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期末检测卷-2024-2025学年数学九年级下册人教版
一、单选题
1．如图，由6个相同小正方体组成的几何体，其俯视图是（　　）
A． B．
C． D．
2．反比例函数的图象经过点，下列各点在此反比例函数图象上的是( )
A． B． C． D．
3．如图，在中，，若，，则（ ）
A． B． C． D．
4．已知是斜边的中线，若，则（ ）
A． B． C． D．
5．定义运算“※”为：，如：，则函数的图象大致是（ ）
A． B．
C． D．
6．如图，和是以点O为位似中心的位似图形，若，则和的面积比是（ ）
A． B． C． D．
7．如图，点A是反比例函数图象上一点，点是反比例函数图象上一点，点在轴上，连接，，，若轴，的面积为，则的值为（ ）
A． B． C． D．
8．如图，水库大坝的横断面是梯形，坝顶宽为，坝高为，斜坡的坡角为，斜坡的坡角的正切值为，则坡底的长为（ ）m
A．42 B． C．78 D．
二、填空题
9．已知：，则 ．
10．在平面直角坐标系中，若函数的图象经过点和，则的值是 ．
11．成语“立竿见影”在《辞源》里的解释为“竿立而影现，喻收效迅速．”希望小组开展了运用阳光下的影长测量学校内旗杆高度的实践活动．小组内同学进行了如下操作：如图，同一时刻在阳光照射下，旗杆的影长，小明的影长，已知小明的身高，则旗杆的高为 ．
12．如图，在中，，，，是的内切圆，切点分别为、、，则的半径为 ；连接、，则的值为 ．
13．如图，反比例函数的图象经过平行四边形的顶点，在轴上，若点，若平行四边形的面积为4，则实数的值为 ．
14．如图，在平面直角坐标系xOy中，正方形OABC的OA边在x轴正半轴上，边OC在y轴正半轴上，，反比例函数与正方形BC边交于点D，与边AB交于点E，点P在y轴上，若的面积为，则的最小值是 ．
三、解答题
15．计算：．
16．如图，在平面直角坐标系中，为坐标原点，一次函数的图象与反比例函数在第二象限的图象交于点，与轴交于点，连结并延长交这个反比例函数第四象限的图象于点．
(1)求反比例函数和一次函数的表达式．
(2)求的面积．
17．如图，三根木杆、、竖直立于地平面，点、、在同一条直线上，且每两根木杆之间的距离为6米，即米，木杆、的影子分别为、．
(1)在图1、图2两个示意图中，反映阳光下情形的是图 ，反映灯光下情形的是图 ；（填图形序号）
(2)请在图1中画出表示木杆的影长的线段；
(3)已知木杆长为3.6米，木杆长为2.25米，木杆长为1.5米，在图1中测得木杆、的影长米，求木杆的影长．
18．如图，在中，，延长到点，使，延长到点，连接，且．
(1)求证：；
(2)若，求的长．
19．实验是培养学生的创新能力的重要途径之一，如图是小红同学安装的化学实验装置，安装要求为试管略向下倾斜，试管夹应固定在距试管口的三分之一 处、已知试管，，试管倾斜角为．
(1)求酒精灯与铁架台的水平距离的长度；
(2)实验时，当导气管紧贴水槽，延长交的延长线于点，且（点C，D，N，F在一条直线上），经测得：，，，求线段的长度．（参考数据：，，）
20．某药品研究所开发一种抗菌新药，经过多年动物实验，首次用于临床人体实验，测得成人服药后血液中药物浓度与服药时间之间的函数关系如图所示（当时，与成反比例）．
(1)根据图象分别求出血液中药物浓度上升和下降阶段与之间的函数表达式；
(2)若该药品血液中药物浓度不低于，药效最好，求血液中药物浓度不低于的持续时间为多少小时？
21．在初中物理中我们学过凸透镜的成像规律．如图1，为一凸透镜，是凸透镜的焦点．在凸透镜左边的主光轴上垂直放置一小蜡烛，透过透镜后呈的像为．光路图如图所示：平行于主光轴的光线，通过透镜折射后经过焦点，并与经过凸透镜光心的光线汇聚于点．
(1)若像距，物距，小蜡烛的高度，则蜡烛的像_____；
(2)当时，设，，求关于的函数关系式；
(3)如图2，在凸透镜左边的主光轴上垂直放置一小蜡烛，透过透镜后呈的像为，作正方形、正方形、矩形、矩形．
①在线段上作出凸透镜的焦点的位置；（尺规作图，不写作法，保留作图痕迹）；
②若矩形的面积为12，求的面积．
22．如图1所示，在正方形中，将绕着点逆时针旋转得到，，旋转角度为．

(1)在图1中，当时，，分别交于点，．
①若正方形的边长为4，求的最小值；
②求证：；
(2)将绕着点逆时针旋转一周，连接，取的中点，连接．在旋转过程中，当时，求的值．
《期末检测卷-2024-2025学年数学九年级下册人教版》参考答案
题号 1 2 3 4 5 6 7 8
答案 D D B A C D C C
1．D
【分析】本题主要考查了俯视图，解决问题的关键是熟练掌握：主视图，左视图，俯视图分别是从物体的正面，左面，上面看到的图形．根据俯视图的定义判断即可．
【详解】解：该几何体的俯视图为
，
故选：D．
2．D
【分析】根据反比例函数图象上点的坐标特征解答即可．
本题考查了反比例函数图象上点的坐标特征，熟练掌握该知识点是关键．
【详解】解：反比例函数的图象经过点，
，
A、，故点不在反比例函数图象上，该选项不符合题意；
B、，故点不在反比例函数图象上，该选项不符合题意；
C、，故点不在反比例函数图象上，该选项不符合题意；
D、，故点在反比例函数图象上，该选项符合题意；
故选：D．
3．B
【分析】本题考查了锐角三角函数的定义和勾股定理．设，可得，根据，得，根据勾股定理得，再根据正弦的定义计算即可．
【详解】解：设，
∵，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，
∴．
故选：B．
4．A
【分析】本题考查了直角三角形斜边中线的性质，解直角三角形．根据直角三角形斜边中线的性质，求得，推出，由，求得，据此求解即可．
【详解】解：∵是斜边的中线，
∴，
∴，
∵，
∴，
设，则，
∴，
∴，
故选：A．
5．C
【分析】本题考查反比例函数图象，根据新定义可得的函数解析式，分x大于0与x小于0两种情况化简函数解析式，作出函数图象即可．
【详解】解：当时，函数解析式为，
当时，函数解析式为，
图象大致为
故选：C．
6．D
【分析】本题考查的是位似变换、相似三角形的性质，熟记相似三角形的面积比等于相似比的平方是解题的关键．根据位似图形的概念得到，，证明，根据相似三角形的性质求出，再根据相似三角形的面积比等于相似比的平方计算，得到答案．
【详解】解：，
，
和是以点为位似中心的位似图形，
，，
，
，
与的面积比为：，
故选：D．
7．C
【分析】本题主要考查了反比例函数的几何意义，掌握反比例函数比例系数的几何意义是解题的关键．
连接，，设与轴交于点，由轴，则，然后由反比例函数比例系数的几何意义得出，最后由图象即可求解．
【详解】解：连接，，设与轴交于点，
∵轴，
∴，
∵，
∴，
∴，
∵，
∴，
故选：．
8．C
【分析】本题考查了解直角三角形，过B作于E，过C作于F，根据正切的定义分别求出，，即可求解．
【详解】解：过B作于E，过C作于F，
则四边形是矩形，
∴，，
在中，．
∴，
∵斜坡的坡角的正切值为，
∴，
∴，
∴，
故选：C．
9．
【分析】本题考查了比例的性质，设，代入代数式进行计算即可解答．
【详解】解：∵，
∴设，
∴，
故答案为：．
10．
【分析】本题主要考查了反比例函数图象上点的坐标特征，已知自变量求函数值，熟练掌握反比例函数的图象特点是解题关键．
将点和代入，求得和的值，再相加即可．
【详解】解： 函数的图象经过点和，
，，
．
故答案为：0．
11．
【分析】本题考查了相似三角形的应用和平行投影，解题的关键是根据相似三角形的性质得到同一时刻同一地点物体的高度与其影长的比相等．
设该旗杆的高度为，根据三角形相似的性质得到同一时刻同一地点物体的高度与其影长的比相等，即有，然后解方程即可．
【详解】解：设该旗杆的高度为，
根据题意，得，
解得：．
即该旗杆的高度是 ．
故答案为：．
12．
【分析】本题考查了三角形内切圆的性质及解直角三角形；通过设边长，表示其他边长关系再利用直角三角形求解等常规考查点，其中掌握三角形内切圆的性质是解题关键．连接，过点作于点，勾股定理求得，等面积法求得半径，过点作交的延长线于点，解，进而得出是等边三角形，进而及诶，得出的长，进而根据正切的定义，即可求解．
【详解】解：如图所示，连接，过点作于点，
依题意，是的内切圆，切点分别为、、，
∴，
设，则，
在中，
即
解得：
∴
设的半径为，
∴
∴
如图所示，过点作交的延长线于点，
∵是的内切圆，切点分别为、、，
∴
∴
∵
∴
∴
又∵
∴是等边三角形，
∴，
∴，
在中，，
∴
在中，
故答案为：；．
13．
【分析】本题考查了反比例函数k值的几何意义、反比例函数图象上点的坐标特征、平行四边形的性质，熟练掌握以上知识点是关键．
延长交y轴于点D，根据平行四边形面积可求出，继而可得点A坐标，根据反比例函数图象上点的坐标特征求出k值即可．
【详解】解：如图，延长交y轴于点D，
∵，
∴，，
∵，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴．
故答案为：．
14．
【分析】本题主要考查了反比例函数的的意义，得到点的坐标为，设，，根据列方程求出或（不合题意，舍去），得到反比例函数，则，，作点D关于轴的对称点，连接交轴于点P，连接，则为最小值，利用勾股定理求出答案即可．
【详解】解：四边形是正方形，
，
则点的坐标为，
∵点，在反比例函数的图象上，
∴，，
，
解得，或（不合题意，舍去），
∴反比例函数，
∴，，
作点D关于轴的对称点，连接交轴于点P，连接，
则为最小值，
∴，
即的最小值是．
故答案为：
15．
【分析】本题主要考查了二次根式的计算，特殊三角函数值，负指数幂的计算等知识点，解决此题的关键是正确的计算，根据相关知识点得到结论即可．
【详解】解：，
，
，
16．(1)反比例函数关系式为，一次函数关系式为
(2)6
【分析】本题考查了一次函数与反比例函数的交点问题，勾股定理及三角形的面积，用待定系数法求函数关系式是解本题的关键．
（1）过点A作轴，根据勾股定理求出，得，将点坐标代入得到反比例函数关系式，再由待定系数法求得一次函数关系式；
（2）由题意得点A与 C关于原点对称，可得，再得，根据三角形面积公式计算即可．
【详解】（1）解：如图，过点A作轴，
，
，
中，，
，
将代入反比例函数，得，解得：，
反比例函数关系式为，
将，代入一次函数，得
，解得：，
一次函数关系式为；
（2）解：由题意得点A与 C关于原点对称，，
，
．
17．(1)2，1
(2)见解析
(3)3.6米
【分析】
本题考查了作图-应用与设计作图、相似三角形的判定和性质、平行投影、中心投影，解题的关键是学会利用参数构建方程组解决问题．
（1）根据图形以及中心投影，平行投影的定义判断即可；
（2）根据中心投影的定义画出图形；
（3）利用相似三角形的性质构建方程组求解．
【详解】
解：（1）由图1，图2可知，图1是中心投影，图2是平行投影．
故答案为：，；
（2）如图1中，线段即为所求；
（3）如图1，过点作于点，设米，O米．
∵，，
∴∽△，
∴，
∴①，
同法可得，
∴②，
由①②解得，
经检验是分式方程组的解，
同法可得，
∴，
解得，
经检验是分式方程的解．
即的影长为米．
18．(1)见解析
(2)
【分析】本题考查了相似三角形的判定和性质，等腰三角形的性质，熟练掌握相似三角形的判定和性质是解题的关键．
（1）根据等腰三角形的性质得到，得出，即可证明；
（2）由（1）知，得到，求出，得到．
【详解】（1）证明：，
．
，
．
，
．
（2）解：，
．
由（1）知，
∴，
∴，
．
19．(1)酒精灯与铁架台的水平距离的长度为
(2)线段的长度为
【分析】本题主要考查了三角函数的应用，正确作出辅助线构造直角三角形是解题关键．
（1）过点作于点，根据题意可得，，利用三角函数可得（），易得，即可获得答案；
（2）过点作于点H，于点，过点作于点，利用三角函数可解得，的值，再证明为等腰直角三角形，并解得，然后由求解即可．
【详解】（1）解：过点作于点，如下图，
∵，，
∴，，
∵，
∴（），
∴，
答：酒精灯与铁架台的水平距离的长度为；
（2）如图，过点作于点H，于点，过点作于点，
则（），（），
∵，
∴（），
∴，
∵，
∴，
∴（），
∵，
∴，
∴，
∴，
∴（），
答：线段的长度为．
20．(1)血液中药物浓度上升阶段的函数表达式为，下降阶段的函数表达式为
(2)血液中药物浓度不低于的持续时间为
【分析】本题考查正比例函数和反比例函数在实际中的应用，熟练掌握待定系数法求函数解析式的方法是解题的关键；
（1）分别设出以及时函数的解析式，然后根据待定系数法，结合图中给出数据求解即可；
（2）令上述所得两个函数解析式中的，求出对应的x的值，然后作差即可得到结果．
【详解】（1）解：当时，设函数的表达式为，
将代入得，
解得：，
∴直线的表达式为，
当时，设反比例函数的表达式为，
将代入得 解得：，
∴反比例函数的表达式是，
因此，血液中药物浓度上升阶段的函数表达式为，下降阶段的函数表达式为．
（2）解：当时，由得，
当时，由得，
，
因此， 血液中药物浓度不低于的持续时间为．
21．(1)2
(2)关于的函数关系式为
(3)①作图见解析；②的面积为6
【分析】（1）利用相似三角形的判定与性质解答即可；
（2）利用相似三角形的判定与性质求得，利用线段的和差求得，代入化简即可得出结论；
（3）①过点A作于点F，连接，交于点E，则点E为出凸透镜的焦点E的位置；
②利用矩与正方形的性质，设，则，利用（2）的结论得到，利用三角形的面积公式求得的面积，再利用矩形的面积求得的值，则结论可求
【详解】（1）解：（1）由题意得：，
∴，
∴，
∴，
∴．
故答案为：2；
（2）解：∵，
∴，
∴，
∴．
由题意得：四边形为矩形，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴．
∴y关于x的函数关系式为；
（3）解：①过点A作于点F，连接，交于点E，则点E为出凸透镜的焦点E的位置，如图：
②∵正方形、正方形、矩形、矩形，
∴，，
设，则，
∵，
∴，
∴，
由（2）知，
∴，
∴，
∴的面积．
∵矩形的面积为12，
∴，
∴的面积．
【点睛】本题考查了相似三角形的判定与性质，矩形的判定与性质，正方形的性质，三角形的面积，矩形的面积，基本作图，熟练掌握相似三角形的判定与性质是解题的关键．
22．(1)①最小值为8；②见解析
(2)或
【分析】（1）①首先证明出得到，然后得出当时，即和重合时，取得最小值，即的长度，勾股定理求出，进而求解即可；
②由①得，然后证明出，得到，求出，进而求解即可；
（2）设，则，表示出，然后分两种情况：当点在上方时和当点在下方时，然后分别解直角三角形求解即可．
【详解】（1）①，
∴当时，即和重合时，取得最小值，即的长度
∵正方形的边长为4
∴
∴
∴
最小值；
②由①得
同理可得：
．
（2）设，则
垂直平分，
作于点
①当点在上方时，如右图
，
，
中
；
②当点在下方时，如右图

同理：
综上或．
【点睛】此题考查了正方形的性质，旋转的性质，相似三角形的性质和判定，解直角三角形，勾股定理等知识，解题的关键是掌握以上知识点．
21世纪教育网 www.21cnjy.com 精品试卷·第 2 页 （共 2 页）
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