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2025年九年级数学中考三轮冲刺训练圆中相似三角形综合训练（一）
1．如图，AB为⊙O的直径，C，G是⊙O上两点，过点C的直线CD⊥BG于点D，交BA的延长线于点E，连接BC，交OD于点F，且BC平分∠ABD．
（1）求证：CD是⊙O的切线；
（2）若＝，求∠E的度数；
（3）连结AD，在（2）的条件下，若CD＝2，求AD的长．
2．如图，在直角三角形ABC中，∠ACB＝90°，点H是△ABC的内心，
AH的延长线和三角形ABC的外接圆O相交于点D，连结DB．
（1）求证：DH＝DB；
（2）过点D作BC的平行线交AC、AB的延长线分别于点E、F，已知CE＝1，圆O的直径为5．
①求证：EF为圆O的切线；
②求DF的长．
3．如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，点D在线段AB上，以AD为直径的⊙O与BC相交于点E，与AC相交于点F，∠B＝∠BAE＝30°．
（1）求证：BC是⊙O的切线；
（2）若AC＝3，求⊙O的半径r；
（3）在（1）的条件下，判断以A、O、E、F为顶点的四边形为哪种特殊四边形，并说明理由．
4．如图，在Rt△ABC中，∠ABC＝90°，AC的垂直平分线分别与AC，BC及AB的延长线相交于点D，E，F，⊙O是△BEF的外接圆，∠EBF的平分线交EF于点G，交⊙O于点H，连接BD、FH．
（1）试判断BD与⊙O的位置关系，并说明理由；
（2）当AB＝BE＝1时，求⊙O的面积；
（3）在（2）的条件下，求HG HB的值．
5．如图，△ABC为⊙O的内接三角形，AB为⊙O的直径，过点A作⊙O的切线交BC的延长线于点D．
（1）求证：△DAC∽△DBA；
（2）过点C作⊙O的切线CE交AD于点E，求证：CE＝AD；
（3）若点F为直径AB下方半圆的中点，连接CF交AB于点G，且AD＝6，AB＝3，求CG的长．
6．如图1，已知⊙O是△ADB的外接圆，∠ADB的平分线DC交AB于点M，交⊙O于点C，连接AC，BC．
（1）求证：AC＝BC；
（2）如图2，在图1的基础上做⊙O的直径CF交AB于点E，连接AF，过点A做⊙O的切线AH，若AH∥BC，求∠ACF的度数；
（3）在（2）的条件下，若△ABD的面积为，△ABD与△ABC的面积比为2：9，求CD的长．
7．如图，△ABC内接于⊙O，∠CBG＝∠A，CD为直径，OC与AB相交于点E，过点E作EF⊥BC，垂足为F，延长CD交GB的延长线于点P，连接BD．
（1）求证：PG与⊙O相切；
（2）若＝，求的值；
（3）在（2）的条件下，若⊙O的半径为8，PD＝OD，求OE的长．
8．如图，△ABC内接于⊙O，BC＝2，AB＝AC，点D为上的动点，且cos∠ABC＝．
（1）求AB的长度；
（2）在点D的运动过程中，弦AD的延长线交BC延长线于点E，问AD AE的值是否变化？若不变，请求出AD AE的值；若变化，请说明理由；
（3）在点D的运动过程中，过A点作AH⊥BD，求证：BH＝CD+DH．
9．如图1，直线l：y＝﹣x+b与x轴交于点A（4，0），与y轴交于点B，点C是线段OA上一动点（0＜AC＜）．以点A为圆心，AC长为半径作⊙A交x轴于另一点D，交线段AB于点E，连结OE并延长交⊙A于点F．
（1）求直线l的函数表达式和tan∠BAO的值；
（2）如图2，连结CE，当CE＝EF时，
①求证：△OCE∽△OEA；
②求点E的坐标；
（3）当点C在线段OA上运动时，求OE EF的最大值．
10．如图，四边形ABCD中，AB＝AD＝CD，以AB为直径的⊙O经过点C，连接AC、OD交于点E．
（1）证明：OD∥BC；
（2）若tan∠ABC＝2，证明：DA与⊙O相切；
（3）在（2）条件下，连接BD交⊙O于点F，连接EF，若BC＝1，求EF的长．
11．如图，△ABC是⊙O的内接三角形，点D在上，点E在弦AB上（E不与A重合），且四边形BDCE为菱形．
（1）求证：AC＝CE；
（2）求证：BC2﹣AC2＝AB AC；
（3）已知⊙O的半径为3．
①若＝，求BC的长；
②当为何值时，AB AC的值最大？
12．如图，已知P为锐角∠MAN内部一点，过点P作PB⊥AM于点B，PC⊥AN于点C，以PB为直径作⊙O，交直线CP于点D，连接AP，BD，AP交⊙O于点E．
（1）求证：∠BPD＝∠BAC．
（2）连接EB，ED，当tan∠MAN＝2，AB＝2时，在点P的整个运动过程中．
①若∠BDE＝45°，求PD的长．
②若△BED为等腰三角形，求所有满足条件的BD的长．
（3）连接OC，EC，OC交AP于点F，当tan∠MAN＝1，OC∥BE时，记△OFP的面积为S1，△CFE的面积为S2，请写出的值．
13．如图，C、D是以AB为直径的⊙O上的点，＝，弦CD交AB于点E．
（1）当PB是⊙O的切线时，求证：∠PBD＝∠DAB；
（2）求证：BC2﹣CE2＝CE DE；
（3）已知OA＝4，E是半径OA的中点，求线段DE的长．
14．如图，在以线段AB为直径的⊙O上取一点C，连接AC、BC．将△ABC沿AB翻折后得到△ABD．
（1）试说明点D在⊙O上；
（2）在线段AD的延长线上取一点E，使AB2＝AC AE．求证：BE为⊙O的切线；
（3）在（2）的条件下，分别延长线段AE、CB相交于点F，若BC＝2，AC＝4，求线段EF的长．
15．如图，⊙O是△ABC的外接圆，AE平分∠BAC交⊙O于点E，交BC于点D，过点E作直线l∥BC．
（1）判断直线l与⊙O的位置关系，并说明理由；
（2）若∠ABC的平分线BF交AD于点F，求证：BE＝EF；
（3）在（2）的条件下，若DE＝4，DF＝3，求AF的长．
参考答案
1．【解答】证明：（1）连接OC，
∵OC＝OB，BC平分∠ABD，
∴∠OCB＝∠OBC，∠OBC＝∠DBC，
∴∠DBC＝∠OCB，
∴OC∥BD，
∴∠BDC＝∠ECO，
∵CD⊥BD，
∴∠BDC＝90°，
∴∠ECO＝90°，
∵OC是⊙O的半径，
∴CD是⊙O的切线；
（2）由（1）知，
OC∥BD，
∴∠OCF＝∠DBF，∠COF＝∠BDF，
∴△OCF∽△DBD，
∴，
∵＝，
∴，
∵OC∥BD，
∴△EOC∽△EDB，
∴，
∴，
设OE＝2a，EB＝3a，
∴OB＝a，
∴OC＝a，
∵∠OCE＝90°，OC＝OE，
∴∠E＝30°；
（3）∵∠E＝30°，∠BDE＝90°，BC平分∠DBE，
∴∠EBD＝60°，∠OBC＝∠DBC＝30°，
∵CD＝2，
∴BC＝4，BD＝6，
∵，
∴OC＝4，
作DM⊥AB于点M，
∴∠DBM＝90°，
∵BD＝6，∠DBM＝60°，
∴BM＝3，DM＝3，
∵OC＝4，
∴AB＝8，
∴AM＝5，
∵∠DMA＝90°，DM＝3，
∴AD＝＝．
2．【解答】解：（1）证明：连接HB，
∵点H是△ABC的内心，
∴∠DAC＝∠DAB，∠ABH＝∠CBH，
∵∠DBC＝∠DAC，
∴∠DHB＝∠DAB+∠ABH＝∠DAC+∠CBH，
∵∠DBH＝∠DBC+∠CBH，
∴∠DHB＝∠DBH，
∴DH＝DB；
（2）①连接OD，
∵∠DOB＝2∠DAB＝∠BAC
∴OD∥AC，
∵AC⊥BC，BC∥EF，
∴AC⊥EF，
∴OD⊥EF，
∵点D在⊙O上，
∴EF是⊙O的切线；
②过点D作DG⊥AB于G，
∵∠EAD＝∠DAB，
∴DE＝DG，
∵DC＝DB，∠CED＝∠DGB＝90°，
∴△CDE≌△BDG，
∴GB＝CE＝1，
在Rt△ADB中，DG⊥AB，
∴∠DAB＝∠BDG，
∵∠DBG＝∠ABD，
∴△DBG∽△ABD，
∴，
∴DB2＝AB BG＝5×1＝5，
∴DB＝，DG＝2，
∴ED＝2，
∵H是内心，
∴AE＝AG＝4，
∵DO∥AE，
∴△OFD∽△AFE，
∴，
∴，
∴DF＝．
3．【解答】解：（1）如图1，
连接OE，∴OA＝OE，
∴∠BAE＝∠OEA，
∵∠BAE＝30°，
∴∠OEA＝30°，
∴∠AOE＝∠BAE+∠OEA＝60°，
在△BOE中，∠B＝30°，
∴∠OEB＝180°﹣∠B﹣∠BOE＝90°，
∴OE⊥BC，
∵点E在⊙O上，
∴BC是⊙O的切线；
（2）如图2，∵∠B＝∠BAE＝30°，
∴∠AEC＝∠B+∠BAE＝60°，
在Rt△ACE中，AC＝3，sin∠AEC＝，
∴AE＝＝＝2，
连接DE，∵AD是⊙O的直径，
∴∠AED＝90°，
在Rt△ADE中，∠BAE＝30°，cos∠DAE＝，
∴AD＝＝＝4，
∴⊙O的半径r＝AD＝2；
（3）以A、O、E、F为顶点的四边形是菱形，理由：如图3，
在Rt△ABC中，∠B＝30°，
∴∠BAC＝60°，
连接OF，∴OA＝OF，
∴△AOF是等边三角形，
∴OA＝AF，∠AOF＝60°，
连接EF，OE，
∴OE＝OF，
∵∠OEB＝90°，∠B＝30°，
∴∠AOE＝90°+30°＝120°，
∴∠EOF＝∠AOE﹣∠AOF＝60°，
∵OE＝OF，
∴△OEF是等边三角形，
∴OE＝EF，
∵OA＝OE，
∴OA＝AF＝EF＝OE，
∴四边形OAFE是菱形．
4．【解答】【解答】解：（1）BD与⊙O相切，
理由：如图1，连接OB，
∵OB＝OF，
∴∠OBF＝∠OFB，
∵∠ABC＝90°，AD＝CD，
∴BD＝CD，∠EBF＝90°，
∴∠C＝∠DBC，EF为直径，
∴点O在EF上，
∵∠C＝∠BFE，
∴∠DBC＝∠OBF，
∵∠CBO+∠OBF＝90°，
∴∠DBC+∠CBO＝90°，
∴∠DBO＝90°，
∴BD与⊙O相切；
（2）如图2，连接CF，HE，
∵∠CDE＝90°，∠ABC＝90°，
∴∠DEC＝∠A，
∵∠CED＝∠FEB，
∴∠FEB＝∠A．
∵AB＝BE，∠ABC＝∠CBF＝90°，
∴△ABC≌△EBF，
∵BC＝BF，
∴CF＝BF，
∵DF垂直平分AC，
∴AF＝CF＝AB+BF＝1+BF＝BF，
∴BF＝+1，
∴EF＝＝，
∵∠CBF＝90°，
∴EF是⊙O的直径，
∴⊙O的面积＝（EF）2 π＝π＝π；
（3）∵BH平分∠CBF，
∴＝，
∴EH＝FH，
∴△EHF是等腰直角三角形，
∴HF＝EF＝，
∵∠EFH＝∠HBF＝45°，∠BHF＝∠BHF，
∴△BHF∽△FHG，
∴，
∴HG HB＝HF2＝2+．
5．【解答】解：（1）∵AB是⊙O直径，
∴∠ACD＝∠ACB＝90°，
∵AD是⊙O的切线，
∴∠BAD＝90°，
∴∠ACD＝∠DAB＝90°，
∵∠D＝∠D，
∴△DAC∽△DBA；
（2）∵EA，EC是⊙O的切线，
∴AE＝CE（切线长定理），
∴∠DAC＝∠ECA，
∵∠ACD＝90°，
∴∠ACE+∠DCE＝90°，∠DAC+∠D＝90°，
∴∠D＝∠DCE，
∴DE＝CE，
∴AD＝AE+DE＝CE+CE＝2CE，
∴CE＝AD；
（3）如图，在Rt△ABD中，AD＝6，AB＝3，
∴tan∠ABD＝＝2，
过点G作GH⊥BD于H，
∴tan∠ABD＝＝2，
∴GH＝2BH，
∵点F是直径AB下方半圆的中点，
∴∠BCF＝45°，
∴∠CGH＝∠CHG﹣∠BCF＝45°，
∴CH＝GH＝2BH，
∴BC＝BH+CH＝3BH，
在Rt△ABC中，tan∠ABC＝＝2，
∴AC＝2BC，
根据勾股定理得，AC2+BC2＝AB2，
∴4BC2+BC2＝9，
∴BC＝，
∴3BH＝，
∴BH＝，
∴GH＝2BH＝，
在Rt△CHG中，∠BCF＝45°，
∴CG＝GH＝．
6．【解答】解：（1）∵DC平分∠ADB，
∴∠ADC＝∠BDC，
∴，
∴AC＝BC
（2）连接AO并延长交BC于I交⊙O于J，
∵AH是⊙O的切线且AH∥BC，
∴AI⊥BC，
由垂径定理得，BI＝IC，
∵AC＝BC，
∴IC＝AC，
在Rt△AIC中，IC＝AC，
∴∠IAC＝30°
∴∠ABC＝60°＝∠F＝∠ACB，
∵FC是直径，
∴∠FAC＝90°，
∴∠ACF＝180°﹣90°﹣60°＝30°；
（3）过点D作DG⊥AB，连接AO
由（1）（2）知，△ABC为等边三角形，
∵∠ACF＝30°，
∴AB⊥CF，
∴AE＝BE，
∴，
∴AB＝，
∴，
在Rt△AEC中，CE＝AE＝9，
在Rt△AEO中，设EO＝x，则AO＝2x，
∴AO2＝AE2+OE2，
∴，
∴x＝6，
∴⊙O的半径为6，
∴CF＝12，
∵，
∴DG＝2，
过点D作DP⊥CF，连接OD，
∵AB⊥CF，DG⊥AB，
∴CF∥DG，
∴四边形PDGE为矩形，
∴PE＝DG＝2，
∴CP＝PE+CE＝2+9＝11
在Rt△OPD中，OP＝5，OD＝6，
∴DP＝＝，
∴在Rt△CPD中，根据勾股定理得，CD＝＝2．
7．【解答】解：（1）如图，连接OB，则OB＝OD，
∴∠BDC＝∠DBO，
∵∠BAC＝∠BDC、∠BDC＝∠GBC，
∴∠GBC＝∠BDC，
∵CD是⊙O的直径，
∴∠DBO+∠OBC＝90°，
∴∠GBC+∠OBC＝90°，
∴∠GBO＝90°，
∴PG与⊙O相切；
（2）过点O作OM⊥AC于点M，连接OA，
则∠AOM＝∠COM＝∠AOC，
∵＝，
∴∠ABC＝∠AOC，
又∵∠EFB＝∠OMA＝90°，
∴△BEF∽△OAM，
∴＝，
∵AM＝AC，OA＝OC，
∴＝，
又∵＝，
∴＝2×＝2×＝；
（3）∵PD＝OD，∠PBO＝90°，
∴BD＝OD＝8，
在Rt△DBC中，BC＝＝8，
又∵OD＝OB，
∴△DOB是等边三角形，
∴∠DOB＝60°，
∵∠DOB＝∠OBC+∠OCB，OB＝OC，
∴∠OCB＝30°，
∴＝，＝，
∴可设EF＝x，则EC＝2x、FC＝x，
∴BF＝8﹣x，
在Rt△BEF中，BE2＝EF2+BF2，
∴100＝x2+（8﹣x）2，
解得：x＝6±，
∵6+＞8，舍去，
∴x＝6﹣，
∴EC＝12﹣2，
∴OE＝8﹣（12﹣2）＝2﹣4．
8．【解答】解：（1）作AM⊥BC，
∵AB＝AC，AM⊥BC，BC＝2BM，
∴CM＝BC＝1，
∵cosB＝＝，
在Rt△AMB中，BM＝1，
∴AB＝＝；
（2）连接DC，
∵AB＝AC，
∴∠ACB＝∠ABC，
∵四边形ABCD内接于圆O，
∴∠ADC+∠ABC＝180°，
∵∠ACE+∠ACB＝180°，
∴∠ADC＝∠ACE，
∵∠CAE公共角，
∴△EAC∽△CAD，
∴＝，
∴AD AE＝AC2＝10；
（3）在BD上取一点N，使得BN＝CD，
在△ABN和△ACD中
，
∴△ABN≌△ACD（SAS），
∴AN＝AD，
∵AN＝AD，AH⊥BD，
∴NH＝HD，
∵BN＝CD，NH＝HD，
∴BN+NH＝CD+HD＝BH．
9．【解答】解：∵直线l：y＝﹣x+b与x轴交于点A（4，0），
∴﹣×4+b＝0，
∴b＝3，
∴直线l的函数表达式y＝﹣x+3，
∴B（0，3），
∴OA＝4，OB＝3，
在Rt△AOB中，tan∠BAO＝＝；
（2）①如图2，连接DF，∵CE＝EF，
∴∠CDE＝∠FDE，
∴∠CDF＝2∠CDE，
∵∠OAE＝2∠CDE，
∴∠OAE＝∠ODF，
∵四边形CEFD是⊙O的圆内接四边形，
∴∠OEC＝∠ODF，
∴∠OEC＝∠OAE，
∵∠COE＝∠EOA，
∴△COE∽△EOA，
②过点E⊥OA于M，
由①知，tan∠OAB＝，
设EM＝3m，则AM＝4m，
∴OM＝4﹣4m，AE＝5m，
∴E（4﹣4m，3m），AC＝5m，∴
OC＝4﹣5m，
由①知，△COE∽△EOA，
∴，
∴OE2＝OA OC＝4（4﹣5m）＝16﹣20m，
∵E（4﹣4m，3m），
∴（4﹣4m）2+9m2＝25m2﹣32m+16，
∴25m2﹣32m+16＝16﹣20m，
∴m＝0（舍）或m＝，
∴4﹣4m＝，3m＝，
∴E（，），
（3）如图，设⊙O的半径为r，过点O作OG⊥AB于G，
∵A（4，0），B（0，3），
∴OA＝4，OB＝3，
∴AB＝5，
∴AB×OG＝OA×OB，
∴OG＝，
∴AG＝＝×＝，
∴EG＝AG﹣AE＝﹣r，
连接FH，
∵EH是⊙O直径，
∴EH＝2r，∠EFH＝90°＝∠EGO，
∵∠OEG＝∠HEF，
∴△OEG∽△HEF，
∴，
∴OE EF＝HE EG＝2r（﹣r）＝﹣2（r﹣）2+，
∴r＝时，OE EF最大值为．
10．【解答】解：（1）连接OC，
在△OAD和△OCD中，
∵，
∴△OAD≌△OCD（SSS），
∴∠ADO＝∠CDO，
又AD＝CD，
∴DE⊥AC，
∵AB为⊙O的直径，
∴∠ACB＝90°，
∴∠ACB＝90°，即BC⊥AC，
∴OD∥BC；
（2）∵tan∠ABC＝＝2，
∴设BC＝a、则AC＝2a，
∴AD＝AB＝＝，
∵OE∥BC，且AO＝BO，
∴OE＝BC＝a，AE＝CE＝AC＝a，
在△AED中，DE＝＝2a，
在△AOD中，AO2+AD2＝（）2+（a）2＝a2，OD2＝（OE+DE）2＝（a+2a）2＝a2，
∴AO2+AD2＝OD2，
∴∠OAD＝90°，
则DA与⊙O相切；
（3）连接AF，
∵AB是⊙O的直径，
∴∠AFD＝∠BAD＝90°，
∵∠ADF＝∠BDA，
∴△AFD∽△BAD，
∴＝，即DF BD＝AD2①，
又∵∠AED＝∠OAD＝90°，∠ADE＝∠ODA，
∴△AED∽△OAD，
∴＝，即OD DE＝AD2②，
由①②可得DF BD＝OD DE，即＝，
又∵∠EDF＝∠BDO，
∴△EDF∽△BDO，
∵BC＝1，
∴AB＝AD＝、OD＝、ED＝2、BD＝、OB＝，
∴＝，即＝，
解得：EF＝．
11．【解答】解：（1）∵四边形EBDC为菱形，
∴∠D＝∠BEC，
∵四边形ABDC是圆的内接四边形，
∴∠A+∠D＝180°，
又∠BEC+∠AEC＝180°，
∴∠A＝∠AEC，
∴AC＝AE；
（2）以点C为圆心，CE长为半径作⊙C，与BC交于点F，于BC延长线交于点G，则CF＝CG，
由（1）知AC＝CE＝CD，
∴CF＝CG＝AC，
∵四边形AEFG是⊙C的内接四边形，
∴∠G+∠AEF＝180°，
又∵∠AEF+∠BEF＝180°，
∴∠G＝∠BEF，
∵∠EBF＝∠GBA，
∴△BEF∽△BGA，
∴＝，即BF BG＝BE AB，
∵BF＝BC﹣CF＝BC﹣AC、BG＝BC+CG＝BC+AC，BE＝CE＝AC，
∴（BC﹣AC）（BC+AC）＝AB AC，即BC2﹣AC2＝AB AC；
（3）设AB＝5k、AC＝3k，
∵BC2﹣AC2＝AB AC，
∴BC＝2k，
连接ED交BC于点M，
∵四边形BDCE是菱形，
∴DE垂直平分BC，
则点E、O、M、D共线，
在Rt△DMC中，DC＝AC＝3k，MC＝BC＝k，
∴DM＝＝k，
∴OM＝OD﹣DM＝3﹣k，
在Rt△COM中，由OM2+MC2＝OC2得（3﹣k）2+（k）2＝32，
解得：k＝或k＝0（舍），
∴BC＝2k＝4；
②设OM＝d，则MD＝3﹣d，MC2＝OC2﹣OM2＝9﹣d2，
∴BC2＝（2MC）2＝36﹣4d2，
AC2＝DC2＝DM2+CM2＝（3﹣d）2+9﹣d2，
由（2）得AB AC＝BC2﹣AC2
＝﹣4d2+6d+18
＝﹣4（d﹣）2+，
∴当d＝，即OM＝时，AB AC最大，最大值为，
∴DC2＝，
∴AC＝DC＝，
∴AB＝，此时＝．
12．【解答】解：（1）∵PB⊥AM、PC⊥AN，
∴∠ABP＝∠ACP＝90°，
∴∠BAC+∠BPC＝180°，
又∠BPD+∠BPC＝180°，
∴∠BPD＝∠BAC；
（2）①如图1，
∵∠APB＝∠BDE＝45°，∠ABP＝90°，
∴BP＝AB＝2，
∵∠BPD＝∠BAC，
∴tan∠BPD＝tan∠BAC，
∴＝2，
∴BP＝PD，
∴PD＝2；
②当BD＝BE时，∠BED＝∠BDE，
∴∠BPD＝∠BPE＝∠BAC，
∴tan∠BPE＝2，
∵AB＝2，
∴BP＝，
∴BD＝2；
当BE＝DE时，∠EBD＝∠EDB，
∵∠APB＝∠BDE、∠DBE＝∠APC，
∴∠APB＝∠APC，
∴AC＝AB＝2，
过点B作BG⊥AC于点G，得四边形BGCD是矩形，
∵AB＝2、tan∠BAC＝2，
∴AG＝2，
∴BD＝CG＝2﹣2；
当BD＝DE时，∠DEB＝∠DBE＝∠APC，
∵∠DEB＝∠DPB＝∠BAC，
∴∠APC＝∠BAC，
设PD＝x，则BD＝2x，
∴＝2，
∴，
∴x＝，
∴BD＝2x＝3，
综上所述，当BD＝2、3或2﹣2时，△BDE为等腰三角形；
（3）如图3，过点O作OH⊥DC于点H，
∵tan∠BPD＝tan∠MAN＝1，
∴BD＝PD，
设BD＝PD＝2a、PC＝2b，
则OH＝a、CH＝a+2b、AC＝4a+2b，
∵OC∥BE且∠BEP＝90°，
∴∠PFC＝90°，
∴∠PAC+∠APC＝∠OCH+∠APC＝90°，
∴∠OCH＝∠PAC，
∴△ACP∽△CHO，
∴＝，即OH AC＝CH PC，
∴a（4a+2b）＝2b（a+2b），
∴a＝b，
即CP＝2a、CH＝3a，
则OC＝a，
∵△CPF∽△COH，
∴＝，即＝，
则CF＝a，OF＝OC﹣CF＝a，
∵BE∥OC且BO＝PO，
∴OF为△PBE的中位线，
∴EF＝PF，
∴＝＝．
13．【解答】解：（1）∵AB是⊙O的直径，
∴∠ADB＝90°，即∠BAD+∠ABD＝90°，
∵PB是⊙O的切线，
∴∠ABP＝90°，即∠PBD+∠ABD＝90°，
∴∠BAD＝∠PBD；
（2）∵∠A＝∠C、∠AED＝∠CEB，
∴△ADE∽△CBE，
∴＝，即DE CE＝AE BE，
如图，连接OC，
设圆的半径为r，则OA＝OB＝OC＝r，
则DE CE＝AE BE＝（OA﹣OE）（OB+OE）＝r2﹣OE2，
∵＝，
∴∠AOC＝∠BOC＝90°，
∴CE2＝OE2+OC2＝OE2+r2，BC2＝BO2+CO2＝2r2，
则BC2﹣CE2＝2r2﹣（OE2+r2）＝r2﹣OE2，
∴BC2﹣CE2＝DE CE；
（3）∵OA＝4，
∴OB＝OC＝OA＝4，
∴BC＝＝4，
又∵E是半径OA的中点，
∴AE＝OE＝2，
则CE＝＝＝2，
∵BC2﹣CE2＝DE CE，
∴（4）2﹣（2）2＝DE 2，
解得：DE＝．
14．【解答】解：（1）∵AB为⊙O的直径，
∴∠C＝90°，
∵将△ABC沿AB翻折后得到△ABD，
∴△ABC≌△ABD，
∴∠ADB＝∠C＝90°，
连接OD，
则OD＝AO＝BO，
∴点D在以AB为直径的⊙O上；
（2）∵△ABC≌△ABD，
∴AC＝AD，
∵AB2＝AC AE，
∴AB2＝AD AE，即＝，
∵∠BAD＝∠EAB，
∴△ABD∽△AEB，
∴∠ABE＝∠ADB＝90°，
∵AB为⊙O的直径，
∴BE是⊙O的切线；
（3）∵AD＝AC＝4、BD＝BC＝2，∠ADB＝90°，
∴AB＝＝＝2，
∵＝，
∴＝，
解得：DE＝1，
∴BE＝＝，
∵四边形ACBD内接于⊙O，
∴∠FBD＝∠FAC，即∠FBE+∠DBE＝∠BAE+∠BAC，
又∵∠DBE+∠ABD＝∠BAE+∠ABD＝90°，
∴∠DBE＝∠BAE，
∴∠FBE＝∠BAC，
又∠BAC＝∠BAD，
∴∠FBE＝∠BAD，
∴△FBE∽△FAB，
∴＝，即＝＝，
∴FB＝2FE，
在Rt△ACF中，∵AF2＝AC2+CF2，
∴（5+EF）2＝42+（2+2EF）2，
整理，得：3EF2﹣2EF﹣5＝0，
解得：EF＝﹣1（舍）或EF＝，
∴EF＝．
15.【解答】解：（1）直线l与⊙O相切．
理由：如图1所示：连接OE．
∵AE平分∠BAC，
∴∠BAE＝∠CAE．
∴．
∴OE⊥BC．
∵l∥BC，
∴OE⊥l．
∴直线l与⊙O相切．
（2）∵BF平分∠ABC，
∴∠ABF＝∠CBF．
又∵∠CBE＝∠CAE＝∠BAE，
∴∠CBE+∠CBF＝∠BAE+∠ABF．
又∵∠EFB＝∠BAE+∠ABF，
∴∠EBF＝∠EFB．
∴BE＝EF．
（3）由（2）得BE＝EF＝DE+DF＝7．
∵∠DBE＝∠BAE，∠DEB＝∠BEA，
∴△BED∽△AEB．
∴，即，解得；AE＝．
∴AF＝AE﹣EF＝﹣7＝．
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