资源简介

考点一：圆柱
1. 圆柱的结构特征：
定义 以_矩形_的一边所在直线为旋转轴，其余三边旋转形成的面所围成的旋转体叫做圆柱
有关 概念 旋转轴叫做圆柱的_轴_；垂直于轴的边旋转而成的圆面叫做圆柱的_底面_；平行于轴的边旋转而成的曲面叫做圆柱的_侧面_；无论旋转到什么位置，_不垂直_于轴的边都叫做圆柱侧面的母线
图形
表示法 用表示它的轴的字母，即表示两底面_圆心_的字母表示，上图中的圆柱可记作圆柱_O′O_
规定 _圆柱_和_棱柱_统称为柱体
2. 圆柱的性质：
(1) 圆柱的两个底面是半径相等且互相平行的圆，平行于底面的横截面是与底面相同的圆；
(2) 圆柱的母线平行且相等，都等于圆柱的高；
(3) 过轴的截面（轴截面）是长为圆柱的高、宽为底面的直径的矩形．
考点二：圆锥
1. 圆锥的结构特征：
定义 以_直角_三角形的一条_直角边_所在直线为旋转轴，其余两边旋转形成的面所围成的旋转体叫做圆锥
图形
有关 概念 如上图所示，轴为_SO_，底面为_⊙O_，SA为母线．另外，S叫做圆锥的_顶点_，OA(或OB)叫做底面⊙O的_半径_
表示法 圆锥用表示它的_轴_的字母表示，上图中的圆锥可记作圆锥_SO_
规定 _棱锥_与_圆锥_统称为锥体
2. 圆锥的简单性质：
(1)圆锥有无数条母线，它们有公共点即圆锥的顶点，且长度相等．
(2)平行于底面的截面都是圆，如图①所示．
(3)过轴的截面(轴截面)是全等的等腰三角形，如图②所示．
考点三：球
1. 球的结构特征：
定义 以半圆的_直径_所在直线为旋转轴，半圆面旋转_一周_形成的旋转体叫做球体，简称球
有关 概念 半圆的_圆心_叫做球的球心；半圆的_半径_叫做球的半径；半圆的_直径_叫做球的直径
图形
表示法 球常用表示_球心_的字母表示，如上图中的球记作球_O_
2. 当球截面不经过球心时，球及球截面具有如下性质:
(1)球截面圆心与球心的连线垂直于球截面；
(2)设球心到截面的距离为d，球的半径为R，截面上圆的半径为r，则：
.
考点三：简单几何体的表面积和体积
1. 柱体、锥体的表面积：
(1)直棱柱、正棱锥的侧面积：
S直棱柱侧＝Ch， S正棱锥侧＝ Ch′(其中C为底面周长，h为高，h′为斜高)．
(2)圆柱、圆锥的侧面积：
S圆柱侧＝2πrl，S圆锥侧＝πrl (其中r为底面半径，l为母线长)．
(3)柱的表面积等于侧面积与两个底面积的和，锥体的表面积等于侧面积与一个底面积的和．
2. 柱体、锥体的体积：
(1)棱柱、棱锥的体积：
V棱柱＝Sh， V棱锥＝Sh (其中S为底面积，h为高)．
(2)圆柱、圆锥的体积：
V圆柱＝πr2h， V圆锥＝πr2h (其中r为底面圆的半径，h为高)．
3. 球的表面积与体积：
(1)半径为R的球的表面积：S球＝4πR2．
(2)半径为R的球的体积：V球＝πR3.
4. 球的截面的性质
(1)球心和截面圆心的连线垂直于截面；
(2)球心到截面的距离d与球的半径R及截面圆的半径r之间满足关系式： .
考点四：空间几何体的三视图
1. 三视图
分类 正视图 光线从几何体的_前_面向_后_面正投影，得到的投影图叫做几何体的正视图
侧视图 光线从几何体的_左_面向_右_面正投影，得到的投影图叫做几何体的侧视图
俯视图 光线从几何体的_上_面向_下_面正投影，得到的投影图叫做几何体的俯视图
说明 几何体的正视图、侧视图、俯视图统称为几何体的_三视图_，三视图是_正_投影
特征 一个几何体的侧视图和正视图_高度_一样，俯视图与正视图_长度_一样，侧视图与俯视图_宽度_一样
考点一 旋转体的结构特征
【例1】如图，几何体是由一个圆柱挖去一个以圆柱的上底面为底面，下底面圆心为顶点的圆锥而得的．现用一个竖直的平面去截这个几何体，则截面图形可能是（ ）
A． B． C． D．
【变式】用一个平面去截一个几何体，得到的截面是一个圆面，这个几何体可能是（ ）
A．圆锥圆柱 B．圆柱球体 C．圆锥球体 D．圆柱圆锥球体
【例2】给出下列四个命题：
①底面是正多边形的棱柱是正棱柱；
②四棱柱、四棱台、五棱锥都是六面体；
③所有棱长相等的棱柱一定是直棱柱；
④直角三角形绕其一条边所在的直线旋转一周形成的几何体是圆锥．
其中正确的命题个数是（ ）
A．0 B．1 C．2 D．3
【变式】有下列命题：
① 若在圆柱的上、下底面的圆周上各取一点，则这两点的连线是圆柱的母线；
② 直角三角形绕其任一边所在直线旋转一周所形成的几何体都是圆锥；
③ 棱台的上、下底面可以不相似，但侧棱长一定相等；
④ 底面是正多边形的棱锥一定是正棱锥．
其中，正确命题的个数是（ ）
A．0 B．1 C．2 D．3
考点二 旋转体的表面积
【例1】圆柱的母线长为，底面的直径为，则圆柱的轴截面面积为 .
【变式】以边长为2的正方形一边所在直线为轴旋转一周，所得到的几何体的表面积为（ ）
A． B． C． D．
【例2】若圆锥的侧面展开图是半径为2的半圆，则此圆锥的底面半径为 ．
【变式】已知圆锥的轴截面是等腰直角三角形，且圆锥的母线长为2，则圆锥的侧面积是（ ）．
A． B．2 C． D．
【例3】若一个长方体的长、宽，高分别为4，2，3，则这个长方体外接球的表面积为 .
【变式】长方体的三个相邻面的面积分别是2，3，6，这个长方体的顶点都在同一个球面上，则这个球的表面积为（ ）
A． B．56π C．14π D．16π
【例4】若圆锥的底面直径为6，高是4，则它的侧面积为（ ）
A． B． C． D．
【变式】圆锥的侧面展开图是圆心角为120°、半径为2的扇形，则圆锥的表面积是________.
考点三 旋转体的体积
【例1】已知某圆柱的轴截面是正方形，且该圆柱的侧面积是，则该圆柱的体积是（ ）
A． B． C． D．
【变式】一个圆柱的侧面展开图是一个边长为4的正方形，则这个圆柱的体积为（ ）
A． B． C． D．
【例2】已知圆锥母线长为6，底面圆半径长为4.

(1)求圆锥的体积；
(2)求圆锥的表面积.
【变式】已知某几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积是（ ）
A． B． C． D．
【例3】两个球表面积的比为，则体积的比为（ ）
A． B．
C． D．不确定
【变式】已知三个球的体积之比为，则它们的表面积之比为（ ）
A． B． C． D．
考点四 简单几何体的三视图
【例1】如图放置的圆柱，它的俯视图是（ ）
A． B．
C． D．
【变式】如图所示几何体是由一个球体和一个圆柱组成的，它的主视图是（ ）
A． B． C． D．
【例2】一个几何体的三视图均为圆，则该几何体可以是（ ）
A．正方体 B．球体 C．三棱柱 D．圆柱
【变式】如图是某几何体的三视图，则该几何体是（ ）
A．圆锥 B．圆柱 C．正三棱柱 D．正三棱锥
【例3】【变式】如图所示几何体的俯视图和侧视图都正确的是（ ）
A． B．
C． D．
【变式】一物体及其正视图如图：
则它的侧视图与俯视图分别是图形中的 .
【例4】若某几何体的三视图如图所示，则这个几何体的直观图可以是(　　)
【变式】若某几何体的三视图如图所示，则此几何体的直观图是(　 　)考点一：圆柱
1. 圆柱的结构特征：
定义 以_矩形_的一边所在直线为旋转轴，其余三边旋转形成的面所围成的旋转体叫做圆柱
有关 概念 旋转轴叫做圆柱的_轴_；垂直于轴的边旋转而成的圆面叫做圆柱的_底面_；平行于轴的边旋转而成的曲面叫做圆柱的_侧面_；无论旋转到什么位置，_不垂直_于轴的边都叫做圆柱侧面的母线
图形
表示法 用表示它的轴的字母，即表示两底面_圆心_的字母表示，上图中的圆柱可记作圆柱_O′O_
规定 _圆柱_和_棱柱_统称为柱体
2. 圆柱的性质：
(1) 圆柱的两个底面是半径相等且互相平行的圆，平行于底面的横截面是与底面相同的圆；
(2) 圆柱的母线平行且相等，都等于圆柱的高；
(3) 过轴的截面（轴截面）是长为圆柱的高、宽为底面的直径的矩形．
考点二：圆锥
1. 圆锥的结构特征：
定义 以_直角_三角形的一条_直角边_所在直线为旋转轴，其余两边旋转形成的面所围成的旋转体叫做圆锥
图形
有关 概念 如上图所示，轴为_SO_，底面为_⊙O_，SA为母线．另外，S叫做圆锥的_顶点_，OA(或OB)叫做底面⊙O的_半径_
表示法 圆锥用表示它的_轴_的字母表示，上图中的圆锥可记作圆锥_SO_
规定 _棱锥_与_圆锥_统称为锥体
2. 圆锥的简单性质：
(1)圆锥有无数条母线，它们有公共点即圆锥的顶点，且长度相等．
(2)平行于底面的截面都是圆，如图①所示．
(3)过轴的截面(轴截面)是全等的等腰三角形，如图②所示．
考点三：球
1. 球的结构特征：
定义 以半圆的_直径_所在直线为旋转轴，半圆面旋转_一周_形成的旋转体叫做球体，简称球
有关 概念 半圆的_圆心_叫做球的球心；半圆的_半径_叫做球的半径；半圆的_直径_叫做球的直径
图形
表示法 球常用表示_球心_的字母表示，如上图中的球记作球_O_
2. 当球截面不经过球心时，球及球截面具有如下性质:
(1)球截面圆心与球心的连线垂直于球截面；
(2)设球心到截面的距离为d，球的半径为R，截面上圆的半径为r，则：
.
考点三：简单几何体的表面积和体积
1. 柱体、锥体的表面积：
(1)直棱柱、正棱锥的侧面积：
S直棱柱侧＝Ch， S正棱锥侧＝ Ch′(其中C为底面周长，h为高，h′为斜高)．
(2)圆柱、圆锥的侧面积：
S圆柱侧＝2πrl，S圆锥侧＝πrl (其中r为底面半径，l为母线长)．
(3)柱的表面积等于侧面积与两个底面积的和，锥体的表面积等于侧面积与一个底面积的和．
2. 柱体、锥体的体积：
(1)棱柱、棱锥的体积：
V棱柱＝Sh， V棱锥＝Sh (其中S为底面积，h为高)．
(2)圆柱、圆锥的体积：
V圆柱＝πr2h， V圆锥＝πr2h (其中r为底面圆的半径，h为高)．
3. 球的表面积与体积：
(1)半径为R的球的表面积：S球＝4πR2．
(2)半径为R的球的体积：V球＝πR3.
4. 球的截面的性质
(1)球心和截面圆心的连线垂直于截面；
(2)球心到截面的距离d与球的半径R及截面圆的半径r之间满足关系式： .
考点四：空间几何体的三视图
1. 三视图
分类 正视图 光线从几何体的_前_面向_后_面正投影，得到的投影图叫做几何体的正视图
侧视图 光线从几何体的_左_面向_右_面正投影，得到的投影图叫做几何体的侧视图
俯视图 光线从几何体的_上_面向_下_面正投影，得到的投影图叫做几何体的俯视图
说明 几何体的正视图、侧视图、俯视图统称为几何体的_三视图_，三视图是_正_投影
特征 一个几何体的侧视图和正视图_高度_一样，俯视图与正视图_长度_一样，侧视图与俯视图_宽度_一样
考点一 旋转体的结构特征
【例1】如图，几何体是由一个圆柱挖去一个以圆柱的上底面为底面，下底面圆心为顶点的圆锥而得的．现用一个竖直的平面去截这个几何体，则截面图形可能是（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【分析】考虑截面不经过圆柱的轴时对应的截面形状.
【解析】当截面不过旋转轴时﹐截面图形如选项A所示．
故选：A．
【变式】用一个平面去截一个几何体，得到的截面是一个圆面，这个几何体可能是（ ）
A．圆锥圆柱 B．圆柱球体 C．圆锥球体 D．圆柱圆锥球体
【答案】D
【分析】由圆锥，圆柱，球体的几何特征判断即可.
【解析】用一个平面去截一个几何体，得到的截面是一个圆面，
则这个几何体可能是圆锥，也可能是圆柱，也可能是球体，
故选：D.
【例2】给出下列四个命题：
①底面是正多边形的棱柱是正棱柱；
②四棱柱、四棱台、五棱锥都是六面体；
③所有棱长相等的棱柱一定是直棱柱；
④直角三角形绕其一条边所在的直线旋转一周形成的几何体是圆锥．
其中正确的命题个数是（ ）
A．0 B．1 C．2 D．3
【答案】B
【分析】利用几何体的结构特征，几何体的定义，逐项判断选项的正误即可．
【解析】①底面是正多边形，侧棱与底面垂直的棱柱是正棱柱；所以①不正确；
②四棱柱、四棱台、五棱锥都是六面体；满足多面体的定义，所以②正确；
③所有棱长相等的棱柱一定是直棱柱；不满足直棱柱的定义，所以③不正确；
④直角三角形绕直角边所在的直线旋转一周形成的几何体是圆锥．所以④不正确；
故选：B．
【变式】有下列命题：
① 若在圆柱的上、下底面的圆周上各取一点，则这两点的连线是圆柱的母线；
② 直角三角形绕其任一边所在直线旋转一周所形成的几何体都是圆锥；
③ 棱台的上、下底面可以不相似，但侧棱长一定相等；
④ 底面是正多边形的棱锥一定是正棱锥．
其中，正确命题的个数是（ ）
A．0 B．1 C．2 D．3
【答案】A
【解析】①不一定，只有当这两点的连线平行于轴线时才是母线；
②不一定，当以斜边所在直线为旋转轴时，其余两边旋转形成的面所围成的几何体不是圆锥，如图所示，它是由两个同底圆锥组成的几何体；
③错误，棱台的上、下底面相似且是对应边平行的多边形，各侧棱延长线交于一点，但是侧棱长不一定相等；
④错误，底面是正多边形且顶点在底面的射影为底面正多边形的中心的棱锥是正棱锥．
故选：A.
考点二 旋转体的表面积
【例1】圆柱的母线长为，底面的直径为，则圆柱的轴截面面积为 .
【答案】
【分析】根据圆柱轴截面为矩形直接求解即可.
【解析】圆柱的轴截面面积.
故答案为：.
【变式】以边长为2的正方形一边所在直线为轴旋转一周，所得到的几何体的表面积为（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【解析】由题意，所得几何体为高和底面半径均为2的圆柱体，
所以几何体表面积为，
故选：D
【例2】若圆锥的侧面展开图是半径为2的半圆，则此圆锥的底面半径为 ．
【答案】1
【分析】利用圆锥的侧面展开图，求出圆锥的底面周长，然后求出底面半径.
【解析】圆锥的侧面展开恰为一个半径为2的半圆，
所以圆锥的底面周长为半圆的弧长：，
设底面圆半径为，则有，所以底面半径为：1.
故答案为：1
【变式】已知圆锥的轴截面是等腰直角三角形，且圆锥的母线长为2，则圆锥的侧面积是（ ）．
A． B．2 C． D．
【答案】D
【解析】
如图，由题意知为等腰直角三角形，则，
底面圆周长为，
故圆锥的侧面积为，
故选：D.
【例3】若一个长方体的长、宽，高分别为4，2，3，则这个长方体外接球的表面积为 .
【答案】
【解析】由题知，长方体的体对角线即为外接球的直径，
所以，所以
所以外接球的表面积，
故答案为：．
【变式】长方体的三个相邻面的面积分别是2，3，6，这个长方体的顶点都在同一个球面上，则这个球的表面积为（ ）
A． B．56π C．14π D．16π
【答案】C
【解析】设长方体的三条棱长分别为a，b，c，
由题意得，得，
∴长方体的体对角线长为，
∴其外接球的半径为，
∴．
故选：C
【例4】若圆锥的底面直径为6，高是4，则它的侧面积为（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【解析】作圆锥的轴截面如图，则高AD=4,底面半径CD=3,
圆锥的母线AC=5，所以圆锥的侧面积为，
故选：C.
【变式】圆锥的侧面展开图是圆心角为120°、半径为2的扇形，则圆锥的表面积是________.
【答案】　π
【解析】因为圆锥的侧面展开图是圆心角为120°、半径为2的扇形，
所以圆锥的侧面积等于扇形的面积＝＝π，
设圆锥的底面圆的半径为r，
因为扇形的弧长为×2＝π，所以2πr＝π，所以r＝，
所以底面圆的面积为π，
所以圆锥的表面积为π.
故答案为：π.
考点三 旋转体的体积
【例1】已知某圆柱的轴截面是正方形，且该圆柱的侧面积是，则该圆柱的体积是（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【分析】用圆柱底面圆半径r表示出其高h，由侧面积列式求出r，进而求得体积.
【解析】设该圆柱的底面圆半径为，则其高(母线)为，
而圆柱的轴截面是正方形，则，
圆柱侧面积为，从而，，
故该圆柱的体积是．
故选：A.
【变式】一个圆柱的侧面展开图是一个边长为4的正方形，则这个圆柱的体积为（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【解析】设圆柱的底面半径为r，高为h，
因为圆柱的侧面展开图是一个边长为的正方形，
所以，，所以，
所以圆柱的体积为，
故选：C.
【例2】已知圆锥母线长为6，底面圆半径长为4.

(1)求圆锥的体积；
(2)求圆锥的表面积.
【答案】(1)；(2)
【分析】（1）先利用勾股定理求出圆锥的高，再根据圆锥的体积公式即可得解；
（2）利用圆锥的表面积公式求解即可.
【解析】解：（1）因为圆锥母线长为6，底面圆半径长为4，
所以圆锥的高为，
所以圆锥的体积为；
（2）圆锥的表面积为.
【变式】已知某几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积是（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【分析】通过三视图判断几何体的图形形状，利用三视图的数据，求出几何体的体积即可.
【解析】由三视图可知，该几何体是底面半径为3，母线长为5的圆锥，
则高为4，
故该几何体体积为.
故选:A.
【例3】两个球表面积的比为，则体积的比为（ ）
A． B．
C． D．不确定
【答案】C
【分析】由表面积的比得到半径之比，再得到体积之比.
【解析】设两球的半径分别为，，
表面积之比，，
体积之比.
故选：C.
【变式】已知三个球的体积之比为，则它们的表面积之比为（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【解析】由题，设三个球的半径分别为，
则由题，，
故，
故表面积之比，
故选：B.
考点四 简单几何体的三视图
【例1】如图放置的圆柱，它的俯视图是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】C
【分析】根据俯视图的定义，结合选项可得答案.
【解析】俯视图为由上向下观察的平面图形，所以俯视图为圆，
故选：C.
【变式】如图所示几何体是由一个球体和一个圆柱组成的，它的主视图是（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】根据从正前方看得到的图形是主视图，可得答案．
【解析】从正前方看，底层是一个长方形，长方形上面是一个圆．
故选：B．
【例2】一个几何体的三视图均为圆，则该几何体可以是（ ）
A．正方体 B．球体 C．三棱柱 D．圆柱
【答案】B
【分析】由球体的平行投影性质即可确定几何体.
【解析】由球体的性质：从三个方位作平行投影，其投影形状均为圆，而对于柱体、锥体没有该性质.
故选：B.
【变式】如图是某几何体的三视图，则该几何体是（ ）
A．圆锥 B．圆柱 C．正三棱柱 D．正三棱锥
【答案】B
【分析】利用三视图的特点分析即可.
【解析】因为主视图与左视图是相同的矩形，且俯视图是圆形，故该几何体是圆柱.
故选：B
【例3】【变式】如图所示几何体的俯视图和侧视图都正确的是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】C
【分析】根据侧视图，没有实对角线，俯视图实对角线的方向，排除错误选项，得到答案.
【解析】侧视时，看到一个矩形且不能有实对角线，故A，D排除，
而俯视时，有半个平面是没有的，所以有一条实对角线，
且其对角线位置从左下角画到右上角，故B排除.
故选：C.
【变式】一物体及其正视图如图：
则它的侧视图与俯视图分别是图形中的 .
【答案】③②
【分析】根据三视图的定义，注意实线虚线的方向、数量即可判断
【解析】侧视图是矩形中间有一条横实线，应选③；
俯视图为矩形中间两条竖实线，应选②.
故答案为：③②
【例4】若某几何体的三视图如图所示，则这个几何体的直观图可以是(　　)
【答案】B
【解析】所给选项中，A，C选项的俯视图不符合，
D选项的侧视图不符合，只有选项B符合，
故选：B.
【变式】若某几何体的三视图如图所示，则此几何体的直观图是(　 　)
【答案】A
【解析】利用排除法求解．B的侧视图不对，C图的俯视图不对，
D的正视图不对，排除B，C，D，A正确，
故选：A.

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