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一次函数相关压轴题-2025年中考数学二轮专题突破
1．探究活动
【模型构建】
如图，将含有的三角板的直角顶点放在直线上，过两个锐角顶点分别向直线作垂线，这样就得到了两个全等的直角三角形．由于三个直角的顶点都在同一条直线上，因此我们将其称为“一线三直角”，这模型在数学解题中被广泛使用．
【模型应用】

（1）在平面直角坐标系中，直线与轴，轴分别交于，两点，以为直角顶点在第一象限内构造等腰直角，直接写出第三个点的坐标是 ；
（2）如图1，一次函数的图像与轴，轴分别交于，两点．将直线绕点逆时针旋转得到直线，求直线对应的函数表达式；
【模型拓展】
（3）如图2，点在轴负半轴上，，过点作轴交直线于点，是直线上的动点，是轴上的动点，若是以其中一个动点为直角顶点的等腰直角三角形，请直接写出所有符合条件的点的坐标．
2．直线交坐标轴于，．
(1)求直线解析式；
(2)是上的一点（不与O，B重合），轴交与点C，用含t的代数式表示的长度d；
(3)在（2）的条件下，E是上一点，以为边构造，使，在y轴上取点H，，连接，当时，时，求D点坐标．
3．【提出问题】
（1）将一次函数的图象沿着y轴向下平移3个单位长度，所得图象对应的函数表达式为___________；
【初步思考】
（2）将一次函数的图象沿着x轴向左平移3个单位长度，求所得图象对应的函数表达式．数学活动小组发现，图象的平移就是点的平移，因此，只需要在图象上任取两点，将它们沿着x轴方向向左平移3个单位长度，得到点的坐标分别为______；______；从而求出经过点的直线对应的函数表达式为___________________；
【解决问题】
（3）已知一次函数的图象与y轴交于点A，与x轴交于点B．将一次函数的图象关于x轴对称，所得图象对应的函数表达式为________________；
【深度思考】
（4）图形的平移就是点的平移，图形的旋转也可以理解为点的旋转，根据你的理解解决下列问题：
①如图1，将直线绕点A逆时针旋转，则所得图象对应的函数表达式为_______________；
②如图2，将直线绕点A逆时针旋转，则所得图象对应的函数表达式为________________．
【拓展应用】
（5）①如图3，在平面直角坐标系中，已知点，点，点C在第一象限内，若是以为直角边的等腰直角三角形，则点C的坐标为______．
②如图4，在平面直角坐标系中，已知，点C是y轴上的动点，线段绕着点C按逆时针方向旋转至线段，，连接，则的最小值是______．
4．【基础模型】如图，等腰直角三角形中， ，，直线经过点，过点作于点，过点作于点，易证明．我们将这个模型称为“K形图”．
(1)【模型应用】
如图1所示，已知，，连接BC，连接，以为直角边，点为直角顶点作等腰直角三角形，点A在第一象限，则点A的坐标为___________．
(2)【模型构建】：
如图2，在平面直角坐标系中，直线与轴，轴分别交于点，，交轴于点．
①请求出直线的函数解析式；
②P为x轴上一点，连接，若，求点P的坐标．
(3)
5．定义：平面直角坐标系中，对于，两点，称为E，F两点的“折线距离”，记为．
【探究应用】
平面直角坐标系中，、．
（1）如图15-1，轴，轴，________；
（2）如图15-2，一次函数的图象与x轴交于点M，与y轴交于点N，在线段上任取一点P，是否为定值？如果是，请求出定值，如果不是，请说明理由．
【拓展延伸】
（3）如图15-3，若点Q是直线的图象上一动点，画出满足的所有点Q构成的线段，并直接写出此线段的长度；
（4）直接写出满足的所有点R围成图形的面积．
6．【概念学习】
对于平面直角坐标系中的图形K和图形W，给出如下定义：R，S分别为图形K和图形W上任意一点，将R，S两点间距离的最小值称为图形K和图形W之间的“关联距离”，记作．例如，如图1，点与y轴之间的“关联距离”．
【理解概念】
（1）如图1，点在边长为5的正方形内，则d（T，正方形）=________；
【深入探索】
（2）如图2，一次函数图象与y轴交于点E，与x轴交于点F，若点和一次函数的图象之间的“关联距离”，求m的值；
（3）如图3，在等边中，点A的坐标是，点B，C在y轴上，点H是x轴上一点，若，请直接写出点H的坐标．
【拓展延伸】
（4）在中，，，，当时，对于每一个n，若和一次函数（k是常数，）的图象之间的“关联距离”，请直接写出k的取值范围．
7．把一次函数（k，b为常数，）在x轴下方的图象沿x轴向上翻折，与原来在x轴上方的图象组合，得到一个新的图象，我们称之为一次函数的“V”形图象，例如，如图1就是函数的“V”形图象．
(1)请在图2中画出一次函数的“V”形图象，并直接写出该“V”形图象的函数表达式及自变量x的取值范围；
(2)在（1）的条件下，若一次函数的“V”形图象与x轴交于点A，与直线相交于B，C两点，求的面积；
(3)一次函数（k为常数）的“V”形图象经过，两点，且，求k的取值范围．
8．如图，矩形的边、的长分别是方程的两个根（），折叠矩形，使边落在x轴上，点B与点E重合．
(1)求折痕所在直线解析式．
(2)将直线沿x轴负方向以每秒1个单位长度的速度平移，直接写出直线扫过矩形的面积S与运动的时间t的关系式．
(3)点P是直线上一点，试在平面内确定一点M，使得以A、B、P、M为顶点的四边形是菱形，直接写出点M的坐标．
9．如图1，在平面直角坐标系中，一次函数的图象与轴交于点，与轴交于点，与过点的直线交于点．
(1)求点的坐标和直线的表达式；
(2)在直线上存在一点，使得的面积是的面积的4倍，求点的坐标；
(3)如图2，点是直线在第二象限图象上的一点，且点在点的下方，作射线，把射线绕点顺时针旋转，得到射线，在射线上取一点，连接，使得，当为等腰直角三角形时，求出此时的长度．
10．如图1，在平面直角坐标系中，直线与坐标轴交于A，两点，过点作直线，交于点D，交y轴于点E，且．
(1)求点A及点E的坐标；
(2)求点D的坐标；
(3)如图2，M是线段上一动点（不与点C，D重合），，交于点N，连接，求的面积的最大值．
11．如图，直线分别与x轴，y轴交于A、B两点，与直线交于点．
(1)点坐标为(________，________)．
(2)在直线上有一点E，过点E作y轴的平行线交直线于点F，设点E的横坐标为m，当m为何值时，以、、、为顶点四边形是平行四边形；
(3)若点P为直线上一点，则在平面直角坐标系中是否存在一点Q，使得、、、四个点能构成一个矩形．若存在，直接写出所有符合条件的点坐标；若不存在，请说明理由．
12．阅读下面的证明过程：
如图1，、和都是直角三角形，其中，且直角顶点都在直线l上，求证：．
证明：∵，，
∴，
在和中，
，
∴．
像这种“在一条直线上有三个直角顶点”的几何图形，我们一般称其为“一线三垂直”模型，随着几何学习的源入，我们还将对这类模型有更源入的探索．
请你结合上述内容解决下面问题．
已知：如图，一次函数的图象与x轴，y轴分别交于A、B两点，以为腰，作等腰，求直线的解析式．
13．综合与实践
【积累经验】
（1）如图1，于点A，于点，点在线段上，连接，，，且．求证：，．只需证明____________________即可；
【类比应用】
（2）如图2，在平面直角坐标系中，是等腰直角三角形，，，已知点A的坐标为，点的坐标为，求点的坐标；
【拓展提升】
（3）在平面直角坐标系中，点A的坐标为，点在第一、三象限的角平分线上，点在轴上，为等腰直角三角形．
①如图3，当时，求点的坐标；
②直接写出其他符合条件的点的坐标．
14．我们将等腰直角三角板放在平面直角坐标系中进行探究．
(1)操作思考：如图1，在平面直角坐标系中，等腰的直角顶点在原点，若顶点恰好落在点处，则点的坐标为 ；
(2)类比探究：如图2，一次函数的图象与轴交于点，与轴交于点，过点作线段且，直线交轴于点，求出的坐标及直线对应的函数表达式；
(3)拓展应用：如图3，为坐标原点，的坐标为，的坐标为，过点作直线轴，已知点是直线上的一点，点在直线上运动，若是以为直角顶点的等腰直角三角形，请直接写出所有符合条件的点的坐标．
15．直线分别交x，y轴于A，B两点，且点C坐标为．点D，点E分别是线段，上的动点，与交于点P．
(1)如图1，若交y轴于点G，，，求的大小；
(2)如图2，若，的最小值是，求直线l的表达式；
(3)如图3，当时，点D是中点，与的夹角是，求点E的坐标．
《一次函数相关压轴题-2025年中考数学二轮专题突破》参考答案
1．（1）；（2）；（3）或或或．
【分析】（1）过点C作y轴的垂线，垂足为D，先求出A、B坐标得到的长，再证明推出的长即可得到答案；
（2）先证可得，进而得到，最后根据待定系数法即可解答；
（3）分，点P在x轴上方或下方和点P在x轴上方或下方，四种情况，分别运用全等三角形的判定与性质和二元一次方程组解答即可．
【详解】解：（1）如图所示，过点C作y轴的垂线，垂足为D，
在中，当时，，当时，，
∴，
∴；
∵是以B为直角顶点的等腰直角三角形，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴；
（2）如图，过点B作交直线l于点C，过点C作轴于D，

∴．
∵，
∴．
∴．
∴．
∵，
∴．
∴．
∵，
∴．
∴．
在中，当时，，
∴．
当时，，
∴，
∴，
∴；
设直线l对应的函数表达式为，
将和代入得
解得
∴直线l解析式为．
（3）当，，P在x轴的上方，
如图：过P作轴，交于M，交y轴于N，
∵，
∴，
又∵，
∴，
∴；
∵直线l：，
∴设，
∴，
∴，
∴，
∴，即，
①②联立解得：，
∴；
当，，P在x轴的下方，
如图：

同理可得，
∴；
∵直线l：，
∴设，
∴，
∴，
∴，
∴，即，
③④联立解得：，
∴；
当，，P在x轴的上方，如图
同理可证明，
∴；
∵直线l：，
∴设，
∴，
∴，
∵，
∴，
⑤⑥联立解得：，
∴；

当，，P在x轴的下方，
如图：
同理可证明，
∴；
∵直线l：，
∴设，
∴，
∴，
∵，
∴，
①②联立解得：，
∴．

综上，点P的坐标为或或或．
【点睛】本题主要考查了一次函数与几何的综合、等腰直角三角形的性质与判定、、全等三角形的判定与性质等知识点，熟练掌握一线三垂直模型是解题的关键．
2．(1)
(2)
(3)
【分析】（1）设直线的解析式为：，将A，B两点坐标代入，进一步得出结果；
（2）可证得，从而得出，进一步得出结果；
（3）作于F，作交的延长线于点G，可推出，从而证得，从而，根据可得出，设，求出，从而得出，进而推出，解直角三角形求得，进一步得出结果．
【详解】（1）解：设直线的解析式为：，
∴，
∴，
∴；
（2）解：∵轴，
∴
∴，
∴，
∴；
（3）解：如图，
作于F，作交的延长线于点G，
∵，
∴，
∴，
设，
∴，
在四边形中，，，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，
∵，
∴，
设，
∴，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，
设，则，
∴，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴．
【点睛】本题考查了解直角三角形，相似三角形的判定和性质，全等三角形的判定和性质，求一次函数的解析式等知识，解决问题的关键是寻找角之间数量关系．
3．（1）
（2），，
（3）
（4）①；②
（5）①或；②
【分析】本题主要考查了一次函数的应用、一次函数图象与几何变换，解题时要熟练掌握并能灵活运用一次函数的性质是关键．
（1）利用平移规律确定出平移后函数解析式即可；
（2）利用平移规律可得出点、点的坐标，利用待定系数法求出一次函数解析式即可；
（3）找出与坐标轴的交点坐标，进而求出关于x轴对称点的坐标，利用待定系数法求出一次函数解析式即可；
（4）①设点B绕点A逆时针旋转到点C，过点C作轴于点D，结合全等三角形的性质可求解A，C的坐标，再利用待定系数法可求对应的函数表达式；
②过点B作交所得到的图象于点D，过点D作轴于点E，结合全等三角形的性质可求解A，D的坐标，再利用待定系数法可求得解析式；
（5）①分A为直角顶点和B为直角顶点讨论，根据全等三角形的判定与性质求解即可；
②先求出，根据两点间距离公式求出，则求的最小值，相当于求点到和距离和的最小值，然后根据轴对称的性质，两点间的距离公式等求解即可．
【详解】解：（1）利用平移规律得：将一次函数的图象沿着y轴向下平移3个单位长度，所得到的图象对应的函数表达式为．
故答案为：；
（2）∵，，
∴将它们沿着x轴向左平移3个单位长度，得到点、点的坐标分别为、，
设直线的一次函数解析式为，
∴．
∴．
∴过点、的直线对应的函数表达式为．
故答案为：，，；
（3）设一次函数的图象与y轴的交点为点A，与x轴的交点为点B，
∵，
当时，，
∴点，
当时，，解得，
∴点．
如图，
∵一次函数的图象关于x轴对称，，
∴，
设所得到的图象对应的函数表达式为，
∴，
解得．
∴所得到的图象对应的函数表达式为．
（4）①如图，设点B绕点A逆时针旋转到点C，过点C作轴于点D，
∴，，，
∴，
∵，
∴，
∴，，
∴，
∴，，
∴，
∴，
设所得到的图象对应的函数表达式为，
∴，
解得．
∴所得到的图象对应的函数表达式为．
②如图，过点B作交所得到的图象于点D，过点D作轴于点E，
∵将直线绕点A逆时针旋转，
∴，
∴，，，
∴，
∵，
∴，
∴，，
∴，
∴，，
∴，
∴，
设所得到的图象对应的函数表达式为，
∴，
解得．
∴所得到的图象对应的函数表达式为．
（5）当A为直角顶点时，过C作轴于M，过B作轴于N，如图，
则，
又，
∴，
又，
∴，
∴，，
∵，，
∴，，
∴，
∴；
当B为直角顶点时，过B作轴于N，过C作于M，如图，
同理可证，
∴，，
∴，
∴，
综上，C的坐标为或；
②设，如图，过B作于H，
同理可证，
∴，，
∴，
∴，
∴求的值，相当于求点到和距离和的最小值，
即相当于在直线上找点，使点P到和的距离最小，
作N关于直线的对称点，同理可求，
∴，
∴当M、P、三点共线时，取最小值为，
∴的最小值为，
故答案为：．
4．(1)
(2)①；②或
【分析】本题是一次函数综合题，考查了全等三角形的判定与性质、坐标与图形性质、等腰直角三角形的判定与性质、待定系数法求一次函数的解析式等知识，本题综合性强，熟练掌握等腰直角三角形的性质，证明三角形全等是解题的关键，属于中考常考题型．
（1）过作轴于，证，得，，即可得出答案；
（2）①设，由直线与轴，轴分别交于点，，可得，，利用勾股定理可得，则，利用待定系数法即可求解；
②分两种情况：当点在左侧时，当点在右侧时，过点作交于，过作轴于，根据全等三角形的判定和性质求出的坐标，利用待定系数法求出直线的解析式，即可求解．
【详解】（1）解：如图，过作轴于，如图1，
则，
，
是等腰直角三角形，
，，
，
，
，又，，
，，
，
点的坐标为，
故答案为：；
（2）解：①设，
直线与轴，轴分别交于点，，
当时，，
当时，可得，解得，
，，
，，，，，
根据勾股定理可得，即，
解得，
，
设直线的函数解析式为，
把，代入可得，，
解得，
直线的函数解析式为；
②分两种情况：
当点在左侧时，过点作交于，过作轴于，
，
为等腰直角三角形，
同（1）得，
，，
，
点的坐标为，
设直线的解析式为，
把，代入可得，
解得，
直线的解析式为，
令，则，解得，
的坐标为；
当点在右侧时，过点作交于，过作轴于，
则为等腰直角三角形，
， ，
，
，
，
，，
，
点的坐标为，
设直线的解析式为，
把，代入可得，
解得，
直线的解析式为，
令，则，解得，
的坐标为；
综上所述，的坐标为或．
5．（1）4；（2）是定值，且；（3）；（4）32
【分析】（1）根据定义代入数据计算即可；
（2）先求出点的坐标，设点，再根据定义得到，即可解答；
（3）设，根据定义得，解不等式，求出临界点，再利用勾股定理即可解答；
（4）设，由题意得到的点构成以为中心的正方形，顶点为，，，，据此求解即可．
【详解】解：（1）设，
∵、，且轴，轴，
∴，，即，
∴，，
根据题意：；
故答案为：4；
（2）是定值，
∵一次函数的图象与轴交于点，与轴交于点，
令，则，令，则，
∴，，
设点，
则，
∴是定值，且；
（3）设，根据定义得，
令，则，令，则，
①当时，
∴，，
则，解得：，
∴，；
②当时，
∴，，
则，解得：，
∴，；
③当时，
∴，，
则，解得：（舍去）；
综上，时，，
此时，所有点构成的线段为点到点的线段长，
长度为；
（4）设，
∵，
∴，
当时，，则，
当时，，则，
当时，，则，
当时，，则，
∴的点构成以为中心的正方形，顶点为，，，，如图，
则对角线长为8，
∴，即满足的所有点R围成图形的面积为32．
【点睛】本题考查了一次函数综合，一次函数图形的性质，勾股定理，熟练掌握数形结合的思想是解题的关键．
6．（1）2；（2）m的值为或；（3），，；（4）且
【分析】（1）根据“关联距离”的定义求解即可；
（2）根据题意得点在直线l即上，过点G作，连接，结合图形，利用勾股定理及等面积法求解即可得出结果；
（3）分三种情况画出图形：当H在右侧时，当H在线段上时，当H在左侧时，作出相应图形求解即可；
（4）根据题意得出直线过定点，作出，确定当时，平移到，然后结合图形即可求解．
【详解】解：（1）与边长为5的正方形的边上的点的最小距离为2，
根据“关联距离”的定义得：d（T，正方形），
故答案为：2；
（2）根据题意得点在直线l即上，
过点G作，连接，如图所示：
∵，
当时，，当时，，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴
解得：，
∴；
当时，
解得：
∴，结合图形得：
点与点G关于点C对称，
∴，
∴；
综上可得或，
即m的值为或；
（2）当H在右侧时，如图：
，
，
的坐标是，
的坐标是；
当H在线段上时，过H作于D，如图：
，
，
是等边三角形，，
，
，
的坐标是，
，
的坐标是；
当H在左侧时，如图：
，
，
；
综上所述，H的坐标为或或；
（3）
当时，，
直线过定点，
当时，，，，
当时，，，，
做出相应图形为：
当时，平移到，
把代入得：，
解得，
把代入得：，
解得，
∴结合图形得，
∴且．
【点睛】本题考查一次函数的综合应用，涉及新定义，等边三角形，平行四边形等知识，解题的关键是分类讨论思想和数形结合思想的应用．
7．(1)图象见解析；
(2)
(3)或
【分析】本题考查一次函数的应用及两直线的交点问题、一次函数的基本性质等，理解题意，熟练掌握一次函数的基本性质是解题关键．
（1）根据题意作出相应函数图象，
（2）由一次函数解析式确定点A的坐标即可,然后联立求出交点坐标，结合图形求三角形面积即可；
（3）对的取值范围进行分类讨论，利用一次函数的增减性质求解即可．
【详解】（1）解：如图所示，
该“V”形图象的函数表达式为
（2），当时，，
∴点的坐标为
由图可得：线段所在直线的解析式为，
∴，
解得
∴
线段所在直线的解析式为，
∴，
解得
∴
由（1）得：
∴的面积；
（3）∵直线（，且为常数）
当时，
∴经过定点
当时，
∴该图象与x轴交点
①当时，当，则对称轴为直线，
∵，
由图象可知，
解得
∴
②当时，由图象可知，始终有
综上所述，或．
8．(1)
(2)
(3)M的坐标为或或或
【分析】先解方程得到，，再求出D点坐标，最后由待定系数法求解析式即可；
分为：当时，直线扫过矩形的区域为等腰直角三角形，当时，直线扫过矩形的区域为一个等腰直角三角形加平行四边形，当时，直线扫过矩形的区域面积为矩形的面积减去底部未扫过三角形的面积，分别列面积表达式求解即可；
由点P是直线上一点，设，从而，，再分别判定以A、B、P三点的三角形为等腰三角形，列方程得到P点坐标，再由平行四边形性质推出点M的坐标，注意分类讨论即可．
【详解】（1）解：，
解得，，
、的长分别是方程的两个根，
，
由折叠可知，，
，
则由待定系数法可得直线的直线解析式为
（2）解：当时，直线扫过矩形的区域为等腰直角三角形，
故；
当时，直线扫过矩形的区域为一个等腰直角三角形加平行四边形，
故；
当时，直线扫过矩形的区域面积为矩形的面积减去底部未扫过三角形的面积，
即
综上，直线扫过矩形的面积S与运动的时间t的关系式为
（3）解：点P是直线上一点，设，
又，，
，，
，
①当时，即，解得，
，，
此时可得，
②当时，即，解得或与A重合，舍去，
即，此时可得
③当时，即，解得，
即，此时可得
综上，M的坐标为或或或
【点睛】本题考查了待定系数法求一次函数的解析式，矩形的性质，动点引出的几何图形面积与函数问题，两点间距离公式，一元二次方程，菱形的判定，等腰三角形的判定，掌握以上内容是解题关键．
9．(1)，
(2)为或；
(3)
【分析】（1）先求得，再利用待定系数法求得直线表达式即可；
（2）先求得，，推出．设，由三角形的面积公式列式计算即可求解；
（3）过作轴于，过作轴于，过作轴于．证明，推出，，设，推出．证明，得到，据此列式求得，据此求解即可．
【详解】（1）解：把代入，
得，
解得，
∴．
设直线表达式为，
把代入得，
解得，
∴直线表达式为；
（2）解：对于直线，
令，则，
令，则，
解得，
∴，，
∴，
令，则
解得
故
由题意得．设，．
∴，即．
解得．
．
．
．
即．
解得．
∴，
综上所述，点的坐标为或；
（3）解：过作轴于，过作轴于，过作轴于．
∴四边形是矩形，
∵为等腰直角三角形，，
∴，，
∴，
∴．
∴，，
设（），
∴，，，，，
∴．
∵，，
∴，
∴，
∴，即，
解得，
∴，， ，
由勾股定理．
【点睛】本题考查了坐标与图形，矩形的判定和性质，解直角三角形的相关运算，全等三角形的判定和性质，解题的关键是作出辅助线，熟练掌握相关的判定和性质．
10．(1)；
(2)
(3)
【分析】（1）把代入直线求出，得出直线的解析式为，求出直线与x轴的交点即可得出点A的坐标，根据全等三角形的性质求出，即可求出点E的坐标；
（2）先求出直线的解析式为，联立，求出点D的坐标即可；
（3）由证明得出，证四边形面积为定值，而，要使面积最大，求面积最小即可，当取最小值时，面积最小，即当时，取最小值，进而求解．
【详解】（1）解：把代入直线得：，
∴直线的解析式为，
把代入得：，
解得：，
∴；
∴，
∵，
∴，
∴；
（2）解：设直线的解析式为，把，代入得：
，
解得：，
∴直线的解析式为，
联立，
解得：，
∴点D的坐标为．
（3）解：，
，，
，，
，
，
在和中，
，
，
，
，
，
，，，，
，，
，
四边形面积为定值，
，
要使面积最大，求面积最小即可，
，
当取最小值时，面积最小，
，，，
，
当时，取最小值，
，
即，面积最小为，
则面积，
即面积最大为．
11．(1)
(2)或
(3)存在，点坐标为或
【分析】（1）先根据点求出直线的解析式，再求出时，的值，由此即可得；
（2）先根据直线的解析式求出，再利用待定系数法求出直线的解析式，从而可得点的坐标，则可得的长，然后根据平行四边形的判定可得，据此建立方程，解方程即可得；
（3）分两种情况：①以、、、四个点构成的是矩形，先利用三角形的面积公式和勾股定理可得的长，从而可得点的坐标，再根据矩形的对角线互相平分、点坐标的中点公式即可得；②以、、、四个点构成的是矩形，此时点与点重合，则，根据矩形的性质可得，，由此即可得．
【详解】（1）解：将点代入直线得：，
解得，
∴直线的解析式为，
将代入一次函数得：，解得，
∴点坐标为；
故答案为：．
（2）解：将代入直线得：，即，
将点代入直线得：，解得，
∴直线的解析式为，
由题意得：点的坐标为，点的坐标为，
∴，
∵，
∴要使以、、、为顶点四边形是平行四边形，则，
∴，
解得或，
所以当为或时，以、、、为顶点四边形是平行四边形．
（3）解：由上已得：，，
∴，
∴，
∵点为直线上一点，且在中，，
∴分以下两种情况：
①如图，以、、、四个点构成的是矩形，
过点作轴于点，
∴，，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴，
设点的坐标为，
∵矩形的对角线互相平分，，
∴，解得，
∴此时点的坐标为；
②如图，以、、、四个点构成的是矩形，此时点与点重合，则，
∴，
∴此时点的坐标为；
综上，存在一点，使得、、、四个点能构成一个矩形，此时点的坐标为或．
【点睛】本题考查了一次函数的应用、平行四边形的判定、矩形的性质、勾股定理、点坐标的中点公式等知识，熟练掌握一次函数的几何应用是解题关键．
12．直线解析式为或
【分析】本题考查了待定系数法求函数的解析式，全等三角形的判定和性质，解方程得到B的坐标是，A的坐标是．分两种情况讨论：若，如图，作轴于点E，根据全等三角形的性质得到，，求得．则C的坐标是．设直线的解析式是，解方程组得到直线的解析式；若，如图，即，即可得直线的解析式．
【详解】解：∵一次函数，
令得，
令，得，
∴B的坐标是，A的坐标是，
分以下两种情况：
若，如图，作轴于点E，
∵，
∴，
又∵，
∴，
在与中，
，
∴，
∴，，
∴，
则C的坐标是，
设直线的解析式是，根据题意得：，
解得，
∴直线的解析式是；
若，如图，即，如图，作轴于点E，
同理可得，
∴，，
∴，
则C的坐标是，
设直线的解析式是，根据题意得：，
解得，
∴直线解析式为：；
综上所述，直线解析式为或．
13．（1），；（2）；（3）①；②，，
【分析】（1）因为于，，所以，因为，即可通过证明．
（2）因为，，得，因为，即可通过证明，再运用全等三角形的性质，即可证．
（3）①过点作轴，过点作的延长线，易得，，，通过证明，再设点的坐标为，，根据，，进行列式作答即可；
②分类讨论，当时，，和分别作图，接着证明相应三角形全等，根据全等三角形的对应边相等，列式作答即可．
【详解】解：（1）于，，
，，
，
即，
，
，
，
；
故答案为：，；
（2）如图2，过点作轴于点．
点，，
，．
由（1）可知，
，，
，
点的坐标为．
（3）①如图3，过点作轴，过点A作，交的延长线于点．
，，
，，，
．
轴，
．
，
，
，．
点在第一、三象限的角平分线上，点在轴上，
设点的坐标为，．
，，点，
，，
解得，，
故点的坐标为
②，，过点作轴，过点作射线轴，且过点作，如图：
，
∴，
∴，
因为，
，
过点作轴，过点作，
，
，
，，
点在第一象限的角平分线上，点在轴上，
设点的坐标为，，
，，，
，，
此时无解，
当，，过点作直线轴，与轴交于点，过点作于点，如图：
，，
，
即，
，
，
，，
点在第一、三象限的角平分线上，点在轴上，
设点的坐标为，，
，，，
，，
解得，，
故点的坐标为；
当，，过点作直线轴，过点作于点，过点作于，如图：
，，
，
即，
，
，
，，
点在第一、三象限的角平分线上，点在轴上，
设点的坐标为，，
，，，
，，
解得，，
故点的坐标为；
当时，，过点作直线轴，过点作于点，过点作于点，如图：
，，
，即，
，
，
，，
点在第一、三象限的角平分线上，点在轴上，
设点的坐标为，，
，，，
，，
解得，，
故点的坐标为；
综上，其他符合条件的点的坐标为，，．
【点睛】本题属于三角形综合题，考查了全等三角形的性质与判定，平角的定义，直角三角形的两个锐角互余，“一线三直角”的模型，综合性较强，难度较大，灵活使用分类讨论思想以及正确掌握作辅助线是解题的关键．
14．(1)
(2)，
(3)的坐标为或
【分析】（1）过作轴于，过作轴于，根据直角三角形两锐角互余和等角的余角相等得出，根据全等三角形的判定和性质得出，，即可求解；
（2）过作轴于，先求出直线与坐标轴的交点与的坐标，根据直角三角形两锐角互余和等角的余角相等得出，根据全等三角形的判定和性质得出，，得出点的坐标，根据待定系数法求出直线对应的函数表达式，再求出直线与轴的交点坐标即可；
（3）过作轴于，交直线于，根据题意，设，，①当在上方时，根据直角三角形两锐角互余和等角的余角相等得出，根据全等三角形的判定和性质得出，，据此列出二元一次方程组，解方程组即可；②当在下方时，同理列出二元一次方程组，解方程组即可．
【详解】（1）解：过作轴于，过作轴于，如图：
∵，
即，，
∴，
在与中，
，
∴，
∵，
∴， ，
∴；
故答案为：．
（2）解：过作轴于，如图：
在中，令得，令得，
∴，，
即，，
∵，
即，，
∴，
在与中，
，
∴，
∴，，
∴，
∴，
设直线对应的函数表达式为，把，代入得，
解得：，
∴直线对应的函数表达式为；
令，得，
∴．
（3）解：过作轴于，交直线于，
根据题意，设，，
①当在上方时，如图：
∵，
即，，
∴，
在与中，
，
∴，
∴，，
即，
解得，
∴的坐标为；
②当在下方时，如图：
同理可得，
解得，
∴的坐标为
综上所述，的坐标为或．
【点睛】本题考查了直角三角形的性质，等角的余角相等，全等三角形的判定和性质，待定系数法求一次函数的解析式，一次函数与坐标轴的交点问题等，熟练掌握全等三角形的判定和性质是解题的关键．
15．(1)
(2)
(3)
【分析】（1）由题易得，所以，，再根据等腰三角形可知，再根据外角性质可得，即可得解；
（2）根据题意可得，由逆等线模型构造全等，过作轴，且，连接，证，得到，从而，再利用勾股定理求出值即可；
（3）先求出解析式，利用平行线将进行等角转化，过点作交于点，所以，亦可得出直线的解析式，进而求出的坐标，再利用构造等腰直角三角形，过作于点，进而构造一线三垂直的全等，求出点坐标，然后求出直线的表达式，即可得解．
【详解】（1）解：分别交、轴于、两点，
令，得，即，
令，得，即，
，
点坐标为，
，
，，
，，
，，
，
，
，
在中，；
（2）解：由（1）可知，，
为等腰直角三角形，
，
，
，
，
如图，过作轴，且，连接，
，
，
，
在和中，
，
，
，
，
当且仅当、、三点共线时取最小值，最小值为线段的长，
的最小值为，
，
，，
，
，
，
直线的表达式为；
（3）解：，
，
是中点，
，，
设直线的解析式为，
将，代入得，
，
解得，
直线的解析式为，
过点作交于点，
设直线的解析式为，
将代入得，，
直线的解析式为，
令，
解得，
，
，
过作于点，
与的夹角是，
，
，
，
过作轴交轴于点，过作于点，
，
在和中，
，
，
，，
设，
，，
，，，，
，
解得，
，
设直线解析式为，将，代入得，
，解得，
直线解析式为，
再联立直线和直线解析式得，
，解得，
．
【点睛】本题主要考查了待定系数法求一次函数解析式、一次函数交点与二元一次方程组、全等三角形的判定和性质，等腰三角形的判定与性质等内容，熟练掌握相关知识是解题的关键．
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