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2025年中考数学专项突破练：因式分解与分式化简求值
1．因式分解：
2．因式分解：
3．因式分解：
(1)；
(2)；
(3)；
4．因式分解
(1)；
(2)；
(3)；
(4)．
5．因式分解：
(1)
(2)
6．因式分解
(1)
(2)
(3)
7．因式分解：
(1)；
(2)；
(3)．
8．因式分解：
(1)
(2)
9．将下列各式因式分解：
(1)；
(2)．
10．先化简，再求值：，然后从，0，1，3中选一个合适的数作为的值代入求值．
11．先化简：，再从，，，中选择一个适合的数代入求值．
12．先化简，再求代数式的值，其中，．
13．先化简，再求值：，其中a满足．
14．先化简．再求代数式的值，其中．
15．先化简，再求值：，其中．
16．先化简，再求值：，其中．
17．先化简，再求值：，其中是方程的根．
18．先化简，再求值：．其中．
19．先化简，再求值：，其中．
20．先化简，再求值：，其中．
21．先化简，再求值：，其中．
22．先化简，再求值：，然后选一个恰当的的值代入求值．
23．先化简，再求代数式的值，其中．
24．先化简，再求值：；请在以下四个数：，，，中，选择一个适当的数作为的值，并求出代数式的值．
25．先化简：，再选取一个你喜欢的值代入求值．
26．先化简，再求值：，其中．
27．先化简再求值： ，其中 ．
28．先化简，再求值：，其中x满足
29．先化简，再求值：，其中．
30．先化简：，再从中选择一个合适的数代入求值．
《2025年中考数学专项突破练：因式分解与分式化简求值》参考答案
1．
【分析】本题主要考查了分解因式，利用完全平方公式把后三项分解因式，再利用平方差公式分解因式即可．
【详解】解：
．
2．
【分析】此题考查了因式分解的方法．因式分解的方法有：提公因式法，平方差公式法，完全平方公式法，十字相乘法等．先将看作整体，利用十字相乘法分解，再利用十字相乘法继续分解即可．
【详解】解：
．
3．(1)
(2)
(3)
【分析】本题考查了因式分解，掌握因式分解的方法是解题的关键．
（1）先提取公因式，然后根据十字相乘法进行因式分解即可；
（2）根据平方差公式和完全平方公式进行因式分解即可；
（3）先把看成整体展开，然后根据十字相乘法进行因式分解即可．
【详解】（1）解：原式
；
（2）解：原式
；
（3）解：原式
．
4．(1)
(2)
(3)
(4)
【分析】本题主要考查了多项式的因式分解，熟练掌握多项式的因式分解方法，并灵活选用合适的方法解答是解题的关键．
（1）用提出公因式分解因式即可；
（2）用提出公因式分解因式即可；
（3）先提公因式，再利用平方差公式进行分解，即可求解；
（4）先根据平方差公式分解，再利用完全平方公式进行分解，即可求解．
【详解】（1）解：
；
（2）
；
（3）
；
（4）
．
5．(1)
(2)
【分析】本题考查了提公因式法和公式法进行因式分解，一个多项式有公因式首先提取公因式，然后再用其他方法进行因式分解，同时因式分解要彻底，直到不能再分解为止，熟练掌握完全平方公式是解题的关键．
（1）先提取公因式，接着利用完全平方公式进行因式分解；
（2）先提取公因式，接着利用平方差公式进一步因式分解．
【详解】（1）解：．
（2）解：
；
6．(1)
(2)
(3)
【分析】本题主要考查了分解因式，熟知分解因式的方法是解题的关键．
（1）直接提取公因式分解因式即可；
（2）先提取公因式，再利用平方差公式分解因式即可；
（3）先利用平方差公式分解因式，再利用完全平方公式分解因式即可．
【详解】（1）解：
；
（2）解：
；
（3）解：
7．(1)
(2)
(3)
【分析】本题考查了综合提公因式和完全平方公式进行因式分解，运用平方差公式进行因式分解，熟练掌握完全平方公式和平方差公式是解题的关键，注意分解要彻底．
（1）运用平方差公式进行分解即可得到答案；
（2）先提取公因式，再利用完全平方公式继续进行分解即可得到答案；
（3）将式子化为两个数的平方差，再运用平方差公式进行分解即可得到答案．
【详解】（1）解：原式；
（2）解：原式
；
（3）解：原式
．
8．(1)
(2)
【分析】本题考查了因式分解，解题的关键是：
（1）先提取公因式x，然后根据平方差公式进行因式分解即可；
（2）直接提取公因式即可．
【详解】（1）解：原式
（2）解：原式
9．(1)
(2)
【分析】本题考查了综合提公因式法和公式法进行因式分解．熟练因式分解的方法是解题的关键．
（1）先提公因式，然后利用完全平方公式进行因式分解即可；
（2）先提公因式，然后利用平方差公式进行因式分解即可．
【详解】（1）解：
；
（2）解：
；
10．；
【分析】本题考查了分式的化简求值，熟练掌握运算法则是解题的关键．利用分式的运算法则将原式进行化简，然后根据分式有意义的条件确定x的值，再将其代入化简结果计算即可．
【详解】解：原式
；
∵，，
∴，，，
∴，
∴原式．
11．，当时，原式
【分析】本题考查了分式的化简求值、分式有意义的条件，括号内先通分，再将除法转化为乘法，约分即可化简，再根据分式有意义的条件得出，，最后代入合适的值计算即可得解．
【详解】解：
，
∵，，
∴，，
∴当时，原式．
12．，．
【分析】本题考查了分式的化简求值，特殊角的三角函数值，能正确根据分式的运算法则进行化简是解题的关键．
先根据分式的除法法则和乘法法则进行计算，再根据分式的减法法则算减法，然后由三角函数值求出的值后代入，即可求出答案．
【详解】解：原式
，
当，时，
原式
．
13．，
【分析】此题考查了分式的化简求值，熟练掌握运算法则是解本题的关键．原式括号中两项通分并利用同分母分式的减法法则计算，同时利用除法法则变形，约分得到最简结果，把已知等式变形后代入计算即可求出值．
【详解】解：
∵
∴
∴原式．
14．，
【分析】本题考查分式的混合运算及特殊角三角函数，掌握运算顺序和计算法则正确计算是解题关键．
首先把分式的分子分母分解因式，然后再约分，计算减法，化简后，再确定的值计算即可．
【详解】解：
，
，
原式．
15．，
【分析】本题考查了分式化简求值；先对括号内进行通分运算，同时对分子，分母进行因式分解，再将除转化为乘，进行约分，结果化为最简分式或整式，然后代值计算，即可求解；掌握分式化简的步骤是解题的关键．
【详解】解：
，
当时，
原式．
16．，
【分析】本题主要考查了分式的化简求值，先利用平方差公式把原式变形为，再利用分配律和分式乘法计算法则去括号并化简，最后代值计算即可得到答案．
【详解】解：
，
当时，原式．
17．化简得，求值得
【分析】本题考查分式的化简求值，解一元二次方程，代数式求值，分式有意义的条件，熟练掌握分式的化简求值方法和解一元二次方程的方法是解题的关键．先化简分式，再解一元二次方程，利用分式有意义的条件确定具体解，最后代入求值即可．
【详解】解：
，
∵是方程的根，
∴，
解得：，，
∴对于分式，
∴，
∴原式．
18．
【分析】此题考查了分式的化简求值，掌握分式混合运算的法则是解题关键．
利用异分母分式的加减法法则先算括号里的，再将除法转化为乘法约分化简，将代入化简后的结果求值即可．
【详解】解：
当时，代入上式得，
原式．
19．；
【分析】本题考查了分式的化简求值，熟练掌握分式的混合运算法则是解题的关键．先计算括号内分式的减法，再计算分式的除法，得到化简结果，最后将代入化简结果计算，即得答案．
【详解】解：原式
．
当时，原式．
20．，
【分析】此题考查了分式的化简求值，熟练掌握运算法则是解本题的关键．原式括号中两项通分并利用同分母分式的加法法则计算，同时利用除法法则变形，约分得到最简结果，把代入计算即可求出值．
【详解】解：原式，
，
，
当时，原式
21．，
【分析】本题考查分式的化简求值，分母有理化，除法变乘法，约分化简后，代值计算即可．
【详解】解：原式．
当时，原式．
22．（答案不唯一）．
【分析】本题考查了分式的化简求值，分式有意义的条件，掌握运算法则，正确计算是解题的关键．
先进行括号内异分母分式的减法计算，再将除法化为除法计算，最后代入求值即可．
【详解】解：
∵，
∴当时，原式（答案不唯一）．
23．；．
【分析】本题主要考查了分式的化简求值，特殊角三角函数值的混合计算，分母有理化，先把原代数式中第一个分式的分子分母同时分解因式后约分化简，再计算分式减法，接着根据特殊角三角函数值求出x的值，最后代值计算即可．
【详解】解：
，
∵
∴原式．
24．，．
【分析】本题考查了分式的化简求值，掌握分式的混合运算法则是解题的关键．
根据分式的减法法则、除法法则把原式化简，然后根据分式有意义的条件确定的值，代入计算得到答案．
【详解】解：
，
∵由分母与除数不为零可知：且，
∴，
∴原式．
25．，当时，原式
【分析】本题考查的是分式的化简求值，先根据分式混合运算的法则把原式进行化简，再取一个合适的a的值代入计算即可．
【详解】解：原式
，
∵，，
∴且，
∴当时，．
26．，
【分析】本题考查了分式的化简求值、二次根式的分母有理化，熟练掌握分式的运算法则是解题关键．先计算括号内的分式减法，再计算分式的除法，然后将代入计算即可得．
【详解】解：原式
，
将代入得：原式．
27．；
【分析】本题考查的是分式的化简求值，分母有理化，先根据分式混合运算的法则把原式进行化简，再把代入进行计算即可．
【详解】解：
．
当时，原式．
28．，或
【分析】本题主要考查了分式的化简求值，解一元二次方程，熟练掌握相关运算法则是解题的关键；
先根据分式加减法法则计算括号内的，再根据乘除法计算，然后根据分式的加减计算，最后解方程代入求值即可．
【详解】解：原式
.
∵，
解得，
∴原式；或原式．
29．，
【分析】本题考查了分式化简求值，二次根式的加减运算，化简绝对值，正确掌握相关性质内容是解题的关键．先通分括号内，再运算乘法，化简得出，然后整理，再代入进行计算，即可作答．
【详解】解：
，
时，
原式．
30．；当时，原式．
【分析】本题考查了分式的化简求值，分式有意义的条件，掌握相关运算法则是解题关键．先对分子分母因式分解，然后约分化简，再化为同分母分式计算，最后根据分式有意义的条件选取合适的数代入计算求值即可．
【详解】解：
，
观察上式，时都使分式无意义，
当时，原式．
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