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山东省德州市优高十校联考2024-2025学年高三下学期4月月考数学试题
德州市优高联盟十校联考数学试题
一 选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.
1.若复数满足，则的虚部为（ ）
A. B.2 C. D.
2.已知集合，若，则实数的取值范围是（ ）
A. B. C. D.
3.在矩形中，，点是线段的中点，若，则的值为（ ）
A. B. C. D.
4.设，则（ ）
A. B.
C. D.
5.已知椭圆中分别为C的左，右焦点，点为椭圆图像上的一点，为，且成等比数列，则椭圆的离心率为（ ）
A. B. C. D.
6.已知球的表面积为，一正四棱台的上、下底面顶点都在球的球面上，且下底面过球心，侧面与下底面所成角的余弦值为，则该棱台的体积为（ ）
A. B. C. D.
7.已知，曲线与相邻的三个交点构成一个等边三角形，则（ ）
A. B. C. D.
8.已知曲线在，两点处的切线分别与曲线相切于，，则的值为（ ）
A.1 B.2 C. D.
二 多选题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分.
9.某中学举行化学知识竞赛，其中6个小组的比赛成绩分别为：71，85，76，88，89，96，则这组数据的（ ）
A.极差为25
B.中位数大于平均数
C.方差为65
D.百分之二十五分位数为76
10.已知函数在处取得极大值，的导函数为，则（ ）
A.
B.当时，
C.函数的图像是中心对称图形
D.当且时，
11.当一个圆沿着一条定直线无滑动地滚动时，圆周上一个定点的轨迹称为摆线.如图，圆心为，半径为1的圆，圆上定点初始位置在原点，当圆B沿着轴正向滚动，且半径旋转角度为，则以下结论正确的为（ ）
A.若，则点的坐标为
B.圆滚动一周，得到的摆线长等于圆周长
C.若圆滚动角度时，点从一个位置到达位置，则长度的最大值为
D.若定点总在直线的下方，则的取值范围为
三 填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分.
12.已知，则__________.
13.因演出需要，身高互不相等的8名演员要排成一排成一个“波浪形”，即演员们的身高从最左边数起：第一个到第三个依次递增，第三个到第六个依次递减，第六 七 八个依次递增，则不同的排列方式有__________种.
14.直三棱柱中，，点为的中点，动点满足.当点在侧面内运动时，点运动路径的长度为__________.当点在空间中运动时，最大值为__________.
四 解答题：本题共5小题，共77分，解答应写出文子说明，证明过程或演算步骤.
15.一只LED灯能闪烁红 黄 蓝三种颜色的光，受智能程序控制每隔1秒闪一次光，相邻两次闪光的颜色不相同.若某次闪红光，则下次有的概率闪黄光；若某次闪黄光，则下次有的概率闪蓝光；若某次闪蓝光，则下次有的概率闪红光.已知第1次闪光为红光.
（1）求第4次闪光为红光的概率；
（2）求第次闪光为红光的概率.
16.在中，角所对的边分别为，已知，且满足
（1）求角的大小
（2）的内心为，求周长的取值范围.
17.如图，三棱柱中，平面平面，，点是棱的中点.
（1）证明：平面；
（2）线段上是否存在点，使得直线与平面所成角的正弦值为，若存在，求出的值，若不存在说明理由.
18.过定点的动圆始终与直线相切.
（1）求动圆圆心的轨迹的方程，
（2）过点的直线与曲线C交于两点，是曲线的两条切线，是切点.
（i）证明：点P的轨迹是定直线；
（ii）求面积的最小值.
19.若有穷自然数数列满足如下两个性质，则称为数列.
1.，其中；表示这个数中最大的数；
2.，其中，表示这个数中最小的数.
（1）判断是否为数列，说明理由；
（2）若是数列，且成等比数列，求；
（3）证明：对任意数列，存在实数，使得.（表示不越过的最大整数）
联考数学参考答案：
1-4ABCD 5-8BACB
9.ABD 10.ACD 11.ACD
12. 13. 14.，
15.解：（1）由题意，前4次闪光的顺序为“红黄蓝红”或“红蓝黄红”，
所以.
（2）设事件表示“第次闪光为红光”，事件表示“第次闪光为黄光”，事件表示“第次闪光为蓝光”，且，则，由题意知，
当时，，
即，
整理得，所以，
所以是以为首项，为公比的等比数列，
所以，故，
第次闪红光的概率为
16.解：（1）由，
根据正弦定理，得，
由，则，
即
而，故，又，所以
（2）因为的内心为，故
.
设，则，在中，由正弦定理得，
，
的周长为
，
17.解：（1）连接，三棱柱中，，
所以四边形为菱形，所以，
又平面平面，平面平面，
平面所以
平面.
所以，又所以平面
（2）假设存在，使得直线与平面所成角的正弦值为.
因为，所以
因为平面，所以，所以在中，
连接，由余弦定理可得
以A为坐标原点，分别为轴的正方向建立如图所示空间直角坐标系.，，
.
设平面的法向量，由，
即，
取，得到平面的一个法向量
又，
设直线与平面所成角的大小为，
.
所以，又所以，即存在实数使得直线与平面所成角的正弦值为.
18解：（1）设动圆圆心坐标为，因为过定点的动圆始终与直线相切，，化简得，即动圆圆心的轨迹方程.
（2）（i）设，其中，由题，直线斜率不为0，设直线，联立得：，
恒成立，，
由得：，
则，即即，
同理，，
，
，
即直线交点的轨迹为定直线
（ii）将代入
得：，
即，
方法I：点到直线的距离，
时，面积最小为
方法II：又中点轴
.
时，面积最小为.
19.解：1.不是数列，理由如下：
因为，所以，但，所以不满足性质①，故不是数列.
根据是数列可得满足：
或或，
①若，因为成等比数列，所以，
又，所以，所以，得，
②若，因为成等比数列，所以，
当时，，解得，与为自然数矛盾，舍去
；当时，，解得，与为自然数矛盾，舍去；
所以，由以及，得，所以，
由以及，
得，由以及，
可知，所以；
（3）当时，根据数列的定义，可知或，
若，取，则，结论成立，
若，取，则，结论成立，
假设存在自然数，存在数列使得结论不成立，设这样的的最小值为，
即存在数列对任意实数，存在，使得，
根据假设，数列A的前项组成的数列是一个数列，
从而存在实数，使得，
即，
令，则，
令，则，
①若，根据的定义，存在，使得，
又，
则且，
所以，
②若，根据的定义，存在，使得，
又，则，且，
所以，所以，
令，则，
即，
所以，
所以，
即，与假设矛盾，
综上，结论成立.

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