资源简介

中小学教育资源及组卷应用平台
平面直角坐标系相关压轴题-2025年中考数学二轮专题突破
1．在平面直角坐标系中，如果一点的坐标满足我们称这个点叫一阶升幂点，显然这样一阶升幂点有无数个；同样的满足我们称这个点叫二阶升幂点，也有无数个；满足我们称这个点叫三阶升幂点，……依此类推满足我们称这个点叫阶升幂点（其中为正整数）．
(1)请判断下列点中①②③④其中属于三阶升幂点有____________．（填序号）
(2)若一次函数图象上有且只有唯一的一个二阶升幂点，请求出一次函数的表达式．
(3)如图，一次函数的图象与轴、轴交点为点和点，若在一次函数的图象上有两个阶升幂点，分别为点A、点，另外在轴上存在点，面积等于20，设点A、点的横坐标分别为，，
①请求出的值．
②请求出的值．
2．在平面直角坐标系中，满足方程组，若，，连接交y轴于点B，连接．
(1)求点C坐标；
(2)动点P从点D出发，沿x轴正方向以每秒2个单位长度的速度运动，运动到点A时停止运动，设的面积为S，点P运动的时间为t秒，求S与t的关系式；
(3)在（2）的条件下，M为线段上的一点，且点M的坐标为，动点Q从O点出发沿y轴正方向，以每秒个单位长度的速度向终点B运动；点Q与点P同时出发，（一点停止另一点也停止运动），当的面积与的面积和为时，求点P的坐标．
3．已知，在平面直角坐标系中，平行四边形，点，点，点在轴正半轴，点在第一象限，．
(1)如图1，请直接写出点的坐标_____；
(2)如图2，点从点出发，沿射线的方向运动，当点在线段上时，点的运动速度为每秒个单位长度，连接，设点的运动时间为，的面积为，求与之间的关系式；
(3)如图3，在（2）的条件下，当点在的延长线上时，过点作轴于点，的延长线交的延长线于点，连接，点为线段上一点，连接，若，，点在线段上，连接、，，求线段的长．
4．在平面直角坐标系中，点，点，，，以点为中心，逆时针旋转，得到，点，的对应点分别为，．记旋转角为．
(1)如图①，当点落在上时，求点的坐标；
(2)如图②，当时，求点的坐标；
(3)在（2）的条件下，求点的坐标（直接写出结果即可）．
5．如图，在平面直角坐标系中，点、点分别在x轴和y轴的正半轴上，且，a，b是关于x的一元二次方程的两个根．
(1)如图1，求A、B两点坐标；
(2)如图2，连接，点C为线段上的动点，连接并延长至点D，连接，使，连接并延长交的平分线于点E．求证：；
(3)如图3，设交于点H，在上取一点M，连接，使，连接并延长交y轴于点P，连接，当的值最小时，请在坐标轴上取一点Q，使得为直角三角形．请完成下列各问题：
①请直接写出点M的坐标： ．
②请直接写出点P的坐标： ．
③请直接写出点Q的坐标： ．
6．（1）如图1，，，以点为直角顶点，为腰在第三象限作等腰．求点的坐标；
（2）如图2，，为轴负半轴上的一个动点，当点向轴负半轴向下运动时，在轴下方，以为直角顶点，为腰作等腰，过作轴于点，求的值；
（3）如图3，已知点坐标为，点在轴的负半轴上沿负方向运动时，作，始终保持，与轴负轴交于点，与轴正半轴交于点，当点在轴的负半轴上沿负方向运动时，求的值．
7．如图，在平面直角坐标系内，点，点，点，，，连接与，且．
(1)求a、m的值；
(2)如图1，若四边形的面积为S，请用含b的式子表示S；
(3)如图2，在（2）的条件下，当线段取最小值时，在平面内有一点P，且为等腰直角三角形时，请直接写出点P的坐标和S的值．
8．如图，在平面直角坐标系中，，，且．
(1)直接写出两点的坐标；
(2)如图1，，与轴负半轴重合，在第二象限，将以秒的速度绕点在第二象限内顺时针旋转，，分别与线段交于点，当为等腰三角形时，求旋转的时间；
(3)如图2，点在线段上，且点的横坐标为，连接．在第一象限过点作，且，连接，作于，交于点，求的面积．
9．在平面直角坐标系中，是等腰直角三角形，点的坐标为，直角顶点在轴上．
(1)如图（1），若点的坐标为，直接写出点的坐标；
(2)如图（2），点在轴的负半轴上，为的中点，连，求的度数；
(3)如图（3），点在轴的负半轴上，点在轴负半轴上，连接并延长，交于，若，求点的横坐标．
10．如图，在平面直角坐标系中，点的坐标为，点的坐标为，点为射线上一动点（点不与点重合），以点为直角顶点，为直角边在的右侧作等腰直角三角形．
(1)如图1，当点是的中点时，求点的坐标．
(2)如图2，当点在上移动时，连结，交轴于点．求证：．
(3)点在射线上运动过程中，当是等腰三角形时，求的面积．
11．在平面直角坐标系中，为坐标原点，点在轴正半轴上，点在轴负半轴上，连接，若．
(1)如图1，求的面积；
(2)如图2，点从原点出发沿线段向终点A运动，运动速度为每秒1个单位长度，运动时间为秒，连接，的面积为S，求S与之间的关系式；（不用写出的取值范围）
(3)如图3，在（2）的条件下，点为上一点，连接，过点E作，垂足为，交于点，若，时，求线段的长．
12．在中，，，点在轴正半轴上运动，点在轴上运动．
(1)若点在轴正半轴上运动，交轴于点，交轴于点．
①如图①，当时，直接写出点的横坐标；
②如图②，连接，当时，求证：；
(2)如图③，若点在轴负半轴上运动，以为直角边在第一象限作，使，，连接交轴于点，写出与存在的数量关系，并说明理由．
13．如图1，在平面直角坐标系中，已知点，，且，满足．
(1)求点，坐标；
(2)如图1，以为斜边构造等腰直角，请直接写出点的坐标；
(3)如图2，已知等腰直角中，，，点是腰上的一点（不与，重合），连接，过点作，垂足为点．
①若是的角平分线，求证：；
②探究：如图3，连接，当点在线段上运动时（不与，重合），的大小是否发生变化？若改变，求出它的最大值；若不改变，求出这个定值．
14．在平面直角坐标系中，点A，B在坐标轴上，，．点C为的中点，D为上一点．
(1)如图（1），将线段绕点A逆时针旋转，得到线段．
①求证：．
②P为x轴上一点，且在点D左侧，点D关于点P对称的点为Q，连接，．是否存在这样的点P，使得对于任意的点D，总有成立？若存在，请写出P的坐标，并证明；若不存在，请说明理由．
(2)如图（2），过点C作的垂线，交y轴于点F．连接，．若，请写出，，的数量关系，并证明．
15．在直角坐标系中，已知，且．
(1)请判断并说明的形状．
(2)如图1．若，为中点，连接，过点向左作，且，连．过点作直线垂直于轴，交于点N，求证：．
(3)如图2，点在的延长线上，连接，以为斜边向上构造等腰直角三角形，连接，若，，求的面积．
《平面直角坐标系相关压轴题-2025年中考数学二轮专题突破》参考答案
1．(1)①②④
(2)或
(3)①；②1
【分析】本题主要考查了新定义、坐标与图形、一次函数与几何的综合等知识点，灵活运用相关知识成为解题的关键．
（1）直接根据三阶升幂点的定义逐个判断即可；
（2）由题意可得一元二次方程，然后再根据题意结合根的判别式即可解答；
（3）如图：作的边上的高，即，由坐标与图形以及勾股定理可得、、，再证明可得，再根据等面积法可得；再根据题意以及根与系数的关系可得；再根据两点间距离公式可得、整理得到，解得：或（不合题意，舍弃）；进而得到，最后代入求解即可．
【详解】（1）解：由，则①是三阶升幂点；
由，则②是三阶升幂点；
由，则③不是三阶升幂点；
由，则④是三阶升幂点．
故答案为：①②④．
（2）解：∵二阶升幂点坐标满足，且在图象上，
∴，整理得．
∵图象上有且只有唯一的一个二阶升幂点，
∴一元二次方程有两个相等的实数根，
∴，即，解得：．
∴一次函数表达式为或．
（3）解：如图：作的边上的高，即，
∵一次函数的图象与轴、轴交点为点和点，
∴，
∴，
∴，
∵，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴
∴，即，解得：，
∵面积等于20，
∴，即，解得：，
∵在一次函数的图象上有两个阶升幂点，分别为点A、点，
∴，整理得：，
设点A、点的坐标分别为，，
∴，
∴，
∴，
∴，整理得：，解得：或（不合题意，舍弃），
∴．
，
综上，①；②．
2．(1)
(2)
(3)
【分析】本题主要考查了二元一次方程组、三角形的面积、动点问题等知识点，正确添加常用辅助线，构造直角三角形是解题的关键．
（1）直接解方程组求得a、b的值即可解答；
（2）如图1，过点C作轴于点F． 然后根据三角形的面积公式求解即可；
（3）如图2，过点M作轴于点M，作轴于点N，然后根据三角形的面积公式构建方程求得，最后确定点P的即可．
【详解】（1）解：∵满足方程组，
∴，
∴C点坐标为．
（2）解：如图1，过点C作轴于点F．
∵，
∴，
∵
∴，
∵点P从点D沿x轴正方向每秒2个单位长度的速度运动，
∴t秒后，
∴
∴，即．
（3）解：如图2，过点M作轴于点M，作轴于点N，
∵，
∴．
∵点P从点D沿x轴正方向每秒2个单位长度的速度运动，
∴t秒后，，
∴，
∴，
设直线的解析式为：，
则，解的：，
∴，
∴，即，
∵动点Q从O点出发沿y轴正方向，以每秒个单位长度的速度向终点B运动，
∴t秒后，，则，
∴，
∴，
∴，解得．
∴当的面积与的面积和为时，当t为．
∴，
∴．
∴点P的坐标为．
3．(1)
(2)
(3)
【分析】（1）首先求出,，由平行四边形性质得到，然后证明出是等腰直角三角形，求出，即可得到；
（2）如图所示,过点作轴于点，根据题意得，，得到是等腰直角三角形，表示出，然后利用三角形面积公式求解即可；
（3）如图，作的角平分线交轴于，过点作于，过点作，交延长线于，过点作于，根据角平分线的性质得出，勾股定理可求出，利用证明，可得，，利用角的和差关系及等腰直角三角形的性质得出，，利用面积法及勾股定理列方程求出，根据，利用勾股定理列方程可求出，，，利用勾股定理即可得答案．
【详解】（1）∵点，点，
∴，
∴，
∵四边形是平行四边形，
∴，
∵，
∴是等腰直角三角形，
∴，
∴．
（2）如图所示,过点作轴于点E
根据题意得，
∵四边形是平行四边形，
∴
∴是等腰直角三角形
∴
∴．
（3）解：如图，作的角平分线交轴于，过点作于，过点作，交延长线于，过点作于，
设，则，，
∵，轴，
∴，
解得：，（舍去），
∴，，
∵平分，，，
∴，，
∵，
∴，
解得：，
∴，
在和中，，
∴，
∴，，
∵，
∴，即，
∴，
设，则，，
∵，
∴，
解得：，（舍去），即，
设，则，，，，
∵，
∴，
解得：，（在延长线上，舍去），
∴，，
∴．
【点睛】本题考查坐标与图形、平行四边形的性质、全等三角形的判定与性质、等腰直角三角形的判定与性质、角平分线的性质、勾股定理及解一元二次方程，熟练掌握相关知识点，正确构建全等三角形是解题关键．
4．(1)
(2)
(3)
【分析】（1）过点作轴于点，先得出轴于点，则，，再根据含30度角的直角三角形的性质可得，利用勾股定理可得，然后根据旋转的性质可得，最后根据含30度角的直角三角形的性质和勾股定理可得的长，由此即可得；
（2）过点作轴于点，先求出，再根据勾股定理求出的长，由此即可得；
（3）过点作轴于点，在上取一点，使得，先求出，，再设，则，，，在中，利用勾股定理可求出的值，则可得的长，由此即可得．
【详解】（1）解：如图，过点作轴于点，
∵，，
∴轴于点，
∴，，
∵，
∴，
在中，，即，
解得或（不符合题意，舍去），
∴，
由旋转的性质得：，，
∴，
∴，
∴，
又∵点在第一象限，
∴点的坐标为．
（2）解：如图，过点作轴于点，
由（1）已得：，，
由旋转的性质得：，，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴，
又∵点在第一象限，
∴点的坐标为．
（3）解：如图，过点作轴于点，在上取一点，使得，
由上已得：，
由旋转的性质得：，，
∵，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴在中，，
∴，
设，则，，
∴，
在中，，即，
解得或（不符合题意，舍去），
∴，，
又∵点在第一象限，
∴点的坐标为．
【点睛】本题考查了旋转的性质、点坐标与图形、勾股定理、含30度角的直角三角形的性质、等腰三角形的判定、一元二次方程的应用等知识，熟练掌握旋转的性质是解题关键．
5．(1)
(2)见详解
(3)①②③或或
【分析】（1）先把进行整理得，结合点、点分别在x轴和y轴的正半轴上，且，得出，即可算出；
（2）过点O作于点O，交于点，先证明是等腰直角三角形，通过角的运算得，得是等腰三角形，再证明是等腰直角三角形，是等腰直角三角形，运用勾股定理表示，然后证明，则，即；
（3）①先运用角的关系进行整理得，则，故，得，即是的中点，因为，得
②在轴的负半轴取点，连接，当的值最小时，则三点共线，证明，，得即；
③分三种情况且逐个情况作图，运用直角三角形的性质，列式计算，即可作答．
【详解】（1）解：∵，
∴，
则，
∴，
∴，
∵点、点分别在x轴和y轴的正半轴上，且，
∴，
∴，
∴原方程为
∴，
解得，
∴；
∴；
（2）解：过点O作于点O，交于点，如图所示：
设，
∵，
∴，
∵，，
∴是等腰直角三角形，
∴，
在中，，
则，
∴是等腰三角形，
∵连接并延长交的平分线于点E．
∴于点H（三线合一），
∴，
∴在中，，
∴，
∴是等腰直角三角形，
∵，
∴，
∴是等腰直角三角形，
∴，
即，
在和中
∴，
∴，
∴，
∴，
∴，
则，
∴；
（3）解：①连接，由（2）得垂直平分，如图所示：
∴，
∴，
∴，
则，
∵，
∴，
∴（外角性质），，
∴，
∴，
∴是的中点，
∵，
∴
故答案为：；
②在轴的负半轴取点，连接，
∴
∴垂直平分，
∴，
∴，
当的值最小时，
则三点共线，
此时即为最小值，
过点作于点，作的中位线，如图所示：
∴，
∴，
∵，
∴，
∵，
∴，
∴，
设，
∵
∴，
则
∴
∴
即；
故答案为：；
③情况一：当在轴上时，如图所示：
则，
在中，得
在中，得
在中，得
∴
设，
则
则
解得，
∴；
情况二，当在轴的负半轴上时，如图所示：
则，
设，
∴，
则在中，，
则在中，，
即
∴
解得，
∴
情况三：当点Q与点O重合时，则，
∴，
综上：或或，
故答案为：或或．
【点睛】本题考查了全等三角形的判定与性质，勾股定理，等腰三角形的判定与性质，坐标与图形，中位线的证明与性质，直角三角形的性质，综合性强，难度较大，正确掌握相关性质内容是解题的关键．
6．（1）；（2）2；（3）
【分析】本题考查的是三角形全等的判定和性质，坐标与图形，掌握全等三角形的判定定理是解题的关键．
（1）过点作轴于点，证明，得到，，求出点的坐标；
（2）过点作轴于点，证明，得到，得到答案；
（3）过点作轴于点，轴于点，证明，得到，根据题意列式计算即可．
【详解】（1）解：如图，过点作轴于点，
，
，
，
，
，
在和中，
，
，
，，
点的坐标为；
（2）解：如图，过点作轴于点，
，
，
，
，
，
，
，
在和中，
，
，
，
；
（3）解：如图，过点作轴于点，轴于点，
点坐标为，
，
，
，
，
在和中，
，
，
，
，，
，，
，
．
7．(1)，
(2)
(3)点的坐标为或或或或或，．
【分析】（1）根据，得，再结合非负性即可求解；
（2）根据题意结合图形可知，，，，过点作轴于，证明，得，，根据四边形的面积即可求解；
（3）由（2）可知，，则，可知点的坐标为，即点在直线，当线段取最小值时，即直线，此时点的横坐标为，求得，此时，进而可求，结合为等腰直角三角形，分当，时，当，时，当，时，当，时，当为等腰直角三角形时，当为等腰直角三角形时，分别讨论即可．
【详解】（1）解：∵，
∴，即，
∵，，
∴，，
∴，；
（2）∵，，即：，，
∴，，则，
又∵，
∴，
过点作轴于，则，
∵，
∴ ，
∴，
∴，
∴，，
∴四边形的面积
，
即：；
（3）由（2）可知，，则，
∴点的坐标为，即点在直线，
当线段取最小值时，即直线，此时点的横坐标为，
∴，此时，，
为等腰直角三角形，
如图，当，时，过点作轴，同上可证得，
∴，，则，
∴此时点的坐标为；
同理，当，时，点的坐标为；
当，时，点的坐标为；
当，时，点的坐标为；
与交于点，可知，
此时，均为等腰直角三角形，则，即为的中点，则点的坐标为；
与交于点，同理，为等腰直角三角形，点的坐标为；
综上，点的坐标为或或或或或，．
【点睛】本题考查了完全平方公式、全等三角形的性质，等腰直角三角形的判定与性质，坐标与图形等知识点，利用数形结合的数学思想，进行分类讨论是解决问题的关键．
8．(1)，
(2)8
(3)3
【分析】（1）由题意易得，则有，进而问题可求解；
（2）由（1）可知为等腰直角三角形，，则有，，然后可得当为等腰三角形时，即，进而可得，最后问题可求解；
（3）过点作于，过点作于，由题意易得，则可证，然后可得，，则有，进而通过再证，根据全等三角形的性质可进行求解．
【详解】（1）解：∵，
∴，
∴，
∴，
∴，；
（2）解：∵，，
，为等腰直角三角形，，
，，
为等腰三角形，，
，
，
，
旋转的时间为秒；
（3）解：过点作于，过点作于，
，
，．
，
，
，
，
，
，
，，，
，
，
，
，
，
，，
，
，
，
点的横坐标为，
．
【点睛】本题主要考查图形与坐标、等腰三角形的性质及全等三角形的性质与判定，熟练掌握图形与坐标、等腰三角形的性质及全等三角形的性质与判定是解题的关键．
9．(1)
(2)
(3)2
【分析】（1）如图，过作轴于，证明，再利用全等三角形的性质可得结论；
（2）连，，过点分别作轴，轴，垂足分别为，证明，再证明， 可得，从而可得答案；
（3）过点作交轴于，过点作轴，垂足为，证明，可得， 证明， 可得 ，再进一步求解即可．
【详解】（1）解：如图，过作轴于，
∴，
∵是等腰直角三角形，
∴，，
∴，
∴，
∴，
∵点的坐标为，点的坐标为，
∴，，
∴，
∴点坐标为；
（2）解：如图，连结，，过点分别作轴，轴，垂足分别为，
轴轴 ，
，
，
是等腰直角三角形，为的中点 ，
，
，
，
，
是的角平分线，即．
（3）解：过点作交轴于，过点作轴，垂足为，
，
，
，
轴轴 ，
，
，
，
是等腰直角三角形 ，
，
，
，
，
，
，
，
，
，
点的横坐标为2．
【点睛】本题考查的是全等三角形的判定与性质，坐标与图形，等腰直角三角形的性质，角平分线的判定，直角三角形斜边上的中线的性质，作出合适的辅助线是解本题的关键．
10．(1)
(2)见解析
(3)32或128
【分析】（1）过点作轴，证明，即可得出结果；
（2）过点作轴，由（1）可知，，进而得到，证明，即可得证；
（3）分点三点共线，，三种情况进行讨论求解即可．
【详解】（1）解：过点作轴，则：，
∵点的坐标为，点的坐标为，
∴，
∵点为的中点，
∴，
∵以点为直角顶点，为直角边在的右侧作等腰直角三角形，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴；
（2）过点作轴，则，
由（1）可知：，，
∵，
∴，
∵，
∴，
∴；
（3）①当三点共线时，如图，
∵，，
∴
∵，
∴，
∴，
∴，
∴为等腰三角形，
∴，
∴，
∴为等腰直角三角形，
∴，
∴，
∴；
②当时，如图，过点作轴，过点作，则：，
∵，
∴，
又∵，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴，，
∴，
∴，
∴；
③当时，
∵，
∴，
∴，
∴，
∵，在轴上，
不存在，不符合题意；
故不存在为等腰三角形，且；
综上：或128．
【点睛】本题考查坐标与图形，等腰三角形的判定和性质，全等三角形的判定和性质，熟练掌握相关知识点，利用数形结合和分类讨论的思想进行求解，是解题的关键．
11．(1)
(2)
(3)
【分析】（1）先根据平方的非负性求得的值，进而求得的坐标，根据的坐标即可求得；
（2）先求出，进而求出结论；
（3）过点A作的延长线于点，延长交x轴于点F，作平分线交于点M，N，，证明，可得，进而证明，可得，即可求出结论．
【详解】（1）解：，
，
，
，
，
，
；
（2）解：如下图，
由题意得：，
，
，
；
（3）如图，过点A作的延长线于点，延长交x轴于点F，作平分线交于点M，N，
，
，
，
，
，
，
，
，
，
，
，
，
，
，
，
，
，
，
，
，
，
，
，
，
，
，
，
，
，
．
【点睛】本题考查了坐标与图形，三角形内角和定理，等角对等边，三角形全等的性质与判定，正确的添加辅助线掌握三角形全等的性质与判定是解题的关键．
12．(1)①；②见解析
(2)，理由见解析
【分析】本题考查了全等三角形的判定与性质、等腰直角三角形的性质，熟练掌握以上知识点并灵活运用，添加适当的辅助线是解此题的关键．
（1）①作轴于，证明得出，即可得解；②过点作交轴于点，证明得出，再证明得出，即可得证；
（2）过点作轴于点，证明得出，，再证明得出，从而得出，即可得解．
【详解】（1）解：①如图，作轴于，
，
∵，，
∴，
∴,
∴，
∴，
∴，
∴点的横坐标为；
②如图2，过点作交轴于点，
，
，
，
，
，
，
又，，
，
，
，，
，
，，
，
，
，
，
，
；
（2）解：，理由如下：
如图，过点作轴于点，
，
，
，
，
，，
，
，，
，
，
，，
，
，
，
．
13．(1)，
(2)或
(3)①见解析；②的大小不变，为定值
【分析】（1）由绝对值和偶次方的非负性质得，，则，，进而得点，坐标；
（2）分两种情况，①点C在第一象限时，②点C在第四象限时，过点C作轴于点G，过点A作于点F，证，得，，即可解决问题；
（3）①延长、，相交于点F，证，得，再证，得，则，即可得出结论；
②过点C作于点M，于点N，证，得，则是的角平分线，即可解决问题．
【详解】（1）解：∵，
∴，，
∴，，
∴，；
（2）解：解：分两种情况：
①如图1，点C在第一象限时，过点C作轴于点G，过点A作于点F，
∴，，，
∴，
∵等腰直角，
∴，，
∴，
∴，
∴，
∴，，
∵，
∴，
∴，
∴，
∴点C的坐标为；
②如图1-1，点C在第四象限时，过点C作轴于点G，过点A作于点F，
同①得：，
∴，，
∵，
∴，
∴，
∴，
∴点C的坐标为；
综上所述，点C的坐标为或；
（3）解：①证明：如图2，延长、，相交于点F，
∵，
∴，
∵，，
∴，
又∵，
∴，
∴，
∵是的角平分线，
∴，
∵，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，
∴；
②解：的大小不变，为定值，理由如下：
如图3，过点C作于点M，于点N，
则，
∵，
∴，
由①可知，，，
∴，
∴，
∴是的角平分线，
∴，
即的大小不变，为定值．
【点睛】本题是三角形综合题，考查了全等三角形的判定与性质、等腰直角三角形的性质、坐标与图形性质、绝对值和偶次方的非负性质、角平分线的判定、三角形面积以及分类讨论等知识，本题综合性强，熟练掌握等腰直角三角形的性质，正确作出辅助线构造全等三角形是解题的关键．
14．(1)①见解析；②存在，
(2)，证明见解析
【分析】（1）①证出．，则可得出结论；
②作点D关于点O的对称点K，连接，证明，得出．则可得出结论；
（2）连接，取点D关于y轴的对称点M，连接．证明，得出．，，从而得到为等腰直角三角形．再证明，则可得出结论．
【详解】（1）解：①∵，
∴为等腰直角三角形，．
∵，
∴．
又∵，
∴，
∴．
②存在．
证明：如图，作点D关于点O的对称点K，连接，
∴，，
∴，
∴．
∵点D关于点P的对称点为Q，
∴，
∴．
∴，
∴，
∴，．
∵
∴
∵点P在x负半轴上，
∴，
∴存在这样的点，使得对于任意的点D，总有成立．
（2）解：
证明连接，取点D关于y轴的对称点M，连接．
由C为的中点，
∴，，
∴和都为等腰直角三角形．
又，
∴，，
∴，
∴．，，
∴为等腰直角三角形．
∴．
∵．
∴．
由点D与点M关于y轴对称，
∴，，，
∴；
∵，
，
∴，
∴，
∵，
∴．
【点睛】本题是三角形综合题，考查了等腰直角三角形的性质，坐标与图形的性质，全等三角形的判定和性质，轴对称的性质等知识点，熟练掌握相关知识点，添加辅助线，构造全等三角形是解题的关键．
15．(1)是等腰直角三角形，见解析
(2)见解析
(3)
【分析】本题考查了等腰直角三角形的性质、全等三角形的判定和性质，解题的关键是学会添加常用辅助线、构造全等三角形解决问题．
（1）证明即可；
（2）过点作轴，垂足为，交于点，则，证明，推出，再证明即可；
（3）过点作交的延长线于点，连，证明，推出，，可求出，最后根据即可求解．
【详解】（1）由题意得，
∴，
∵，，
∴，
∴是等腰直角三角形．
（2）证明：过点D作轴，垂足为H，交于点，则．
∵，
∴，
∵C为中点，
∴，
∵，
∴，
∴，
又∵，
∴，
在和中，
，
∴，
∴，
，垂直于轴，轴，
∴，，
∴，，
∴，
在和中
∴，
∴；
（3）如图，过点作交的延长线于点，连接，
∵为等腰直角三角形，
∴，
∵，
∴，，
∴为等腰直角三角形，，
∵，，
∴，
在和中，
，
∴，
∴，，
∵，
∴，
∴，，
∵，
∴，
∴，
∵为等腰直角三角形，，
∴，
∴．
21世纪教育网 www.21cnjy.com 精品试卷·第 2 页 （共 2 页）
21世纪教育网(www.21cnjy.com)

展开更多......

收起↑