：连接OA、OM，作OH⊥FM于H，如图2所示：
则∠OHB＝90°，FH＝MH，
∵CE＝AC，AC＝BC，
∴CE＝BC，
∴∠CBE＝∠CEB＝∠ACB＝30°，
∴∠ABE＝∠ABC+∠CBE＝90°，
∵∠OGB＝90°，
∴四边形OHBG是矩形，
∴OH＝BG，
∵△ABC是等边三角形，O为BC的中点，
∴OB＝BC＝AB＝2，
∵∠BOG＝90°﹣60°＝30°，
∴OH＝BG＝OB＝1，OG＝BG＝，
在Rt△OMH中，OM＝OG＝，OH＝1，
∴MH＝＝，
∴FM＝2MH＝2．
13．【解答】（1）证明：连接OD，如图所示：
∵CD是⊙O的切线，
∴OD⊥CD，
∴∠ODE＝90°，
∵OE∥AD，
∴∠BOE＝∠OAD，∠ADO＝∠DOE，
∵OA＝OD，
∴∠ADO＝∠OAD，
∴∠BOE＝∠DOE，
在△OBE和△ODE中，，
∴△OBE≌△ODE（SAS），
∴∠OBE＝∠ODE＝90°，
∴EB⊥OB，
∵OB是⊙O的半径，
∴EB是⊙O的切线．
（2）解：连接BD，如图2所示：
设⊙O的半径为r，
∵AB是⊙O的直径，
∴∠ADB＝90°，
在Rt△ADB中，cos∠BAD＝＝＝，
在Rt△ODE中，cos∠＝，
∵∠BAD＝∠DOE，
∴＝，
∴OE＝r2，
∵OE∥AD，
∴△CAD∽△COE，
∴＝，即＝，
整理得：3r2﹣r﹣2＝0，
解得：r＝1，或r＝﹣（舍去），
∴⊙O的半径为1．
14．【解答】解：（1）如图，连接OD，AD，
∵AC是直径，
∴∠ADC＝90°，
∴AD⊥BC，
∵AB＝AC，
∴∠CAD＝∠BAD＝∠BAC，
∵∠CDE＝∠BAC．
∴∠CDE＝∠CAD，
∵OA＝OD，
∴∠CAD＝∠ADO，
∵∠ADO+∠ODC＝90°，
∴∠ODC+∠CDE＝90°
∴∠ODE＝90°
又∵OD是⊙O的半径
∴DE是⊙O的切线；
（2）解：∵AB＝AC，AD⊥BC，
∴BD＝CD，
∵AB＝3BD，
∴AC＝3DC，
设DC＝x，则AC＝3x，
∴AD＝＝2x，
∵∠CDE＝∠CAD，∠DEC＝∠AED，
∴△CDE∽△DAE，
∴＝，即＝＝
∴DE＝4，x＝，
∴AC＝3x＝14，
∴⊙O的半径为7．
15．【解答】（1）证明：连接OD、CD，
∵CE是⊙O的直径，
∴∠EDC＝90°，
∵DE∥OA，
∴OA⊥CD，
∴OA垂直平分CD，
∴OD＝OC，
∴OD＝OE，
∴∠OED＝∠ODE，
∵DE∥OA，
∴∠ODE＝∠AOD，∠DEO＝∠AOC，
∴∠AOD＝∠AOC，
∵AC是切线，
∴∠ACB＝90°，
在△AOD和△AOC中
∴△AOD≌△AOC（SAS），
∴∠ADO＝∠ACB＝90°，
∵OD是半径，
∴AB是⊙O的切线；
（2）解：连接OD，CD，
∵BD是⊙O切线，
∴∠ODB＝90°，
∴∠BDE+∠ODE＝90°，
∵CE是⊙O的直径，
∴∠CDE＝90°，
∴∠ODC+∠ODE＝90°，
∴∠BDE＝∠ODC，
∵OC＝OD，
∴∠OCD＝∠ODC，
∴∠BDE＝∠OCD，
∵∠B＝∠B，
∴△BDE∽△BCD，
∴
∴BD2＝BE BC，
设BE＝x，∵BD＝4，EC＝6，
∴42＝x（x+6），
解得x＝2或x＝﹣8（舍去），
∴BE＝2，
∴BC＝BE+EC＝8，
∵AD、AC是⊙O的切线，
∴AD＝AC，
设AD＝AC＝y，
在Rt△ABC中，AB2＝AC2+BC2，
∴（4+y）2＝y2+82，
解得y＝6，
∴AC＝6，
故AC的长为6．
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