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2025年河南省豫西名校高考数学模拟试卷（一）
一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。
1.已知集合，，则( )
A. B. C. D.
2.若，则( )
A. B. C. D.
3.已知向量，，，且，则( )
A. B. C. D.
4.已知圆锥的母线长为，为底面的圆心，其侧面积等于，则该圆锥的体积为( )
A. B. C. D.
5.已知角，，且，，则( )
A. B. C. D.
6.设函数，若为增函数，则实数的取值范围是( )
A. B. C. D.
7.已知函数的零点为轴上的所有整数，则函数的图象与函数的图象的交点个数为( )
A. B. C. D.
8.定义在上的函数满足，且当时，，则( )
A. B. C. D.
二、多选题：本题共3小题，共18分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。
9.李明每天：从家里出发去学校，有时坐公交车，有时骑自行车他各记录了次坐公交车和骑自行车所花的时间，经数据分析得到：坐公交车平均用时分钟，样本方差为；自行车平均用时分钟，样本方差为假设坐公交车用时和骑自行车用时都服从正态分布，则( )
A.
B.
C. 李明计划：前到校，应选择坐公交车
D. 李明计划：前到校，应选择骑自行车
10.已知是定义在上的奇函数，当时，，则( )
A. 的极大值点为
B. 函数的零点个数为
C. 函数的零点个数为
D. 的解集为
11.平面内到两定点距离之积为常数的点的轨迹称为卡西尼卵形线，它是年卡西尼在研究土星及其卫星的运行规律时发现的已知在平面直角坐标系中，，，动点满足，其轨迹为一条连续的封闭曲线，则下列结论正确的是( )
A. 曲线与轴的交点为和 B. 曲线关于轴对称，不关于轴对称
C. 坐标原点是曲线的对称中心 D. 的取值范围为
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。
12.在中，，，分别为角，，所对的边，若，则角 ______．
13.已知抛物线的焦点为，若以轴正方向的射线绕焦点逆时针旋转，与抛物线交于点，过作轴，交准线于点，则的面积为______．
14.将两个观赏球体封闭在一个正方体容器内，设正方体棱长为，则两个球体体积之和的最大值为______．
四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
15.本小题分
已知，曲线在点处的切线斜率为．
求的值；
求不等式的解集．
16.本小题分
小明参加一个抽纸牌游戏，规则如下：有九张质地完全相同的纸牌，其中有一张大王牌，其余四种花色为：红桃、黑桃、方块、梅花各张逐次从张牌中不放回地随机抽取一张纸牌，每次抽牌后，都往牌堆中加入一张新的大王牌．
求小明在前两次抽牌中只抽到一张大王牌的情况下，第三次抽牌抽到红桃牌的概率．
抽牌过程中，若抽到大王牌，则宣告游戏结束；若累计抽到两张花色相同的纸牌，也宣告游戏结束；否则游戏继续用表示小明在游戏中一共抽到的纸牌数，求的分布列．
17.本小题分
如图，在三棱柱中，平面，，，，，分别是棱，，上的动点，且G.
求证：；
若平面与平面的夹角的余弦值为，求．
18.本小题分
已知双曲线：的渐近线方程为，过点的直线交双曲线于，两点，且当轴时，．
求的方程；
记双曲线的左右顶点分别为，，直线，的斜率分别为，，求的值．
探究圆：是否存在点，使得过作双曲线的两条切线，互相垂直．
19.本小题分
对于，若数列满足，则称这个数列为“数列”．
已知数列，，是“数列”，求实数的取值范围．
是否存在首项为的等差数列为“数列”，且其前项和使得恒成立？若存在，求出数列的通项公式；若不存在，请说明理由．
已知各项均为正整数的等比数列是“数列”，数列不是“数列”，若，试判断数列是否为“数列”，并说明理由．
参考答案
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15.解：由已知，得，
又函数在点处的切线斜率为，
即，解得；
由得，，
则恒成立，即在上单调递增，
又，
即函数为奇函数，
由，可知，
即，解得，即不等式的解集为．
16.解：设事件表示“前两次抽牌中只抽到一张大王牌”，设事件表示“第三次抽到红桃牌”，
，
小明在前两次抽牌中只抽到一张大王牌的情况下，第三次抽牌抽到红桃牌的概率为．
的可能所有取值为：，，，，．
，
，
，
，
，
的分布列为：

17.解：证明：因为平面，，平面，
所以，，又，
故B，，两两垂直，
以为坐标原点，，，所在直线分别为，，轴，建立空间直角坐标系，
因为，，
设，，
所以，，，，
则，，
则，
故A；
因为，则，
则，
则，又，，平面，
所以平面，
故为平面的一个法向量，
又平面的法向量为，
则平面与平面的夹角的余弦值为，
又平面与平面的夹角的余弦值为，
所以，
解得，
即．
18.解：由对称性知，双曲线过点，
则，解得，
所以双曲线的方程为．
由得，，设，，
显然直线不垂直于轴，设直线的方程为，
联立，消去得，
显然，，
，所以，即，
所以
．
圆：上存在点，使得过作双曲线的两条切线互相垂直．
若双曲线的两条切线有交点，则两条切线的斜率存在且不为，
设双曲线的两条切线分别为，．
代入，
消去得：，
由得，
解得，因此；，
设两条切线的交点坐标为，
则，即有，且，
即，，
于是，是方程的两根，
而，则，即，从而两条切线交点的轨迹为圆，
而的圆心为，半径为，圆：的圆心，半径为．
显然，
满足，即圆与圆相交，
所以圆：上存在点，
使得过作双曲线的两条切线互相垂直．
19.解：由题意得，且，解得，
所以实数的取值范围是．
不存在．理由：假设存在等差数列符合要求，设公差为，则，
由得．
由题意，得对均成立，即．
当时，；
当时，恒成立，
因为，所以，与矛盾，
所以这样的等差数列不存在．
设数列的公比为，则．
因为的每一项均为正整数，且，
所以在中，为最小项．
同理，中，为最小项．
由为“数列”，只需，即．
又因为不是“数列”，且为最小项，
所以，即．
由数列的每一项均为正整数，可得，
所以，或，．
当，时，，则．
令，则，
又，
所以为递增数列，即，
因为，
所以对于任意的，都有，即数列为“数列”．
当，时，，则．
因为，所以数列不是“数列”．
综上所述，当，时，，数列为“数列”；
当，时，，数列不是“数列”．
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