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第4讲　万有引力定律及应用
学习目标　1.了解开普勒三定律的内容，会用开普勒第三定律进行相关计算。 2.理解万有引力定律，并会计算万有引力。 3.掌握计算天体质量和密度的方法。
1.
2.
1.思考判断
(1)围绕同一天体运动的不同行星椭圆轨道不一样，但都有一个共同的焦点。(√)
(2)行星在椭圆轨道上运行速率是变化的，离太阳越远，运行速率越大。(×)
(3)只要知道两个物体的质量和两个物体之间的距离，就可以由F＝G计算物体间的万有引力。(×)
(4)地面上的物体所受地球的万有引力方向一定指向地心。(√)
2.地球绕太阳公转一周的时间是365天5小时48分46秒。地球绕太阳公转一周所需要的时间，就是地球公转周期。笼统地说，地球公转周期是一“年”。根据地球的公转周期和轨道半径，我们能否推导出太阳的质量 能否推导出地球的质量
答案　根据G＝m地r可知，可推导出太阳的质量，无法推导出地球的质量。
考点一　开普勒三定律的理解和应用
1.行星绕太阳的运动通常按圆轨道处理。
2.开普勒行星运动定律也适用于其他天体，例如月球、卫星绕地球的运动。
3.由开普勒第二定律可得v1·Δt·r1＝v2·Δt·r2，解得，即行星在两个位置的速度之比与到太阳的距离成反比，近日点速度最大，远日点速度最小。
4.开普勒第三定律＝k中，k值只与中心天体的质量有关，不同的中心天体k值不同。但该定律只能用在同一中心天体的星体之间。
例1 (2024·浙江6月选考，8)与地球公转轨道“外切”的小行星甲和“内切”的小行星乙的公转轨道如图所示，假设这些小行星与地球的公转轨道都在同一平面内，地球的公转半径为R，小行星甲的远日点到太阳的距离为R1，小行星乙的近日点到太阳的距离为R2，则(　　)
A.小行星甲在远日点的速度大于近日点的速度
B.小行星乙在远日点的加速度小于地球公转加速度
C.小行星甲与乙的运行周期之比
D.甲、乙两行星从远日点到近日点的时间之比
答案　D
解析　由开普勒第二定律可知，小行星甲在远日点的速度小于在近日点的速度，A错误;由万有引力定律和牛顿第二定律有＝ma，可得a＝，结合题图可知，小行星乙的远日点到太阳的距离等于地球的公转半径，故小行星乙在远日点的加速度等于地球公转加速度，B错误;根据开普勒第三定律可得，则，C错误;甲、乙两行星从远日点到近日点的时间之比，D正确。
跟踪训练
1.如图所示，是某小行星绕太阳运动的椭圆轨道，M、N、P是小行星依次经过的三个位置，F1、F2为椭圆的两个焦点。小行星由M到N和由N到P的过程中，通过的路程相等，小行星与太阳中心的连线扫过的面积分别为S1和S2。已知由M到N过程中，太阳的引力对小行星做正功。下列判断正确的是(　　)
A.太阳位于焦点F1处
B.S1>S2
C.在M和N处，小行星的动能EkM>EkN
D.在N和P处，小行星的加速度aN>aP
答案　B
解析　由M到N过程中，太阳的引力对小行星做正功，说明小行星靠近太阳运动，所以太阳位于焦点F2处，A错误;根据开普勒行星运动定律可知小行星由M到P的过程中速度逐渐增大，小行星由M到N和由N到P的过程中，通过的路程相等，所以小行星由M到N的运动时间大于由N到P的运动时间，由开普勒第二定律可知S1>S2，B正确;由动能定理知，由M到N过程中，万有引力做正功，则动能增大，即EkM考点二　万有引力定律的理解和应用
角度　万有引力定律的应用
例2 从“玉兔”登月到“祝融”探火，我国星际探测事业实现了由地月系到行星际的跨越。已知火星质量约为月球的9倍，半径约为月球的2倍，“祝融”火星车的质量约为“玉兔”月球车的2倍。在着陆前，“祝融”和“玉兔”都会经历一个由着陆平台支撑的悬停过程。悬停时，“祝融”与“玉兔”所受着陆平台的作用力大小之比为(　　)
A.9∶1 B.9∶2
C.36∶1 D.72∶1
答案　B
解析　悬停时“祝融”和“玉兔”所受平台的作用力等于万有引力，根据F＝G得×2＝，故B正确。
角度　“挖补法”求解万有引力
例3 (2025·重庆九龙坡模拟)如图甲所示，一半径为R、密度均匀的球体，在与球心O相距2R的P处有一质量为m的质点，球体对该质点的万有引力大小为F。现从球体中挖去“半径为的小球体(球心在OP连线上，右端位于O点)，如图乙所示，则剩余部分对该质点的万有引力大小为(　　)
A.F B.F
C.F D.F
答案　C
解析　设球体的密度为ρ，球体的质量为M，可得M＝ρ·πR3，则小球体的质量M'＝ρ·π，球体对该质点的万有引力大小F＝G，故挖去小球体后，剩余部分对该质点的万有引力大小F剩余＝F－G，解得F剩余＝F，故C正确。
角度　万有引力与重力的关系
例4 (2024·湖南长沙模拟)2023年11月16日，中国北斗系统正式加入国际民航组织标准，成为全球民航通用的卫星导航系统。北斗系统空间段由若干地球静止轨道卫星、倾斜地球同步轨道卫星和中圆地球轨道卫星等组成。将地球看成质量均匀的球体，若地球半径与同步卫星的轨道半径之比为k，下列说法正确的是(　　)
A.倾斜地球同步轨道卫星有可能保持在长沙的正上方
B.地球静止轨道卫星与地面上的点线速度大小相等，所以看起来是静止的
C.地球赤道重力加速度大小与北极的重力加速度大小之比为
D.地球赤道重力加速度大小与北极的重力加速度大小之比为
答案　D
解析　倾斜地球同步轨道卫星周期仍然是24小时，但轨道与赤道平面有夹角，如果某时刻在长沙正上方，则24小时后就又在长沙正上方，但不能保持在长沙正上方，故A错误;地球静止轨道卫星与地面上的点角速度相等，由v＝ωr可知，地球静止轨道卫星的轨道半径大于地面上的点的轨道半径，因此静止轨道卫星的线速度大小大于地面上的点线速度大小，B错误;根据题意，对同步卫星，由万有引力提供向心力有＝m·，在地球北极有＝mg极，在赤道上有＝mg赤＋mR，联立可得g赤＝g极，则地球赤道重力加速度大小与北极的重力加速度大小之比为，C错误，D正确。
地球对物体的万有引力F表现为两个效果:一是物体的重力mg，二是提供物体随地球自转的向心力Fn，如图所示(设地球质量为M)。
(1)在赤道上:
G＝mg1＋mω2R。
(2)在两极上:G＝mg2。
(3)在一般位置:万有引力G等于重力mg与向心力Fn的矢量和。越靠近南北两极g值越大。由于物体随地球自转所需的向心力较小，常认为万有引力近似等于重力，即＝mg，即GM＝gR2(黄金代换)。
角度　星体上空及星体内部重力加速度的求解
例5 (2025·山西太原一模)神舟家族太空接力，“奋斗者”号极限深潜，真正实现了“可上九天揽月，可下五洋捉鳖”!已知“奋斗者”号在马里亚纳海沟的坐底深度为d(10 909 m)，空间站离地面的高度为h(400 km)。假设地球质量分布均匀，半径为R，不考虑其自转，且质量均匀分布的球壳对壳内物体的引力为零，则深度为d处和高度为h处的重力加速度之比为(　　)
A. B.
C. D.
答案　A
解析　设质量为m1的物体在马里亚纳海沟底处，有G＝m1g1，又，质量为m2的物体在空间站，有G＝m2g2，解得马里亚纳海沟底处和空间站所在轨道处的重力加速度之比为，故A正确。
1.星体表面及上空的重力加速度(以地球为例)
(1)在地球表面附近的重力加速度g(不考虑地球自转):mg＝G，得g＝。
(2)在地球上空距离地心r＝R＋h处的重力加速度g':mg'＝，得g'＝，所以。
2.万有引力的“两个推论”
推论1:在匀质球壳空腔内的任意位置处，质点受到球壳的万有引力的合力为零，即∑F引＝0。
推论2:在匀质球体内部距离球心r处的质点(m)受到的万有引力等于球体内半径为r的同心球体(M')对其的万有引力，即F＝G。
考点三　天体质量和密度的计算
天体质量和密度的计算方法
类型 方法 已知量 利用公式 表达式 备注
质 量 的 计 算 利用运 行天体 r、T G＝mr m中＝ 只能得到中心天体的质量
r、v G＝m m中＝
v、T G＝m，G＝mr m中＝
利用天体表面重力加速度 g、R mg＝ m中＝ —
密 度 的 计 算 利用运 行天体 r、T、R G＝mr m中＝ρ·πR3 ρ＝ 当r＝R时，ρ＝ 利用近地卫星只需测出其运行周期
利用天体表面重力加速度 g、R mg＝，m中＝ρ·πR3 ρ＝ —
角度　重力加速度法
例6 (2025·陕西宝鸡模拟)我国计划在2030年前实现载人登陆月球开展科学探索，其后将探索建造月球科研试验站，开展系统、连续的月球探测和相关技术试验验证。若航天员在月球表面附近高h处以初速度v0水平抛出一个小球，测出小球运动的水平位移大小为L。若月球可视为均匀的天体球，已知月球半径为R，引力常量为G，则下列说法正确的是(　　)
A.月球表面的重力加速度g月＝
B.月球的质量m月＝
C.月球的第一宇宙速度v＝
D.月球的平均密度ρ＝
答案　D
解析　由平抛运动规律可得h＝g月t2，L＝v0t，联立得月球表面的重力加速度g月＝，故A错误;在月球表面，由万有引力等于重力得G＝mg月，将g月＝代入上式得月球的质量m月＝，故B错误;由牛顿第二定律得G＝m，将m月＝代入上式得月球的第一宇宙速度v＝，故C错误;月球的平均密度ρ＝，故D正确。
角度　环绕法
例7 (2024·新课标卷，16)天文学家发现，在太阳系外的一颗红矮星有两颗行星绕其运行，其中行星GJ1002c的轨道近似为圆，轨道半径约为日地距离的0.07倍，周期约为0.06年，则这颗红矮星的质量约为太阳质量的(　　)
A.0.001倍 B.0.1倍
C.10倍 D.1 000倍
答案　B
解析　设行星质量为m，轨道半径为r1，周期为T1，红矮星质量为M1，由万有引力提供向心力有G＝mr1，可得M1＝;同理可得太阳质量M2＝(其中r2为日地距离，T2为地球公转周期)，·≈0.1，B正确。
跟踪训练
2.(2025·辽宁大连模拟)嫦娥七号探测器将于2026年前后发射，准备在月球南极登陆。假设嫦娥七号探测器在登陆月球之前环绕月球表面做匀速圆周运动，如图所示。已知嫦娥七号的运动周期为T1，轨道半径约等于月球球体的半径，月球绕地球近似做匀速圆周运动的周期为T2，轨道半径为月球球体半径的k倍，引力常量为G。根据题中所给信息，下列说法正确的是(　　)
A.可以估测地球的质量
B.可以估测月球的密度
C.周期T2与周期T1满足＝k3
D.地球的质量与月球的质量之比等于
答案　B
解析　月球绕地球近似做匀速圆周运动的周期为T2，则有G＝M月(kR月)，解得M地＝，由于不知道月球的半径，故不能求出地球的质量，故A错误;嫦娥七号绕月球表面做圆周运动，则有G＝mR月，解得M月＝，月球的密度为ρ＝，故B正确;由于地球质量不知道，故不能从所给信息中直接求出的值，故C错误;地球的质量与月球的质量之比等于，故D错误。
A级　基础对点练
对点练1　开普勒三定律的理解和应用
1.(2025·八省联考内蒙古卷，3)紫金山—阿特拉斯彗星由紫金山天文台首次发现，其绕太阳运行周期约为6万年。该彗星轨道的半长轴与日地平均距离的比值约为(　　)
A.1.5×103 B.1.5×104
C.1.5×106 D.1.5×107
答案　A
解析　由开普勒第三定律，可得该彗星轨道的半长轴与日地平均距离的比值为≈1.5×103，故A正确。
2.(2025·江苏盐城高三月考)哈雷彗星的运动轨道是一个非常扁的椭圆，在近日点与太阳中心的距离为r1，在远日点与太阳中心的距离为r2，若地球的公转轨道可视为半径为r的圆轨道，哈雷彗星的公转周期为T。则哈雷彗星(　　)
A.质量M＝
B.公转周期T＝年
C.在近日点与远日点的速度大小之比为
D.在近日点与远日点的加速度大小之比为
答案　D
解析　由万有引力定律可以计算中心天体的质量，哈雷彗星是环绕天体，其质量无法计算，故A错误;由开普勒第三定律可得，其中T地球＝1年，解得T＝年，故B错误;根据开普勒第二定律，取时间微元Δt，结合扇形面积公式，可得v1Δtr1＝v2Δtr2，解得，故C错误;在近日点时，由牛顿第二定律可得＝ma1，在远日点时，由牛顿第二定律可得＝ma2，联立解得，故D正确。
3.(2024·安徽卷，5)2024年3月20日，我国探月工程四期鹊桥二号中继星成功发射升空。当抵达距离月球表面某高度时，鹊桥二号开始进行近月制动，并顺利进入捕获轨道运行，如图所示，轨道的半长轴约为51 900 km。后经多次轨道调整，进入冻结轨道运行，轨道的半长轴约为9 900 km，周期约为24 h。则鹊桥二号在捕获轨道运行时(　　)
A.周期约144 h
B.近月点的速度大于远月点的速度
C.近月点的速度小于在冻结轨道运行时近月点的速度
D.近月点的加速度大于在冻结轨道运行时近月点的加速度
答案　B
解析　冻结轨道和捕获轨道的中心天体是月球，根据开普勒第三定律得，整理得T1＝T2＝288 h，A错误;根据开普勒第二定律知，近月点的速度大于远月点的速度，B正确;从捕获轨道到冻结轨道鹊桥二号进行近月制动，其在捕获轨道近月点的速度大于在冻结轨道运行时近月点的速度，C错误;两轨道的近月点所受的万有引力相同，根据牛顿第二定律可知，其在捕获轨道近月点的加速度等于在冻结轨道运行时近月点的加速度，D错误。
对点练2　万有引力定律的理解和应用
4.(2023·新课标卷，17)2023年5月，世界现役运输能力最大的货运飞船天舟六号，携带约5 800 kg的物资进入距离地面约400 km(小于地球同步卫星与地面的距离)的轨道，顺利对接中国空间站后近似做匀速圆周运动。对接后，这批物资(　　)
A.质量比静止在地面上时小
B.所受合力比静止在地面上时小
C.所受地球引力比静止在地面上时大
D.做圆周运动的角速度大小比地球自转角速度大
答案　D
解析　物体的质量由物体本身决定，与其所处位置、状态均无关，A错误;物资所受地球引力的大小F＝G，故其所受地球引力比静止在地面上时小，C错误;空间站轨道半径小于地球同步卫星轨道半径，由开普勒第三定律可知，物资做圆周运动的周期小于地球同步卫星的周期，所以物资做圆周运动的角速度大于地球自转角速度，D正确;物资所受合力即为其做圆周运动的向心力，由向心力公式Fn＝mω2r可知，对接后物资所受合力比静止在地面上时大，B错误。
5.(2025·河南开封质检)在利用探测器探测石油的过程中，遇到空腔或者其他物质时，引力会发生变化，引起该区域重力加速度的大小和方向发生微小的变化，以此来探寻石油区域的位置，简化模型如图所示。一个质量均匀分布的半径为R的球体对球外质点P的万有引力为F，如果在球体中央挖去半径为r的一部分球体，且r＝，则原球体剩余部分对质点P的万有引力变为(　　)
A. B.
C. D.
答案　C
解析　设质点与原球体球心相距L，万有引力为F，则F＝，在球体中央挖去半径为r的一部分球体后，质点与原球体剩余部分之间的万有引力F1＝·F，故C正确。
6.(2025·山东泰安模拟)中国将全面推进探月工程四期，计划2026年前后发射嫦娥七号。嫦娥七号准备在月球南极着陆，主要任务是勘察月球南极月表环境、月壤水冰和挥发组分等。嫦娥七号探测器在距离月面的高度等于月球半径处绕着月球做匀速圆周运动时，其周期为T1;当探测器停在月球的南极时，测得重力加速度的大小为g0。已知月球自转的周期为T2，月球视为均匀球体，月球赤道处的重力加速度为(　　)
A. B.
C. D.g0
答案　A
解析　设月球的半径为R，月球的质量为M，由题意得G＝m(2R)，G＝mg0，G＝mR＋mg，综合以上三式解得月球赤道处的重力加速度g＝，故A正确。
7.中国科学院沈阳自动化研究所主持研制的“海斗一号”在无缆自主模式下刷新了中国下潜深度纪录，最大下潜深度超过了10 000米，首次实现了无缆无人潜水器万米坐底并连续拍摄高清视频影像。若把地球看成质量分布均匀的球体，且球壳对球内任一质点的万有引力为零，忽略地球的自转，则下列关于“海斗一号”下潜所在处的重力加速度大小g和下潜深度h的关系图像可能正确的是(　　)
答案　D
解析　设地球的质量为M，地球的半径为R，“海斗一号”下潜h深度后，以地心为球心、以R－h为半径的球体的质量为M'，根据密度相等，有，由于球壳对球内任一质点的万有引力为零，根据万有引力定律有G＝mg，联立以上两式并整理可得g＝(R－h)，故D正确，A、B、C错误。
对点练3　天体质量和密度的计算
8.(2024·山东卷，5)“鹊桥二号”中继星环绕月球运行，其24小时椭圆轨道的半长轴为a。已知地球同步卫星的轨道半径为r，则月球与地球质量之比可表示为(　　)
A. B.
C. D.
答案　D
解析　“鹊桥二号”中继星在24小时椭圆轨道上运行时，根据＝mr可知M＝，则有，D正确。
9.(2024·海南卷，6)嫦娥六号进入环月圆轨道，周期为T，轨道高度与月球半径之比为k，引力常量为G，则月球的平均密度为(　　)
A. B.
C. D.
答案　D
解析　
B级　综合提升练
10.(2025·八省联考河南卷，3)水星是太阳系中距离太阳最近的行星，其平均质量密度与地球的平均质量密度可视为相同。已知水星半径约为地球半径的，则靠近水星表面运动的卫星与地球近地卫星做匀速圆周运动的线速度之比约为(　　)
A.64∶9 B.8∶3
C.3∶8 D.9∶64
答案　C
解析　由万有引力提供向心力有G＝m，又M＝ρ·V， V＝πR3，联立解得v＝2R∝R，所以，故C正确。
11.(多选)(2025·安徽滁州市期末)已知火星半径是地球半径的，质量是地球质量的，自转周期也基本相同。地球表面重力加速度是g，若某人在地球表面上能向上跳起的最大高度是h，在忽略自转影响的条件下，下列说法正确的是(　　)
A.该人以相同的初速度在火星上起跳时，可跳起的最大高度是
B.火星表面的重力加速度是g
C.火星的平均密度是地球平均密度的
D.该人在火星表面受到的万有引力是在地球表面受到的万有引力的
答案　ABC
解析　根据万有引力定律F＝G，知×22＝，该人在火星表面受到的万有引力是在地球表面受到的万有引力的，故D错误;根据G＝mg，可得×22＝，则火星表面的重力加速度为g，故B正确;根据ρ＝∝，可得×23＝，故C正确;因为火星表面的重力加速度是地球表面重力加速度的，根据h＝知该人以相同的初速度在火星上跳起的最大高度h火＝h，故A正确。
C级　培优加强练
12.2024年4月25日，神舟十八号载人飞船成功发射，标志着中国载人航天技术已走在世界前列。有人对今后神舟系列飞船的发射构想:沿着地球的某条弦挖一通道，并铺设成光滑轨道，在通道的两个出口分别将一物体和飞船同时释放，利用两者碰撞(弹性碰撞)效应，将飞船发射出去，已知地表重力加速度为g，地球的半径为R;物体做简谐运动的周期T＝2π，m为物体的质量，k为简谐运动物体的回复力和其离开平衡位置的位移大小之比。
(1)若神舟十八号飞船贴近地球表面做匀速圆周运动，求其运行的线速度大小;
(2)如图所示，设想在地球上距地心h处挖一条光滑通道AB，从A点静止释放一个质量为m的物体，求物体从A点运动到B点的时间，以及物体通过通道中心O'的速度大小(质量分布均匀的空腔对穿腔内的物体的万有引力为零)。
答案　(1)　(2)π　
解析　(1)神舟十八号飞船贴近地球表面做匀速圆周运动，根据万有引力提供向心力有
G＝m飞船
根据地球表面万有引力与重力的关系有G＝m飞船g
解得神舟十八号飞船运行的线速度大小为v＝。
(2)半径为r的球体质量为M'＝ρV＝ρ·πr3
质量为m的物体在距离地心r处受到的万有引力大小为F＝GπρGmr
故万有引力在AB通道方向的分力大小为Fx＝FπρGmx＝kx
该力与x成正比，故物体做简谐运动，当r＝R时，有GπρGmR
根据万有引力与重力的关系有G＝mg
则k＝
物体从A点运动到B点的时间为
tAB＝T＝×2π＝π
从A点到O'点，万有引力对物体做的功为
W＝·xAO'＝·xAO'＝·(R2－h2)
从A点到O'点，由动能定理可得
W＝m
解得物体通过通道中心O'的速度大小
vO'＝。(共55张PPT)
第4讲　万有引力定律及应用
第四章　曲线运动　万有引力与宇宙航行
1.了解开普勒三定律的内容，会用开普勒第三定律进行相关计算。
2.理解万有引力定律，并会计算万有引力。
3.掌握计算天体质量和密度的方法。
学习目标
目 录
CONTENTS
夯实必备知识
01
研透核心考点
02
提升素养能力
03
夯实必备知识
1
椭圆
1.
焦点
面积
半长轴
公转周期
正比
2.
反比
G　
质点
两球心
1.思考判断
×
√
(1)围绕同一天体运动的不同行星椭圆轨道不一样，但都有一个共同的焦点。( )
(2)行星在椭圆轨道上运行速率是变化的，离太阳越远，运行速率越大。( )
(3)只要知道两个物体的质量和两个物体之间的距离，就可以由F＝G计算物体间的万有引力。( )
(4)地面上的物体所受地球的万有引力方向一定指向地心。( )
×
√
2.地球绕太阳公转一周的时间是365天5小时48分46秒。地球绕太阳公转一周所需要的时间，就是地球公转周期。笼统地说，地球公转周期是一“年”。根据地球的公转周期和轨道半径，我们能否推导出太阳的质量 能否推导出地球的质量
答案　根据G＝m地r可知，可推导出太阳的质量，无法推导出地球的质量。
研透核心考点
2
考点二　万有引力定律的理解和应用
考点一　开普勒三定律的理解和应用
考点三　天体质量和密度的计算
考点一　开普勒三定律的理解和应用
1.行星绕太阳的运动通常按圆轨道处理。
2.开普勒行星运动定律也适用于其他天体，例如月球、卫星绕地球的运动。
3.由开普勒第二定律可得v1·Δt·r1＝v2·Δt·r2，解得，即行星在两个位置的速度之比与到太阳的距离成反比，近日点速度最大，远日点速度最小。
4.开普勒第三定律＝k中，k值只与中心天体的质量有关，不同的中心天体k值不同。但该定律只能用在同一中心天体的星体之间。
例1 (2024·浙江6月选考，8)与地球公转轨道“外切”的小行星甲和“内切”的小行星乙的公转轨道如图所示，假设这些小行星与地球的公转轨道都在同一平面内，地球的公转半径为R，小行星甲的远日点到太阳的距离为R1，小行星乙的近日点到太阳的距离为R2，则(　　)
D
A.小行星甲在远日点的速度大于近日点的速度
B.小行星乙在远日点的加速度小于地球公转加速度
C.小行星甲与乙的运行周期之比
D.甲、乙两行星从远日点到近日点的时间之比
解析　由开普勒第二定律可知，小行星甲在远日点的速度小于在近日点的速度，A错误;由万有引力定律和牛顿第二定律有＝ma，可得a＝，结合题图可知，小行星乙的远日点到太阳的距离等于地球的公转半径，故小行星乙在远日点的加速度等于地球公转加速度，B错误;根据开普勒第三定律
可得，则，C错误;甲、乙两行星从远日点到近日点的时间之比，D正确。
跟踪训练
1.如图所示，是某小行星绕太阳运动的椭圆轨道，M、N、P是小行星依次经过的三个位置，F1、F2为椭圆的两个焦点。小行星由M到N和由N到P的过程中，通过的路程相等，小行星与太阳中心的连线扫过的面积分别为S1和S2。已知由M到N过程中，太阳的引力对小行星做正功。下列判断正确的是(　　)
B
A.太阳位于焦点F1处
B.S1>S2
C.在M和N处，小行星的动能EkM>EkN
D.在N和P处，小行星的加速度aN>aP
解析　由M到N过程中，太阳的引力对小行星做正功，说明小行星靠近太阳运动，所以太阳位于焦点F2处，A错误;根据开普勒行星运动定律可知小行星由M到P的过程中速度逐渐增大，小行星由M到N和由N到P的过程中，通过的路程相等，
所以小行星由M到N的运动时间大于由N到P的运动时间，由开普勒第二定律可知S1>S2，B正确;由动能定理知，由M到N过程中，万有引力做正功，则动能增大，即EkM考点二　万有引力定律的理解和应用
角度　　万有引力定律的应用
B
例2 从“玉兔”登月到“祝融”探火，我国星际探测事业实现了由地月系到行星际的跨越。已知火星质量约为月球的9倍，半径约为月球的2倍，“祝融”火星车的质量约为“玉兔”月球车的2倍。在着陆前，“祝融”和“玉兔”都会经历一个由着陆平台支撑的悬停过程。悬停时，“祝融”与“玉兔”所受着陆平台的作用力大小之比为(　　)
A.9∶1 B.9∶2
C.36∶1 D.72∶1
解析　悬停时“祝融”和“玉兔”所受平台的作用力等于万有引力，根据F＝G×2＝，故B正确。
角度　　“挖补法”求解万有引力
例3 (2025·重庆九龙坡模拟)如图甲所示，一半径为R、密度均匀的球体，在与球心O相距2R的P处有一质量为m的质点，球体对该质点的万有引力大小为F。现从球体中挖去“半径为的小球体(球心在OP连线上，右端位于O点)，如图乙所示，则剩余部分对该质点的万有引力大小为(　　)
C
A.F B.F
C.F D.F
解析　设球体的密度为ρ，球体的质量为M，可得M＝ρ·πR3，则小球体的质量M'＝ρ·π，球体对该质点的万有引力大小F＝G，故挖去小球体后，剩余部分对该质点的万有引力大小F剩余＝F－G，解得F剩余＝F，故C正确。
角度　　万有引力与重力的关系
例4 (2024·湖南长沙模拟)2023年11月16日，中国北斗系统正式加入国际民航组织标准，成为全球民航通用的卫星导航系统。北斗系统空间段由若干地球静止轨道卫星、倾斜地球同步轨道卫星和中圆地球轨道卫星等组成。将地球看成质量均匀的球体，若地球半径与同步卫星的轨道半径之比为k，下列说法正确的是(　　)
A.倾斜地球同步轨道卫星有可能保持在长沙的正上方
B.地球静止轨道卫星与地面上的点线速度大小相等，所以看起来是静止的
C.地球赤道重力加速度大小与北极的重力加速度大小之比为
D.地球赤道重力加速度大小与北极的重力加速度大小之比为
D
解析　倾斜地球同步轨道卫星周期仍然是24小时，但轨道与赤道平面有夹角，如果某时刻在长沙正上方，则24小时后就又在长沙正上方，但不能保持在长沙正上方，故A错误;地球静止轨道卫星与地面上的点角速度相等，由v＝ωr可知，地球静止轨道卫星的轨道半径大于地面上的点的轨道半径，因此静止轨道卫星的线速度大小大于地面上的点线速度大小，B错误;根据题意，对同步卫星，由万有引力提供向心力有＝m·，在地球北极有＝mg极，在赤道上有＝mg赤＋mR，联立可得g赤＝g极，则地球赤道重力加速度大小与北极的重力加速度大小之比为，C错误，D正确。
地球对物体的万有引力F表现为两个效果:一是物体的重力mg，二是提供物体随地球自转的向心力Fn，如图所示(设地球质量为M)。
(1)在赤道上:
G＝mg1＋mω2R。
(2)在两极上:G＝mg2。
(3)在一般位置:万有引力G等于重力mg与向心力Fn的矢量和。越靠近南北两极g值越大。由于物体随地球自转所需的向心力较小，常认为万有引力近似等于重力，即＝mg，即GM＝gR2(黄金代换)。
角度　　星体上空及星体内部重力加速度的求解
例5 (2025·山西太原一模)神舟家族太空接力，“奋斗者”号极限深潜，真正实现了“可上九天揽月，可下五洋捉鳖”!已知“奋斗者”号在马里亚纳海沟的坐底深度为d(10 909 m)，空间站离地面的高度为h(400 km)。假设地球质量分布均匀，半径为R，不考虑其自转，且质量均匀分布的球壳对壳内物体的引力为零，则深度为d处和高度为h处的重力加速度之比为(　　)
A. B. C. D.
A
解析　设质量为m1的物体在马里亚纳海沟底处，有G＝m1g1，又，质量为m2的物体在空间站，有G＝m2g2，解得马里亚纳海沟底处和空间站所在轨道处的重力加速度之比为，故A正确。
1.星体表面及上空的重力加速度(以地球为例)
(1)在地球表面附近的重力加速度g(不考虑地球自转):mg＝G，得g＝。
(2)在地球上空距离地心r＝R＋h处的重力加速度g':mg'＝，得g'＝，所以。
2.万有引力的“两个推论”
推论1:在匀质球壳空腔内的任意位置处，质点受到球壳的万有引力的合力为零，即∑F引＝0。
推论2:在匀质球体内部距离球心r处的质点(m)受到的万有引力等于球体内半径为r的同心球体(M')对其的万有引力，即F＝G。
天体质量和密度的计算方法
考点三　天体质量和密度的计算
类型 方法 已知量 利用公式 表达式 备注
质 量 的 计 算 利用运 行天体 r、T 只能得到中心天体的质量
r、v v、T 利用天体表面重力加速度 g、R —
类型 方法 已知量 利用公式 表达式 备注
密 度 的 计 算 利用运 行天体 r、T、R 利用近地卫星只需测出其运行周期
利用天体表面重力加速度 g、R —
角度　　重力加速度法
例6 (2025·陕西宝鸡模拟)我国计划在2030年前实现载人登陆月球开展科学探索，其后将探索建造月球科研试验站，开展系统、连续的月球探测和相关技术试验验证。若航天员在月球表面附近高h处以初速度v0水平抛出一个小球，测出小球运动的水平位移大小为L。若月球可视为均匀的天体球，已知月球半径为R，引力常量为G，则下列说法正确的是(　　)
A.月球表面的重力加速度g月＝ B.月球的质量m月＝
C.月球的第一宇宙速度v＝ D.月球的平均密度ρ＝
D
解析　由平抛运动规律可得h＝g月t2，L＝v0t，联立得月球表面的重力加速度g月＝，故A错误;在月球表面，由万有引力等于重力得G＝mg月，将g月＝代入上式得月球的质量m月＝，故B错误;由牛顿第二定律得G＝m，将m月＝代入上式得月球的第一宇宙速度v＝，故C错误;月球的平均密度ρ＝，故D正确。
角度　　环绕法
例7 (2024·新课标卷，16)天文学家发现，在太阳系外的一颗红矮星有两颗行星绕其运行，其中行星GJ1002c的轨道近似为圆，轨道半径约为日地距离的0.07倍，周期约为0.06年，则这颗红矮星的质量约为太阳质量的(　　)
A.0.001倍 B.0.1倍 C.10倍 D.1 000倍
B
解析　设行星质量为m，轨道半径为r1，周期为T1，红矮星质量为M1，由万有引力提供向心力有G＝mr1，可得M1＝;同理可得太阳质量M2＝(其中r2为日地距离，T2为地球公转周期)，·≈0.1，B正确。
2.(2025·辽宁大连模拟)嫦娥七号探测器将于2026年前后发射，准备在月球南极登陆。假设嫦娥七号探测器在登陆月球之前环绕月球表面做匀速圆周运动，如图所示。已知嫦娥七号的运动周期为T1，轨道半径约等于月球球体的半径，月球绕地球近似做匀速圆周运动的周期为T2，轨道半径为月球球体半径的k倍，引力常量为G。根据题中所给信息，下列说法正确的是(　　)
跟踪训练
B
A.可以估测地球的质量
B.可以估测月球的密度
C.周期T2与周期T1满足＝k3
D.地球的质量与月球的质量之比等于
解析　月球绕地球近似做匀速圆周运动的周期为T2，则有G＝M月(kR月)，解得M地＝，由于不知道月球的半径，故不能求出地球的质量，故A错误;嫦娥七号绕月球表面做圆周运动，则有G＝mR月，解得M月＝，月球的密度为ρ＝，故B正确;由于地球质量不知道，故不能从所给信息中直接求出的值，故C错误;地球的质量与月球的质量之比等于，故D错误。
提升素养能力
3
A级　基础对点练
A
对点练1　开普勒三定律的理解和应用
1.(2025·八省联考内蒙古卷，3)紫金山—阿特拉斯彗星由紫金山天文台首次发现，其绕太阳运行周期约为6万年。该彗星轨道的半长轴与日地平均距离的比值约为(　　)
A.1.5×103 B.1.5×104 C.1.5×106 D.1.5×107
解析　由开普勒第三定律，可得该彗星轨道的半长轴与日地平均距离的比值为≈1.5×103，故A正确。
D
2.(2025·江苏盐城高三月考)哈雷彗星的运动轨道是一个非常扁的椭圆，在近日点与太阳中心的距离为r1，在远日点与太阳中心的距离为r2，若地球的公转轨道可视为半径为r的圆轨道，哈雷彗星的公转周期为T。则哈雷彗星(　　)
A.质量M＝
B.公转周期T＝年
C.在近日点与远日点的速度大小之比为
D.在近日点与远日点的加速度大小之比为
解析　由万有引力定律可以计算中心天体的质量，哈雷彗星是环绕天体，其质量无法计算，故A错误;由开普勒第三定律可得，其中T地球＝1年，
解得T＝年，故B错误;根据开普勒第二定律，取时间微元Δt，结合扇形面积公式，可得v1Δtr1＝v2Δtr2，解得，故C错误;在近日点时，由牛顿第二定律可得＝ma1，在远日点时，由牛顿第二定律可得＝ma2，联立解得，故D正确。
B
3.(2024·安徽卷，5)2024年3月20日，我国探月工程四期鹊桥二号中继星成功发射升空。当抵达距离月球表面某高度时，鹊桥二号开始进行近月制动，并顺利进入捕获轨道运行，如图所示，轨道的半长轴约为51 900 km。后经多次轨道调整，进入冻结轨道运行，轨道的半长轴约为9 900 km，周期约为24 h。则鹊桥二号在捕获轨道运行时(　　)
A.周期约144 h
B.近月点的速度大于远月点的速度
C.近月点的速度小于在冻结轨道运行时近月点的速度
D.近月点的加速度大于在冻结轨道运行时近月点的加速度
解析　冻结轨道和捕获轨道的中心天体是月球，根据开普勒第三定律得，整理得T1＝T2＝288 h，A错误;根据开普勒第二定律知，近月点的速度大于远月点的速度，B正确;从捕获轨道到冻结轨道鹊桥二号进行近月制动，其在捕获轨道近月点的速度大于在冻结轨道运行时近月点的速度，C错误;两轨道的近月点所受的万有引力相同，根据牛顿第二定律可知，其在捕获轨道近月点的加速度等于在冻结轨道运行时近月点的加速度，D错误。
D
对点练2　万有引力定律的理解和应用
4.(2023·新课标卷，17)2023年5月，世界现役运输能力最大的货运飞船天舟六号，携带约5 800 kg的物资进入距离地面约400 km(小于地球同步卫星与地面的距离)的轨道，顺利对接中国空间站后近似做匀速圆周运动。对接后，这批物资(　　)
A.质量比静止在地面上时小
B.所受合力比静止在地面上时小
C.所受地球引力比静止在地面上时大
D.做圆周运动的角速度大小比地球自转角速度大
解析　物体的质量由物体本身决定，与其所处位置、状态均无关，A错误;物资所受地球引力的大小F＝G，故其所受地球引力比静止在地面上时小，C错误;空间站轨道半径小于地球同步卫星轨道半径，由开普勒第三定律可知，物资做圆周运动的周期小于地球同步卫星的周期，所以物资做圆周运动的角速度大于地球自转角速度，D正确;物资所受合力即为其做圆周运动的向心力，由向心力公式Fn＝mω2r可知，对接后物资所受合力比静止在地面上时大，B错误。
C
5.(2025·河南开封质检)在利用探测器探测石油的过程中，遇到空腔或者其他物质时，引力会发生变化，引起该区域重力加速度的大小和方向发生微小的变化，以此来探寻石油区域的位置，简化模型如图所示。一个质量均匀分布的半径为R的球体对球外质点P的万有引力为F，如果在球体中央挖去半径为r的一部分球体，且r＝，则原球体剩余部分对质点P的万有引力变为(　　)
A. B.
C. D.
解析　设质点与原球体球心相距L，万有引力为F，则F＝，在球体中央挖去半径为r的一部分球体后，质点与原球体剩余部分之间的万有引力F1＝·F，故C正确。
A
6.(2025·山东泰安模拟)中国将全面推进探月工程四期，计划2026年前后发射嫦娥七号。嫦娥七号准备在月球南极着陆，主要任务是勘察月球南极月表环境、月壤水冰和挥发组分等。嫦娥七号探测器在距离月面的高度等于月球半径处绕着月球做匀速圆周运动时，其周期为T1;当探测器停在月球的南极时，测得重力加速度的大小为g0。已知月球自转的周期为T2，月球视为均匀球体，月球赤道处的重力加速度为(　　)
A. B. C. D.g0
解析　设月球的半径为R，月球的质量为M，由题意得G＝m(2R)，G＝mg0，G＝mR＋mg，综合以上三式解得月球赤道处的重力加速度g＝，故A正确。
D
7.中国科学院沈阳自动化研究所主持研制的“海斗一号”在无缆自主模式下刷新了中国下潜深度纪录，最大下潜深度超过了10 000米，首次实现了无缆无人潜水器万米坐底并连续拍摄高清视频影像。若把地球看成质量分布均匀的球体，且球壳对球内任一质点的万有引力为零，忽略地球的自转，则下列关于“海斗一号”下潜所在处的重力加速度大小g和下潜深度h的关系图像可能正确的是(　　)
解析　设地球的质量为M，地球的半径为R，“海斗一号”下潜h深度后，以地心为球心、以R－h为半径的球体的质量为M'，根据密度相等，有，由于球壳对球内任一质点的万有引力为零，根据万有引力定律有G＝mg，联立以上两式并整理可得g＝(R－h)，故D正确，A、B、C错误。
D
对点练3　天体质量和密度的计算
8.(2024·山东卷，5)“鹊桥二号”中继星环绕月球运行，其24小时椭圆轨道的半长轴为a。已知地球同步卫星的轨道半径为r，则月球与地球质量之比可表示为(　　)
A. B. C. D.
解析　“鹊桥二号”中继星在24小时椭圆轨道上运行时，根据＝mr可知M＝，则有，D正确。
D
9.(2024·海南卷，6)嫦娥六号进入环月圆轨道，周期为T，轨道高度与月球半径之比为k，引力常量为G，则月球的平均密度为(　　)
A. B. C. D.
解析　
C
10.(2025·八省联考河南卷，3)水星是太阳系中距离太阳最近的行星，其平均质量密度与地球的平均质量密度可视为相同。已知水星半径约为地球半径的，则靠近水星表面运动的卫星与地球近地卫星做匀速圆周运动的线速度之比约为(　　)
A.64∶9 B.8∶3 C.3∶8 D.9∶64
解析　由万有引力提供向心力有G＝m，又M＝ρ·V， V＝πR3，联立解得v＝2R∝R，所以，故C正确。
ABC
11.(多选)(2025·安徽滁州市期末)已知火星半径是地球半径的，质量是地球质量的，自转周期也基本相同。地球表面重力加速度是g，若某人在地球表面上能向上跳起的最大高度是h，在忽略自转影响的条件下，下列说法正确的是(　 　)
A.该人以相同的初速度在火星上起跳时，可跳起的最大高度是
B.火星表面的重力加速度是g
C.火星的平均密度是地球平均密度的
D.该人在火星表面受到的万有引力是在地球表面受到的万有引力的
B级　综合提升练
解析　根据万有引力定律F＝G，知×22＝，该人在火星表面受到的万有引力是在地球表面受到的万有引力的，故D错误;根据G＝mg，可得×22＝，则火星表面的重力加速度为g，故B正确;根据ρ＝∝，可得×23＝，故C正确;因为火星表面的重力加速度是地球表面重力加速度的，根据h＝知该人以相同的初速度在火星上跳起的最大高度h火＝h，故A正确。
C级　培优加强练
12.2024年4月25日，神舟十八号载人飞船成功发射，标志着中国载人航天技术已走在世界前列。有人对今后神舟系列飞船的发射构想:沿着地球的某条弦挖一通道，并铺设成光滑轨道，在通道的两个出口分别将一物体和飞船同时释放，利用两者碰撞(弹性碰撞)效应，将飞船发射出去，已知地表重力加速度为g，地球的半径为R;物体做简谐运动的周期T＝2π，m为物体的质量，k为简谐运动物体的回复力和其离开平衡位置的位移大小之比。
(1)若神舟十八号飞船贴近地球表面做匀速圆周运动，求其运行的线速度大小;
(2)如图所示，设想在地球上距地心h处挖一条光滑通道AB，从A点静止释放一个质量为m的物体，求物体从A点运动到B点的时间，以及物体通过通道中心O'的速度大小(质量分布均匀的空腔对穿腔内的物体的万有引力为零)。
答案　(1)　(2)π　
解析　(1)神舟十八号飞船贴近地球表面做匀速圆周运动，根据万有引力提供向心力有
G＝m飞船
根据地球表面万有引力与重力的关系有G＝m飞船g
解得神舟十八号飞船运行的线速度大小为v＝。
(2)半径为r的球体质量为M'＝ρV＝ρ·πr3
质量为m的物体在距离地心r处受到的万有引力大小为F＝GπρGmr
故万有引力在AB通道方向的分力大小为Fx＝FπρGmx＝kx
该力与x成正比，故物体做简谐运动，当r＝R时，有GπρGmR
根据万有引力与重力的关系有G＝mg,则k＝
物体从A点运动到B点的时间为tAB＝T＝×2π＝π
从A点到O'点，万有引力对物体做的功为
W＝·xAO'＝·xAO'＝·(R2－h2)
从A点到O'点，由动能定理可得
W＝m
解得物体通过通道中心O'的速度大小
vO'＝。

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