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2025年九年级中考数学三轮冲刺训练圆中切线证明专题训练（一）
1．如图，点A、B在⊙O上，CB为⊙O的切线，AC＝BC，求证：AC为⊙O的切线．
2．如图，四边形ABCD为菱形，以AD为直径作⊙O交AB于点F，连接DB交⊙O于点H，E是BC上的一点，且BE＝BF，连接DE．
（1）求证：DE是⊙O的切线．
（2）若BF＝2，DH＝，求⊙O的半径．
3．如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，D是AC上一点，过B，C，D三点的⊙O交AB于点E，连接ED，EC，点F是线段AE上的一点，连接FD，其中∠FDE＝∠DCE．
（1）求证：DF是⊙O的切线．
（2）若D是AC的中点，∠A＝30°，BC＝4，求DF的长．
4．如图，Rt△ABC中，∠B＝90°，O是AB上的一点，以O为圆心，OB为半径的圆与AB交于点E，交AC于点D，其中DE∥OC．
（1）求证：AC为⊙O的切线；
（2）若AD＝，且AB、AE的长是关于x的方程x2﹣4x+k＝0的两个实数根，求⊙O的半径、CD的长．
5．如图，在△ABC中，AB＝AC，以AB为直径作⊙O交BC于点D．过点D作EF⊥AC，垂足为E，且交AB的延长线于点F．
（1）求证：EF是⊙O的切线；
（2）若AB＝8，∠A＝60°，求BD的长．
6．如图，已知AB是圆O的直径，弦CD⊥AB，垂足为H，在CD上有点N满足CN＝CA，AN交圆O于点F，过点F的AC的平行线交CD的延长线于点M，交AB的延长线于点E
（1）求证：EM是圆O的切线；
（2）若AC：CD＝5：8，AN＝3，求圆O的直径长度；
（3）在（2）的条件下，直接写出FN的长度．
7．如图，在△ABC中，∠C＝90°，∠ABC的平分线交AC于点E，过点E作BE的垂线交AB于点F，⊙O是△BEF的外接圆．
（1）求证：AC是⊙O的切线；
（2）过点E作EH⊥AB，垂足为H，求证：CD＝HF；
（3）若CD＝1，EF＝，求AF长．
8．如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，以AC为直径的⊙O交AB于点D，点Q为CA延长线上一点，延长QD交BC于点P，连接OD，∠ADQ＝∠DOQ．
（1）求证：PD是⊙O的切线；
（2）若AQ＝AC，AD＝4时，求BP的长．
9．已知等边△ABC内接于⊙O，D为弧BC的中点，连接DB、DC，过C作AB的平行线，交BD的延长线于点E．
（1）求证：CE与⊙O相切；
（2）若AB长为6，求CE长．
10．在△ABC中，以AB为直径作⊙O，⊙O交BC的中点D，过点D作DE⊥AC，垂足为E．求证：
（1）DE是⊙O的切线；
（2）AB＝AC．
11．如图，M，N是以AB为直径的⊙O上的点，且＝，弦MN交AB于点C，BM平分∠ABD，MF⊥BD于点F．
（1）求证：MF是⊙O的切线；
（2）若CN＝3，BN＝4，求CM的长．
12．如图，在半圆中，点O是圆心，AB是直径，点C是的中点，过点C作BD的垂线，交BD的延长线于点E．
（1）求证：CE是半圆的切线．
（2）若∠ABC＝30°，AB＝4，则的长为　 　．
13．如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，∠A＝30°，CD为斜边AB的中线．过点D作AB的垂线交AC于点E，再过A、D、E三点作⊙O．
（1）确定⊙O的圆心O的位置，并证明CD为⊙O的切线；
（2）若BC＝3，求⊙O的直径．
14．如图，△ABC中，以BC边为直径的⊙O交AC于D，AE平分∠BAC，交BD于F，且BE＝BF
（1）求证：AB是⊙O的切线；
（2）若BD＝3，DF＝1，求CF的长．
15．如图，△ABC的边AB是⊙O的直径，AC交⊙O与D，点E为⊙O上一点，且∠CBD＝∠E．
（1）求证：BC与⊙O相切；
（2）已知⊙O的半径长为，CD＝2，求BC的长．
参考答案
1．【解答】证明：连接OC，如图所示：
∵点A、B在⊙O上，
∴OA＝OB，
∵CB为⊙O的切线，
∴∠OBC＝90°，
在△OAC和△OBC中，，
∴△OAC≌△OBC（SSS），
∴∠OAC＝∠OBC＝90°，
∵OA是⊙O的半径，
∴AC为⊙O的切线．
2．【解答】（1）证明：如图1，连接DF，
∵四边形ABCD为菱形，
∴AB＝BC＝CD＝DA，AD∥BC，∠DAB＝∠C，
∵BF＝BE，
∴AB﹣BF＝BC﹣BE，
即AF＝CE，
∴△DAF≌△DCE（SAS），
∴∠DFA＝∠DEC，
∵AD是⊙O的直径，
∴∠DFA＝90°，
∴∠DEC＝90°
∵AD∥BC，
∴∠ADE＝∠DEC＝90°，
∴OD⊥DE，
∵OD是⊙O的半径，
∴DE是⊙O的切线；
（2）解：如图2，连接AH，
∵AD是⊙O的直径，
∴∠AHD＝∠DFA＝90°，
∴∠DFB＝90°，
∵AD＝AB，DH＝，
∴DB＝2DH＝2，
在Rt△ADF和Rt△BDF中，
∵DF2＝AD2﹣AF2，DF2＝BD2﹣BF2，
∴AD2﹣AF2＝DB2﹣BF2，
∴AD2﹣（AD﹣BF）2＝DB2﹣BF2，
∴，
∴AD＝5．
∴⊙O的半径为．
3．【解答】解：（1）∵∠ACB＝90°，点B，D在⊙O上，
∴BD是⊙O的直径，∠BCE＝∠BDE，
∵∠FDE＝∠DCE，∠BCE+∠DCE＝∠ACB＝90°，
∴∠BDE+∠FDE＝90°，
即∠BDF＝90°，
∴DF⊥BD，
又∵BD是⊙O的直径，
∴DF是⊙O的切线．
（2）如图，∵∠ACB＝90°，∠A＝30°，BC＝4，
∴AB＝2BC＝2×4＝8，
∴＝4，
∵点D是AC的中点，
∴，
∵BD是⊙O的直径，
∴∠DEB＝90°，
∴∠DEA＝180°﹣∠DEB＝90°，
∴，
在Rt△BCD中，＝＝2，
在Rt△BED中，BE＝＝＝5，
∵∠FDE＝∠DCE，∠DCE＝∠DBE，
∴∠FDE＝∠DBE，
∵∠DEF＝∠BED＝90°，
∴△FDE∽△DBE，
∴，即，
∴．
4．【解答】（1）证明：连接OD，如图1所示：
∵DE∥OC，
∴∠DEB＝∠COB，∠DOC＝∠ODE．
∵∠ODE＝∠OED，
∴∠DOC＝∠BOC．
∵OD＝OD，OC＝OC，
∴∠CDO＝∠CBO＝90°．
∴∠ODA＝90°．
∴AC是⊙O的切线．
（2）解：∵AB、AE的长是关于x的方程x2﹣4x+k＝0的两个实数根，
∴AB AE＝k，
如图2，连接DB，
∵EB是⊙O的直径，
∴∠EDB＝90°，
∴∠DEB+∠EBD＝90°，
∵AD是⊙O的切线，
∴∠ADO＝90°，
∴∠ADE+∠EDO＝90°，
∵OD＝OE，
∴∠DEO＝∠EDO，
∴∠ADE＝∠EBD，
∵∠DAE＝∠BAD，
∴△ADE∽△ABD，
∴，
∴AD2＝AE AB，
∵，
∴，
∴x2﹣4x+3＝0，
∴x1＝3，x2＝1，
∴AE＝1，AB＝3，
∴BE＝AB﹣AE＝3﹣1＝2，
∴⊙O的半径为1．
∵∠B＝90°，AC是⊙O的切线，
∴DC＝BC，
设CD＝x，在Rt△ABC中，AC＝x+，AB＝3，BC＝x，
∴，
解得：x＝．
∴．
5．【解答】（1）证明：连接OD，AD，
∵AB是⊙O的直径，
∴AD⊥BC，
∵AB＝AC，
∴BD＝CD，
∵OA＝OB，
∴OD∥AC，
∵EF⊥AC，
∴OD⊥EF，
∴EF是⊙O的切线；
（2）解：∵AB＝AC，AD⊥BC，
∴∠BAD＝∠BAC＝30°，
∴BD＝AB＝＝4．
6．【解答】（1）证明：连接FO，
∵CN＝AC，
∴∠CAN＝∠CNA，
∵AC∥ME，
∴∠CAN＝∠MFN，
∵∠CAN＝∠FNM，
∴∠MFN＝∠FNM＝∠CAN，
∵CD⊥AB，
∴∠HAN+∠HNA＝90°，
∵AO＝FO，
∴∠OAF＝∠OFA，
∴∠OFA+∠MFN＝90°，即∠MFO＝90°，
∴EM是圆O的切线；
（2）解：连接OC，
∵AC：CD＝5：8，设AC＝5a，则CD＝8a，
∵CD⊥AB，
∴CH＝DH＝4a，AH＝3a，
∵CA＝CN，
∴NH＝a，
∴AN＝＝＝a＝3，
∴a＝3，AH＝3a＝9，CH＝4a＝12，
设圆的半径为r，则OH＝r﹣9，
在Rt△OCH中，OC＝r，CH＝12，OH＝r﹣9，
由OC2＝CH2+OH2得r2＝122+（r﹣9）2，
解得：r＝，
∴圆O的直径为25；
（3）∵CH＝DH＝12，
∴CD＝24，
∵AC：CD＝5：8，
∴CN＝AC＝15，
∴DN＝24﹣15＝9，
∵∠AFD＝∠ACD，∠FND＝∠CNA，
∴△FND∽△CNA，
∴，
∵AN＝3，
∴，
∴FN＝．
7．【解答】证明：（1）如图1，连接OE．
∵BE⊥EF，
∴∠BEF＝90°，
∴BF是圆O的直径．
∵BE平分∠ABC，
∴∠CBE＝∠OBE，
∵OB＝OE，
∴∠OBE＝∠OEB，
∴∠OEB＝∠CBE，
∴OE∥BC，
∴∠AEO＝∠C＝90°，
∴AC是⊙O的切线；
（2）解：如图2，连结DE．
∵∠CBE＝∠OBE，EC⊥BC于C，EH⊥AB于H，
∴EC＝EH．
∵∠CDE+∠BDE＝180°，∠HFE+∠BDE＝180°，
∴∠CDE＝∠HFE．
在△CDE与△HFE中，
∴△CDE≌△HFE（AAS），
∴CD＝HF．
（3）解：由（2）得CD＝HF，又CD＝1，
∴HF＝1，
∵EF⊥BE，
∴∠BEF＝90°，
∴∠EHF＝∠BEF＝90°，
∵∠EFH＝∠BFE，
∴△EHF∽△BEF，
∴，即 ，
∴BF＝10，
∴OE＝BF＝5，OH＝5﹣1＝4，
∴Rt△OHE中，cos∠EOA＝，
∴Rt△EOA中，cos∠EOA＝，
∴，
∴OA＝，
∴AF＝．
8．【解答】解：（1）连接DC，
∵＝，
∴∠DCA＝∠DOA，
∵∠ADQ＝∠DOQ，
∴∠DCA＝∠ADQ，
∵AC是⊙O的直径，
∴∠ADC＝90°
∴∠DCA+∠DAC＝90°，
∵∠ADQ+∠DAC＝90°，∠ADO＝∠DAO，
∴∠ADQ+∠ADO＝90°，
∴DP是⊙O切线；
（2）∵∠C＝90°，OC为半径．
∴PC是⊙O切线，
∴PD＝PC，
连接OP，
∴∠DPO＝∠CPO，
∴OP⊥CD，
∴OP∥AD，
∵AQ＝AC＝2OA，
∴＝＝，
∵AD＝4，
∴OP＝6，
∵OP是△ACB的中位线，
∴AB＝12，
∵CD⊥AB，∠C＝90°，
∴BC2＝BD BA＝96，
∴BC＝4，
∴BP＝2．
9．【解答】（1）证明：连接OC，OB，
∵△ABC是等边三角形，
∴∠A＝∠ABC＝60°，
∵AB∥CE，
∴∠BCE＝∠ABC＝60°，
∵OB＝OC，
∴∠OBC＝∠OCB＝30°，
∴∠OCE＝∠OCB+∠BCE＝30°+60°＝90°，
∴CE与⊙O相切；
（2）∵四边形ABDC是圆的内接四边形，
∴∠A+∠BDC＝180°，
∴∠BDC＝120°，
∵D为弧BC的中点，
∴∠DBC＝∠BCD＝30°，
∴∠BEC＝180°﹣∠EBC﹣∠BCE＝90°，
∵AB＝BC＝6，
∴．
10．【解答】证明：（1）连接OD，
∵O是AB的中点，D是BC的中点，
∴OD是△ABC的中位线，
∴OD∥AC，
∵DE⊥AC，
∴DE⊥OD，
∴DE是⊙O的切线；
（2）连接AD，
∵AB是⊙O的直径，
∴∠ADB＝90°，
∴AD⊥BC，
∵D是BC的中点，
∴AD垂直平分BC，
∴AB＝AC．
11．【解答】证明：（1）连接OM，
∵OM＝OB，
∴∠OMB＝∠OBM，
∵BM平分∠ABD，
∴∠OBM＝∠MBF，
∴∠OMB＝∠MBF，
∴OM∥BF，
∵MF⊥BD，
∴OM⊥MF，即∠OMF＝90°，
∴MF是⊙O的切线；
（2）如图，连接AN，ON
∵＝，
∴AN＝BN＝4
∵AB是直径，＝，
∴∠ANB＝90°，ON⊥AB
∴AB＝＝4
∴AO＝BO＝ON＝2
∴OC＝＝＝1
∴AC＝2+1，BC＝2﹣1
∵∠A＝∠NMB，∠ANC＝∠MBC
∴△ACN∽△MCB
∴
∴AC BC＝CM CN
∴7＝3 CM
∴CM＝
12．【解答】证明：（1）如图，连接OC，
∵点C是中点
∴
∴∠ABC＝∠CBD
∵OB＝OC
∴∠OCB＝∠OBC，
∴∠OCB＝∠CBD
∴OC∥BD，且CE⊥BE
∴CE⊥OC，且OC是半径，
∴CE是半圆O的切线．
（2）∵∠ABC＝30°，且∠OCB＝∠ABC，
∴∠OCB＝∠ABC＝30°
∴∠AOC＝60°
∵AB＝4
∴OA＝2
∴的长＝＝π
故答案为：
13．【解答】（1）解：∵点D在⊙O上，DE⊥AB，
∴∠ADE＝90°，
∴AE为⊙O的直径，
∴圆心O在AE的中点处；
证明：连接OD，
∵∠A＝30°，
∴∠COD＝2∠A＝60°，
∵在Rt△ACB中，CD为斜边AB上的中线，
∴CD＝AB＝AD，
∴∠OCD＝∠A＝30°，
∴∠ODC＝180°﹣60°﹣30°＝90°，
即OD⊥DC，
∵OD过O，
∴CD为⊙O的切线；
（2）解：∵在Rt△ABC中，∠A＝30°，BC＝3，
∴AB＝2BC＝6，
∵D为AB的中点，
∴AD＝BD＝3，
在Rt△ADE中，AE＝＝＝2，
∴⊙O的直径为2．
14．【解答】（1）证明：∵BC为直径，
∴∠BDC＝∠ADB＝90°，
∴∠1+∠AFD＝90°
∵AE平分∠BAC，BE＝BF，
∴∠1＝∠2，∠3＝∠BEF，
∴∠2+∠AFD＝90°，
∵∠3＝∠AFD，
∴∠2+∠BEF＝90°，
∴∠ABC＝90°，
即AB⊥BC，
∴直线AB是⊙O的切线；
（2）解：∵BD＝3，DF＝1，
∴BE＝BF＝2，
∵∠1＝∠2，∠ABE＝∠ADF＝90°，
∴△ABE∽△ADF，
∴＝＝＝，
∴AB＝2DA，AE＝2AF，
∴AF＝EF，
∴BF＝AE，
∴AE＝2BF＝4，
∴AB＝＝2，
∴DA＝，
∵AB2＝DA AC，
∴AC＝＝4，
∴DC＝AC﹣AD＝3
在Rt△DCF中，CF＝＝2．
15．【解答】（1）证明：∵AB为⊙O的直径，
∴∠BAD+∠OBD＝90°，
∵∠DAB＝∠E，∠CBD＝∠E．
∴∠DAB＝∠CBD，
∴∠CBD+∠OBD＝90°，
即∠ABC＝90°，
∴BC是⊙O的切线．
（2）∵∠ADB＝∠ABC＝90°，
∠BAC＝∠DAB，
∴△ADB∽△ABC，
∴，
∴AB2＝AD AC，
设AD＝x，则，
解得x＝4，负值舍去，
∴AD＝4，
同理△CDB∽△CBA，
∴，
∴CB2＝CD AC，
BC＝．
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