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1．二项式定理
（1）定义：一般地，对于任意正整数，都有：.
这个公式所表示的定理叫做二项式定理，等号右边的多项式叫做的二项展开式．式中的做二项展开式的通项，用表示，即通项为展开式的第项：，其中的系数叫做二项式系数
（2）二项式的展开式的特点：
① 项数：共有项，比二项式的次数大1；
②二项式系数：第项的二项式系数为，最大二项式系数项居中；
③ 次数：各项的次数都等于二项式的幂指数．字母降幂排列，次数由到0；字母升幂排列次
数从0到，每一项中，a，b次数和均为；
④ 二项展开式的通顶公式：
⑤公式特点：
它表示二项展开式的第项，该项的二项式系数是；
字母的次数和组合数的上标相同.
2．二顶式系数及其性质
的展开式中各项的二顶式系数、、…具有如下性质：
（1）对称性：二项展开式中，与首末两端“等距离"的两项的二项式系数相等，即；
（2） 增减性与最大值：二项式系数在前半部分逐渐增大，在后半部分逐渐减小，在中间取得最大值．其中，当为偶数时，二项展开式中间一项的二项式系数最大；当为奇数时，二项展开式中间两项的二项式系数相等，且最大．
（3）各二项式系数之和为，即：；
（4）二项展开式中各奇数项的二项式系数之和等于各偶数项的二项式系数之和，即：．
（4）二项式系数与展开式的系数的区别：
二项展开式中，第项的二项式系数是组合数，展开式的系数是单项式的系数，二者不一定相等．
【点拨】
1．二项展开式的通项主要用于求二项式的指数、项和系数，在运用公式时要注意以下几点：
(1)Can－kbk是第k＋1项，而不是第k项．
(2)求展开式的一些特殊项，通常都是由题意列出方程求出k，再求所需的某项(有时需先求n)．计算时要注意n，k的取值范围及它们的大小关系．
(3)求展开式的某一项的系数，先要准确地写出通项，特别要注意符号问题，然后将通项中的系数和字母分离．
2．要注意二项展开式中二项式系数与某一项系数的区别．在(a＋b)n的展开式中，系数最大的项是中间项；但当a，b的系数不是1时，系数最大的项的位置就不一定在中间，需要利用通项公式，根据系数的增减性具体讨论而定．
3．二项式定理的应用方法
(1)“赋值法”和“构造法”是解决二项展开式中“系数和”问题的基本思路，也是证明有关组合数恒等式的重要方法．
(2)“配凑法”和“消去法”是解决“整除性问题”或“余数问题”的重要方法．
(3)整除问题要关注的是展开式的最后几项，求近似值问题关注的是展开式的前几项．
(4)有些不等式的证明问题，也常借助二项式定理进行“放缩”处理．
(5)要注意二项式定理的逆用，它常用于有关化简和求值问题．
考点一 求特定项
【例1】的展开式中常数项为第（ ）项
A．4 B．5 C．6 D．7
【答案】B
【分析】根据二项展开式的公式求解即可.
【解析】的通项为，令有.
故的展开式中常数项为第5项.
故选：B
【变式】二项式展开式中常数项为 ．
【答案】28
【分析】首先写出二项式展开式的通项公式，然后确定其常数项即可.
【解析】的展开式的通项公式为
，
令，解得，故的展开式中常数项为．
故答案为：28
【例2】二项式的展开式中的第4项为（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【分析】写出通项公式，令，求出第4项.
【解析】因为，所以.
故选：A．
【变式】二项式的展开式的第3项为（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】利用二项式定理求出第3项作答.
【解析】二项式的展开式的第3项为.
故选：C
【例3】的展开式中含的项是（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】
先写出二项式展开式的通项，令的指数位置等于可得的值，即可求解.
【解析】的展开式的通项公式为，则，得，所以含的项是．
故选：C.
【变式】在的二项展开式中，第3项为（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【分析】写出二项展开式的通项，即可得出答案.
【解析】因为，的二项展开式的通项为，，
所以，第3项为.
故选：A.
【例4】二项式展开式中含x项的系数是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】C
【分析】根据二项式定理写出通项公式进而求解.
【解析】二项式的通项公式，
令，则.
则二项式展开式中含x项的系数是.
故选：C
【变式】若二项式的展开式，二项式系数之和为16，则展开式中的系数为（ ）
A．2 B．4 C．8 D．16
【答案】C
【解析】由展开式中二项式系数之和为，即，得.展开式中 ，令，得，故的系数为，故选：C.
考点二 求展开式中的系数
【例1】二项式的展开式中，第2项的系数为（ ）
A．4 B． C．6 D．
【答案】B
【分析】根据二项式定理求解.
【解析】根据二项式定理： ，第二项即 ， ，
第二项的系数为：；
故选：B.
【变式】的展开式的第8项的系数为 （结果用数值表示）.
【答案】960
【分析】根据二项式定理求出展开式中的第8项，由此即可求解．
【解析】因为，展开式的第8项为，
所以，的展开式的第8项的系数为960.
故答案为：960
【例2】已知的展开式中第项和第项的二项式系数相等，则为（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【解析】由已知可得，所以，
故选：A.
【变式】已知的展开式中，各项系数的和与其各项二项式系数的和之比为，则（ ）
A．4 B．5 C．6 D．7
【答案】C
【解析】二项式的各项系数的和为，
二项式的各项二项式系数的和为，
因为各项系数的和与其各项二项式系数的和之比为，
所以，，
故选：C.
【例3】在的展开式中，的系数为，则______．
【答案】
【解析】的展开式中，含的项为，
所以，
故答案为：.
【变式】二项式的展开式中各项的二项式系数之和为________.
【答案】32
【解析】由，即二项式系数和为32，
故答案为：32.
【例4】已知（）展开式中第5项和第6项的二项式系数最大，则其展开式中常数项是________.
【答案】
【解析】因为（）展开式中第5项和第6项的二项式系数最大，
所以，解得
所以展开式的通项为，
由得，，
所以常数项为第四项，
故答案为：.
【变式】在的展开式中，二项式系数之和与各项系数之和比为，则展开式的常数项为______．
【答案】
【解析】由题意得：令，则，
所以的展开式中，各项系数和为，
又二项式系数和为，所以，解得．
二项展开式的通项，
令，得，
所以展开式的常数项为，
故答案为：．
考点三 展开式中的系数问题
【例1】若，则（ ）
A．64 B．33 C．32 D．31
【答案】D
【分析】给分别赋值，即可得到一系列方程组，通过对方程组的解决，问题即可得到解决.
【解析】因为，
所以令可得①，
令可得②，
令可得③，
②+③可得①，
将①代入④可得.
故选：D
【变式】若，则 ．
【答案】
【分析】令代入即可求解.
【解析】因为，
令可得，
故答案为：
【例2】已如的展开式中只有第6项的二项式系数最大，则展开式各项的二项式系数之和为（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】根据二项式系数的单调性可得，即可由二项式系数和公式求解.
【解析】的展开式中第6项的二项式系数为，
由于只有最大，所以，
故二项式系数之和为，
故选：B
【变式】已知二项式的展开式中仅有第项的二项式系数最大，则为（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【分析】分析可知，二项式的展开式共项，即可求出的值.
【解析】因为二项式的展开式中仅有第项的二项式系数最大，
则二项式的展开式共项，即，解得.
故选：A.
【例3】的展开式中，二项式系数最大的是（ ）
A．第3项 B．第4项 C．第5项 D．第6项
【答案】C
【分析】根据二项展开式的二项式系数的性质，即可求解.
【解析】由二项式，可得其展开式共有9项，
根据二项式系数的性质，可得中间项第5项的二项式系数最大.
故选：C.
【变式】展开式中，系数最大的项是（ ）
A．第5，6项 B．第6，7项 C．第6项 D．第7项
【答案】D
【分析】利用二项式定理以及二项式系数的性质进行求解判断.
【解析】因为的展开式的通项为，，
所以展开式中各项的系数即为其二项式系数，
根据二项式系数的性质有，第7项的二项式系数最大，故A，B，C错误.
故选：D.
【例4】若，则（ ）
A．8 B．9 C．10 D．12
【答案】C
【分析】令得出的值，进而求出的值.
【解析】由题意，
，
令, 可得，
∴，
故选：C.
【变式】若，则（ ）
A．1 B．513 C．512 D．511
【答案】D
【分析】利用赋值法，先令，求出，再令，求出，从而可求得结果.
【解析】令，得，令，得，
所以，
故选：D1．二项式定理
（1）定义：一般地，对于任意正整数，都有：.
这个公式所表示的定理叫做二项式定理，等号右边的多项式叫做的二项展开式．式中的做二项展开式的通项，用表示，即通项为展开式的第项：，其中的系数叫做二项式系数
（2）二项式的展开式的特点：
① 项数：共有项，比二项式的次数大1；
②二项式系数：第项的二项式系数为，最大二项式系数项居中；
③ 次数：各项的次数都等于二项式的幂指数．字母降幂排列，次数由到0；字母升幂排列次
数从0到，每一项中，a，b次数和均为；
④ 二项展开式的通顶公式：
⑤公式特点：
它表示二项展开式的第项，该项的二项式系数是；
字母的次数和组合数的上标相同.
2．二顶式系数及其性质
的展开式中各项的二顶式系数、、…具有如下性质：
（1）对称性：二项展开式中，与首末两端“等距离"的两项的二项式系数相等，即；
（2） 增减性与最大值：二项式系数在前半部分逐渐增大，在后半部分逐渐减小，在中间取得最大值．其中，当为偶数时，二项展开式中间一项的二项式系数最大；当为奇数时，二项展开式中间两项的二项式系数相等，且最大．
（3）各二项式系数之和为，即：；
（4）二项展开式中各奇数项的二项式系数之和等于各偶数项的二项式系数之和，即：．
（4）二项式系数与展开式的系数的区别：
二项展开式中，第项的二项式系数是组合数，展开式的系数是单项式的系数，二者不一定相等．
【点拨】
1．二项展开式的通项主要用于求二项式的指数、项和系数，在运用公式时要注意以下几点：
(1)Can－kbk是第k＋1项，而不是第k项．
(2)求展开式的一些特殊项，通常都是由题意列出方程求出k，再求所需的某项(有时需先求n)．计算时要注意n，k的取值范围及它们的大小关系．
(3)求展开式的某一项的系数，先要准确地写出通项，特别要注意符号问题，然后将通项中的系数和字母分离．
2．要注意二项展开式中二项式系数与某一项系数的区别．在(a＋b)n的展开式中，系数最大的项是中间项；但当a，b的系数不是1时，系数最大的项的位置就不一定在中间，需要利用通项公式，根据系数的增减性具体讨论而定．
3．二项式定理的应用方法
(1)“赋值法”和“构造法”是解决二项展开式中“系数和”问题的基本思路，也是证明有关组合数恒等式的重要方法．
(2)“配凑法”和“消去法”是解决“整除性问题”或“余数问题”的重要方法．
(3)整除问题要关注的是展开式的最后几项，求近似值问题关注的是展开式的前几项．
(4)有些不等式的证明问题，也常借助二项式定理进行“放缩”处理．
(5)要注意二项式定理的逆用，它常用于有关化简和求值问题．
考点一 求特定项
【例1】的展开式中常数项为第（ ）项
A．4 B．5 C．6 D．7
【变式】二项式展开式中常数项为 ．
【例2】二项式的展开式中的第4项为（ ）
A． B． C． D．
【变式】二项式的展开式的第3项为（ ）
A． B． C． D．
【例3】的展开式中含的项是（ ）
A． B． C． D．
【变式】在的二项展开式中，第3项为（ ）
A． B． C． D．
【例4】二项式展开式中含x项的系数是（ ）
A． B．
C． D．
【变式】若二项式的展开式，二项式系数之和为16，则展开式中的系数为（ ）
A．2 B．4 C．8 D．16
考点二 求展开式中的系数
【例1】二项式的展开式中，第2项的系数为（ ）
A．4 B． C．6 D．
【变式】的展开式的第8项的系数为 （结果用数值表示）.
【例2】已知的展开式中第项和第项的二项式系数相等，则为（ ）
A． B． C． D．
【变式】已知的展开式中，各项系数的和与其各项二项式系数的和之比为，则（ ）
A．4 B．5 C．6 D．7
【例3】在的展开式中，的系数为，则______．
【变式】二项式的展开式中各项的二项式系数之和为________.
【例4】已知（）展开式中第5项和第6项的二项式系数最大，则其展开式中常数项是________.
【变式】在的展开式中，二项式系数之和与各项系数之和比为，则展开式的常数项为______．
考点三 展开式中的系数问题
【例1】若，则（ ）
A．64 B．33 C．32 D．31
【变式】若，则 ．
【例2】已如的展开式中只有第6项的二项式系数最大，则展开式各项的二项式系数之和为（ ）
A． B． C． D．
【变式】已知二项式的展开式中仅有第项的二项式系数最大，则为（ ）
A． B． C． D．
【例3】的展开式中，二项式系数最大的是（ ）
A．第3项 B．第4项 C．第5项 D．第6项
【变式】展开式中，系数最大的项是（ ）
A．第5，6项 B．第6，7项 C．第6项 D．第7项
【例4】若，则（ ）
A．8 B．9 C．10 D．12
【变式】若，则（ ）
A．1 B．513 C．512 D．511

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