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2025年九年级数学中考三轮冲刺训练圆中切线的判定与性质综合训练（二）
1．如图，四边形ABCD内接于⊙O，AB＝AD，连接BD，过A点作AE∥BD交CD的延长线于E．
（1）求证：AE为⊙O的切线；
（2）若AB∥CD，AB＝8，CD＝6，求⊙O半径的长．
2．如图，AB为⊙O的直径，点D在⊙O外，∠BAD的平分线与⊙O交于点C，连接BC、CD，且∠D＝90°．
（1）求证：CD是⊙O的切线；
（2）若∠DCA＝60°，BC＝3，求BC的长．
3．如图，菱形ABCD，AB＝4，以AB为直径作⊙O，交AC于点E，过点E作EF⊥AD于点F．
（1）求证：EF是⊙O的切线；
（2）连接OF，若∠BAD＝60°，求OF的长．
4．如图，在△ABC中，AB＝BC，以BC为直径作⊙O交AC于点E，过点E作AB的垂线交AB于点F，交CB的延长线于点G．
（1）求证：EG是⊙O的切线；
（2）若BG＝OB，AC＝6，求BF的长．
5．如图，AB是⊙O的直径，点C是弧BE中点，AE⊥CD于点D，延长DC，AB交于点F，已知AD＝4，FC＝FB．
（1）求证：CD是⊙O的切线．
（2）求线段FC的长．
6．如图，△ABC内接于⊙O，AB＝AC，BO的延长线交AC于点D，且∠DOC＝∠DCO，E是弧AC上的一点，过点C作CF⊥AE交AE的延长线于点F，连接OA
（1）求证：AO⊥BC；
（2）若3∠CAF＝2∠ABC，求证：CF是⊙O的切线；
（3）若⊙O的半径为1，求CD的长．
7．如图，点A、B、C、D是⊙O上的四个点，AC是⊙O的直径，∠DAC＝2∠BAC，过点B的直线与AC的延长线、DC的延长线分别相交于点E、F，且EF＝CF．
（1）求证：BE是⊙O的切线；
（2）若⊙O的半径为5，CE＝3，求CD的长．
8．如图，在△ABC中，E是AC边上的一点，且AE＝AB，∠BAC＝2∠CBE，以AB为直径作⊙O交AC于点D，交BE于点F．
（1）求证：EF＝BF；
（2）求证：BC是⊙O的切线．
（3）若AB＝4，BC＝3，求DE的长，
9．如图，直线l与⊙O相离，OA⊥l于点A，与⊙O相交于点P，OA＝5．C是直线l上一点，连结CP并延长交⊙O于另一点B，且AB＝AC．
（1）求证：AB是⊙O的切线；
（2）若⊙O的半径为3，求线段BP的长．
10．如图1，AB为半圆的直径，点O为圆心，AF为半圆的切线，过半圆上的点C作CD∥AB交AF于点D，连接BC．
（1）连接DO，若BC∥OD，求证：CD是半圆的切线；
（2）如图2，当线段CD与半圆交于点E时，连接AE，AC，判断∠AED和∠ACD的数量关系，并证明你的结论．
11．如图，点B是⊙O上一点，弦CD⊥OB于点E，过点C的切线交OB的延长线于点F，连接DF，
（1）求证：DF是⊙O的切线；
（2）若⊙O的半径为2，∠CFD＝60°，求CD的长．
12．如图，在△ABC中，AB＝AC，∠BAC＝120°，点D在BC边上，⊙D经过点A和点B且与BC边相交于点E．
（1）求证：AC是⊙D的切线；
（2）若CE＝2，求⊙D的半径．
13．如图，点D是以AB为直径的⊙O上一点，过点B作⊙O的切线，交AD的延长线于点C，E是BC的中点，连接DE并延长与AB的延长线交于点F．
（1）求证：DF是⊙O的切线；
（2）若OB＝BF，EF＝4，求AD的长．
14．如图，线段AB经过⊙O的圆心O，交⊙O于A、C两点，BC＝1，AD为⊙O的弦，连结BD，∠BAD＝∠ABD＝30°，连结DO并延长交⊙O于点E，连结BE交⊙O于点M．
（1）求证：直线BD是⊙O的切线；
（2）求⊙O的半径OD的长；
（3）求线段BM的长．
15．如图，AB是⊙O的直径，C是⊙O上一点，过点O作OD⊥AB，交BC的延长线于D，交AC于点E，F是DE的中点，连接CF．
（1）求证：CF是⊙O的切线．
（2）若∠A＝22.5°，求证：AC＝DC．
16．如图，在△ABC中，E为BC边上一点，以BE为直径的AR半圆D与AC相切于点F，且EF∥AD，AD交半圆D于点G．
（1）求证：AB是半圆D的切线；
（2）若EF＝2，AD＝5，求切线长AB．
17．如图，在△ABC中，以AC为直径的⊙O交AB于点D，连接CD，∠BCD＝∠A．
（1）求证：BC是⊙O的切线；
（2）若BC＝5，BD＝3，求点O到CD的距离．
18．在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，BE平分∠ABC，D是边AB上一点，以BD为直径的⊙O经过点E，且交BC于点F．
（1）求证：AC是⊙O的切线；
（2）若BF＝12，⊙O的半径为10，求CE的长．
19．如图，在△ABC中，AB＝AC，点D是BC边上一点，且AD＝BD，⊙O是△ACD的外接圆
（1）求证：直线AB是⊙O的切线；
（2）若AB＝10，BC＝16，求⊙O的半径．
20．如图，点O在△ABC的边BC上，⊙O经过点A、C，且与BC相交于点D，点E是下半圆的中点，连接AE交BC于点F，已知AB＝BF．
（1）求证：AB是⊙O切线；
（2）若CF＝4，EF＝，求AB的长度．
参考答案
1．【解答】（1）证明：如图，连接OA，
∵AB＝AD，
∴∠ABD＝∠ADB，
∵AB＝AD，OB＝OD
∴∠BAO＝∠DAO
∴∠OAD+∠ADB＝90°
∵AE∥BD，
∴∠DAE＝∠ADB，
∴∠OAD+∠EAD＝90°，
即AE⊥OA，
∵点A在⊙O上，
∴AE是⊙O的切线．
（2）解：如图，延长AO交BD于点F，连接OB，
∵AE∥BD，AB∥CD，
∴四边形ABDE为平行四边形，
∴AB＝AD＝DE＝8，
∴∠BAO＝∠ABO
∵AE为⊙O的切线，∴∠DAE+∠DAF＝90°，
∵∠ADF+∠DAF＝90°，
∴∠DAE＝∠ADF，
∵∠ABD＝∠ADF，
∴∠DAE＝∠ABD＝∠ACD，
∵∠E＝∠E，
∴△ADE∽△CAE，
∴
∴AE2＝DE CE，
∴，
∴AE＝4，
∴，
∴，
∴＝6，
由（1）知OA⊥BD，
∴在Rt△BOF中，OB2＝OF2+BF2，
设OB＝x，则OF＝6﹣x，
∴，
解得：x＝．
即⊙O的半径为．
2．【解答】解：（1）证明：连接OC，
∵AC是∠BAD的平分线，
∴∠CAD＝∠BAC，
又∵OA＝OC，
∴∠OAC＝∠OCA，
∴∠OCA＝∠CAD，
∴OC∥AD，
∴∠OCD＝∠D＝90°，
∴CD是⊙O的切线；
（2）解：∵∠ACD＝60°，
∴∠OCA＝30°，
∵AB为⊙O的直径，
∴∠ACB＝90°，
∴∠OCB＝60°，
∵OC＝OB，
∴△OCB是等边三角形，
∴OB＝OC＝BC＝3，∠COB＝60°，
∴的长：＝π．
3．【解答】（1）证明：连接OE，
∵四边形ABCD是菱形，
∴∠CAD＝∠CAB，
∵OA＝OE，
∴∠OEA＝∠CAB，
∴∠CAD＝∠OEA，
∴OE∥AD，
∵EF⊥AD，
∴∠AFE＝90°，
∴∠CAD+∠AEF＝90°，
∴∠OEA+∠AEF＝90°，即∠OEF＝90°，
又∵OE是⊙O半径，
∴EF是⊙O的切线；
（2）解：连接BE，
∵AB是⊙O的直径，
∴∠AEB＝90°
∵∠BAD＝60°，
∴∠CAD＝∠CAB＝30°，
在Rt△ABE中，，
在Rt△AEF中，，
在Rt△OEF中，OE═＝2，
∴．
4．【解答】证明（1）如图：连接OE，BE
∵AB＝BC，
∴∠C＝∠A
∵BC是直径
∴∠CEB＝90°，且AB＝BC
∴CE＝AE，且CO＝OB
∴OE∥AB
∵GE⊥AB
∴EG⊥OE，且OE是半径
∴EG是⊙O的切线
（2）解：∵BG＝OB，OE⊥EG，
∴BE＝OG＝OB＝OC，
∴△OBE是等边三角形，
∴∠CBE＝60°，
∵AC＝6，
∴CE＝3，BE＝＝，
∴OE＝，
∵OB＝BG，OE∥AB，
∴BF＝OE＝．
5．【解答】（1）证明：连接OC．
∵C是的中点，
∴AC平分∠DAB，
∴∠DAC＝∠OAC，
∵OA＝OC，
∴∠OCA＝∠OAC，
∴∠DAC＝∠OCA，
∴DA∥OC，
∵AD⊥DC，
∴∠ADC＝90°，
∴∠OCD＝90°，
即OC⊥DC，
∵OC为半径，
∴DC为⊙O的切线；
（2）∵FC＝FB，
∴设BF＝x，则CF＝x，
∵CD是⊙O的切线，
∴CF2＝BF AF，
设OA＝OC＝OB＝r，
∴2x2＝x（x+2r），
∴x＝2r，
∴BF＝2r，
∵OC∥AD，
∴△OCF∽△ADF，
∴，
∴＝，
∴r＝3，
∴BF＝6，
∴FC＝FB＝6．
6．【解答】（1）证明：
在△AOB和△AOC，
∴△AOB≌△AOC（SSS），
∴∠BAO＝∠CAO，
∴AO⊥BC；
（2）证明：∵AO＝BO＝CO，∠BAO＝∠CAO，
∴∠ABO＝∠BAO＝∠CAO＝∠ACO，∠OBC＝∠OCB，
∵∠DOC＝∠DCO，∠DOC＝2∠OBC，
∴∠ABO＝2∠OBC，
∴∠ABO＝∠ABC，
∵3∠CAF＝2∠ABC，
∴∠CAF＝∠ABC，
∴∠CAF＝∠ABO，
∴∠CAF＝∠OCA，
∴AF∥OC，
∵CF⊥AF，
∴CF⊥OC；
（3）解：∵∠AOD＝2∠BAO，∠ADO＝2∠ACO，
∴∠AOD＝∠ADO，
∴AD＝AO＝OC＝1，
∵∠DOC＝∠DCO＝∠CAO，
∴△COD∽△CAO，
∴＝，
∴OC2＝CD AC，
设CD＝x，则AC＝x+1，
∴x（x+1）＝1，
解得x1＝，x2＝，
∴CD＝．
7．【解答】解：（1）连接OB．则∠BOC＝2∠BAC．
∵∠DAC＝2∠BAC，
∴∠BOC＝∠DAC，
∵EF＝CF，
∴∠FEC＝∠FCE，
∵∠FCE＝∠ACD，
∴∠FEC＝∠ACD，
∵AC是⊙O的直径，
∴∠ADC＝90°，
∴∠DAC+∠ACD＝90°，
∴∠BOC+∠ACD＝90°，
∴∠OBE＝180°﹣（∠BOE+∠FEC）＝90°，
∴BE⊥OB，
∴BE是⊙O的切线；
（2）在Rt△OBE中，，
由（1）知，∠BOE＝∠DAC，∠OBE＝∠ADC，
∴△ADC∽△OBE，
∴，
即，
∴．
8．【解答】（1）证明：∵AE＝AB，
∴△ABE是等腰三角形，
∵AB为⊙O的直径，
∴AF⊥BE，
∴EF＝BF；
（2）证明：∵AE＝AB，
∴△ABE是等腰三角形，
∴∠ABE＝（180°﹣∠BAC＝）＝90°﹣∠BAC，
∵∠BAC＝2∠CBE，
∴∠CBE＝∠BAC，
∴∠ABC＝∠ABE+∠CBE＝（90°﹣∠BAC）+∠BAC＝90°，
即AB⊥BC，
∴BC是⊙O的切线；
（3）解：连接BD，
∵AB是⊙O的直径，
∴∠ADB＝90°，
∵∠ABC＝90°，
∴∠ADB＝∠ABC，
∵∠A＝∠A，
∴△ABD∽△ACB，
∴，
∵在Rt△ABC中，AB＝4，BC＝3，
∴AC＝＝5，
∴＝，
解得：AD＝3.2，
∵AE＝AB＝4，
∴DE＝AE﹣AD＝4﹣3.2＝0.8．
9．【解答】（1）证明：如图，连结OB，则OP＝OB，
∴∠OBP＝∠OPB＝∠CPA，
AB＝AC，
∴∠ACB＝∠ABC，
而OA⊥l，即∠OAC＝90°，
∴∠ACB+∠CPA＝90°，
即∠ABP+∠OBP＝90°，
∴∠ABO＝90°，
OB⊥AB，
故AB是⊙O的切线；
（2）解：由（1）知：∠ABO＝90°，
而OA＝5，OB＝OP＝3，
由勾股定理，得：AB＝4，
过O作OD⊥PB于D，则PD＝DB，
∵∠OPD＝∠CPA，∠ODP＝∠CAP＝90°，
∴△ODP∽△CAP，
∴，
又∵AC＝AB＝4，AP＝OA﹣OP＝2，
∴，
∴，
∴．
10．【解答】（1）证明：连接OC，
∵AF为半圆的切线，AB为半圆的直径，
∴AB⊥AD，
∵CD∥AB，BC∥OD，
∴四边形BODC是平行四边形，
∴OB＝CD，
∵OA＝OB，
∴CD＝OA，
∴四边形ADCO是平行四边形，
∴OC∥AD，
∵CD∥BA，
∴CD⊥AD，
∵OC∥AD，
∴OC⊥CD，
∴CD是半圆的切线；
（2）解：∠AED+∠ACD＝90°，
理由：如图2，连接BE，
∵AB为半圆的直径，
∴∠AEB＝90°，
∴∠EBA+∠BAE＝90°，
∵∠DAE+∠BAE＝90°，
∴∠ABE＝∠DAE，
∵∠ACE＝∠ABE，
∴∠ACE＝∠DAE，
∵∠ADE＝90°，
∴∠DAE+∠AED＝∠AED+∠ACD＝90°．
11．【解答】（1）证明：连接OD，如图，
∵CF是⊙O的切线
∴∠OCF＝90°，
∴∠OCD+∠DCF＝90°
∵直径AB⊥弦CD，
∴CE＝ED，即OF为CD的垂直平分线
∴CF＝DF，
∴∠CDF＝∠DCF，
∵OC＝OD，
∴∠CDO＝∠OCD
∴∠CDO+∠CDB＝∠OCD+∠DCF＝90°，
∴OD⊥DF，
∴DF是⊙O的切线；
（2）解：∵FC，FD是⊙O的切线，∠CFD＝60°，
∴∠CFO＝30°，
∴∠COF＝60°，
∵CD⊥OB，
∴∠OCE＝30°，
∵OC＝2，
∴CE＝OC＝，
∴CD＝2CE＝2．
12．【解答】（1）证明：连接AD，
∵AB＝AC，∠BAC＝120°，
∴∠B＝∠C＝30°，
∵AD＝BD，
∴∠BAD＝∠B＝30°，
∴∠ADC＝60°，
∴∠DAC＝180°﹣60°﹣30°＝90°，
∴AC是⊙D的切线；
（2）解：连接AE，
∵AD＝DE，∠ADE＝60°，
∴△ADE是等边三角形，
∴AE＝DE，∠AED＝60°，
∴∠EAC＝∠AED﹣∠C＝30°，
∴∠EAC＝∠C，
∴AE＝CE＝2，
∴⊙D的半径AD＝2．
13．【解答】解：（1）如图，连接OD，BD，
∵AB为⊙O的直径，
∴∠ADB＝∠BDC＝90°，
在Rt△BDC中，∵BE＝EC，
∴DE＝EC＝BE，
∴∠1＝∠3，
∵BC是⊙O的切线，
∴∠3+∠4＝90°，
∴∠1+∠4＝90°，
又∵∠2＝∠4，
∴∠1+∠2＝90°，
∴DF为⊙O的切线；
（2）∵OB＝BF，
∴OF＝2OD，
∴∠F＝30°，
∵∠FBE＝90°，
∴BE＝EF＝2，
∴DE＝BE＝2，
∴DF＝6，
∵∠F＝30°，∠ODF＝90°，
∴∠FOD＝60°，
∵OD＝OA，
∴∠A＝∠ADO＝BOD＝30°，
∴∠A＝∠F，
∴AD＝DF＝6．
14．【解答】（1）证明：∵OA＝OD，∠A＝∠ABD＝30°，
∴∠A＝∠ADO＝30°，
∴∠DOB＝∠A+∠ADO＝60°，
∴∠ODB＝180°﹣∠DOB﹣∠B＝90°，
∵OD是半径，
∴BD是⊙O的切线；
（2）∵∠ODB＝90°，∠DBC＝30°，
∴OD＝OB，
∵OC＝OD，
∴BC＝OC＝1，
∴⊙O的半径OD的长为1；
（3）∵OD＝1，
∴DE＝2，BD＝，
∴BE＝＝，
∵BD是⊙O的切线，BE是⊙O 的割线，
∴BD2＝BM BE，
∴BM＝＝＝．
15．【解答】（1）证明：∵AB是⊙O的直径，
∴∠ACB＝∠ACD＝90°，
∵点F是ED的中点，
∴CF＝EF＝DF，
∴∠AEO＝∠FEC＝∠FCE，
∵OA＝OC，
∴∠OCA＝∠OAC，
∵OD⊥AB，
∴∠OAC+∠AEO＝90°，
∴∠OCA+∠FCE＝90°，即OC⊥FC，
∴CF与⊙O相切；
（2）解：连接AD，∵OD⊥AB，AC⊥BD，
∴∠AOE＝∠ACD＝90°，
∵∠AEO＝∠DEC，
∴∠OAE＝∠CDE＝22.5°，
∵AO＝BO，
∴AD＝BD，
∴∠ADO＝∠BDO＝22.5°，
∴∠ADB＝45°，
∴∠CAD＝∠ADC＝45°，
∴AC＝CD．
16．【解答】（1）证明：连接DF，
∵AC与半圆D相切于点F，
∴DF⊥AC，
∴∠AFD＝90°，
∵EF∥AD，
∴∠EFD＝∠ADF，∠FED＝∠ADB，
又∵DF＝DE，
∴∠EFD＝∠FED，
∴∠ADF＝∠ADB，
在△ABD与△AFD中
∴△ABD≌△AFD （SAS），
∴∠ABD＝∠AFD＝90°，
∴AB是半圆D的切线；
（2）解：∵EF∥AD，
∴△CFE∽△CAD，
∴，
设CE＝2x，
∴CD＝5x，DF＝DE＝3x，
∴在Rt△DFC中，由勾股定理得CF＝4x，
∴AF＝6x，
在Rt△ADF中，（6x）2+（3x）2＝52，
解得x＝，
∴AB＝AF＝6x＝2．
17．【解答】（1）证明：∵AC是⊙O的直径，
∴∠ADC＝90°，
∴∠A+∠ACD＝90°，
∵∠BCD＝∠A，
∴∠ACD+∠BCD＝90°，
∴∠ACB＝90°，
∴BC是⊙O的切线；
（2）解：过O作OH⊥CD于H，
∵∠BDC＝∠ACB＝90°，∠B＝∠B，
∴△ACB∽△CDB，
∴＝，
∴＝，
∴AB＝，
∴AD＝，
∵OH⊥CD，
∴CH＝DH，
∵AO＝OC，
∴OH＝AD＝，
∴点O到CD的距离是．
18．【解答】（1）证明：连接OE，
∵BE平分∠ABC，
∴∠CBE＝∠ABE，
∵OB＝OE，
∴∠ABE＝∠OEB，
∴∠CBE＝∠OEB，
∴OE∥BC，
∵∠ACB＝90°，
∴OE⊥AC，
∴AC是⊙O的切线；
（2）解：过O作OH⊥BC于H，
∴BH＝HF＝6，
在Rt△OBH中，
OH＝＝＝8，
在矩形OHCE中，CE＝OH＝8．
19．【解答】（1）证明：连接AO并延长交⊙O于E，连接DE，
∵AB＝AC，AD＝BD，
∴∠B＝∠BAD，∠B＝∠C，
∴∠C＝∠E，
∴∠E＝∠BAD，
∵AE是⊙O的直径，
∴∠ADE＝90°，
∴∠E+∠DAE＝90°，
∴∠BAD+∠DAE＝90°，
即∠BAE＝90°，
∴直线AB是⊙O的切线；
（2）解：过A作AF⊥BC于F，
∵∠B＝∠BAD，∠B＝∠C，
∴∠BAD＝∠C，
∵∠B＝∠B，
∴△BAD∽△BCA，
∴，
∴BD＝＝，
∴AD＝BD＝，
∵AB＝AC，AF⊥BC，
∴BF＝BC＝8，
∴AF＝＝6，
∵∠E＝∠C＝∠B，
∴sinE＝sinB，
∴＝，
∴AE＝，
∴⊙O的半径为．
20．【解答】解：（1）连接AO、EO，
∵点E是下半圆的中点，
∴∠DOE＝∠COE＝90°，
∴∠OEF+∠EFO＝90°，
∵∠EFO＝∠BFA，
∴∠OEF+∠BFA＝90°，
∵AB＝BF，AO＝EO，
∴∠BFA＝∠BAF，∠OEF＝∠OAF，
∴∠BAF+∠OAF＝∠BFA+∠OEF＝90°，
即∠BAO＝90°，
∵A为⊙O上的一点，
∴AB是⊙O切线；
（2）设FO＝x，则CO＝FC﹣FO＝4﹣x，
∴EO＝CO＝4﹣x，
在Rt△EFO中，EO2+FO2＝EF2，
∴（4﹣x）2+x2＝（）2，
解得：x1＝1，x2＝3（不合题意，舍去），
∴AO＝CO＝4﹣1＝3，
设AB＝y，则BO＝BF+FO＝y+1，
在Rt△ABO中，AO2+AB2＝BO2，
∴32+y2＝（y+1）2，
解得：y＝4，
∴AB＝4．
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