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2025年浙江省衢州市、丽水市、湖州市高考数学二模试卷
一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。
1.已知集合，，则( )
A. B. C. D.
2.已知为虚数单位，复数是纯虚数，则( )
A. 或 B. C. D.
3.已知向量，，则向量在向量上的投影向量为( )
A. B. C. D.
4.若，则( )
A. B. C. D.
5.“”是“”的( )
A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充要条件 D. 既不充分也不必要
6.正方体中，点，分别为正方形及的中心，则异面直线与所成角的余弦值为( )
A. B. C. D.
7.在中，角，，所对的边分别为，，已知，，成等差数列，成等比数列，则( )
A. B. C. D.
8.过抛物线：焦点的直线与抛物线交于，两点，过点作的切线，交轴于点，过点作直线的平行线交轴于点，则的最小值是( )
A. B. C. D.
二、多选题：本题共3小题，共18分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。
9.已知函数，则( )
A. 的最大值是 B. 在上单调递增
C. D. 在上有两个零点
10.若函数与函数的图象关于直线对称，则函数的解析式可能是( )
A. B.
C. D.
11.如图，多面体由正四面体和正四面体拼接而成，一只蚂蚁从顶点出发，沿着多面体的各条棱爬行，每次等概率地爬行到相邻顶点中的一个，记次爬行后，该蚂蚁落在点的概率为，落在点的概率为，则( )
A.
B.
C.
D.
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。
12.已知等差数列的前项和为，，，则 ______．
13.已知斜率大于零的直线交椭圆：于，两点，交，轴分别于，两点，且，是线段的三等分点，则直线的斜率为______．
14.若定义在上的函数满足，则的最大值是______．
四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
15.本小题分
如图，在直角梯形中，，，将沿折起，使，连接，得到三棱锥．
求证：平面；
点是的中点，连接、，若．
求二面角的正切值；
求三棱锥的外接球体积．
16.本小题分
某校举办定点投篮挑战赛，规则如下：每位参赛同学可在，两点进行投篮，共投两次第一次投篮点可在，两点处随机选择一处，若投中，则第二次投篮点不变；若未投中，则第二次切换投篮点在点投中得分，在点投中得分，未投中均得分，各次投中与否相互独立．
在参赛的同学中，随机调查名的得分情况，得到如下列联表：
得分分 得分分 合计
先在点投篮
先在点投篮
合计
是否有的把握认为投篮得分与第一次投篮点的选择有关？
小明在点投中的概率为，在点投中的概率为．
求小明第一次投中的概率；
记小明投篮总得分为，求的分布列及数学期望．
参考公式：
17.本小题分
已知双曲线：的左，右焦点分别为，，且，圆与的渐近线相切．
求双曲线的标准方程；
若上两点，满足，且四边形的面积为，求的值．
18.本小题分
已知函数，为坐标原点．
当时，
求曲线在点处的切线方程；
若点是函数图象上一点，求的最小值；
若函数图象上存在不同两点，满足，求的取值范围．
19.本小题分
对于给定的项整数数列：，，，，定义变换：若，则加，，均加，其余项不变；若，则加，，均加，其余项不变；若，则加，，均加，其余项不变例如，对数列：，，做变换得到，，，即，，，，；而对数列：，，，先后做变换，可得到，，，，即，，，，，，，，，．
找出一系列变换，使得数列：，，经过这系列变换后成为常数列；
是否能找出一系列变换，使得数列：，，，，经过这系列变换后成为常数列，若存在，请给出具体的变换；若不存在，请说明理由；并请判断当为奇数时，对于任意数列，是否总存在一系列变换能使该数列成为常数列无须证明．
当为偶数且数列是递增数列时，是否存在一系列变换，使得该数列成为常数列，若存在，请给出具体的变换；若不存在，请说明理由．
参考答案
1.
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4.
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10.
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13.
14.
15.解：证明：因为，，，，平面，
所以平面，又平面，
所以，又因为，，，平面，
所以平面；
以为坐标原点，以，，所在直线为轴，轴，轴建立如图所示的空间直角坐标系，
则，，所以，，
设平面的一个法向量为，
则，
取，则，
由可知，平面的一个法向量为，
所以，
由图可知二面角平面角是锐角，记为，
则，
所以，
故二面角的正切值为；
因为，
所以为三棱锥的外接球的球心，且球半径为，
故三棱锥的外接球体积为．
16.解：零假设为得分与第一投篮点选择独立，即得分无差异，
根据小概率值的独立性检验，我们推断不成立，
因此认为得分与第一投篮点选择有关联，此推断犯错误的概率不超过；
设第次选择在点投篮记为事件，在点投篮记为事件，投中记为事件，
则，，；
，
所以小明第一次投篮命中的概率为；
小明投篮总得分可取，，，，，
则，
，，
，．
的分布列为
．
17.解：由题意得，解得，
双曲线的渐近线为，
，解得，所以，
故双曲线方程为：；
由同向可知，直线，与均有两个交点，
设直线，它与的另一个交点记为，
由双曲线的对称性可知，，故三角形面积等于三角形面积，
所以四边形面积等于三角形面积，
设，，
联立方程：，
得，，
三角形面积，
整理得，解得或，
经检验时，，故A，均在轴上方或下方，
不妨令，此时，
解得或，
画出图象如下：
此时反向，故舍去；
同理可得也不满足要求，
当时，可验证得同向，符合题意，
若，由，解得或，
由于，所以，
故，
若，同理可得，
综上，．
18.解：当，，
因为，则，，
故切线方程为；
设，则，
记，
则，
易知是关于的增函数且，
所以当，，单调递减；当，，单调递增，
故最小值为，得的最小值；
，，
则，
易知是关于的增函数且存在负实数，使得，
则，即，
所以当，，单调递减，当，，单调递增，
故最小值为，
注意到，，且，
为使有两个不等实数解，则有．
即，
考虑到函数是关于的减函数，且，，
故该函数存在唯一零点满足，则；
此处只需给出零点的一个合理估计即可．
若，即，则．
由，化简得，
记，注意到在区间的减函数，
所以，
故时，恒成立，即满足．
若，即，
则由，化简得，
，
则，
所以在区间单调递减，在区间单调递增且，，
故由，
解得，
而，
故满足．
综上所述的取值范围是．
19.解：，
此处，，三个变换顺序可调换，也可得到其他全相等的数．
存在，
，
结合上述情况，推断当为奇数时，对于任意数列总存在一系列变换能使该数列成为常数列．
不存在，理由如下：假设存在次变换，能使得，，，经过这次变换后，
成为常数列，，，其中注意到每作一次变换，
均能使奇数项的和增加，偶数项的和增加，
因此次变换后有，
由和，所以，
而为递增数列，故，，，，
从而得，这与矛盾，
因此假设不成立，即不存在这样的系列变换使得该数列成为常数列．
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