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二次函数相关压轴题-2025年中考数学二轮专题突破
1．抛物线经过，两点，点在轴上，是抛物线上位于直线下方的一个动点．
(1)直线的解析式是________________，抛物线的解析式是________________；
(2)如图1，过点作于点，交轴于点，过点作轴于点，交于点，若，求点的坐标；
(3)如图2，在轴上有一点，连接交于点，求与的面积之差的最大值．
2．如图1，抛物线与x轴交于点A，B，与y轴交于点C，点P在x轴上方的抛物线上．
(1)求直线的解析式；
(2)求以A，B，P，C为顶点的四边形面积的最大值；
(3)如图2，若直线与直线相交于点M，且，求点P的坐标．
3．如图在平面直角坐标系中，抛物线与x轴交于点和点B（点A在点B的左侧），与y轴交于点C，经过点A的直线与抛物线交于点，与y轴交于点E．
(1)求抛物线的表达式．
(2)①x轴下方抛物线上是否存在一点F，使面积等于的面积？若存在，请求出点F的坐标．
②若点Q是x轴下方抛物线上的一个动点，使的面积为，请直接写出点Q的坐标．
(3)点M是线段OA上一动点，点N是线段AE上一动点，且，请求出的最小值．
4．如图⑥，抛物线与x轴交于O、A两点，与直线交于O、两点，过点B作y轴的垂线，交y轴于点C，点P从点B出发，沿线段方向匀速运动，运动到点O时停止．
(1)求抛物线的表达式：
(2)请在图⑥中过点P作轴于点F，延长交于点E，当时，求点P的坐标：
(3)如图⑦，点P从点B开始运动时，点Q从点O同时出发，以与点P相同的速度沿x轴正方向匀速运动，点P停止运动时点Q也停止运动，连接，求的最小值．
5．如图1，抛物线与轴交于、两点，点为抛物线的顶点，连接．
(1)求抛物线解析式；
(2)如图2，以点为圆心，4为半径作，点在上．连接、，
①当△是以为底的等腰三角形时，求点的坐标；
②如图3，取的中点，连接，当点在上运动时，求线段长度的取值范围．
6．定义：若以函数图象上的点与平面内两个点，为顶点构成的三角形是等边三角形，则称是上关于，的“等边点”．在平面直角坐标系中，已知，，．
(1)正比例函数上存在关于，的“等边点”，直接写出正比例函数的解析式；
(2)点是轴正半轴上一点，点是反比例函数上关于，的“等边点”，且轴，求反比例函数的解析式；
(3)二次函数过点，，，则的解析式为______；
如图，射线交轴于点，点是上关于，的“等边点”，其中在射线上，在射线上，求点的坐标；
如图，点是第一象限内二次函数的对称轴上一动点，若点是上关于，的等边点，直接写出点的横坐标．
7．如图，直线与轴，轴分别交于点，，抛物线经过，两点，与轴的另一交点为，点是抛物线上一动点．
(1)求抛物线的解析式；
(2)当点在直线上方时，连接，，，交于点，令的面积为，的面积为，求的最大值；
(3)点是该抛物线对称轴上一动点，为平面内任一点，是否存在以点，，，为顶点的菱形；若存在，请直接写出点的坐标；若不存在，请说明理由．
8．在平面直角坐标系中，点为坐标原点，抛物线交轴负半轴于点A，交轴正半轴于点，交轴于点，，．
(1)如图1，求抛物线的解析式；
(2)如图2，点为第二象限抛物线上一点，连接，，，设点的横坐标为，的面积为，求与之间的函数关系式（不要求写出自变量的取值范围）；
(3)如图3，在（2）的条件下，点在上，连接，点为的中点，连接，，，，，求点的坐标．
9．如图，在平面直角坐标系中，二次函数的图象过点，设的对称轴为直线．
(1)求的值；
(2)设与轴的交点为，，曲线是与关于轴对称的抛物线，若，求的解析式及顶点坐标；
(3)在（2）的条件下，设在的对称轴左侧有直线轴，且与和分别交于点，另有一条直线轴，且与和分别交于点，当四边形是正方形时，求点的坐标及正方形的边长．
10．如图，在平面直角坐标系中，抛物线的函数图象与x轴交于两点，与y轴交于点C．
(1)求该抛物线的函数表达式；
(2)在直线下方的抛物线上有一动点，连接，点是点关于轴的对称点，过点作直线轴，点为直线上一动点，轴，垂足为，连接，当的面积取得最大值时，求的最小值；
(3)将抛物线沿射线方向平移个单位长度得到新的抛物线，为的中点，在新抛物线上存在一点使得，请直接写出所有符合条件的点的坐标．
11．在平面直角坐标系中，抛物线，分别交x轴于，B两点，交y轴于点C，且．
(1)如图1，求抛物线的解析式；
(2)如图2，点P在第一象限抛物线上一点，连接，设点P的横坐标为t，的面积为S，求S与t的函数关系式（不要求写出自变量t的取值范围）；
(3)如图3，在（2）的条件下，点D为第一象限内对称轴左侧抛物线上一点，当时，连接并延长与过点A且垂直x轴的直线交于点E，过点D作轴于点F，连接交y轴于点G，，点N在线段上，连接并延长交抛物线于点M，过点B作于点H，连接，当时，求点M的横坐标．
12．如图，抛物线与轴交于、两点，与轴交于点，顶点为．其中，．
(1)求该抛物线的表达式；
(2)是该抛物线上一点．
①连接，若，求点的坐标；
②在第三象限内抛物线上找点，使，求点的坐标．
13．如图，抛物线与轴交于两点，过点的直线与轴交于点．
(1)求抛物线的表达式；
(2)是第四象限内抛物线上一动点，连接，若平分，求点的横坐标；
(3)将抛物线平移得到，使得抛物线顶点为原点，点，为抛物线上的两个动点，且，连接，过作于点，求点到轴的最大距离．
14．【问题背景】
如图1所示，在平面直角坐标系中，抛物线与轴交于，于轴交于点，以为直角顶点，为腰作等腰直角三角形，恰好点落在抛物线上．
（1）直接写出点坐标，并求抛物线的函数表达式；
【初步探索】
（2）如图2所示，点为线段的中点，点为线段上一动点（点不与点，重合），连接，以为旋转中心将线段顺时针旋转得到线段，连接，求的最小值；
【深度探究】
（3）如图2所示，连接交于点，在满足（2）最值的条件下，求．
15．【实践探究】
数学课题学习小组，为了研究学习二次函数问题，他们经历了实践——应用——探究的过程：
(1)实践：他们对一条抛物线形拱桥进行测量，测得当拱顶高离水面时，水面宽，并画出了拱桥截面图，建立了如图1所示的直角坐标系，求该抛物线的解析式；
(2)探究：该课题学习小组为进一步探索抛物线的有关知识，他们借助上述抛物线模型，并过原点作一条的直线，交抛物线于点F，交抛物线对称轴于点E，提出了以下两个问题，请予解答：
①如图2，B为直线上方抛物线上一动点，过B作垂直于x轴，交x轴于A，交直线于C，过点B作垂直于直线，交直线于D，求的最大值．
②如图3，G为直线上一动点，过G点作x轴的垂线交抛物线于点H，点P在坐标平面内．问：是否存在以E、G、H、P为顶点的四边形是正方形？若存在，请直接写出G点的坐标；若不存在，请说明理由．
《二次函数相关压轴题-2025年中考数学二轮专题突破》参考答案
1．(1)，；
(2)
(3)
【分析】（1）利用待定系数法即可求得答案；
（2）设点，点，点，，利用
，，推出，接着证明，那么有，即，然后解方程即可；
（3）连接，作，交于点，先求得直线，设点，，表示出，，得到
，接着求得，最后利用，
由，则时，取最大值，最大值为．
【详解】（1）解：设直线为，代入，，
，
，
直线为：，
抛物线经过，两点，
，
，
抛物线为：，
故答案为：，；
（2）解：设点，点，点，
，
，
，
，，
，
，
，
，
在和中，
，
，
，
，
，，
当时，点，点，点，不符合题意，舍去；
当时，，点，符合题意，
；
（3）解： 连接，作，交于点，如图所示：
设直线为：，代入，，
，
，
直线为：，
设点，，
，
，
，
，，
，
，
，
，
，
，
时，取最大值，最大值为．
【点睛】本题考查了待定系数法求一次函数解析式，待定系数法求二次函数解析式，三角形全等的判定与性质，三角形的面积，二次函数的最值问题，熟练以上知识点是解题的关键．
2．(1)
(2)
(3)或或
【分析】本题考查了二次函数综合、待定系数法求函数解析式、相似三角形的性质与判定，熟练掌握相关知识点是解题的关键．
（1）先求出点A，B，C的坐标，设直线的解析式为，代入点B，C的坐标，利用待定系数法即可求解；
（2）设，分2种情况①点在直线上方；②点在直线下方，利用割补法表示出以A，B，P，C为顶点的四边形面积，再利用二次函数的性质求出最大值，再比较2种情况的最大值的大小即可得出答案；
（3）设，分2种情况①点在直线上方；②点在直线下方，过点、分别作轴的平行线，交直线于点、，得出，，通过证明，得到，结合图形列出方程，解出的值即可求出点P的坐标．
【详解】（1）解：令，则，
解得：，，
，，
令，则，
，
设直线的解析式为，
代入和，得，
解得：，
直线的解析式为．
（2）解：由（1）得，，，，
，，
设，
①若点在直线上方，则，
如图，连接、、、，
，
，
当时，有最大值；
②若点在直线下方，则，
如图，连接、、，
，
，
当时，有最大值；
，
以A，B，P，C为顶点的四边形面积的最大值为．
（3）解：由（1）得，直线的解析式为，，
设，
①若点在直线上方，则，
如图，过点、分别作轴的平行线，交直线于点、，
，
当，则，
，
，
轴，
，
，
，
解得：，，
点的坐标为或；
②若点在直线下方，则，
如图，过点、分别作轴的平行线，交直线于点、，
同理①中的方法可得，，，
轴，
，
，
，
解得：（舍去），，
点的坐标为；
综上所述，点的坐标为或或．
3．(1)
(2)①存在； ②或
(3)
【分析】（1）利用待定系数法求出抛物线解析式；
（2）①过点B作交抛物线于点F，此时面积等于的面积，利用待定系数法可求出直线的表达式为，再求出直线的表达式为，最后联立方程组求解即可；
②过点作交轴于，连接，则，根据的面积为求出，则，可得直线的表达式为，联立抛物线即可求解；
（3）过点作轴，，证明，可得，由三角形的三边关系可得，则当、、三点共线时，的值最小，最小为的长，利用勾股定理即可求解．
【详解】（1）解：抛物线过，，
，解得，
抛物线的表达式为；
（2）解：①存在，
如图，过点B作交抛物线于点F，此时面积等于的面积，
设直线的表达式为，
，，
，解得，
直线的表达式为，
设直线的表达式为，
在二次函数中令，得，
解得：，
，
将代入得：，解得，
直线的表达式为，
联立方程组得，解得：或，
；
②如图1，过点作交轴于，连接，
，
的面积为，
，解得，
，
，
，直线的表达式为，
设直线的表达式为，
，解得，
直线的表达式为，
联立与抛物线得，
解得，，
点的坐标为或；
（3）解：如图2，过点作轴，，连接，，
轴，
，
，，
，
，
，
当、、三点共线时，的值最小，最小为的长，
直线的表达式为，
，
，
，
，
的最小值为．
【点睛】本题是二次函数综合题，主要考查了二次函数的图象和性质，一次函数的图象与性质，待定系数法确定函数的解析式，三角形的面积，全等三角形的判定和性质，掌握二次函数的图象和性质以及一次函数的图象与性质是解题的关键．
4．(1)
(2)
(3)
【分析】（1）利用待定系数法求函数解析式即可；
（2）设点P的坐标为（），可得点E的坐标为，点F的坐标为，由，可得，解得，即可求解；
（3）在上方作．使得，，连接，证明，可得．当M，Q，B三点共线时最小，则的最小值为的长，再求解即可．
【详解】（1）解：∵抛物线过点，
∴，
∴．
∴抛物线的表达式为；
（2）解：如图，
设点P的坐标为（），
结合题意可得，点E的坐标为，点F的坐标为，
∵，
∴，
解得，
∴点P的坐标为；
（3）解：由题意得，．
如图，在上方作．使得，，连接，
∵点B的坐标为，轴，
∴，，
∴，，
∵在和中，
，
∴，
∴．
∴（当M，Q，B三点共线时取等号），
∴的最小值为的长，
∵，
∴．
∴的最小值为．
【点睛】本题是二次函数综合题，考查了待定系数法求一次函数和二次函数解析式、全等三角形的判定与性质、勾股定理等知识，数形结合和准确计算是解题的关键．
5．(1)
(2)①或；②
【分析】（1）直接利用两点式求出函数解析式即可；
（2）①求出点坐标，过点作轴，得到为等腰直角三角形，推出点在圆A上，得到与重合满足题意，过点作，则点为直线与的交点，连接，证明轴，求出另一个的坐标即可；
②延长至点D，使，则点D坐标为，连接，根据三角形中位线的性质得到，当过点A时，长度达到最大值，当点M在点E处时，MD有最小值，由此解决问题．
【详解】（1）解：抛物线与轴交于、两点，
∴；
（2）①∵，
∴，
过点作轴，则：，
∴为等腰直角三角形，
∵，
∴，
∴，
∴点在上，
∴当点与点重合时，满足题意，此时：；
∵△是以为底的等腰三角形，
∴点在线段的中垂线上，
过点作，则点为直线与的交点，连接，如图，
则：，，
∴，
∴，即：轴，
∴；
故：或；
②延长至点D，使，则点D坐标为，
连接，
∵点N为中点，
∴．
如图，当过点A时，长度达到最大值，
当点M在点E处时，有最小值，
∵点A、D横坐标相同，
∴此时轴，
∴，
∴，
∴．
【点睛】此题考查了抛物线与圆的综合知识，抛物线解析式化为顶点式，求抛物线与坐标轴的交点，圆的半径相等的性质，直径是圆中最长的弦，以及等腰三角形三线合一的性质，综合掌握各知识点是解题的关键．
6．(1)或；
(2)；
(3)；；或．
【分析】本题考查二次函数综合题，通过新定义“等边点”确定解析式，正比例函数，等边三角形的性质，二次函数图象上点的坐标特点等知识点，理解新定义和熟悉二次函数的性质是解题的关键．
（1）根据图象和、的坐标即可得解；
（2）由题意得是等边三角形，轴，通过解三角形的计算即可得到点坐标，即可得解；
（3）的解析式为：，作垂足为，通过勾股定理可得，设，，，求出的值即可得解；
当，重合时，过作，交延长线于点，过点作轴于点，证明，设，可求得，，将代入，即可得解．
【详解】（1）解：，，
，
边上的高为：，
点的纵坐标为：，
∵点P的横坐标为，
设正比例函数的解析式为，
∴
∴或；
（2）解：如图所示，由题意得是等边三角形，轴，
，，
中，
，
，
，
设，
将代入，
解得，，
的解析式为；
（3）解：∵抛物线过，，
∴设抛物线的解析式为，
代入，得，
∴抛物线的解析式为；
作垂足为，如图所示，
由题意得，
，，
，，
，
设，，，
则，
解得，，
，
，
∴；
如图所示，当，重合时，，显然符合题意；
如图所示，过作，交延长线于点，过点作轴于点，
，
，
，
，
，
，
，
，
∴，
设，
∵点是上关于，的等边点，
∴，，
∴，
∴，
∴，
∴
∴，
∵，
∴，即P是中点，
∴，
将代入，
解得（舍），，
∴，
综上，的横坐标为：或．
7．(1)抛物线的解析式为：；
(2)的最大值是；
(3)存在，的坐标为或或．
【分析】（1）根据一次函数得到，，代入，即可得到函数解析式；
（2）令，解方程得到，，求得，过作轴于，过作轴交于于，根据相似三角形的判定和性质结合图形可得：与分别以、为底，高相同，得出，代入求解即可；
（3）根据为边和为对角线，由菱形的性质即可得到点的坐标．
【详解】（1）解：令，得，
令，得，
，，
抛物线经过、两点，
，
解得：，
抛物线的解析式为：；
（2）解：如图所示，过作轴交于，过作轴交于，
，
，
，
与分别以、为底，高相同，
，
令，
解得：，，
，
设，
，
，
，
∴，
，
；
当时，的最大值是；
（3）解：，
对称轴为直线，
设，
若以为边，且，
∴
当，
∴
当，
∴
若以为对角线，
，
，
综上，的坐标为或或．
【点睛】本题考查了二次函数综合题，涉及待定系数法求函数的解析式，相似三角形的判定和性质，菱形的性质、方程思想及分类讨论思想，解题的关键是以为边或对角线进行分类讨论．
8．(1)
(2)
(3)
【分析】本题考查全等三角形判定及性质，解直角三角形，待定系数法求二次函数解析式，二次函数与几何结合等．
（1）先求出点AB的坐标，再代入关系式可得答案；
（2）过点分别作轴，轴的垂线，点，为垂足，连接，再求出，设点的横坐标为，表示出，，然后根据可得答案；
（3）作轴，点为垂足，取的中点，连接，继而得到，再过点作的平行线交于点，交的延长线于点，作轴，点为垂足，再设，，，连接，过点作轴，点为垂足，再利用解三角形应用即可得到本题答案．
【详解】（1）解：点A在轴负半轴，，
，
点在轴正半轴，，
，
抛物线经过，，
，
解方程组得：，
抛物线的解析式为；
（2）解：过点分别作轴，轴的垂线，点，为垂足，连接，
当时，，，
．
点在抛物线上，点的横坐标为，
当时，．
点在第二象限，
，，
∴，
，
，
，
与之间的函数关系式为；
（3）解：作轴，点为垂足，取的中点，连接，
∵点为中点，，，，
∴，
∴为中点，
∴，
∴，
∴，，，
∴，平分，
过点作的平行线交于点，交的延长线于点，作轴，点为垂足，
设，，，
连接，过点作轴，点为垂足，
∴，，，
连接，，，
，
，
∴，解得：，
∴．
9．(1)
(2)曲线顶点坐标为，解析式为
(3)，正方形的边长为
【分析】本题主要考查二次函数图象与几何图形的综合，掌握待定系数法求解析式，轴对称的性质，二次函数与特殊图形求边长的计算是关键．
（1）根据抛物线过点，对称轴直线为，代入计算即可求解；
（2）根据对称轴直线为，结合可得，代入抛物线，运用待定系数法即可求解；
（3）根据四边形是正方形，得到，设，则，，，，代入计算即可求解．
【详解】（1）解：二次函数的图象过点，设的对称轴为直线，
∴，
∴，
解得，；
（2）解：∵设与轴的交点为，，抛物线的对称轴直线为，
∴，且，
∴解得，，
∴，
∴，且，
∴，
整理得，，
解得，，
∴，
∴抛物线的解析式为，
∴，即抛物线顶点坐标为，
∵曲线是与关于轴对称的抛物线，则曲线图象开口向下，顶点坐标为，
∴曲线的解析式为；
（3）解：如图所示，
∵四边形是正方形，
∴，
∵点在抛物线的图象上，点在抛物线的图象上，
∴设，
∴，
∴，，
∵点关于对称，
∴，则，
∴，
∴，整理得，，
解得，（大于，不符合题意，舍去），，
∴，，
∴，正方形的边长为．
10．(1)
(2)
(3)或
【分析】（）利用待定系数法解答即可；
（）利用二次函数解析式可得，进而可得直线的解析式为，设点，过点作轴 ，交直线于点，可得，即得，即可得到，可知当时，的面积取最大值，即得，，作点关于直线的对称点，连接交直线于点，则，又可知四边形是平行四边形，得，即得到，由两点之间线段最短，可知此时的值最小，利用勾股定理求出即可求解；
（）由题意可得抛物线沿射线向下平移的单位长度，再向右平移的单位长度得到新的抛物线，即得，再分两种情况，画出图形解答即可求解．
【详解】（1）解：把，代入得，
，
解得，
∴抛物线的解析式为；
（2）解：由，得，
设直线的解析式为，把、代入得，
，
解得，
∴直线的解析式为，
设点，过点作轴 ，交直线于点，如图，则点，
∴，
∴，
∵，
∴当时，的面积取最大值，
∴，
∴，
作点关于直线的对称点，连接交直线于点，则，
∵点是点关于轴的对称点，
∴，
∵点为直线上一动点，轴，
∴，
∴，
∵，
∴四边形是平行四边形，
∴，
∴，
由两点之间线段最短，可知此时的值最小，
∵点与点关于直线的对称点，
∴，
又∵，
∴，
∴的最小值；
（3）解：∵直线的解析式为，
∴可设抛物线沿射线向下平移的单位长度，再向右平移的单位长度得到新的抛物线，
∵，
∴，
∴抛物线沿射线向下平移的单位长度，再向右平移的单位长度得到新的抛物线，
∵，
∴，
∵点为中点，
∴，
如图，当时，，
设直线的解析式为，把代入得，
，
∴，
∴直线的解析式为，
由，解得（不合，舍去）或，
∴；
当，与轴的交点为点时，如图，
∵，
∴，
又∵，
∴，
∴，
∵，,
∴，
∴，
设直线的解析式为，把、代入得，
，
解得，
∴直线的解析式为，
由，解得（不合，舍去）或，
∴；
综上，当时，点的坐标为或．
【点睛】本题考查了二次函数的几何应用，待定系数法求二次函数解析式，二次函数与一次函数的交点问题，二次函数的平移，相似三角形的判定和性质，等腰三角形的性质，轴对称的性质，掌握二次函数的图象和性质是解题的关键．
11．(1)抛物线的解析式为；
(2)；
(3)点的横坐标为．
【分析】本题考查二次函数的综合应用，熟练掌握二次函数的图象及性质，等腰三角形的性质，分类讨论、数形结合是解题的关键．
（1）先求出点C的坐标，再求出点B的坐标，运用待定系数法可求出二次函数解析式；
（2）求得直线的解析式为，过点P作轴于点W，交于点I，过点C作于点L，设，则，，由可得结论．
（3）求得，过点作交延长线于点，交轴于点，延长交于点T，，过点作于点，设点，根据正切值列方程求解即可．
【详解】（1）解：当时，，
∴，
∴，
∵，
∴，
过点点，
解得．
抛物线的解析式为．
（2）解：设直线的解析式为，
把点，代入得，
解得，，
∴直线的解析式为，
过点P作轴于点W，交于点I，过点C作于点L，
设，则，
∴，
．
（3）解：当时，，，（舍去），
∴，
过点作交延长线于点，交轴于点，延长交于点T，，过点作于点，
设点，
∴，，
，，，，
∴，
∵，
∴，
∴，，
，
∴，，，，，
连接，
∵，，，
∴，
∴，
过点作，连接，过点作，
∵，，，
∴，
∴，
，
设，则，
，
过点P作于点U，
∵，
，
，，
延长交于点I，，
，
，，，
点E与点I重合，，
过点G作轴，过点作，，
，
设点，
∵，
解得，（舍）
点的横坐标为．
12．(1)
(2)①；②
【分析】（1）设抛物线的表达式为，把点代入，即可求解；
（2）①过点B作交于点F，过点F作轴于点G，过点D作轴于点H，根据题意可得，再由，可得，，从而得到，再求出点，可得，在中，利用勾股定理可得，，从而得到点F的坐标为，再求出直线的解析式，进而得到直线的解析式，即可求解；②过点E作轴于点F，过点D作轴于点G，则，设点E的坐标为，则，可得，然后根据，求出m的值，即可求解．
【详解】（1）解：∵，
∴可设抛物线的表达式为，
把点代入得：，
解得：，
∴抛物线的表达式为；
（2）解：①如图，过点B作交于点F，过点F作轴于点G，过点D作轴于点H，
∵点，，
∴，
∴，
∴，
∵，
∴，
∵，
∴，
∴，，
∴，
对于，
当时，，
解得：，
∴点，
∴，
在中，，
∴，
∴或0（舍去），
∴，
∴点F的坐标为，
设直线的解析式为，
∴，解得：，
∴直线的解析式为，
∴可设直线的解析式为，
把点代入得：，
解得：，
∴直线的解析式为，
联立得：，
解得：或，
∴点E的坐标为；
②如图，过点E作轴于点F，过点D作轴于点G，则，
∵点，，
∴，
当时，，
∴点，
∴，
设点E的坐标为，则，
∴，
∵，
∴，
∴，
即，
解得：或0（舍去），
∴点E的坐标为．
【点睛】本题主要考查二次函数的综合问题，包括待定系数法确定函数解析式，解直角三角形，勾股定理等，理解题意，综合运用这些知识点是解题关键．
13．(1)
(2)
(3)
【分析】（1）根据，利用待定系数法即可求解；
（2）过点作轴的平行线，与的延长线交于点，进而可证明，结合坐标都，可知点的坐标为，进而求得直线的表达式为，而为直线与抛物线的交点，且在第四象限则，解方程即可求解；
（3）由平移可知抛物线，如图，与轴交于点，过点，分别作，垂直于轴，交轴于，，设，，证得，得，可求得，设直线的表达式为，可知，为方程的两个根，得，求得，进而可知点的坐标为，则，由，可知点在以为直径的圆上，可得点到轴的最大距离．
【详解】（1）解：抛物线与轴交于两点，
∴，解得：，
∴抛物线的表达式为；
（2）过点作轴的平行线，与的延长线交于点，
∵平分，
∴，
又∵，
∴，
∴，
∴，
∵，，即，，
∴，
∴点的坐标为，
设直线的表达式为，代入，，
得，解得，
∴直线的表达式为，
而为直线与抛物线的交点，且在第四象限
则，解得：（负值舍去），
∴点的横坐标为；
（3）将抛物线平移得到，使得抛物线顶点为原点，
∴抛物线，
如图，与轴交于点，过点，分别作，垂直于轴，交轴于，，
设，，
∵，则，
∴，则，
∴，
∴，即，
∴，
设直线的表达式为，
又∵，在抛物线上，
则，即，为方程的两个根，
∴，
∴
∴直线的表达式为，
即点的坐标为，则，
∵，
∴，
∴点在以为直径的圆上，
∴点到轴的最大距离．
【点睛】本题考查待定系数法求函数解析式，等角对等边，相似三角形的判定及性质，圆周角定理，抛物线与直线的交点问题等知识点，利用数形结合是解决问题的关键．
14．
（1），抛物线解析式为
（2）
（3）
【分析】（1）令，则，得到，如图所示，过点作轴于点，证明，得到，，则，把代入抛物线中，运用待定系数法即可求解；
（2）如图所示，连接，过点作于点，当点在线段（不含端点）上运动时，当，即点与点重合时，的值最小，根据等腰直角三角形，旋转的性质证明，得，，则，由此即可求解；
（3）由（2）可得，是等腰直角三角形，，则，如图所示，过点作于点，作于点，由，得是正方形，，，，，，，，由此即可求解．
【详解】解：（1）抛物线与轴交于，于轴交于点，
令，则，
∴，
∵以为直角顶点，为腰作等腰直角三角形，
∴，
∴，
如图所示，过点作轴于点，
∴，
∴，
又∵，
∴，
∴，
∴，
∴，
把代入抛物线中得，
，
解得，，
∴抛物线解析式为；
（2）如图所示，连接，过点作于点，当点在线段（不含端点）上运动时，当，即点与点重合时，的值最小，
∵是等腰直角三角形，绕点顺时针旋转得到线段，
∴，
∴，
∴，
∴，，
∴，
∴当点在线段（不含端点）上运动时，点在上与运动，
∴当时，的值最小，
∵，点是中点，
∴，
∵，
∴，
∴当点于点重合时，的值最小，最小值为；
（3）根据上述计算可得，，
由（2）可得，是等腰直角三角形，，则，
∴，
如图所示，过点作于点，作于点，由，得是正方形，
∵，
∴，
∴，
∴，
∴，且，
∴，
∴，
∴，，，
∴，
∴．
【点睛】本题主要考查二次函数与几何图形的综合，掌握待定系数法求二次函数解析式，等腰三角形的定义，全等三角形的判定和性质，垂线段最短 ，相似三角形的判定和性质等综合，数形结合分析思想是解题的关键．
15．(1)
(2)①最大值为；②G点坐标为或或或
【分析】（1）设抛物线的解析式为，由图可知抛物线经过原点，即，求出a的值即可求函数的解析式；
（2）①由题可知是等腰直角三角形，则，设，则，，当时，的最大值为，即可得出问题答案；
②由①可得，然后根据题意可分当时，当时，然后根据正方形的性质可分类进行求解．
【详解】（1）解：设抛物线的解析式为，
当时，，
解得，
∴抛物线的解析式为；
（2）解：①∵，
∴抛物线的对称轴为直线，
∴，
∴，
∵，
∴，，
∴，
设，则，
∴，
当时，的最大值为，
∴的最大值为；
②存在以E、G、H、P为顶点的四边形是正方形，理由如下：
由①可得，
∴当时，是等腰直角三角形，
∴，
∵，
∴H点的纵坐标为5，
∴，
解得或，
∵G点在直线上，
∴或；
当时，
∵，
∴，
设，，如图，连接，交于点M，
∴，
∴，
解得或，
∴或；
综上所述：G点坐标为或或或．
【点睛】本题考查二次函数的图象及性质，熟练掌握二次函数的图象及性质，正方形的性质，等腰直角三角形的性质是解题的关键．
21世纪教育网 www.21cnjy.com 精品试卷·第 2 页 （共 2 页）
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