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第2讲　抛体运动
学习目标　1.理解平抛运动、斜抛运动的概念及运动性质。 2.掌握抛体运动的规律，会用运动的合成与分解的方法处理抛体运动、类抛体运动。 3.学会处理斜面或圆弧面约束下的平抛运动问题。
1.
2.
1.思考判断
(1)做平抛运动的物体的速度方向时刻在变化，加速度方向也时刻在变化。(×)
(2)做平抛运动的物体的初速度越大，水平位移越大。(×)
(3)做平抛运动的物体的初速度越大，在空中飞行时间越长。(×)
(4)平抛运动和斜抛运动都是匀变速曲线运动。(√)
(5)做平抛运动的物体在任意相等的时间内速度的变化量是相同的。(√)
(6)做平抛运动的物体在相等时间内速度大小变化相同。(×)
2.(人教版必修第二册P19T4改编)在水平路面上骑摩托车的人，遇到一个壕沟，其尺寸如图所示。摩托车后轮离开地面后失去动力，可视为平抛运动，g取10 m/s2。若摩托车刚好可以安全落到壕沟对面，则摩托车刚离开地面时的速度为(　　)
A.5 m/s　　　　 B.10 m/s
C.15 m/s D.20 m/s
答案　C
3.(鲁科版必修第二册P43图2－11改编)球场上，运动员多次从同一高度以不同的水平速度击出网球。若网球均落在水平地面上，每次网球在空中运动的时间相同吗 落地速度相同吗 (不计空气阻力)
答案　相同　不同
考点一　平抛运动基本规律的应用
1.飞行时间
由t＝知，下落的时间取决于下落高度h，与初速度v0无关。
2.水平射程
x＝v0t＝v0，即水平射程由初速度v0和下落的高度h共同决定。
3.速度改变量
因为平抛运动的加速度为恒定的重力加速度g，所以做平抛运动的物体在任意相等时间间隔Δt内的速度改变量Δv＝gΔt是相同的，方向恒为竖直向下，如图所示。
4.两个重要推论
(1)做平抛
运动的物体在任意时刻的瞬时速度的反向延长线一定通过此时水平位移的中点，即xB＝xA，如图所示。
(2)做平抛运动的物体在任意时刻、任意位置处，有tan θ＝2tan α。
角度　单物体(或流体)的平抛运动
例1 (2024·北京卷，17)如图所示，水平放置的排水管满口排水，管口的横截面积为S，管口离水池水面的高度为h，水在水池中的落点与管口的水平距离为d。假定水在空中做平抛运动，已知重力加速度为g，h远大于管口内径。求:
(1)水从管口到水面的运动时间t;
(2)水从管口排出时的速度大小v0;
(3)管口单位时间内流出水的体积Q。
答案　(1)　(2)d　(3)Sd
解析　(1)水在空中做平抛运动，由平抛运动规律可知，竖直方向有h＝gt2
解得t＝。
(2)由平抛运动规律可知
水平方向有d＝v0t
结合(1)问解得v0＝d。
(3)管口单位时间内流出水的体积Q＝Sv0
结合(2)问解得Q＝Sd。
角度　多物体的平抛运动
例2 (2024·广东广州模拟)在一次娱乐活动中，教师和学生分别在A、B两点以速度v1和v2水平抛出沙包，两沙包在空中的C点相遇，忽略空气阻力，重力加速度为g，则(　　)
A.教师和学生同时抛出沙包
B.学生应先抛出沙包
C.若教师远离学生几步，则需要与学生同时扔出沙包，两沙包才能相遇
D.若知A和C、B和C的高度差hAC和hBC，可求出A、B两点间的水平距离
答案　D
解析　抛出的沙包做平抛运动，由h＝gt2可得t＝，由题图可知，教师抛出的沙包下落的高度比学生抛出的沙包下落的高度大，则运动的时间较长，所以教师应先抛出沙包，两沙包才能相遇，故A、B、C错误;若A和C、B和C的高度差hAC和hBC，则可计算出两沙包相遇前平抛运动的时间，A、B两点的水平距离可表示为LAB＝v1t1＋v2t2＝v1＋v2，故D正确。
角度　类平抛运动
例3 (多选)如图所示的光滑斜面长为l，宽为b，倾角为θ，将一物块(可看成质点)由斜面左上方顶点P以初速度v0水平射入斜面。物块恰好从斜面底端Q点离开斜面，重力加速度为g，则(　　)
A.物块由P点运动到Q点所用的时间t＝
B.物块由P点运动到Q点所用的时间t＝
C.初速度v0＝b
D.初速度v0＝b
答案　AC
解析　根据牛顿第二定律可得mgsin θ＝ma，则物块做类平抛运动的加速度为a＝gsin θ，根据l＝at2得t＝，A正确，B错误;物块射入斜面的初速度为v0＝＝b，C正确，D错误。
类平抛运动的处理方法
用研究平抛运动的方法处理类平抛运动，将物体的运动沿着初速度方向(x方向)和垂直于初速度方向(y方向)分解，由于物体在初速度方向上做匀速直线运动，满足vx＝v0，x＝v0t;与初速度垂直的方向上由于受恒力作用，物体在该方向上做初速度为零的匀加速直线运动，满足vy＝at，y＝at2。
考点二　与斜面或圆弧面有关的平抛运动
角度　与斜面有关的平抛运动
例4 (2025·河北保定高三月考)跳台滑雪是冬奥会的重要项目之一。如图所示，某次比赛中，运动员以初速度v0从跳台顶端水平飞出，经过一段时间后落在倾斜赛道上，赛道的倾角为θ，重力加速度为g，空气阻力忽略不计，运动员(包括滑雪板)视为质点。则运动员在空中运动的过程中下列说法正确的是(　　)
A.后一半时间内速度的变化量大于前一半时间内速度的变化量
B.运动员在空中运动的时间是
C.运动员从离开倾斜赛道至垂直赛道最远处所用的时间是
D.运动员从离开倾斜赛道至垂直赛道最远处的水平位移是
答案　C
解析　由Δv＝gΔt可知，后一半时间内速度的变化量与前一半时间内速度的变化量相等，故A错误;由平抛运动的水平和竖直位移关系tan θ＝可得t＝，故B错误;距离赛道最远时，速度与斜面平行，有tan θ＝得t＝，故C正确;运动员离开倾斜赛道至垂直赛道最远处的水平位移是x＝v0t＝，故D错误。
总结提升
从斜面上某点水平抛出，又落到斜面上的平抛运动
两种 特殊 状态 落回斜面的时刻 速度与斜面平行的时刻
处理 方法 分解位移 tan θ＝ 分解速度 tan θ＝
运动 特征 ①位移偏转角度等于斜面倾角θ; ②落回斜面上时速度方向与水平面的夹角α与初速度大小无关，只与斜面的倾角有关，即tan α＝2tan θ; ③落回斜面上时的水平位移与初速度的平方成正比，即x∝ ①竖直分速度与水平分速度的比值等于斜面倾角的正切值; ②该时刻是运动全过程的中间时刻; ③该时刻物体距斜面最远
运动 时间 由tan θ＝得t＝ 由tan θ＝得 t＝
例5 (2025·江苏南通高三月考)在某次演习中，轰炸机沿水平方向投放了一枚炸弹，炸弹正好垂直击中山坡上的目标，山坡的倾角为θ，如图所示。不计空气阻力，则(　　)
A.仅改变炸弹的水平初速度，炸弹仍可能垂直击中山坡
B.仅改变炸弹投放高度，炸弹仍可能垂直击中山坡
C.可求出炸弹水平方向通过的距离
D.可求出炸弹竖直方向下落的距离与水平方向通过的距离之比
答案　D
解析　炸弹正好垂直击中山坡上的目标，设水平初速度为v0，竖直分速度为vy，则有tan θ＝，又＝2gh，仅改变炸弹的水平初速度，由于vy保持不变，则炸弹不可能垂直击中山坡;仅改变炸弹投放高度，则vy发生改变，但水平初速度为v0不变，则炸弹不可能垂直击中山坡，故A、B错误;由于炸弹投放高度不知道，无法求出下落时间，也不能求出炸弹水平方向通过的距离，故C错误;炸弹竖直方向下落的距离与水平方向通过的距离之比为·，故D正确。
总结提升　平抛运动与斜面结合的三种模型
模型
处理 方法 分解速度 分解速度 分解位移
运动 时间 由tan θ＝得t＝ 由tan θ＝得t＝ 由tan θ＝得t＝
角度　与圆弧面有关的平抛运动
1.从空中某处平抛，恰好无碰撞地进入圆弧形轨道，如图所示，即已知速度方向沿该点圆弧的切线方向。
处理方法:分解速度tan θ＝。
2.从圆心处或与圆心等高的圆弧上抛出，落到半径为R的圆弧上。
情景 处理方法
x＝v0t y＝gt2 x2＋y2＝R2
水平方向: R±＝v0t 竖直方向:h＝gt2
例6 (多选)如图所示，一个半径为R＝0.75 m的半圆柱体放在水平地面上，一小球从圆柱体左端A点正上方的B点水平抛出(小球可视为质点)，恰好从半圆柱体的右上方C点掠过。已知O为半圆柱体侧面半圆的圆心，OC与水平方向夹角为53°，sin 53°＝0.8，cos 53°＝0.6，不计空气阻力，重力加速度g取10 m/s2，则(　　)
A.小球从B点运动到C点所用时间为0.3 s
B.小球从B点运动到C点所用时间为0.5 s
C.小球做平抛运动的初速度为4 m/s
D.小球做平抛运动的初速度为6 m/s
答案　AC
解析　小球做平抛运动，飞行过程中恰好与半圆轨道相切于C点，可知速度方向与水平方向的夹角为37°，tan 37°＝，设位移与水平方向的夹角为θ，则有tan θ＝tan 37°＝，因为tan θ＝，解得y＝ m，根据y＝gt2，可得小球从B点运动到C点所用时间为t＝ s＝0.3 s，故A正确，B错误;小球做平抛运动的初速度v0＝ m/s＝4 m/s，故C正确，D错误。
考点三　斜抛运动
以斜上抛运动为例，如图所示。
(1)斜抛运动的飞行时间:t＝。
(2)射高:h＝。
(3)射程:s＝v0xt＝v0cos θ·t＝，对于给定的v0，当θ＝45°时，射程达到最大值，smax＝。
例7 (2024·江苏卷，4)喷泉a、b出射点高度相同，形成如图所示的形状，不计空气阻力，则喷泉a、b的(　　)
A.加速度相同 B.初速度相同
C.最高点的速度相同 D.在空中运动的时间相同
答案　A
解析　水在空中的运动为斜抛运动，只受重力作用，则a、b加速度相同，均为重力加速度，A正确;设喷泉喷出的水竖直方向的分速度为vy，水平方向分速度为vx，竖直方向由对称性可知，在空中运动时间t＝2，则ta例8 (多选)(2024·山东卷，12)如图所示，工程队向峡谷对岸平台抛射重物，初速度v0大小为20 m/s，与水平方向的夹角为30°，抛出点P和落点Q的连线与水平方向夹角为30°，重力加速度大小取10 m/s2，忽略空气阻力。重物在此运动过程中，下列说法正确的是(　　)
A.运动时间为2 s
B.落地速度与水平方向夹角为60°
C.重物离PQ连线的最远距离为10 m
D.轨迹最高点与落点的高度差为45 m
答案　BD
解析　对重物从P运动到Q的过程，水平方向上有x＝v0cos 30°·t，竖直方向上有y＝－v0sin 30°·t＋gt2，由几何关系有＝tan 30°，联立解得重物的运动时间t＝4 s，A错误;结合A项分析可知，重物落地时的水平分速度vx＝v0cos 30°，竖直分速度vy＝－v0sin 30°＋gt，则tan θ＝，所以重物的落地速度与水平方向夹角为60°，B正确;对重物从P运动到Q的过程，垂直于PQ连线方向有2ghmcos 30°＝(v0sin 60°)2，解得重物离PQ连线的最远距离hm＝10 m，C错误;结合B项分析，竖直方向上有2gym＝，联立解得重物轨迹最高点与落点的高度差ym＝45 m，D正确。
跟踪训练
(2025·湖北省高三起点考试)如图所示，甲、乙两位同学正对竖直墙壁进行投球游戏，两人投球时出手点均在地面P点正上方，结果两人投出的球都正好垂直打在墙壁上的同一点Q，已知甲投球时球离开手时速度大小为v1，方向与竖直方向夹角为60°;乙投球时球离开手时速度大小为v2，方向与竖直方向夹角为30°。不计空气阻力，则v1∶v2为(　　)
A.1∶1 B. ∶1
C.1∶ D.1∶3
答案　A
解析　
逆向思维法处理斜抛运动
对斜上抛运动从抛出点到最高点的运动，可逆过程分析，看成平抛运动;分析完整的斜上抛运动，还可根据对称性求解某些问题。
A级　基础对点练
对点练1　平抛运动基本规律的应用
1.(2024·海南卷，3)如图，在跨越河流表演中，一人骑车以v0＝25 m/s的速度水平冲出平台，恰好跨越宽度为d＝25 m的河流落在河对岸平台上，不计空气阻力，重力加速度g＝10 m/s2，则两平台的高度差h为(　　)
A.0.5 m B.5 m
C.10 m D.20 m
答案　B
解析　
平抛运动h＝5 m，B正确。
2.(2024·浙江1月选考，8)如图所示，小明取山泉水时发现水平细水管到水平地面的距离为水桶高的两倍，在地面上平移水桶，水恰好从桶口中心无阻挡地落到桶底边沿A。已知桶高为h，直径为D，则水离开出水口的速度大小为(　　)
A. B.
C. D.(＋1)D
答案　C
解析　设出水孔到水桶中心距离为x，则x＝v0，落到桶底A点时，水平方向有x＋＝v0，解得v0＝，故C正确。
3.(2025·四川绵阳一模)同学们在学校操场练习投掷实心球。假设两同学在同一高度(足够高)分别以大小为v01＝2 m/s、v02＝8 m/s的水平初速度沿相反方向同时抛出两小球，不考虑空气阻力的影响，重力加速度g＝10 m/s2。则两球从抛出到速度方向垂直时所经历的时间为(　　)
A.0.3 s B.0.4 s
C.0.5 s D.0.6 s
答案　B
解析　设经过时间t两球速度与水平方向的夹角分别为α、β，由题意得tan α＝，tan β＝，因两球相遇时速度方向垂直，则tan α＝，联立可得t＝0.4 s，故B正确。
4.(2024·浙江金华模拟)如图所示，网球发球机在距离墙L处将网球以不同的水平速度射出打到竖直墙上。已知墙上的O点与网球出射点等高，A、B两点分别为两个击中点，OA＝AB，击中A点的网球水平射出时的速度为v0，空气阻力忽略不计，网球可看作质点。下列说法正确的是(　　)
A.击中B点的网球水平射出时的速度为2v0
B.击中B点的网球水平射出时的速度为v0
C.要使原来击中A点的网球能击中B点，网球发球机应沿OP方向后退L
D.要使原来击中B点的网球能击中A点，网球发球机应沿PO方向前进L
答案　D
解析　网球在竖直方向上做自由落体运动，有yOA＝g，yOB＝g，因OA＝AB，所以tB＝tA，又x＝v0tA，x＝vB0tB，得击中B点的网球水平射出时的速度为vB0＝v0，A、B错误;要使原来击中A点的网球能击中B点，运动时间变为原来的倍，所以水平距离也应变为倍，即网球发球机应后退L，C错误;要使原来击中B点的网球能击中A点，运动时间变为原来的倍，所以水平距离也应变为倍，即网球发球机应前进L，故D正确。
5.(多选)(2025·贵州贵阳模拟)如图所示，A、B两小球以相同的水平速度v0抛出，A在竖直平面内运动，落地点为P1，B在光滑斜面上运动，落地点为P2。两球的水平位移分别为xA和xB，不计阻力，下列关系正确的是(　　)
A.xA>xB
B.xAC.xA＝xB
D.B球的运动时间tB＝
答案　BD
解析　小球A做平抛运动，根据平抛运动规律有xA＝v0tA，h＝g，解得A球的运动时间tA＝，小球B视为在光滑斜面上的类平抛运动，其加速度为aB＝＝gsin θ，沿着斜面的方向和水平方向分别有y＝aB，xB＝v0tB，B球的运动时间tB＝>tA，A、B两球沿x轴方向都做水平速度相等的匀速直线运动，由于运动时间不等，所以沿x轴方向的位移大小不同，根据x＝vt可知xA对点练2　与斜面或圆弧面有关的平抛运动
6.如图所示，两小球从斜面的顶点先后以不同的初速度向右水平抛出，在斜面上的落点分别是a和b，不计空气阻力。关于两小球的说法正确的是(　　)
A.两小球的飞行时间均与初速度v0成正比
B.落在b点的小球飞行过程中速度变化快
C.落在a点的小球飞行过程中速度变化大
D.小球落在a点和b点时的速度方向不同
答案　A
解析　设斜面倾角为θ，则tan θ＝，可得t＝，两小球的飞行时间均与初速度v0成正比，故A正确;两球抛出后只受重力作用，加速度g相同，所以速度的变化快慢相同，故B错误;根据题意知，两小球下落的竖直高度ha7.(2025·黑龙江哈尔滨高三期中)如图所示，圆环竖直放置，从圆心O点正上方的P点，以速度v0水平抛出的小球恰能从圆环上的Q点沿切线方向飞过，若OQ与OP间夹角为θ，不计空气阻力，重力加速度为g。则(　　)
A.圆环的半径为R＝
B.小球从P点运动到Q点的时间为t＝
C.小球从P点到Q点的速度变化量为
D.小球运动到Q点时的速度大小为vQ＝
答案　A
解析　以速度v0水平抛出的小球恰能从圆环上的Q点沿切线方向飞过，小球运动到Q点时的速度大小为vQ＝，故D错误;小球在Q点的竖直方向的速度为vQy＝v0tan θ，小球从P点运动到Q点的时间t＝，故B错误;小球在水平方向做匀速直线运动，有Rsin θ＝v0t，圆环的半径为R＝，故A正确;小球从P点到Q点的速度变化量Δv＝gt＝v0tan θ，故C错误。
对点练3　斜抛运动
8.(2024·安徽合肥模拟)如图所示，某同学在进行投篮练习。已知A、B、C是篮球运动轨迹中的三个点，其中A为球抛出点，B为球运动轨迹的最高点，C为球落入篮框的点，且A、B连线垂直于B、C连线，A、B连线与水平方向的夹角θ＝60°，不计空气阻力。则篮球从A到B与从B到C的运动时间之比为(　　)
A.2∶1 B.3∶1
C.3∶ D.4∶1
答案　B
解析　将篮球从A到B运动的逆过程与从B到C运动的过程看作两个平抛运动，将BA过程沿水平和竖直方向分解，如图所示，水平方向有xAB＝vBtAB，竖直方向有yAB＝g，对AB过程有tan 60°＝，同理将BC过程沿水平和竖直方向分解，对BC过程有tan(90°－60°)＝，联立解得tAB∶tBC＝3∶1，故B正确。
B级　综合提升练
9.(2025·江苏南通模拟)如图所示，一个沙漏沿水平方向以速度v做匀速直线运动，沿途连续漏出沙子，单位时间内漏出的沙子质量恒定为Q，出沙口距水平地面的高度为H。忽略沙子漏出瞬间相对沙漏的初速度，沙子落到地面后立即停止，不计空气阻力，已知重力加速度为g，在已有沙子落地后，下列说法正确的是(　　)
A.沙子在空中形成的几何图形是一条抛物线
B.不同时刻下落的两粒沙子之间的竖直间距保持不变
C.沙子落到地面时与沙漏的水平距离为v
D.在空中运动的沙子的总质量为Q
答案　D
解析　由于沙子下落时，沙子与沙漏均具有水平向右的初速度v，所以漏出的沙子在水平方向上均与沙漏以相同的速度向右移动，因此沙子在空中形成的几何图形是一条直线，故A错误;下落的沙子在竖直方向做自由落体运动，下落时间间隔为Δt的两粒沙子竖直间距为Δy＝g(t＋Δt)2－gt2＝gΔt·t＋g(Δt)2，可知二者间距随下落时间的增加而增加，故B错误;因为沙子与沙漏在水平方向上以相同的速度v运动，所以沙子落地时与沙漏的水平距离为0，故C错误;从第一粒沙子漏出开始到这粒沙子刚落地，这一过程中在竖直方向上，有H＝gt2，下落时间为t＝，由于单位时间内漏出的沙子质量恒定为Q，则这一过程中落下的沙子总质量M＝Qt＝Q，故D正确。
10.(多选)(2025·山东临沂高三期中)如图所示，小球A以某一速度水平向右抛出的同时，小球B斜向左上方以速度v0抛出，与水平方向的夹角为53°。两球抛出后在同一竖直面内运动，且恰好在空中相碰。已知单独抛出小球B时，小球B到达的最高点恰好与小球A的抛出点处于同一水平线上，且小球B落地点位于小球A抛出点的正下方。不计空气阻力，重力加速度为g，sin 53°＝0.8，cos 53°＝0.6，下列说法正确的是(　　)
A.小球A抛出的初速度大小等于2.4v0
B.小球A抛出的初速度大小等于1.8v0
C.两球抛出点的水平距离为
D.两球抛出点的水平距离为
答案　BC
解析　小球B在水平方向和竖直方向的速度分别为vBx＝v0cos 53°＝v0，vBy＝v0sin 53°＝v0，单独抛出小球B时，小球B在空中运动的时间为t＝，两球抛出点的水平距离为x＝vBxt＝，故C正确，D错误;小球A抛出高度为h＝，小球A、B恰好在空中相碰，有x＝(vA＋vBx)t1，h＝vByt1－gg，解得小球A抛出的初速度大小vA＝1.8v0，故A错误，B正确。
11.(2025·八省联考四川卷，13)某同学借助安装在高处的篮球发球机练习原地竖直起跳接球。该同学站在水平地面上，与出球口水平距离l＝2.5 m，举手时手掌距地面最大高度h0＝2.0 m。发球机出球口以速度v0＝5 m/s沿水平方向发球。从篮球发出到该同学起跳离地，耗时t0＝0.2 s，该同学跳至最高点伸直手臂恰能在头顶正上方接住篮球。重力加速度g大小取10 m/s2。求:
(1) t0时间内篮球的位移大小;
(2)出球口距地面的高度。
答案　(1) m　(2)3.7 m
解析　(1)在t0时间内，篮球水平方向做匀速直线运动，位移为
x＝v0t0＝5×0.2 m＝1 m
竖直方向做自由落体运动，位移为h＝g×10×0.22 m＝0.2 m
所以篮球的位移为x0＝ m＝ m。
(2)从发出球到接住球经过的时间为t＝ s＝0.5 s
所以该同学起跳离地到接住球经历的时间为t1＝t－t0＝0.3 s
同学起跳后上升的高度为h1＝g×10×0.32 m＝0.45 m
整个过程篮球下降的高度为h2＝gt2＝×10×0.52 m＝1.25 m
所以出球口距地面的高度为H＝h0＋h1＋h2＝2 m＋0.45 m＋1.25 m＝3.7 m。
C级　培优加强练
12.(多选)(2025·河北保定高三期末)将弹性小球以某初速度从O点水平抛出，与地面发生弹性碰撞(碰后竖直速度与碰前等大反向，水平速度不变)，反弹后在下降过程中恰好经过固定于水平面上的竖直挡板的顶端。已知O点高度为1.25 m，与挡板的水平距离为6.5 m，挡板高度为0.8 m，g＝10 m/s2，不计空气阻力的影响。下列说法中正确的是(　　)
A.小球水平方向的速率为5 m/s
B.小球第一次落地时速度与水平方向的夹角为30°
C.小球经过挡板上端时，速度与水平方向夹角的正切值为1
D.小球从挡板上端运动到水平地面经历的时间为0.2 s
答案　AD
解析　反弹后在下降过程中恰好经过固定于水平面上的竖直挡板的顶端，则从O点抛出到反弹上升到最高点所用时间为t1＝2＝2× s＝1 s，从最高点下降经过竖直挡板的顶端所用时间为t2＝ s＝0.3 s，则小球水平方向的速率为v0＝ m/s＝5 m/s，故A正确;小球第一次落地时竖直方向分速度为vy＝ m/s＝5 m/s，则小球第一次落地时速度与水平方向的夹角满足tan θ＝＝1，解得θ＝45°，故B错误;小球经过挡板上端时，竖直方向分速度为vy'＝gt2＝3 m/s，则速度与水平方向夹角的正切值为tan θ'＝，故C错误;小球从挡板上端运动到水平地面经历的时间为Δt＝ s＝0.2 s，故D正确。(共63张PPT)
第2讲　抛体运动
第四章　曲线运动　万有引力与宇宙航行
理解平抛运动、斜抛运动的概念及运动性质。
掌握抛体运动的规律，会用运动的合成与分解的方法处理抛体运动、类抛体运动。
学会处理斜面或圆弧面约束下的平抛运动问题。
学习目标
目 录
CONTENTS
夯实必备知识
01
研透核心考点
02
提升素养能力
03
夯实必备知识
1
重力
1.
匀变速
匀速
自由落体
gt
v0t
gt2
斜向上方
2.
重力　
匀变速
抛物线
v0cos θ
v0sin θ-gt
1.思考判断
(1)做平抛运动的物体的速度方向时刻在变化，加速度方向也时刻在变化。( )
(2)做平抛运动的物体的初速度越大，水平位移越大。( )
(3)做平抛运动的物体的初速度越大，在空中飞行时间越长。( )
(4)平抛运动和斜抛运动都是匀变速曲线运动。( )
(5)做平抛运动的物体在任意相等的时间内速度的变化量是相同的。( )
(6)做平抛运动的物体在相等时间内速度大小变化相同。( )
×
×
×
√
√
×
C
2.(人教版必修第二册P19T4改编)在水平路面上骑摩托车的人，遇到一个壕沟，其尺寸如图所示。摩托车后轮离开地面后失去动力，可视为平抛运动，g取10 m/s2。若摩托车刚好可以安全落到壕沟对面，则摩托车刚离开地面时的速度为(　　)
A.5 m/s　　　　 B.10 m/s C.15 m/s D.20 m/s
3.(鲁科版必修第二册P43图2－11改编)球场上，运动员多次从同一高度以不同的水平速度击出网球。若网球均落在水平地面上，每次网球在空中运动的时间相同吗 落地速度相同吗 (不计空气阻力)
答案　相同　不同
研透核心考点
2
考点二　与斜面或圆弧面有关的平抛运动
考点一　平抛运动基本规律的应用
考点三　斜抛运动
考点一　平抛运动基本规律的应用
1.飞行时间
由t＝知，下落的时间取决于下落高度h，与初速度v0无关。
2.水平射程
x＝v0t＝v0，即水平射程由初速度v0和下落的高度h共同决定。
3.速度改变量
因为平抛运动的加速度为恒定的重力加速度g，所以做平抛运动的物体在任意相等时间间隔Δt内的速度改变量Δv＝gΔt是相同的，方向恒为竖直向下，如图所示。
4.两个重要推论
(1)做平抛
运动的物体在任意时刻的瞬时速度的反向延长线一定通过此时水平位移的中点，即xB＝xA，如图所示。
(2)做平抛运动的物体在任意时刻、任意位置处，有tan θ＝2tan α。
角度　　单物体(或流体)的平抛运动
例1 (2024·北京卷，17)如图所示，水平放置的排水管满口排水，管口的横截面积为S，管口离水池水面的高度为h，水在水池中的落点与管口的水平距离为d。假定水在空中做平抛运动，已知重力加速度为g，h远大于管口内径。求:
(1)水从管口到水面的运动时间t;
解析　水在空中做平抛运动，由平抛运动规律可知，竖直方向有h＝gt2
解得t＝。
答案　　
(2)水从管口排出时的速度大小v0;
解析　由平抛运动规律可知
水平方向有d＝v0t
结合(1)问解得v0＝d。
答案　d　
(3)管口单位时间内流出水的体积Q。
解析　管口单位时间内流出水的体积Q＝Sv0
结合(2)问解得Q＝Sd。
答案　Sd
角度　　多物体的平抛运动
例2 (2024·广东广州模拟)在一次娱乐活动中，教师和学生分别在A、B两点以速度v1和v2水平抛出沙包，两沙包在空中的C点相遇，忽略空气阻力，重力加速度为g，则(　　)
D
A.教师和学生同时抛出沙包
B.学生应先抛出沙包
C.若教师远离学生几步，则需要与学生同时扔出沙包，两沙包才能相遇
D.若知A和C、B和C的高度差hAC和hBC，可求出A、B两点间的水平距离
解析　抛出的沙包做平抛运动，由h＝gt2可得t＝，由题图可知，教师抛出的沙包下落的高度比学生抛出的沙包下落的高度大，则运动的时间较长，所以教师应先抛出沙包，两沙包才能相遇，故A、B、C错误;若A和C、B和C的高度差hAC和hBC，则可计算出两沙包相遇前平抛运动的时间，A、B两点的水平距离可表示为LAB＝v1t1＋v2t2＝v1＋v2，故D正确。
角度　　类平抛运动
例3 (多选)如图所示的光滑斜面长为l，宽为b，倾角为θ，将一物块(可看成质点)由斜面左上方顶点P以初速度v0水平射入斜面。物块恰好从斜面底端Q点离开斜面，重力加速度为g，则(　　)
AC
A.物块由P点运动到Q点所用的时间t＝
B.物块由P点运动到Q点所用的时间t＝
C.初速度v0＝b
D.初速度v0＝b
解析　根据牛顿第二定律可得mgsin θ＝ma，则物块做类平抛运动的加速度为a＝gsin θ，根据l＝at2得t＝，A正确，B错误;物块射入斜面的初速度为v0＝＝b，C正确，D错误。
类平抛运动的处理方法
用研究平抛运动的方法处理类平抛运动，将物体的运动沿着初速度方向(x方向)和垂直于初速度方向(y方向)分解，由于物体在初速度方向上做匀速直线运动，满足vx＝v0，x＝v0t;与初速度垂直的方向上由于受恒力作用，物体在该方向上做初速度为零的匀加速直线运动，满足vy＝at，y＝at2。
考点二　与斜面或圆弧面有关的平抛运动
角度　　与斜面有关的平抛运动
C
例4 (2025·河北保定高三月考)跳台滑雪是冬奥会的重要项目之一。如图所示，某次比赛中，运动员以初速度v0从跳台顶端水平飞出，经过一段时间后落在倾斜赛道上，赛道的倾角为θ，重力加速度为g，空气阻力忽略不计，运动员(包括滑雪板)视为质点。则运动员在空中运动的过程中下列说法正确的是(　　)
A.后一半时间内速度的变化量大于前一半时间内速度的变化量
B.运动员在空中运动的时间是
C.运动员从离开倾斜赛道至垂直赛道最远处所用的时间是
D.运动员从离开倾斜赛道至垂直赛道最远处的水平位移是
解析　由Δv＝gΔt可知，后一半时间内速度的变化量与前一半时间内速度的变化量相等，故A错误;由平抛运动的水平和竖直位移关系tan θ＝可得t＝，故B错误;距离赛道最远时，速度与斜面平行，有tan θ＝得t＝，故C正确;运动员离开倾斜赛道至垂直赛道最远处的水平位移是x＝v0t＝，故D错误。
总结提升
从斜面上某点水平抛出，又落到斜面上的平抛运动
两种 特殊 状态 落回斜面的时刻 速度与斜面平行的时刻
处理 方法 分解位移 tan θ＝ 分解速度
tan θ＝
运动 特征 ①位移偏转角度等于斜面倾角θ; ②落回斜面上时速度方向与水平面的夹角α与初速度大小无关，只与斜面的倾角有关，即tan α＝2tan θ; ③落回斜面上时的水平位移与初速度的平方成正比，即x∝ ①竖直分速度与水平分速度的比值等于斜面倾角的正切值;
②该时刻是运动全过程的中间时刻;
③该时刻物体距斜面最远
运动 时间 由tan θ＝得t＝ 由tan θ＝得t＝
例5 (2025·江苏南通高三月考)在某次演习中，轰炸机沿水平方向投放了一枚炸弹，炸弹正好垂直击中山坡上的目标，山坡的倾角为θ，如图所示。不计空气阻力，则(　　)
D
A.仅改变炸弹的水平初速度，炸弹仍可能垂直击中山坡
B.仅改变炸弹投放高度，炸弹仍可能垂直击中山坡
C.可求出炸弹水平方向通过的距离
D.可求出炸弹竖直方向下落的距离与水平方向通过的距离之比
解析　炸弹正好垂直击中山坡上的目标，设水平初速度为v0，竖直分速度为vy，则有tan θ＝，又＝2gh，仅改变炸弹的水平初速度，由于vy保持不变，则炸弹不可能垂直击中山坡;仅改变炸弹投放高度，则vy发生改变，但水平
初速度为v0不变，则炸弹不可能垂直击中山坡，故A、B错误;由于炸弹投放高度不知道，无法求出下落时间，也不能求出炸弹水平方向通过的距离，故C错误;炸弹竖直方向下落的距离与水平方向通过的距离之比为·，故D正确。
总结提升　平抛运动与斜面结合的三种模型
模型
处理方法 分解速度 分解速度 分解位移
运动 时间 由tan θ＝得t＝ 由tan θ＝得t＝ 由tan θ＝得t＝
角度　　与圆弧面有关的平抛运动
1.从空中某处平抛，恰好无碰撞地进入圆弧形轨道，如图所示，即已知速度方向沿该点圆弧的切线方向。
处理方法:分解速度tan θ＝。
2.从圆心处或与圆心等高的圆弧上抛出，落到半径为R的圆弧上。
情景 处理方法
x＝v0t
y＝gt2
x2＋y2＝R2
水平方向:
R±＝v0t
竖直方向:h＝gt2
例6 (多选)如图所示，一个半径为R＝0.75 m的半圆柱体放在水平地面上，一小球从圆柱体左端A点正上方的B点水平抛出(小球可视为质点)，恰好从半圆柱体的右上方C点掠过。已知O为半圆柱体侧面半圆的圆心，OC与水平方向夹角为53°，sin 53°＝0.8，cos 53°＝0.6，不计空气阻力，重力加速度g取10 m/s2，则(　　)
AC
A.小球从B点运动到C点所用时间为0.3 s
B.小球从B点运动到C点所用时间为0.5 s
C.小球做平抛运动的初速度为4 m/s
D.小球做平抛运动的初速度为6 m/s
解析　小球做平抛运动，飞行过程中恰好与半圆轨道相切于C点，可知速度方向与水平方向的夹角为37°，tan 37°＝，设位移与水平方向的夹角为θ，则有tan θ＝
tan 37°＝，因为tan θ＝，解得y＝ m，根据y＝gt2，可得小球从B点运动到C点所用时间为t＝ s＝0.3 s，故A正确，B错误;小球做平抛运动的初速度v0＝ m/s＝4 m/s，故C正确，D错误。
以斜上抛运动为例，如图所示。
考点三　斜抛运动
(1)斜抛运动的飞行时间:t＝。
(2)射高:h＝。
(3)射程:s＝v0xt＝v0cos θ·t＝，对于给定的v0，当θ＝45°时，射程达到最大值，smax＝。
例7 (2024·江苏卷，4)喷泉a、b出射点高度相同，形成如图所示的形状，不计空气阻力，则喷泉a、b的(　　)
A.加速度相同 B.初速度相同
C.最高点的速度相同 D.在空中运动的时间相同
A
解析　水在空中的运动为斜抛运动，只受重力作用，则a、b加速度相同，均为重力加速度，A正确;设喷泉喷出的水竖直方向的分速度为vy，水平方向分速度为
vx，竖直方向由对称性可知，在空中运动时间t＝2，则ta例8 (多选)(2024·山东卷，12)如图所示，工程队向峡谷对岸平台抛射重物，初速度v0大小为20 m/s，与水平方向的夹角为30°，抛出点P和落点Q的连线与水平方向夹角为30°，重力加速度大小取10 m/s2，忽略空气阻力。重物在此运动过程中，下列说法正确的是(　　)
BD
A.运动时间为2 s
B.落地速度与水平方向夹角为60°
C.重物离PQ连线的最远距离为10 m
D.轨迹最高点与落点的高度差为45 m
解析　对重物从P运动到Q的过程，水平方向上有x＝v0cos 30°·t，竖直方向上有y＝－v0sin 30°·t＋gt2，由几何关系有＝tan 30°，联立解得重物的运动时间t＝4 s，A错误;结合A项分析可知，重物落地时的水平分速度vx＝v0cos 30°，竖直
分速度vy＝－v0sin 30°＋gt，则tan θ＝，所以重物的落地速度与水平方向夹角为60°，B正确;对重物从P运动到Q的过程，垂直于PQ连线方向有2ghmcos 30°＝(v0sin 60°)2，解得重物离PQ连线的最远距离hm＝10 m，C错误;结合B项分析，竖直方向上有2gym＝，联立解得重物轨迹最高点与落点的高度差ym＝45 m，D正确。
跟踪训练
(2025·湖北省高三起点考试)如图所示，甲、乙两位同学正对竖直墙壁进行投球游戏，两人投球时出手点均在地面P点正上方，结果两人投出的球都正好垂直打在墙壁上的同一点Q，已知甲投球时球离开手时速度大小为v1，方向与竖直方向夹角为60°;乙投球时球离开手时速度大小为v2，方向与竖直方向夹角为30°。不计空气阻力，则v1∶v2为(　　)
A
A.1∶1 B. ∶1
C.1∶ D.1∶3
解析　
逆向思维法处理斜抛运动
对斜上抛运动从抛出点到最高点的运动，可逆过程分析，看成平抛运动;分析完整的斜上抛运动，还可根据对称性求解某些问题。
提升素养能力
3
A级　基础对点练
B
对点练1　平抛运动基本规律的应用
1.(2024·海南卷，3)如图，在跨越河流表演中，一人骑车以v0＝25 m/s的速度水平冲出平台，恰好跨越宽度为d＝25 m的河流落在河对岸平台上，不计空气阻力，重力加速度g＝10 m/s2，则两平台的高度差h为(　　)
A.0.5 m B.5 m C.10 m D.20 m
解析　平抛运动 h＝5 m，B正确。
C
2.(2024·浙江1月选考，8)如图所示，小明取山泉水时发现水平细水管到水平地面的距离为水桶高的两倍，在地面上平移水桶，水恰好从桶口中心无阻挡地落到桶底边沿A。已知桶高为h，直径为D，则水离开出水口的速度大小为(　　)
A. B.
C. D.(＋1)D
解析　设出水孔到水桶中心距离为x，则x＝v0，落到桶底A点时，水平方向有x＋＝v0，解得v0＝，故C正确。
B
3.(2025·四川绵阳一模)同学们在学校操场练习投掷实心球。假设两同学在同一高度(足够高)分别以大小为v01＝2 m/s、v02＝8 m/s的水平初速度沿相反方向同时抛出两小球，不考虑空气阻力的影响，重力加速度g＝10 m/s2。则两球从抛出到速度方向垂直时所经历的时间为(　　)
A.0.3 s B.0.4 s C.0.5 s D.0.6 s
解析　设经过时间t两球速度与水平方向的夹角分别为α、β，由题意得tan α＝，tan β＝，因两球相遇时速度方向垂直，则tan α＝，联立可得t＝0.4 s，故B正确。
D
4.(2024·浙江金华模拟)如图所示，网球发球机在距离墙L处将网球以不同的水平速度射出打到竖直墙上。已知墙上的O点与网球出射点等高，A、B两点分别为两个击中点，OA＝AB，击中A点的网球水平射出时的速度为v0，空气阻力忽略不计，网球可看作质点。下列说法正确的是(　　)
A.击中B点的网球水平射出时的速度为2v0
B.击中B点的网球水平射出时的速度为v0
C.要使原来击中A点的网球能击中B点，网球发球机应沿OP方向后退L
D.要使原来击中B点的网球能击中A点，网球发球机应沿PO方向前进L
解析　网球在竖直方向上做自由落体运动，有yOA＝g，yOB＝g，因OA＝AB，所以tB＝tA，又x＝v0tA，x＝vB0tB，得击中B点的网球水平射出时的速度为vB0＝v0，A、
B错误;要使原来击中A点的网球能击中B点，运动时间变为原来的倍，所以水平距离也应变为倍，即网球发球机应后退L，C错误;要使原来击中B点的网球能击中A点，运动时间变为原来的倍，所以水平距离也应变为倍，即网球发球机应前进L，故D正确。
BD
5.(多选)(2025·贵州贵阳模拟)如图所示，A、B两小球以相同的水平速度v0抛出，A在竖直平面内运动，落地点为P1，B在光滑斜面上运动，落地点为P2。两球的水平位移分别为xA和xB，不计阻力，下列关系正确的是(　　)
A.xA>xB
B.xAC.xA＝xB
D.B球的运动时间tB＝
解析　小球A做平抛运动，根据平抛运动规律有xA＝v0tA，h＝g，解得A球的运动时间tA＝，小球B视为在光滑斜面上的类平抛运动，其加速度为aB＝＝gsin θ，沿
着斜面的方向和水平方向分别有y＝aB，xB＝v0tB，B球的运动时间tB＝>tA，A、B两球沿x轴方向都做水平速度相等的匀速直线运动，由于运动时间不等，所以沿x轴方向的位移大小不同，根据x＝vt可知xAA
对点练2　与斜面或圆弧面有关的平抛运动
6.如图所示，两小球从斜面的顶点先后以不同的初速度向右水平抛出，在斜面上的落点分别是a和b，不计空气阻力。关于两小球的说法正确的是(　　)
A.两小球的飞行时间均与初速度v0成正比
B.落在b点的小球飞行过程中速度变化快
C.落在a点的小球飞行过程中速度变化大
D.小球落在a点和b点时的速度方向不同
解析　设斜面倾角为θ，则tan θ＝，可得t＝，两小球的飞行时间均与初速度v0成正比，故A正确;两球抛出后只受重力作用，加速度g相同，所以速度的变化
快慢相同，故B错误;根据题意知，两小球下落的竖直高度haA
7.(2025·黑龙江哈尔滨高三期中)如图所示，圆环竖直放置，从圆心O点正上方的P点，以速度v0水平抛出的小球恰能从圆环上的Q点沿切线方向飞过，若OQ与OP间夹角为θ，不计空气阻力，重力加速度为g。则(　　)
A.圆环的半径为R＝
B.小球从P点运动到Q点的时间为t＝
C.小球从P点到Q点的速度变化量为
D.小球运动到Q点时的速度大小为vQ＝
解析　以速度v0水平抛出的小球恰能从圆环上的Q点沿切线方向飞过，小球运动到Q点时的速度大小为vQ＝，故D错误;小球在Q点的竖直方向的速度为vQy＝v0tan θ，小球从P点运动到Q点的时间t＝，故B错误;小球在水平方向做匀速直线运动，有Rsin θ＝v0t，圆环的半径为R＝，故A正确;小球从P点到Q点的速度变化量Δv＝gt＝v0tan θ，故C错误。
B
对点练3　斜抛运动
8.(2024·安徽合肥模拟)如图所示，某同学在进行投篮练习。已知A、B、C是篮球运动轨迹中的三个点，其中A为球抛出点，B为球运动轨迹的最高点，C为球落入篮框的点，且A、B连线垂直于B、C连线，A、B连线与水平方向的夹角θ＝60°，不计空气阻力。则篮球从A到B与从B到C的运动时间之比为(　　)
A.2∶1 B.3∶1 C.3∶ D.4∶1
解析　将篮球从A到B运动的逆过程与从B到C运动的过程看作两个平抛运动，将BA过程沿水平和竖直方向分解，如图所示，水平方向有xAB＝vBtAB，竖直方向有yAB＝g，对AB过程有tan 60°＝，同理将BC过程沿水平和竖直方向分解，对BC过程有tan(90°－60°)＝，联立解得tAB∶tBC＝3∶1，故B正确。
B级　综合提升练
D
9.(2025·江苏南通模拟)如图所示，一个沙漏沿水平方向以速度v做匀速直线运动，沿途连续漏出沙子，单位时间内漏出的沙子质量恒定为Q，出沙口距水平地面的高度为H。忽略沙子漏出瞬间相对沙漏的初速度，沙子落到地面后立即停止，不计空气阻力，已知重力加速度为g，在已有沙子落地后，下列说法正确的是(　　)
A.沙子在空中形成的几何图形是一条抛物线
B.不同时刻下落的两粒沙子之间的竖直间距保持不变
C.沙子落到地面时与沙漏的水平距离为v
D.在空中运动的沙子的总质量为Q
解析　由于沙子下落时，沙子与沙漏均具有水平向右的初速度v，所以漏出的沙子在水平方向上均与沙漏以相同的速度向右移动，因此沙子在空中形成的几何图形是一条直线，故A错误;下落的沙子在竖直方向做自由落体运动，下落时间间隔为Δt的两粒沙子竖直间距为Δy＝g(t＋Δt)2－gt2＝gΔt·t＋g(Δt)2，可知二者间距随下落时间的增加而增加，
故B错误;因为沙子与沙漏在水平方向上以相同的速度v运动，所以沙子落地时与沙漏的水平距离为0，故C错误;从第一粒沙子漏出开始到这粒沙子刚落地，这一过程中在竖直方向上，有H＝gt2，下落时间为t＝，由于单位时间内漏出的沙子质量恒定为Q，则这一过程中落下的沙子总质量M＝Qt＝Q，故D正确。
BC
10.(多选)(2025·山东临沂高三期中)如图所示，小球A以某一速度水平向右抛出的同时，小球B斜向左上方以速度v0抛出，与水平方向的夹角为53°。两球抛出后在同一竖直面内运动，且恰好在空中相碰。已知单独抛出小球B时，小球B到达的最高点恰好与小球A的抛出点处于同一水平线上，且小球B落地点位于小球A抛出点的正下方。不计空气阻力，重力加速度为g，sin 53°＝0.8，cos 53°＝0.6，下列说法正确的是(　　)
A.小球A抛出的初速度大小等于2.4v0
B.小球A抛出的初速度大小等于1.8v0
C.两球抛出点的水平距离为
D.两球抛出点的水平距离为
解析　小球B在水平方向和竖直方向的速度分别为vBx＝v0cos 53°＝v0，vBy＝v0sin 53°＝v0，单独抛出小球B时，小球B在空中运动的时间为t＝，两球抛出点的水
平距离为x＝vBxt＝，故C正确，D错误;小球A抛出高度为h＝，小球A、B恰好在空中相碰，有x＝(vA＋vBx)t1，h＝vByt1－gg，解得小球A抛出的初速度大小vA＝1.8v0，故A错误，B正确。
11.(2025·八省联考四川卷，13)某同学借助安装在高处的篮球发球机练习原地竖直起跳接球。该同学站在水平地面上，与出球口水平距离l＝2.5 m，举手时手掌距地面最大高度h0＝2.0 m。发球机出球口以速度v0＝5 m/s沿水平方向发球。从篮球发出到该同学起跳离地，耗时t0＝0.2 s，该同学跳至最高点伸直手臂恰能在头顶正上方接住篮球。重力加速度g大小取10 m/s2。求:
(1) t0时间内篮球的位移大小;
(2)出球口距地面的高度。
答案　(1) m　(2)3.7 m
解析　(1)在t0时间内，篮球水平方向做匀速直线运动，位移为
x＝v0t0＝5×0.2 m＝1 m
竖直方向做自由落体运动，位移为h＝g×10×0.22 m＝0.2 m
所以篮球的位移为x0＝ m＝ m。
(2)从发出球到接住球经过的时间为t＝ s＝0.5 s
所以该同学起跳离地到接住球经历的时间为t1＝t－t0＝0.3 s
同学起跳后上升的高度为h1＝g×10×0.32 m＝0.45 m
整个过程篮球下降的高度为h2＝gt2＝×10×0.52 m＝1.25 m
所以出球口距地面的高度为H＝h0＋h1＋h2＝2 m＋0.45 m＋1.25 m＝3.7 m。
AD
12.(多选)(2025·河北保定高三期末)将弹性小球以某初速度从O点水平抛出，与地面发生弹性碰撞(碰后竖直速度与碰前等大反向，水平速度不变)，反弹后在下降过程中恰好经过固定于水平面上的竖直挡板的顶端。已知O点高度为1.25 m，与挡板的水平距离为6.5 m，挡板高度为0.8 m，g＝10 m/s2，不计空气阻力的影响。下列说法中正确的是(　　)
C级　培优加强练
A.小球水平方向的速率为5 m/s
B.小球第一次落地时速度与水平方向的夹角为30°
C.小球经过挡板上端时，速度与水平方向夹角的正切值为1
D.小球从挡板上端运动到水平地面经历的时间为0.2 s
解析　反弹后在下降过程中恰好经过固定于水平面上的竖直挡板的顶端，则从O点抛出到反弹上升到最高点所用时间为t1＝2＝2× s＝1 s，从最高点下降经过竖直挡板的顶端所用时间为t2＝
s＝0.3 s，则小球水平方向的速率为v0＝ m/s＝5 m/s，故A正确;小球第一次落地时竖直方向分速度为vy＝ m/s＝5 m/s，则小球第一次落地时速度与水平方向的夹角满足tan θ＝＝1，解得θ＝45°，故B错误;小球经过挡板上端时，竖直方向分速度为vy'＝gt2＝3 m/s，则速度与水平方向夹角的正切值为tan θ'＝，故C错误;小球从挡板上端运动到水平地面经历的时间为Δt＝ s＝0.2 s，故D正确。

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