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第1讲　曲线运动　运动的合成与分解
学习目标　1.理解物体做曲线运动的条件及运动性质。 2.理解合运动与分运动的概念，会用运动的合成与分解处理小船渡河和关联速度等问题。
1.曲线运动
2.运动的合成与分解
1.思考判断
(1)速度发生变化的运动，一定是曲线运动。(×)
(2)做曲线运动的物体受到的合力一定是变力。(×)
(3)做曲线运动的物体所受合力的方向一定指向轨迹的凹侧。(√)
(4)合运动的速度一定比分运动的速度大。(×)
(5)只要两个分运动为直线运动，合运动一定是直线运动。(×)
(6)曲线运动一定不是匀变速运动。(×)
(7)运动的合成与分解的实质是对描述运动的物理量(位移、速度、加速度)的合成与分解。(√)
2.(2023·全国乙卷，15)小车在水平地面上沿轨道从左向右运动，动能一直增加，如果用带箭头的线段表示小车在轨道上相应位置处所受合力，下列四幅图可能正确的是(　　)
答案　D
考点一　曲线运动的条件与轨迹分析
1.曲线运动中速度方向、合力方向与运动轨迹之间的关系
(1)速度方向与运动轨迹相切。
(2)合力方向指向曲线的“凹”侧。
(3)运动轨迹一定夹在速度方向和合力方向之间。
2.速率变化的判断
例1 一个物体在光滑水平面上做匀速直线运动，其速度方向如图中的v所示。从A点开始，它受到向前但偏右(观察者沿着物体前进的方向看，下同)的外力F;到达B点时，这个外力的方向突然变为与前进方向相同;到达C点时，外力的方向又突然改为向前但偏左，物体最终到达D点。则关于物体由A点到D点的运动轨迹，下列选项中可能正确的是(　　)
答案　C
解析　由合力方向指向运动轨迹的“凹侧”，运动轨迹一定夹在速度方向和合力方向之间，可知C正确。
跟踪训练
1.如图所示是物体在恒力作用下所做的曲线运动的轨迹的示意图，箭头表示物体在该点的速度方向。已知物体在B点的加速度方向与速度方向垂直，则下列说法正确的是(　　)
A.C点的速率大于B点的速率
B.C点的速率小于B点的速率
C.A点的加速度比C点的加速度大
D.从A点到C点加速度方向与速度方向的夹角先增大后减小，速率是先减小后增大
答案　A
解析　由题意可知物体做匀变速曲线运动，B到C点的加速度方向与速度方向夹角小于90°，物体做加速运动，C点的速率比B点的速率大，故A正确，B错误;物体在恒力作用下运动，所以经过A点时的加速度与C点的加速度相同，故C错误;物体运动到B点时速度方向与加速度方向恰好互相垂直，则有A点速度方向与加速度方向夹角大于90°，C点的加速度方向与速度方向夹角小于90°，所以加速度与速度的夹角一直减小，故D错误。
考点二　运动的合成与分解
1.合运动的性质判断
加速度(或合力)
加速度(或合力)
方向与速度方向
加速度(或合力)为0:匀速直线运动
2.两个互成角度的直线运动的合运动性质的判断
(1)依据:看合初速度方向与合加速度(或合力)方向是否共线。
(2)常见的情况
两个互成角度的分运动 合运动的性质
两个匀速直线运动 匀速直线运动
一个匀速直线运动、一个匀变速直线运动 匀变速曲线运动
两个初速度为零的匀加速直线运动 匀加速直线运动
两个初速度不为零的匀变速直线运动 如果v合与a合共线，为匀变速直线运动
如果v合与a合不共线，为匀变速曲线运动
例2 (多选)(2024·江西卷，8)一条河流某处存在高度差，小鱼从低处向上跃出水面，冲到高处。如图所示，以小鱼跃出水面处为坐标原点，x轴沿水平方向，建立坐标系，小鱼的初速度为v0，末速度v沿x轴正方向。在此过程中，小鱼可视为质点且只受重力作用。关于小鱼的水平位置x、竖直位置y、水平方向分速度vx和竖直方向分速度vy与时间t的关系，下列图像可能正确的是(　　)
答案　AD
解析　由于小鱼在运动过程中只受重力作用，则小鱼在水平方向上做匀速直线运动，即vx为一定量，则有x＝vxt，A正确，C错误;小鱼在竖直方向上做竖直上抛运动，则有y＝vy0t－gt2，vy＝vy0－gt，且vy最终减为0，B错误，D正确。
跟踪训练
2.(2025·湖北黄冈模拟)质量为2 kg的物体在xOy平面内做曲线运动，图(a)、(b)分别是其在x方向的速度—时间图像、在y方向的位移—时间图像。sin 53°＝0.8，cos 53°＝0.6，下列说法正确的是(　　)
A.物体的加速度方向与初速度垂直
B.物体的初速度大小为3 m/s
C.t＝2 s时，物体的速度大小为2 m/s
D.物体所受合力大小为4 N
答案　C
解析　由题图可知，物体沿x正方向做匀加速直线运动，初速度为v0x＝3 m/s，加速度为a＝ m/s2＝1.5 m/s2，y方向做匀速直线运动，速度为vy＝4 m/s，则物体的初速度为v0＝＝5 m/s，故B错误;由cos θ＝＝0.6知物体初速度方向与x轴成53°，而合力方向沿x正方向，物体的加速度与初速度不垂直，故A错误;2 s末，x方向的速度为vx＝v0x＋at＝6 m/s，此时合速度大小为v＝＝2 m/s，故C正确;由牛顿第二定律可得，物体所受合力为F＝ma＝3 N，故D错误。
考点三　小船渡河模型
1.船的实际运动:是随水漂流的运动和船相对静水的运动的合运动。
2.三种速度:船在静水中的速度v船、水流的速度v水、船的实际速度v。
3.两类问题、三种情景
渡河 时间 最短 当船头方向垂直河岸时，渡河时间最短，最短时间tmin＝
渡河 位移 最短 如果v船>v水，当船头方向与上游河岸夹角θ满足v船cos θ＝v水时，合速度垂直于河岸，渡河位移最短，等于河宽d
如果v船例3 (2025·四川德阳模拟)如图所示，消防员正在宽度为d＝100 m、河水流速为v1＝5 m/s的河流中进行水上救援演练，可视为质点的冲锋舟距离下游危险区的距离为x＝75 m，其在静水中的速度为v2，则(　　)
A.若冲锋舟船头垂直于岸，以在静水中的初速度为零、加速度为a＝0.9 m/s2匀加速冲向对岸，则能安全到达对岸
B.为了使冲锋舟能安全到达河对岸，冲锋舟在静水中的速度v2不得小于3 m/s
C.若冲锋舟船头与河岸夹角为30°斜向上游且以速度v2＝10 m/s匀速航行，则恰能到达正对岸
D.冲锋舟匀速航行恰能安全到达对岸所用的时间t＝25 s
答案　A
解析　冲锋舟的运动分解为沿船头方向与沿水流方向的两个分运动，有d＝at2，解得t＝ s，沿水流方向的位移为x水＝v1t＝ m5 m/s，可知冲锋舟的合速度不指向正对岸，所以不能到达正对岸，故C错误。
拓展
(1)若冲锋舟的船头正对河岸行驶，河水流速突然增大，则冲锋舟到达对岸的时间有变化吗
答案　渡河时间等于河的宽度与船垂直河岸方向的分速度之比，即t＝，与河水流速无关，故冲锋舟到达对岸的时间不变。
(2)消防员接到命令，要求在20 s内到达河的正对岸，则冲锋舟行驶的最小速度v2'是多少 该如何行驶
答案　合速度最小为v合min＝ m/s＝5 m/s，
则v2min'＝＝5 m/s。
冲锋舟船头与上游河岸的夹角为θ，则tan θ＝1，即θ＝45°
故冲锋舟船头与上游河岸成45°角，以最小速度5 m/s行驶。
跟踪训练
3.(2024·辽宁本溪模拟)解放军某部在某次登岛演习过程中，要渡过一条宽度为d的小河。现有甲、乙两个战斗小组分别乘两只小船渡河，船头朝向如图所示，渡河时两小船船头与河岸夹角都是θ角，两船在静水中的速率都为v，水流速率为v0，此时甲船恰好能到小河正对岸的A点，则(　　)
A.甲船渡河时间为
B.乙船比甲船更早到达对岸
C.靠岸时两船间距增大了(vcos θ＋v0)
D.如果河水流速增大，甲船不改变船头方向也能到达A点
答案　C
解析　将小船的运动分解为平行于河岸和垂直于河岸两个方向，根据分运动和合运动具有等时性，可知甲、乙两船到达对岸的时间均为t＝，两船同时到达对岸，故A、B错误;靠岸时两船间距增大了x＝v相对t＝(v0＋vcos θ)，故C正确;水流速率为v0，甲船恰好能到小河正对岸的A点，则vcos θ＝v0，故如果河水流速增大，要使甲船到达A点，小船船头与河岸夹角应减小，故D错误。
考点四　绳(杆)端速度分解模型
1.模型特点
与绳(杆)相连的物体运动方向与绳(杆)不在一条直线上，沿绳(杆)方向的速度分量大小相等。
2.解题关键:明确合速度与分速度
合速度→绳(杆)拉物体的实际运动速度v→平行四边形对角线
3.常见模型
模型　绳端速度分解模型
例4 (2025·江苏淮阴中学高三联考)如图所示，质量为m的物体P置于倾角为θ1的固定光滑斜面上，轻细绳跨过光滑定滑轮分别连接着P与小车，物体P与滑轮间的细绳平行于斜面，小车以速率v水平向右做匀速直线运动。已知重力加速度为g，则当小车与滑轮间的细绳和水平方向的夹角为θ2时，下列判断正确的是(　　)
A.P做匀速运动 B.P的速率为
C.绳的拉力大于mgsin θ1 D.绳的拉力小于mgsin θ1
答案　C
解析　将小车速度在沿绳方向与垂直绳方向分解，P的速率为vP＝vcos θ2，故B错误;小车以速率v水平向右做匀速直线运动，θ2逐渐减小，P的速度逐渐增大，P沿斜面向上做加速运动，根据牛顿第二定律有FT－mgsin θ1＝ma>0，则绳的拉力大于mgsin θ1，故C正确，A、D错误。
模型　杆端速度分解模型
例5 (2025·陕西西安工业大学附属中学高三检测)如图，甲、乙两光滑小球(均可视为质点)用轻直杆连接，乙球处于粗糙水平地面上，甲球套在光滑的竖直杆上，初始时轻杆竖直，杆长为4 m。施加微小的扰动，使得乙球沿水平地面向右滑动，当乙球距离起点3 m时，下列说法正确的是(　　)
A.甲、乙两球的速度大小之比为∶3
B.甲、乙两球的速度大小之比为3∶7
C.甲球即将落地时，乙球的速度与甲球的速度大小相等
D.甲球即将落地时，乙球的速度达到最大
答案　B
解析　设轻杆与竖直方向的夹角为θ，则v1在沿杆方向的分量为v1∥＝v1cos θ，v2在沿杆方向的分量为v2∥＝v2sin θ，而v1∥＝v2∥，图示位置时，有cos θ＝，sin θ＝，解得此时甲、乙两球的速度大小之比为，选项A错误，B正确;当甲球即将落地时，θ＝90°，此时甲球的速度达到最大，而乙球的速度为零，选项C、D错误。
A级　基础对点练
对点练1　曲线运动的条件与轨迹分析
1.(2023·辽宁卷，1)某同学在练习投篮，篮球在空中的运动轨迹如图中虚线所示，篮球所受合力F的示意图可能正确的是(　　)
答案　A
解析　篮球做曲线运动，则篮球的速度与合力不在同一条直线上，且篮球的轨迹应向受力的一方发生偏转，故B、C、D错误;当篮球的速度斜向右上方时，A选项符合条件，故A正确。
2.在风洞实验室中进行如图所示的实验，光滑的水平面上一小球以速度v0向东运动，运动中要穿过水平向北的风洞MN，在风洞施加的水平恒定风力作用下，小球通过风洞过程及通过后的轨迹正确的图像是(　　)
答案　A
解析　小球在光滑的水平面上以速度v0向东运动，给小球一个向北的水平恒定风力，根据曲线运动的条件，合力指向物体做曲线运动轨迹的凹侧，且速度的方向沿着轨迹的切线方向，故A正确。
对点练2　运动的合成与分解
3.如图所示，某跳伞运动员从一定高度跳伞，在降落过程中受到水平恒定风力影响，最后降落到某一水平面上，下列说法正确的是(　　)
A.该运动员一定做曲线运动
B.其他条件不变，风力越大，该运动员在空中运动时间越短
C.其他条件不变，风力越大，该运动员在空中运动时间越长
D.其他条件不变，风力越大，该运动员着地时的速率越大
答案　D
解析　若运动员跳伞时的速度方向与运动员所受的合力方向相同，则运动员做直线运动，A错误;竖直方向，根据h＝gt2，可得t＝，可知该运动员在空中运动时间与风力无关，B、C错误;水平方向风力越大，水平方向的加速度越大，落地时的水平速度就越大，可知其他条件不变，该运动员着地时的速率越大，D正确。
4.(2025·安徽淮北质检)在一次无人机表演中，若分别以水平向右、竖直向上为x轴、y轴的正方向，某架参演的无人机在x、y方向的v－t图像分别如图甲、乙所示，则在0~t2时间内，该无人机的运动轨迹为(　　)
答案　A
解析　由题图可知，在0~t1时间内无人机竖直方向做匀速直线运动，水平方向向右做匀减速直线运动，可知在0~t1时间内无人机受到的合力方向水平向左，根据合力指向轨迹凹侧，可知0~t1时间内无人机运动的轨迹向左弯曲;在t1~t2时间内无人机竖直方向向上做匀减速直线运动，水平方向做匀速直线运动，可知在t1~t2时间内无人机的合力竖直向下，根据合力指向轨迹凹侧，可知在t1~t2时间内无人机运动的轨迹向下弯曲，故A正确。
5.(2025·江苏连云港高三期中)风洞实验是进行空气动力学研究的重要方法。如图所示，将小球从A点以某一速度v0水平向左抛出，经过一段时间，小球运动到A点正下方的B点，O点是轨迹的最左端，风对小球的作用力水平向右，大小恒定。则小球速度最小时位于(　　)
A.A点 B.O点
C.轨迹AO之间的某一点 D.轨迹OB之间的某一点
答案　C
解析　如图所示，将重力和风力合成，速度v0分解为沿合力方向分速度v1和垂直合力方向分速度v2，当沿合力方向的分速度减为0时，小球的速度最小，即小球最小速度为图中的v2，可知该点位于轨迹AO之间的某一点，故C正确。
对点练3　小船渡河模型
6.如图所示，两次渡河时船头指向均垂直于岸，且船相对水的速度大小不变。已知第一次实际航程为A至B，位移为x1，实际航速为v1，所用时间为t1，由于水速增大，第二次实际航程为A至C，位移为x2，实际航速为v2，所用时间为t2。则(　　)
A.t2>t1，v2＝ B.t2>t1，v2＝
C.t2＝t1，v2＝ D.t2＝t1，v2＝
答案　C
解析　设河宽为d，由运动的独立性，船相对水的航速v不变，航向也不变，则渡河时间t＝不变，即t2＝t1，船做匀速运动，运动时间t＝，故v2＝，又t2＝t1＝，联立解得v2＝，故C正确。
7.(多选)如图，小船以大小为v1＝5 m/s、船头与上游河岸成θ＝60°角的速度(在静水中的速度)从A处渡河，经过一段时间正好到达正对岸B处。已知河宽d＝180 m，则下列说法中正确的是(　　)
A.河中水流速度为2.5 m/s
B.小船以最短位移渡河的时间为24 s
C.小船渡河的最短时间为24 s
D.小船以最短时间渡河时到达对岸的位移大小是90 m
答案　BD
解析　河中水流速度为v2＝v1cos 60°＝2.5 m/s，故A错误;小船以最短位移渡河的时间为t＝ s＝24 s，故B正确;当船头方向指向正对岸时渡河时间最短，则小船渡河的最短时间为tmin＝ s＝36 s，故C错误;小船以最短时间渡河时到达对岸沿水流方向的位移大小是x＝v2tmin＝2.5×36 m＝90 m，则总位移大小s＝＝90 m，故D正确。
对点练4　绳(杆)端速度分解模型
8.(多选)(2025·天津武清区杨村第一中学高三月考)如图所示，不可伸长的轻绳平行于斜面，一端与质量为m的物块B相连，B放在光滑斜面上。轻绳另一端跨过滑轮与质量为M的物块A连接。A在外力作用下沿竖直杆以速度v1向下匀速运动，物块B始终沿斜面运动且斜面始终静止，当轻绳与杆的夹角为β时，物块B的速度大小为v2。斜面倾角为α，重力加速度为g，下列说法正确的是(　　)
A. B.＝cos β
C.轻绳拉力等于mgsin α D.斜面受到地面水平向左的摩擦力
答案　AD
解析　将物块A的速度沿绳方向与垂直于绳方向分解，有v1cos β＝v2，则，故A正确，B错误;由于物块A在外力作用下沿竖直杆以速度v1向下匀速运动，可知轻绳与杆的夹角逐渐减小，则B的速度大小v2逐渐增大，即B在沿斜面向上做加速运动，根据牛顿第二定律有FT－mgsin θ＝ma>0，可知轻绳拉力一定大于mgsin α，故C错误;B对光滑斜面有斜向右下方的压力，斜面在该压力作用下有向右运动的趋势，则斜面受到地面水平向左的摩擦力，故D正确。
9.(2025·江苏盐城建湖高级中学高三检测)如图所示，一根长为L的轻杆OA，O端用铰链固定，另一端固定着一个小球A，轻杆靠在一个质量为M、高为h的物块上。若物块与地面摩擦不计，则当物块以速度v向右运动至杆与水平方向夹角为θ时，小球A的线速度大小为(　　)
A. B.
C. D.
答案　A
解析　当物块以速度v向右运动至杆与水平方向夹角为θ时，B点的线速度等于木块的速度在垂直于杆方向上的分速度vB＝vsin θ，则杆的角速度ω＝，小球A的线速度vA＝ωL＝，故A正确。
B级　综合提升练
10.(2023·江苏卷，10)达·芬奇的手稿中描述了这样一个实验:一个罐子在空中沿水平直线向右做匀加速运动，沿途连续漏出沙子。若不计空气阻力，则下列图中能反映空中沙子排列的几何图形是(　　)
答案　D
解析　
11.(多选)如图所示，甲、乙两船在同一条河流中同时开始渡河，河宽为d，M、N分别是甲、乙两船的出发点，两船头与河岸均成α角，甲船船头恰好对准N点的正对岸P点，经过一段时间乙船恰好到达P点，如果划船速度均为v0，且两船相遇不影响各自的航行。下列说法正确的是(　　)
A.水流方向向右，大小为v0cos α
B.甲船沿岸方向水平位移为
C.甲、乙两船不会在NP上某点相遇
D.两船同时到达河对岸，渡河时间均为
答案　AD
解析　由于乙船恰好到达P点，则水流方向向右，且乙船沿河岸方向的分速度恰好等于水流的速度，即v水＝v0cos α，故A正确;设甲船的渡河时间为t，则d＝v0tsin α，甲船水平位移x甲＝(v0cos α＋v水)t，联立解得x甲＝，故B错误;由于乙船沿NP运动，在水流的作用下，甲船到达对岸时，应在P点的右侧，而两船在垂直河岸方向速度相同，一定会相遇，且在NP上某点相遇，故C错误;两船在垂直河岸方向的分速度都为v垂直＝v0sin α，河宽d一定，因此两船同时到达河对岸，渡河时间均为t＝，故D正确。
12.(多选)如图所示，有一个水平向左做匀速直线运动的半圆柱体，速度为v0，半圆柱体上有一根能沿竖直方向运动的竖直杆，在竖直杆未下降到地面之前，杆同半圆柱体接触点和柱心的连线与竖直方向的夹角为θ，下列说法正确的是(　　)
A.竖直杆向下做加速直线运动
B.竖直杆向下做减速直线运动
C.v0∶v杆＝tan θ∶1
D.v0∶v杆＝1∶tan θ
答案　AD
解析　杆受到半圆柱体的作用力如图所示，因两接触运动物体沿接触弹力方向的分速度相等，所以有v0sin θ＝v杆cos θ，即v杆＝v0tan θ，杆向下运动，θ变大，tan θ变大，则v杆＝v0tan θ变大，杆做加速直线运动，v0∶v杆＝1∶tan θ，A、D正确，B、C错误。
C级　培优加强练
13.(多选)(2024·安徽卷，9)一倾角为30°足够大的光滑斜面固定于水平地面上，在斜面上建立Oxy直角坐标系，如图甲所示从t＝0开始，将一可视为质点的物块从O点由静止释放，同时对物块施加沿x轴(与斜面底边平行)正方向的力F1和F2，其大小与时间t的关系如图乙所示。已知物块的质量为1.2 kg，重力加速度g取10 m/s2，不计空气阻力。则(　　)
A.物块始终做匀变速曲线运动
B.t＝1 s时，物块的y坐标值为2.5 m
C.t＝1 s时，物块的加速度大小为5 m/s2
D.t＝2 s时，物块的速度大小为10 m/s
答案　BD
解析　根据图像可得F1＝(4－t) N，F2＝3t N，故两力的合力为F＝(4＋2t) N，物块在y轴方向受到的力为mgsin 30°不变，x轴方向的力在改变，合力在改变，故物块做的不是匀变速曲线运动，故A错误;在y轴方向的加速度为ay＝＝5 m/s2，t＝1 s时，物块的y坐标值为y1＝ayt2＝2.5 m，故B正确;当t＝1 s时，Fx＝6 N，物块的加速度大小为a＝ m/s2＝5 m/s2，故C错误;沿x轴正方向，对物块根据动量定理有Ft＝mvx－0，由于F与时间t成线性关系，故可得 N·s＝1.2vx，解得vx＝10 m/s，此时y轴方向速度为vy＝gsin 30°·t＝5×2 m/s＝10 m/s，故此时物块的速度大小为v＝＝10 m/s，故D正确。(共62张PPT)
第1讲　曲线运动　运动的合成与分解
第四章　曲线运动　万有引力与宇宙航行
理解物体做曲线运动的条件及运动性质。
理解合运动与分运动的概念，会用运动的合成与分解处理小船渡河和关联速度等问题。
学习目标
目 录
CONTENTS
夯实必备知识
01
研透核心考点
02
提升素养能力
03
夯实必备知识
1
切线
1.曲线运动
方向
变速
加速度
合力
分运动
2.运动的合成与分解
合运动
实际效果
正交分解
平行四边形
时间
独立
效果
1.思考判断
(1)速度发生变化的运动，一定是曲线运动。( )
(2)做曲线运动的物体受到的合力一定是变力。( )
(3)做曲线运动的物体所受合力的方向一定指向轨迹的凹侧。( )
(4)合运动的速度一定比分运动的速度大。( )
(5)只要两个分运动为直线运动，合运动一定是直线运动。( )
(6)曲线运动一定不是匀变速运动。( )
(7)运动的合成与分解的实质是对描述运动的物理量(位移、速度、加速度)的合成与分解。( )
×
×
√
×
×
×
√
D
2.(2023·全国乙卷，15)小车在水平地面上沿轨道从左向右运动，动能一直增加，如果用带箭头的线段表示小车在轨道上相应位置处所受合力，下列四幅图可能正确的是(　　)
研透核心考点
2
考点二　运动的合成与分解
考点一　曲线运动的条件与轨迹分析
考点三　小船渡河模型
考点四　绳(杆)端速度分解模型
考点一　曲线运动的条件与轨迹分析
1.曲线运动中速度方向、合力方向与运动轨迹之间的关系
(1)速度方向与运动轨迹相切。
(2)合力方向指向曲线的“凹”侧。
(3)运动轨迹一定夹在速度方向和合力方向之间。
2.速率变化的判断
例1 一个物体在光滑水平面上做匀速直线运动，其速度方向如图中的v所示。从A点开始，它受到向前但偏右(观察者沿着物体前进的方向看，下同)的外力F;到达B点时，这个外力的方向突然变为与前进方向相同;到达C点时，外力的方向又突然改为向前但偏左，物体最终到达D点。则关于物体由A点到D点的运动轨迹，下列选项中可能正确的是(　　)
C
解析　由合力方向指向运动轨迹的“凹侧”，运动轨迹一定夹在速度方向和合力方向之间，可知C正确。
跟踪训练
1.如图所示是物体在恒力作用下所做的曲线运动的轨迹的示意图，箭头表示物体在该点的速度方向。已知物体在B点的加速度方向与速度方向垂直，则下列说法正确的是(　　)
A
A.C点的速率大于B点的速率
B.C点的速率小于B点的速率
C.A点的加速度比C点的加速度大
D.从A点到C点加速度方向与速度方向的夹角先增大后减小，速率是先减小后增大
解析　由题意可知物体做匀变速曲线运动，B到C点的加速度方向与速度方向夹角小于90°，物体做加速运动，C点的速率比B点的速率大，故A正确，B错误;物体在恒力作用下运动，所以经过A点时的加速度与C点的加速度相同，故C错误;物体运动到B点时速度方向与加速度方向恰好互相垂直，则有A点速度方向与加速度方向夹角大于90°，C点的加速度方向与速度方向夹角小于90°，所以加速度与速度的夹角一直减小，故D错误。
考点二　运动的合成与分解
1.合运动的性质判断
加速度(或合力)
加速度(或合力)
方向与速度方向
加速度(或合力)为0:匀速直线运动
2.两个互成角度的直线运动的合运动性质的判断
(1)依据:看合初速度方向与合加速度(或合力)方向是否共线。
(2)常见的情况
两个互成角度的分运动 合运动的性质
两个匀速直线运动 匀速直线运动
一个匀速直线运动、一个匀变速直线运动 匀变速曲线运动
两个初速度为零的匀加速直线运动 匀加速直线运动
两个初速度不为零的匀变速直线运动 如果v合与a合共线，为匀变速直线运动
如果v合与a合不共线，为匀变速曲线运动
例2 (多选)(2024·江西卷，8)一条河流某处存在高度差，小鱼从低处向上跃出水面，冲到高处。如图所示，以小鱼跃出水面处为坐标原点，x轴沿水平方向，建立坐标系，小鱼的初速度为v0，末速度v沿x轴正方向。在此过程中，小鱼可视为质点且只受重力作用。关于小鱼的水平位置x、竖直位置y、水平方向分速度vx和竖直方向分速度vy与时间t的关系，下列图像可能正确的是(　　)
AD
解析　由于小鱼在运动过程中只受重力作用，则小鱼在水平方向上做匀速直线运动，即vx为一定量，则有x＝vxt，A正确，C错误;小鱼在竖直方向上做竖直上抛运动，则有y＝vy0t－gt2，vy＝vy0－gt，且vy最终减为0，B错误，D正确。
跟踪训练
2.(2025·湖北黄冈模拟)质量为2 kg的物体在xOy平面内做曲线运动，图(a)、(b)分别是其在x方向的速度—时间图像、在y方向的位移—时间图像。sin 53°＝0.8，cos 53°＝0.6，下列说法正确的是(　　)
C
A.物体的加速度方向与初速度垂直
B.物体的初速度大小为3 m/s
C.t＝2 s时，物体的速度大小为2 m/s
D.物体所受合力大小为4 N
解析　由题图可知，物体沿x正方向做匀加速直线运动，初速度为v0x＝3 m/s，加速度为a＝ m/s2＝1.5 m/s2，y方向做匀速直线运动，速度为vy＝4 m/s，则物体的初速度为v0＝＝5 m/s，故B错误;由cos θ＝＝
0.6知物体初速度方向与x轴成53°，而合力方向沿x正方向，物体的加速度与初速度不垂直，故A错误;2 s末，x方向的速度为vx＝v0x＋at＝6 m/s，此时合速度大小为v＝＝2 m/s，故C正确;由牛顿第二定律可得，物体所受合力为F＝ma＝3 N，故D错误。
1.船的实际运动:是随水漂流的运动和船相对静水的运动的合运动。
2.三种速度:船在静水中的速度v船、水流的速度v水、船的实际速度v。
考点三　小船渡河模型
3.两类问题、三种情景
渡河 时间 最短 当船头方向垂直河岸时，渡河时间最短，最短时间tmin＝
渡河 位移 最短 如果v船>v水，当船头方向与上游河岸夹角θ满足v船cos θ＝v水时，合速度垂直于河岸，渡河位移最短，等于河宽d
如果v船例3 (2025·四川德阳模拟)如图所示，消防员正在宽度为d＝100 m、河水流速为v1＝5 m/s的河流中进行水上救援演练，可视为质点的冲锋舟距离下游危险区的距离为x＝75 m，其在静水中的速度为v2，则(　　)
A
A.若冲锋舟船头垂直于岸，以在静水中的初速度为零、加速度为a＝0.9 m/s2匀加速冲向对岸，则能安全到达对岸
B.为了使冲锋舟能安全到达河对岸，冲锋舟在静水中的速度v2不得小于3 m/s
C.若冲锋舟船头与河岸夹角为30°斜向上游且以速度v2＝10 m/s匀速航行，则恰能到达正对岸
D.冲锋舟匀速航行恰能安全到达对岸所用的时间t＝25 s
解析　冲锋舟的运动分解为沿船头方向与沿水流方向的两个分运动，有d＝at2，解得t＝ s，沿水流方向的位移为x水＝v1t＝ m合速度与水流速度夹角为θ，则冲锋舟在静水中的速度至少应为vmin＝v1sin θ，由几何知识知tan θ＝，联立解得vmin＝4 m/s，由图可知OP＝＝125 m，冲锋舟以最小速度匀速航行恰能安全到达对岸所用的时间为t2＝ s，故B、D错误;若冲锋舟船头与河岸夹角为30°斜向上游，且以速度v2＝10 m/s匀速航行，则有v2cos 30°＝5 m/s>5 m/s，可知冲锋舟的合速度不指向正对岸，所以不能到达正对岸，故C错误。
拓展
(1)若冲锋舟的船头正对河岸行驶，河水流速突然增大，则冲锋舟到达对岸的时间有变化吗
答案　渡河时间等于河的宽度与船垂直河岸方向的分速度之比，即t＝，与河水流速无关，故冲锋舟到达对岸的时间不变。
(2)消防员接到命令，要求在20 s内到达河的正对岸，则冲锋舟行驶的最小速度v2'是多少 该如何行驶
答案　合速度最小为v合min＝ m/s＝5 m/s，
则v2min'＝＝5 m/s。
冲锋舟船头与上游河岸的夹角为θ，则tan θ＝1，即θ＝45°
故冲锋舟船头与上游河岸成45°角，以最小速度5 m/s行驶。
跟踪训练
3.(2024·辽宁本溪模拟)解放军某部在某次登岛演习过程中，要渡过一条宽度为d的小河。现有甲、乙两个战斗小组分别乘两只小船渡河，船头朝向如图所示，渡河时两小船船头与河岸夹角都是θ角，两船在静水中的速率都为v，水流速率为v0，此时甲船恰好能到小河正对岸的A点，则(　　)
A.甲船渡河时间为
B.乙船比甲船更早到达对岸
C.靠岸时两船间距增大了(vcos θ＋v0)
D.如果河水流速增大，甲船不改变船头方向也能到达A点
C
解析　将小船的运动分解为平行于河岸和垂直于河岸两个方向，根据分运动和合运动具有等时性，可知甲、乙两船到达对岸的时间均为t＝，两船同时到达对岸，故A、B错误;靠岸时两船间距增大了x＝v相对t＝(v0＋vcos θ)，故C正确;水流速率为v0，甲船恰好能到小河正对岸的A点，则vcos θ＝v0，故如果河水流速增大，要使甲船到达A点，小船船头与河岸夹角应减小，故D错误。
1.模型特点
与绳(杆)相连的物体运动方向与绳(杆)不在一条直线上，沿绳(杆)方向的速度分量大小相等。
考点四　绳(杆)端速度分解模型
2.解题关键:明确合速度与分速度
合速度→绳(杆)拉物体的实际运动速度v→平行四边形对角线
3.常见模型
模型 　绳端速度分解模型
例4 (2025·江苏淮阴中学高三联考)如图所示，质量为m的物体P置于倾角为θ1的固定光滑斜面上，轻细绳跨过光滑定滑轮分别连接着P与小车，物体P与滑轮间的细绳平行于斜面，小车以速率v水平向右做匀速直线运动。已知重力加速度为g，则当小车与滑轮间的细绳和水平方向的夹角为θ2时，下列判断正确的是(　　)
A.P做匀速运动 B.P的速率为
C.绳的拉力大于mgsin θ1 D.绳的拉力小于mgsin θ1
C
解析　将小车速度在沿绳方向与垂直绳方向分解，P的速率为vP＝vcos θ2，故B错误;小车以速率v水平向右做匀速直线运动，θ2逐渐减小，P的速度逐渐增大，P沿斜面向上做加速运动，根据牛顿第二定律有FT－mgsin θ1＝ma>0，则绳的拉力大于mgsin θ1，故C正确，A、D错误。
模型 　杆端速度分解模型
例5 (2025·陕西西安工业大学附属中学高三检测)如图，甲、乙两光滑小球(均可视为质点)用轻直杆连接，乙球处于粗糙水平地面上，甲球套在光滑的竖直杆上，初始时轻杆竖直，杆长为4 m。施加微小的扰动，使得乙球沿水平地面向右滑动，当乙球距离起点3 m时，下列说法正确的是(　　)
A.甲、乙两球的速度大小之比为∶3
B.甲、乙两球的速度大小之比为3∶7
C.甲球即将落地时，乙球的速度与甲球的速度大小相等
D.甲球即将落地时，乙球的速度达到最大
B
解析　设轻杆与竖直方向的夹角为θ，则v1在沿杆方向的分量为v1∥＝v1cos θ，v2在沿杆方向的分量为v2∥＝v2sin θ，而v1∥＝v2∥，图示位置时，有cos θ＝，sin θ＝，解得此时甲、乙两球的速度大小之比为，选项A错误，B正确;当甲球即将落地时，θ＝90°，此时甲球的速度达到最大，而乙球的速度为零，选项C、D错误。
提升素养能力
3
A级　基础对点练
A
对点练1　曲线运动的条件与轨迹分析
1.(2023·辽宁卷，1)某同学在练习投篮，篮球在空中的运动轨迹如图中虚线所示，篮球所受合力F的示意图可能正确的是(　　)
解析　篮球做曲线运动，则篮球的速度与合力不在同一条直线上，且篮球的轨迹应向受力的一方发生偏转，故B、C、D错误;当篮球的速度斜向右上方时，A选项符合条件，故A正确。
A
2.在风洞实验室中进行如图所示的实验，光滑的水平面上一小球以速度v0向东运动，运动中要穿过水平向北的风洞MN，在风洞施加的水平恒定风力作用下，小球通过风洞过程及通过后的轨迹正确的图像是(　　)
解析　小球在光滑的水平面上以速度v0向东运动，给小球一个向北的水平恒定风力，根据曲线运动的条件，合力指向物体做曲线运动轨迹的凹侧，且速度的方向沿着轨迹的切线方向，故A正确。
D
对点练2　运动的合成与分解
3.如图所示，某跳伞运动员从一定高度跳伞，在降落过程中受到水平恒定风力影响，最后降落到某一水平面上，下列说法正确的是(　　)
A.该运动员一定做曲线运动
B.其他条件不变，风力越大，该运动员在空中运动时间越短
C.其他条件不变，风力越大，该运动员在空中运动时间越长
D.其他条件不变，风力越大，该运动员着地时的速率越大
解析　若运动员跳伞时的速度方向与运动员所受的合力方向相同，则运动员做直线运动，A错误;竖直方向，根据h＝gt2，可得t＝，可知该运动员在空中运动时间与风力无关，B、C错误;水平方向风力越大，水平方向的加速度越大，落地时的水平速度就越大，可知其他条件不变，该运动员着地时的速率越大，D正确。
A
4.(2025·安徽淮北质检)在一次无人机表演中，若分别以水平向右、竖直向上为x轴、y轴的正方向，某架参演的无人机在x、y方向的v－t图像分别如图甲、乙所示，则在0~t2时间内，该无人机的运动轨迹为(　　)
解析　由题图可知，在0~t1时间内无人机竖直方向做匀速直线运动，水平方向向右做匀减速直线运动，可知在0~t1时间内无人机受到的合力方向水平向左，根据合力指向轨迹凹侧，可知0~t1时间内无人机运动的轨迹向左弯曲;在t1~t2时间内无人机竖直方向向上做匀减速直线运动，水平方向做匀速直线运动，可知在t1~t2时间内无人机的合力竖直向下，根据合力指向轨迹凹侧，可知在t1~t2时间内无人机运动的轨迹向下弯曲，故A正确。
C
5.(2025·江苏连云港高三期中)风洞实验是进行空气动力学研究的重要方法。如图所示，将小球从A点以某一速度v0水平向左抛出，经过一段时间，小球运动到A点正下方的B点，O点是轨迹的最左端，风对小球的作用力水平向右，大小恒定。则小球速度最小时位于(　　)
A.A点 B.O点
C.轨迹AO之间的某一点 D.轨迹OB之间的某一点
解析　如图所示，将重力和风力合成，速度v0分解为沿合力方向分速度v1和垂直合力方向分速度v2，当沿合力方向的分速度减为0时，小球的速度最小，即小球最小速度为图中的v2，可知该点位于轨迹AO之间的某一点，故C正确。
C
对点练3　小船渡河模型
6.如图所示，两次渡河时船头指向均垂直于岸，且船相对水的速度大小不变。已知第一次实际航程为A至B，位移为x1，实际航速为v1，所用时间为t1，由于水速增大，第二次实际航程为A至C，位移为x2，实际航速为v2，所用时间为t2。则(　　)
A.t2>t1，v2＝ B.t2>t1，v2＝
C.t2＝t1，v2＝ D.t2＝t1，v2＝
解析　设河宽为d，由运动的独立性，船相对水的航速v不变，航向也不变，则渡河时间t＝不变，即t2＝t1，船做匀速运动，运动时间t＝，故v2＝，又t2＝t1＝，联立解得v2＝，故C正确。
BD
7.(多选)如图，小船以大小为v1＝5 m/s、船头与上游河岸成θ＝60°角的速度(在静水中的速度)从A处渡河，经过一段时间正好到达正对岸B处。已知河宽d＝180 m，则下列说法中正确的是(　　)
A.河中水流速度为2.5 m/s
B.小船以最短位移渡河的时间为24 s
C.小船渡河的最短时间为24 s
D.小船以最短时间渡河时到达对岸的位移大小是90 m
解析　河中水流速度为v2＝v1cos 60°＝2.5 m/s，故A错误;小船以最短位移渡河的时间为t＝ s＝24 s，故B正确;当船头方向指向正对岸时渡河时间最短，则小船渡河的最短时间为tmin＝ s＝36 s，故C错误;小船以最短时间渡河时到达对岸沿水流方向的位移大小是x＝v2tmin＝2.5×36 m＝90 m，则总位移大小s＝＝90 m，故D正确。
AD
对点练4　绳(杆)端速度分解模型
8.(多选)(2025·天津武清区杨村第一中学高三月考)如图所示，不可伸长的轻绳平行于斜面，一端与质量为m的物块B相连，B放在光滑斜面上。轻绳另一端跨过滑轮与质量为M的物块A连接。A在外力作用下沿竖直杆以速度v1向下匀速运动，物块B始终沿斜面运动且斜面始终静止，当轻绳与杆的夹角为β时，物块B的速度大小为v2。斜面倾角为α，重力加速度为g，下列说法正确的是(　　)
A. B.＝cos β
C.轻绳拉力等于mgsin α D.斜面受到地面水平向左的摩擦力
解析　将物块A的速度沿绳方向与垂直于绳方向分解，有v1cos β＝v2，则，故A正确，B错误;由于物块A在外力作用下沿竖直杆以速度v1向下匀速运动，可知轻绳与杆的夹角逐渐减小，则B的速度大小v2逐渐增大，即B在沿斜面向上做加速运动，根据牛顿第二定律有FT－mgsin θ＝ma>0，可知轻绳拉力一定大于mgsin α，故C错误;B对光滑斜面有斜向右下方的压力，斜面在该压力作用下有向右运动的趋势，则斜面受到地面水平向左的摩擦力，故D正确。
A
9.(2025·江苏盐城建湖高级中学高三检测)如图所示，一根长为L的轻杆OA，O端用铰链固定，另一端固定着一个小球A，轻杆靠在一个质量为M、高为h的物块上。若物块与地面摩擦不计，则当物块以速度v向右运动至杆与水平方向夹角为θ时，小球A的线速度大小为(　　)
A. B. C. D.
解析　当物块以速度v向右运动至杆与水平方向夹角为θ时，B点的线速度等于木块的速度在垂直于杆方向上的分速度vB＝vsin θ，则杆的角速度ω＝，小球A的线速度vA＝ωL＝，故A正确。
D
B级　综合提升练
10.(2023·江苏卷，10)达·芬奇的手稿中描述了这样一个实验:一个罐子在空中沿水平直线向右做匀加速运动，沿途连续漏出沙子。若不计空气阻力，则下列图中能反映空中沙子排列的几何图形是(　　)
解析　
AD
11.(多选)如图所示，甲、乙两船在同一条河流中同时开始渡河，河宽为d，M、N分别是甲、乙两船的出发点，两船头与河岸均成α角，甲船船头恰好对准N点的正对岸P点，经过一段时间乙船恰好到达P点，如果划船速度均为v0，且两船相遇不影响各自的航行。下列说法正确的是(　　)
A.水流方向向右，大小为v0cos α
B.甲船沿岸方向水平位移为
C.甲、乙两船不会在NP上某点相遇
D.两船同时到达河对岸，渡河时间均为
解析　由于乙船恰好到达P点，则水流方向向右，且乙船沿河岸方向的分速度恰好等于水流的速度，即v水＝v0cos α，故A正确;设甲船的渡河时间为t，则d＝v0tsin α，甲船水平位移x甲＝(v0cos α＋v水)t，联立解得x甲＝，故B错误;
由于乙船沿NP运动，在水流的作用下，甲船到达对岸时，应在P点的右侧，而两船在垂直河岸方向速度相同，一定会相遇，且在NP上某点相遇，故C错误;两船在垂直河岸方向的分速度都为v垂直＝v0sin α，河宽d一定，因此两船同时到达河对岸，渡河时间均为t＝，故D正确。
AD
12.(多选)如图所示，有一个水平向左做匀速直线运动的半圆柱体，速度为v0，半圆柱体上有一根能沿竖直方向运动的竖直杆，在竖直杆未下降到地面之前，杆同半圆柱体接触点和柱心的连线与竖直方向的夹角为θ，下列说法正确的是(　　)
A.竖直杆向下做加速直线运动 B.竖直杆向下做减速直线运动
C.v0∶v杆＝tan θ∶1 D.v0∶v杆＝1∶tan θ
解析　杆受到半圆柱体的作用力如图所示，因两接触运动物体沿接触弹力方向的分速度相等，所以有v0sin θ＝v杆cos θ，即v杆＝v0tan θ，杆向下运动，θ变大，tan θ变大，则v杆＝v0tan θ变大，杆做加速直线运动，v0∶v杆＝1∶tan θ，A、D正确，B、C错误。
BD
13.(多选)(2024·安徽卷，9)一倾角为30°足够大的光滑斜面固定于水平地面上，在斜面上建立Oxy直角坐标系，如图甲所示从t＝0开始，将一可视为质点的物块从O点由静止释放，同时对物块施加沿x轴(与斜面底边平行)正方向的力F1和F2，其大小与时间t的关系如图乙所示。已知物块的质量为1.2 kg，重力加速度g取10 m/s2，不计空气阻力。则(　　)
C级　培优加强练
A.物块始终做匀变速曲线运动
B.t＝1 s时，物块的y坐标值为2.5 m
C.t＝1 s时，物块的加速度大小为5 m/s2
D.t＝2 s时，物块的速度大小为10 m/s
解析　根据图像可得F1＝(4－t) N，F2＝3t N，故两力的合力为F＝(4＋2t) N，物块在y轴方向受到的力为mgsin 30°不变，x轴方向的力在改变，合力在改变，故物块做的不是匀变速曲线运动，故A错误;在y轴方向的加速度为ay＝＝5 m/s2，t＝1 s时，物块的y坐标值为y1＝ayt2＝2.5 m，故B正确;当t＝1 s时，
Fx＝6 N，物块的加速度大小为a＝ m/s2＝5 m/s2，故C错误;沿x轴正方向，对物块根据动量定理有Ft＝mvx－0，由于F与时间t成线性关系，故可得 N·s＝1.2vx，解得vx＝10 m/s，此时y轴方向速度为vy＝gsin 30°·t＝5×2 m/s＝10 m/s，故此时物块的速度大小为v＝＝10 m/s，故D正确。

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