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1．分类加法计数原理
完成一件事，有n类不同方案，在第1类方案中有m1种不同的方法，在第2类方案中有m2种不同的方法……在第n类方案中有mn种不同的方法．那么完成这件事共有N＝m1＋m2＋…＋mn种不同的方法．
2．分步乘法计数原理
完成一件事，需要分成n个步骤，做第1步有m1种不同的方法，做第2步有m2种不同的方法……做第n步有mn种不同的方法．那么完成这件事共有N＝m1×m2×…×mn种不同的方法．
3．两个计数原理的区别
基本形式 一般形式
分类加法计数原理 完成一件事有两类不同方案， 在第1类方案中有m种不同的方法， 在第2类方案中有n种不同的方法， 那么完成这件事共有 N＝m＋n种不同的方法． 完成一件事有n类不同方案， 在第1类方案中有m1种不同的方法， 在第2类方案中有m2种不同的方法， …， 在第n类方案中有mn种不同的方法， 那么完成这件事共有 N＝m1＋m2＋…＋mn种不同的方法．
分步乘法计数原理 完成一件事需要两个步骤， 做第1步有m种不同的方法， 做第2步有n种不同的方法， 那么完成这件事共 有N＝m×n种不同的方法． 完成一件事需要n个步骤， 做第1步有m1种不同的方法， 做第2步有m2种不同的方法， …， 做第n步有mn种不同的方法， 那么完成这件事共有 N＝m1×m2×…×mn种不同的方法．
分类加法计数原理和分步乘法计数原理解决的都是有关做一件事的不同方法的种数问题，区别在于：分类加法计数原理针对的是“分类”问题，其中各种方法相互独立，用其中任何一种方法都可以做完这件事；分步乘法计数原理针对的是“分步”问题，各个步骤中的方法互相依存，只有各个步骤都完成才算做完这件事．
4．两个计数原理解决计数问题时的方法
最重要的是在开始计算之前要进行仔细分析——是需要分类还是需要分步．
(1)分类要做到“不重不漏”．分类后再分别对每一类进行计数，最后用分类加法计数原理求和，得到总数．
(2)分步要做到“步骤完整”，即完成了所有步骤，恰好完成任务，当然步与步之间要相互独立，分步后再计算每一步的方法数，最后根据分步乘法计数原理，把完成每一步的方法数相乘，得到总数．
5．应用两个原理解题的一般思路
还要掌握一些非常规计数方法，如：
(1)枚举法：将各种情况一一列举出来，它适用于种数较少且计数对象不规律的情况；
(2)转换法：转换问题的角度或转换成其他已知问题；
(3)间接法：若用直接法比较复杂，难以计数，则可考虑利用正难则反的策略，先计算其反面情形，再用总数减去即得．
注意：(1)明白要完成的事情是什么；
(2)分清完成该事情是分类完成还是分步完成，“类”间互相独立，“步”间互相联系；
(3) 有无特殊条件的限制；
(4) 检验是否有重复或遗漏．
考点一 分步加法计数原理
【例1】有5本不同的中文书，4本不同的数学书，3本不同的英语书，每次取一本，不同的取法有（ ）
A．3种 B．12种 C．60种 D．不同于以上的答案
【答案】B
【分析】根据给定条件，利用分类加法计数原理计算作答.
【解析】依题意，计算不同取法种数有3类办法：取一本中文书有5种方法，取一本数学书有4种方法，取一本英语书有3种方法，
由分类加法计数原理得：每次取一本，不同的取法有（种）.
故选：B
【变式】书架的第1层放有4本不同的计算机书，第2层放有3本不同的文艺书，第3层放有2本不同的体育书.从书架上任取1本书，不同的取法有__________种.
【答案】9
【解析】由题意，若从第一层取书，则有4种不同的取法，
若从第二层取书，则有3种不同的取法，
若从第三次取书，则有2种不同的取法，
所以不同的取法有种，
故答案为：9.
【例2】从甲地到乙地，若一天中有火车5班、汽车12班、飞机3班、轮船6班，则一天中乘坐这些交通工具从甲地到乙地，共有不同走法的种数是（ ）
A．18 B．20 C．26 D．1080
【答案】C
【解析】由题意，从甲地到乙地，一天中这些交通工具的每一班都能到达，
根据分类加法原理知共有5+12+3+6=26种不同走法.
故选：C.
【变式】从甲地到乙地，一天中有5次火车，12次客车，3次飞机航班，还有6次轮船，某人某天要从甲地到乙地，共有不同走法的种数是（ ）
A．26 B．60 C．18 D．1080
【答案】A
【解析】由分类加法计数原理知有（种）不同走法.
故选：A
【例3】现有3幅不同的油画，4幅不同的国画，5幅不同的水彩画，从这些画中选一幅布置房间，则不同的选法共有（ ）
A．10种 B．12种 C．20种 D．60种
【答案】B
【分析】分三类计数相加即可得解.
【解析】分三类：
第一类，从3幅不同的油画中任选一幅，有种；
第二类，从4幅不同的国画中任选一幅，有种；
第三类，从5幅不同的水彩画任选一幅，有种，
根据分类加法计数原理得共有种不同的选法.
故选：B
【变式】中国人民解放军东部战区领导和指挥江苏 浙江 上海 安徽 福建 江西的武装力量.某日东部战区下达命令，要求从江西或福建派出一架侦察机对台海空域进行侦查，已知江西有架侦察机，福建有架侦察机，则不同的分派方案共有（ ）
A．种 B．种 C．种 D．种
【答案】A
【分析】根据题意，结合分类计数原理，即可求解.
【解析】根据题意，由分类加法计数原理，不同的分派方案共有种.
故选：A.
【例4】家住广州的小明同学准备周末去深圳旅游，若从广州到深圳一天中动车组有30个班次，特快列车有20个班次，汽车有40个不同班次.则小明乘坐这些交通工具去深圳的不同的方法有（ ）
A．240种 B．180种 C．120种 D．90种
【答案】D
【解析】根据分类加法计数原理，得方法种数为30+20+40=90.
故选：D.
【变式】．解一道数学题有三种方法，有3个人只会用第一种方法解答．有4个人只会用第二种方法解答，有3个人只会用第三种方法解答，从这10个人中选一个人解答这道题目，则所有不同的选法有（ ）
A．20种 B．10种 C．21种 D．36种
【答案】B
【分析】根据题意，由加法计数原理即可得到结果.
【解析】根据分类加法计数原理可得，不同的选法共有（种）.
故选：B
考点二 分步乘法计数原理
【例1】某商店共有，，三个品牌的水杯，若甲、乙、丙每人买了一个水杯，且甲买的不是品牌，乙买的不是品牌，则这三人买水杯的情况共有（ ）
A．3种 B．7种 C．12种 D．24种
【答案】C
【分析】根据分步乘法计数原理即可求解.
【解析】由分步乘法计数原理可得这三人买水杯的情况共有（种）．
故选：C
【变式】用1，2，3，4可以组成无重复数字的三位数的个数为（ ）
A．16 B．24 C．36 D．48
【答案】B
【分析】根据分步乘法计数原理进行计算即可.
【解析】先从4个数中选1个排在百位，有4种；
然后从剩下的3个数中选1个排在十位，有3种；
最后从剩下的2个数中选1个排在个位，有2种；
根据分步乘法计数原理可得组成无重复数字的三位数的个数为.
故选：B.
【例2】学校筹办元旦晚会需要从5名男生和3名女生中各选1人作为志愿者，则不同选法的种数是（ ）
A．8 B．28 C．20 D．15
【答案】D
【分析】根据分步乘法计数原理即可求解.
【解析】由题意可知不同选法有（种）.
故选:D.
【变式】甲 乙两人从3门课程中各选修1门，则甲 乙所选的课程不相同的选法共有（ ）
A．6种 B．12种 C．3种 D．9种
【答案】A
【分析】根据分步乘法计数原理求得正确答案.
【解析】甲 乙两人从3门课程中各选修1门，
由乘法原理可得甲 乙所选的课程不相同的选法有（种）.
故选：A
【例3】甲同学计划分别从3份不同的语文试卷、5份不同的数学试卷中各任选1份试卷练习，则不同的选法共有（ ）
A．8种 B．15种 C．种 D．种
【答案】B
【分析】利用分步乘法计数原理进行求解即可.
【解析】根据分步乘法计数原理，不同的选法共有种.
故选：B.
【变式】甲同学计划从3本不同的文学书和4本不同的科学书中各选1本阅读，则不同的选法共有（ ）
A．81种 B．64种 C．12种 D．7种
【答案】C
【分析】利用分步乘法计数原理进行求解即可.
【解析】根据分步乘法计数原理，不同的选法共有种.
故选：C
【例4】甲同学计划分别从3份不同的语文试卷、5份不同的数学试卷中各任选1份试卷练习，则不同的选法共有（ ）
A．8种 B．15种 C．种 D．种
【答案】B
【分析】利用分步乘法计数原理进行求解即可.
【解析】根据分步乘法计数原理，不同的选法共有种.
故选：B.
【变式】3名大学生利用假期到2个山村参加扶贫工作，每名大学生只能去1个村，则不同的分配方案共有（ ）
A．4种 B．6种 C．8种 D．10种
【答案】C
【解析】每个大学生都有种选择方法，所以不同的分配方案共有种，
故选：C.
考点三 两个原理的结合
【例1】李芳有4件不同颜色的衬衣,3件不同花样的裙子,另有两套不同样式的连衣裙.“五一”节需选择一套服装参加歌舞演出,则不同的选择方式有(　　)
A．24种 B．10种 C．9种 D．14种
【答案】D
【解析】分两类：
第一类：选衬衣加裙子，共有种选法；
第二类：选连衣裙，共有种选法，
根据分类加法计数原理共有种选法.
故选：
【变式】某体育场南侧有4个大门，北侧有3个大门，某学生到该体育场练习跑步，则他进出门的方案有（　　）
A．7种 B．14种 C．21种 D．49种
【答案】D
【分析】由分类计数原理和分步计数原理即可求解.
【解析】学生进门有3＋4＝7（种）选择，同样出门也有7种选择，
由分步计数原理知，进出门的方案有7×7＝49（种）．
故选：D
【例2】如果一条直线与一个平面垂直，那么称此直线与平面构成一个“正交线面对”.在一个正方体中，由两个顶点确定的直线与含有四个顶点的平面构成的“正交线面对”的个数是（　　）
A．48 B．18 C．24 D．36
【答案】D
【分析】根据给定条件，利用分类加法计数原理列式计算作答.
【解析】正方体的两个顶点确定的直线有棱、面对角线、体对角线，
对于每一条棱，都可以与两个侧面构成“正交线面对”，这样的“正交线面对”有（个）；
对于每一条面对角线，都可以与一个对角面构成“正交线面对”，这样的“正交线面对”有12个，
不存在四个顶点确定的平面与体对角线垂直，
所以正方体中“正交线面对”共有（个）.
故选：D
【变式】中国有十二生肖，又叫十二属相，每一个人的出生年份对应了十二种动物（鼠 牛 虎 兔 龙 蛇 马 羊 猴 鸡 狗 猪）中的一种.现有十二生肖的吉祥物各一个，已知甲同学喜欢牛 马，乙同学喜欢牛 狗和羊，丙同学所有的吉祥物都喜欢，让甲乙丙三位同学依次从中选一个作为礼物珍藏，若各人所选取的礼物都是自己喜欢的，则不同的选法有（ ）
A．90种 B．80种 C．60种 D．50种
【答案】D
【解析】根据题意，分2种情况讨论：
①若甲选择牛，此时乙的选择有2种，丙的选择有10种，此时有种不同的选法：
②若甲选择马，此时乙的选择有3种，丙的选择有10种，此时有种不同的选法：
则共有种选法.
故选：D.
【例3】某小区物业在该小区的一个广场布置了一个如图所示的圆形花坛，花坛分为5个区域．现有6种不同的花卉可供选择，要求相邻的区域（有公共边）不能布置相同的花卉，且每个区域只布置一种花卉，则不同的布置方案有（ ）
A．720种 B．1440种 C．1560种 D．2520种
【答案】C
【分析】先对图中不同的区域命名，分与布置相同的花卉、与布置不同的花卉两种情况，再运用分步计数和分类计数的方法从开始计数即可.
【解析】
如图，不同的布置方案分两类：
当与布置相同的花卉时，
先安排，有6种不同的选择；再安排与，有5种不同的选择；再安排，有4种不同的选择；最后安排，有4种不同的选择，共有种.
当与布置不同的花卉时，
先安排，有6种不同的选择；再安排与，有种不同的选择；再安排,有3种不同的选择；最后安排，有3种不同的选择，共有种.
所以不同的布置方案有种.
故选：C
【变式】用四种不同的颜色给如图所示的六块区域A，B，C，D，E，F涂色，要求相邻区域涂不同颜色，则涂色方法的总数是（ ）
A．120 B．72 C．48 D．24
【答案】A
【分析】利用两个计数原理，先分类再分步即可求解．
【解析】先涂，有4种选择，接下来涂，有3种选择，再涂,有2种选择，
① 当,颜色相同时涂色方法数是：，
② 当,颜色不相同时涂色方法数是：，
满足题意的涂色方法总数是：．
故选：A．
【例4】如图，已知每条线路仅含一条通路，当一条电路从处到处接通时，不同的线路可以有（ ）
A．5条 B．6条 C．7条 D．8条
【答案】D
【解析】由题意知可以按上、下两条线路分为两类，
上线路中有条，下线路中有条.
根据分类计数原理，不同的线路可以有条.
故选：D.
【变式】（1）在图（1）的电路中，仅合上1只开关接通电路，有多少种不同的方法？
（2）在图（2）的电路中，仅合上2只开关接通电路，有多少种不同的方法？

【答案】（1）5种；（2）6种．
【分析】（1）由分类加法计数原理即可求解.
（2）由分步乘法计数原理即可求解.
【解析】解：（1）在图（1）中，按要求接通电路，只要在A中的2只开关或B中的3只开关中合上1只即可．根据分类加法计数原理，共有种不同的方法．
（2）在图（2）中，按要求接通电路必须分两步进行：
第一步，合上A中的1只开关；
第二步，合上B中的1只开关．
根据分步乘法计数原理，共有种不同的方法．1．分类加法计数原理
完成一件事，有n类不同方案，在第1类方案中有m1种不同的方法，在第2类方案中有m2种不同的方法……在第n类方案中有mn种不同的方法．那么完成这件事共有N＝m1＋m2＋…＋mn种不同的方法．
2．分步乘法计数原理
完成一件事，需要分成n个步骤，做第1步有m1种不同的方法，做第2步有m2种不同的方法……做第n步有mn种不同的方法．那么完成这件事共有N＝m1×m2×…×mn种不同的方法．
3．两个计数原理的区别
基本形式 一般形式
分类加法计数原理 完成一件事有两类不同方案， 在第1类方案中有m种不同的方法， 在第2类方案中有n种不同的方法， 那么完成这件事共有 N＝m＋n种不同的方法． 完成一件事有n类不同方案， 在第1类方案中有m1种不同的方法， 在第2类方案中有m2种不同的方法， …， 在第n类方案中有mn种不同的方法， 那么完成这件事共有 N＝m1＋m2＋…＋mn种不同的方法．
分步乘法计数原理 完成一件事需要两个步骤， 做第1步有m种不同的方法， 做第2步有n种不同的方法， 那么完成这件事共 有N＝m×n种不同的方法． 完成一件事需要n个步骤， 做第1步有m1种不同的方法， 做第2步有m2种不同的方法， …， 做第n步有mn种不同的方法， 那么完成这件事共有 N＝m1×m2×…×mn种不同的方法．
分类加法计数原理和分步乘法计数原理解决的都是有关做一件事的不同方法的种数问题，区别在于：分类加法计数原理针对的是“分类”问题，其中各种方法相互独立，用其中任何一种方法都可以做完这件事；分步乘法计数原理针对的是“分步”问题，各个步骤中的方法互相依存，只有各个步骤都完成才算做完这件事．
4．两个计数原理解决计数问题时的方法
最重要的是在开始计算之前要进行仔细分析——是需要分类还是需要分步．
(1)分类要做到“不重不漏”．分类后再分别对每一类进行计数，最后用分类加法计数原理求和，得到总数．
(2)分步要做到“步骤完整”，即完成了所有步骤，恰好完成任务，当然步与步之间要相互独立，分步后再计算每一步的方法数，最后根据分步乘法计数原理，把完成每一步的方法数相乘，得到总数．
5．应用两个原理解题的一般思路
还要掌握一些非常规计数方法，如：
(1)枚举法：将各种情况一一列举出来，它适用于种数较少且计数对象不规律的情况；
(2)转换法：转换问题的角度或转换成其他已知问题；
(3)间接法：若用直接法比较复杂，难以计数，则可考虑利用正难则反的策略，先计算其反面情形，再用总数减去即得．
注意：(1)明白要完成的事情是什么；
(2)分清完成该事情是分类完成还是分步完成，“类”间互相独立，“步”间互相联系；
(3) 有无特殊条件的限制；
(4) 检验是否有重复或遗漏．
考点一 分步加法计数原理
【例1】有5本不同的中文书，4本不同的数学书，3本不同的英语书，每次取一本，不同的取法有（ ）
A．3种 B．12种 C．60种 D．不同于以上的答案
【变式】书架的第1层放有4本不同的计算机书，第2层放有3本不同的文艺书，第3层放有2本不同的体育书.从书架上任取1本书，不同的取法有__________种.
【例2】从甲地到乙地，若一天中有火车5班、汽车12班、飞机3班、轮船6班，则一天中乘坐这些交通工具从甲地到乙地，共有不同走法的种数是（ ）
A．18 B．20 C．26 D．1080
【变式】从甲地到乙地，一天中有5次火车，12次客车，3次飞机航班，还有6次轮船，某人某天要从甲地到乙地，共有不同走法的种数是（ ）
A．26 B．60 C．18 D．1080
【例3】现有3幅不同的油画，4幅不同的国画，5幅不同的水彩画，从这些画中选一幅布置房间，则不同的选法共有（ ）
A．10种 B．12种 C．20种 D．60种
【变式】中国人民解放军东部战区领导和指挥江苏 浙江 上海 安徽 福建 江西的武装力量.某日东部战区下达命令，要求从江西或福建派出一架侦察机对台海空域进行侦查，已知江西有架侦察机，福建有架侦察机，则不同的分派方案共有（ ）
A．种 B．种 C．种 D．种
【例4】家住广州的小明同学准备周末去深圳旅游，若从广州到深圳一天中动车组有30个班次，特快列车有20个班次，汽车有40个不同班次.则小明乘坐这些交通工具去深圳的不同的方法有（ ）
A．240种 B．180种 C．120种 D．90种
【变式】．解一道数学题有三种方法，有3个人只会用第一种方法解答．有4个人只会用第二种方法解答，有3个人只会用第三种方法解答，从这10个人中选一个人解答这道题目，则所有不同的选法有（ ）
A．20种 B．10种 C．21种 D．36种
考点二 分步乘法计数原理
【例1】某商店共有，，三个品牌的水杯，若甲、乙、丙每人买了一个水杯，且甲买的不是品牌，乙买的不是品牌，则这三人买水杯的情况共有（ ）
A．3种 B．7种 C．12种 D．24种
【变式】用1，2，3，4可以组成无重复数字的三位数的个数为（ ）
A．16 B．24 C．36 D．48
【例2】学校筹办元旦晚会需要从5名男生和3名女生中各选1人作为志愿者，则不同选法的种数是（ ）
A．8 B．28 C．20 D．15
【变式】甲 乙两人从3门课程中各选修1门，则甲 乙所选的课程不相同的选法共有（ ）
A．6种 B．12种 C．3种 D．9种
【例3】甲同学计划分别从3份不同的语文试卷、5份不同的数学试卷中各任选1份试卷练习，则不同的选法共有（ ）
A．8种 B．15种 C．种 D．种
【变式】甲同学计划从3本不同的文学书和4本不同的科学书中各选1本阅读，则不同的选法共有（ ）
A．81种 B．64种 C．12种 D．7种
【例4】甲同学计划分别从3份不同的语文试卷、5份不同的数学试卷中各任选1份试卷练习，则不同的选法共有（ ）
A．8种 B．15种 C．种 D．种
【变式】3名大学生利用假期到2个山村参加扶贫工作，每名大学生只能去1个村，则不同的分配方案共有（ ）
A．4种 B．6种 C．8种 D．10种
考点三 两个原理的结合
【例1】李芳有4件不同颜色的衬衣,3件不同花样的裙子,另有两套不同样式的连衣裙.“五一”节需选择一套服装参加歌舞演出,则不同的选择方式有(　　)
A．24种 B．10种 C．9种 D．14种
【变式】某体育场南侧有4个大门，北侧有3个大门，某学生到该体育场练习跑步，则他进出门的方案有（　　）
A．7种 B．14种 C．21种 D．49种
【例2】如果一条直线与一个平面垂直，那么称此直线与平面构成一个“正交线面对”.在一个正方体中，由两个顶点确定的直线与含有四个顶点的平面构成的“正交线面对”的个数是（　　）
A．48 B．18 C．24 D．36
【变式】中国有十二生肖，又叫十二属相，每一个人的出生年份对应了十二种动物（鼠 牛 虎 兔 龙 蛇 马 羊 猴 鸡 狗 猪）中的一种.现有十二生肖的吉祥物各一个，已知甲同学喜欢牛 马，乙同学喜欢牛 狗和羊，丙同学所有的吉祥物都喜欢，让甲乙丙三位同学依次从中选一个作为礼物珍藏，若各人所选取的礼物都是自己喜欢的，则不同的选法有（ ）
A．90种 B．80种 C．60种 D．50种
【例3】某小区物业在该小区的一个广场布置了一个如图所示的圆形花坛，花坛分为5个区域．现有6种不同的花卉可供选择，要求相邻的区域（有公共边）不能布置相同的花卉，且每个区域只布置一种花卉，则不同的布置方案有（ ）
A．720种 B．1440种 C．1560种 D．2520种
【变式】用四种不同的颜色给如图所示的六块区域A，B，C，D，E，F涂色，要求相邻区域涂不同颜色，则涂色方法的总数是（ ）
A．120 B．72 C．48 D．24
【例4】如图，已知每条线路仅含一条通路，当一条电路从处到处接通时，不同的线路可以有（ ）
A．5条 B．6条 C．7条 D．8条
【变式】（1）在图（1）的电路中，仅合上1只开关接通电路，有多少种不同的方法？
（2）在图（2）的电路中，仅合上2只开关接通电路，有多少种不同的方法？

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