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2025年陕西省高考数学适应性试卷（三）
一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。
1.已知集合，，则( )
A. B. C. D.
2.命题：，的否定为( )
A. ， B. ，
C. ， D. ，
3.设，其中为虚数单位则“”是“”的( )
A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件
C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件
4.米斗是随着粮食生产而发展出来的称量粮食的量器，早在先秦时期就有如图，是米斗中的一种，可盛升米升已知该米斗的盛米部分为正四棱台，上口宽为，下口宽，且，若，则该米斗的侧棱与下底面所成角的正切值为( )
A. B. C. D.
5.已知圆：，直线：，则直线与圆的公共点个数为( )
A. 个 B. 个
C. 个 D. 与有关，不能确定
6.在圆内接梯形中，，，，，则其外接圆的半径为( )
A. B. C. D.
7.某大型超市为了解顾客的购物习惯，对近期进入超市的名顾客进行了随机调查调查发现，有名顾客在进入超市前已经决定好了要购买的商品称为“计划型顾客”，其余名顾客则没有特定的购买计划称为“随机型顾客”根据以往的销售数据，“计划型顾客”在超市的平均消费金额为元，而“随机型顾客”中，有的人平均消费金额为元，另外的人平均消费金额为元若从该超市近期进入的顾客中随机抽取名，则这名顾客的平均消费金额不低于元的概率，以及该顾客的平均消费金额分别为( )
A. 概率为，平均消费金额为元 B. 概率为，平均消费金额为元
C. 概率为，平均消费金额为元 D. 概率为，平均消费金额为元
8.已知函数定义为：，若函数恰好有个零点，则实数的取值范围是( )
A. B. C. D.
二、多选题：本题共3小题，共18分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。
9.甲，乙两个体育社团小组成员的某次立定跳远成绩单位：厘米如下：
甲组：，，，，，，，，，，，
乙组：，，，，，，，，，
则下列说法正确的是( )
A. 甲组数据的第百分位数是
B. 乙组数据的中位数是
C. 从甲、乙两组各随机选取一个成员，两人跳远成绩均在厘米以上的概率为
D. 甲组中存在这样的成员，将他调派到乙组后，甲、乙两组的跳远平均成绩都有提高
10.设函数，则( )
A. 是周期函数 B. 的图象有对称轴
C. 在区间上单调递增 D. 的图象关于点中心对称
11.在边长为的正方体中，动点在棱上，动点在棱上，满足以下对运动过程的描述，正确的是( )
A. 存在，满足
B. 存在，使与所成角的余弦值为
C. 点到平面的距离为定值
D. 四面体的体积为定值
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。
12.若，，且与的夹角为锐角，则的取值范围是______．
13.已知点是抛物线的一点，为抛物线的焦点，在圆：上，则的最小值为______．
14.已知函数，则 ______．
四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
15.本小题分
如图，梯形中，，过、分别作，，垂足分别为，，，已知，将梯形沿、同侧折起，得空间几何体，如图．
Ⅰ若，证明：平面；
Ⅱ若，，线段上存在一点，满足与平面所成角的正弦值为，求的长．
16.本小题分
已知函数．
经过点作函数图象的切线，求切线的方程；
设函数，求在上的最小值．
17.本小题分
已知双曲线：的离心率为，直线：与双曲线相交于，两点．
求双曲线的渐近线方程；
若以为直径的圆过双曲线的左顶点，试判断直线是否过定点？若过定点，求出该定点的坐标；若不过定点，请说明理由；
设点是满足的双曲线上的一个动点，过作的渐近线的两条垂线，垂足分别为，，判断的面积是否为定值；若是，求出该定值并证明；若不是，请说明理由．
18.本小题分
无人驾驶被视为推动社会进步和改善生活质量的重要工具，但其安全性和对劳动就业的影响也受到人们的质疑为了解某大学的学生对无人驾驶的态度，随机调查了该校名大学生男女各人，调查结果如下表所示：
对无人驾驶的态度
性别 支持 中立 反对
男
女
用样本的频率分布估计该校每名学生对无人驾驶态度的概率分布，且学生的态度相互独立为衡量学生对无人驾驶的支持程度，每名支持者得分，每名中立者得分，每名反对者得分．
为判断性别对无人驾驶的支持态度是否存在关联，对上面数据重新整理形成下表，请补齐数据，并作出检验判断：能否有的把握认为性别与对无人驾驶的支持态度有关联？
对无人驾驶的态度
性别 支持 不支持
男
女
附：，
从抽样调查的名男大学生中，按分层抽样选名学生进行深度追踪访谈，求选出的名男大学生对无人驾驶的支持态度各异的概率；
从该校任选名学生，其中得分为的学生人数为，若，利用下面所给的两个结论，求正整数的最小值．
结论一：若随机变量，则随机变量近似服从正态分布；
结论二：若随机变量，则，．
19.本小题分
在人工智能的训练过程中，数据预处理至关重要现有一种“数据筛选器”工具，其功能为：对于一个无穷非负正整数数列，通过操作删去其中除以余数为的所有项，并将剩下的项按原来的位置排好形成一个新的无穷非负正整数数列设数列的通项公式，，通过“数据筛选器”工具对数列进行操作后得到，设前项和为．
求；
是否存在不同的正整数，，，使得，，成等差数列？若存在，求出所有的；若不存在，说明理由；
若，，对数列进行操作得到，将数列中下标除以余数为，的项删掉，剩下的项按从小到大排列后得到，再将的每一项都加上自身项数，最终得到，证明：每个大于的奇平方数都是中相邻两项的和．
参考答案
1.
2.
3.
4.
5.
6.
7.
8.
9.
10.
11.
12.
13.
14.
15.证明：Ⅰ由已知得四边形是正方形，且边长为，在图中，，
由已知得，，，平面，
平面，
又平面，，
又，，，平面，
平面．
解：Ⅱ在图中，，，，，平面，
即平面，
在梯形中，过点作交于点，连接，
由题意得，，则，则，，
过作交于点，可知，，两两垂直，
以为坐标原点，以，，分别为轴，轴，轴的正方向建立空间直角坐标系，
则，，，，
，，
设平面的一个法向量为，
由得，取得，
设，则，，得，
设与平面所成的角为，
．
所以．
16.解：，设切点为，切线的斜率为，
切线的方程为，把代入得，，所以，
所以直线的方程为；
，
，
设，
则，，
由，，则函数单调递减；
，，则函数单调递增；
所以
．
17.解：因为双曲线：的离心率为，
则，
所以，
即双曲线的渐近线方程为；
因为双曲线的左顶点，
所以，又，
得，
则双曲线的方程为，
联立方程组，
得，
，
设，，
则，，
则，
因为，
即，
展开，
即，
即，即，
所以或，
当时，直线：过，不符合题意，舍去；
当时，直线：过定点，
证明：由知双曲线的两条渐近线方程为和，
设，有，即，
则，
设渐近线的倾斜角为，
则，
所以的面积为定值．
18.解：如表，，，，
对无人驾驶的态度 支持 不支持
男
女
，
有的把握认为性别与对无人驾驶的支持态度有关联．
按分层抽样从名男生中选名，其中支持、中立、反对的人数分别为：、、，
故从中选出人态度各异的概率为；
由题可知从该校随机选一名学生得分的概率为，易知，
设，根据结论一，知．
再根据结论二，知．
由条件知，
所以，解得，所以正整数的最小值为．
19.解：由，知：，，，，，，
中除了除以余，其余各项除以余数均不为，
故，，，故，
故，故，
故当时，，
当时，．
而，故．
存在不同的正实数，，，使得，，成等差数列，
不妨设，，，，．
即，，
两边同除以得，，
设，，，，则．
当时，为奇数，为偶数，矛盾；
故不存在这样的正整数组．
证明：由题意．，
则，，，
所以保留，，则，，，
又当，代入上式，
得，，，，
将，删去，得到，则，．
，，．
即：，，即．
对每个大于的正奇数，若存在数列中相邻两项第，项满足，
若为奇数，则，解得，
但不一定为奇数，故分类讨论如下：
记项数，
由，，，
时，，
；
时，，
；
时，，，
；
时，，，
，
综上，对任意的，都有或，
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