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8.1.1 向量数量积的概念
人教B版(2019)必修第三册
1.理解平面向量数量积的概念，会求平面向量的数量积.
2.理解投影向量及投影数量的概念.
3.理解平面向量数量积的几何意义.
问题：如果一个物体在力F作用下产生位移s，那么F所做的功是多少？
W＝|F||s|
F
s
图1
F
s
图2
F
θ
F
θ
W＝|F||s|cos θ
思考：功与向量的数量积有什么联系？
物理上力做功实质是力在物体前进方向上的分力与物体位移的乘积，
它的实质是向量的数量积．
已知两个非零向量a、b，在平面内任取一点O，作 =a， =b，则称[0，π]内的∠AOB为向量a和向量b的夹角，记作.
a
b
O
A
a
B
b
2.∈[0，π]；
4.两个向量的夹角是唯一确定的.
注意：1.两个向量移至共起点；
3.=；
O
A
a
B
b
θ
O
A
B
b
a
若θ=0°，a与b同向
O
A
B
b
a
若θ=180°，a与b反向
O
A
B
a
b
若θ=90°，a与b垂直，
记作a⊥b.
θ
规定：1.在讨论垂直问题时，零向量与任意向量垂直.
2.在讨论平行问题时，零向量与任意向量平行.
练习：说出下列两个向量a和b的夹角的大小是多少？
(1)
b
a
40°
╮
(2)
a
b
60°
(4)
a
b
(3)
┐
a
b
60°
(6)
b
a
(5)
b
a
0°
140°
90°
120°
180°
60°
一般地，当a与b都为非零向量时，称|a||b|cos为向量a与b的数量积（也称为内积）记作a·b，即a·b=|a||b|cos.
注：1.两个向量的数量积是一个实数；
2.符号由cos的符号所决定；
O
A
B
a
b
θ
B
O
A
a
b
θ
O
A
B
a
b
θ
θ为锐角时，
a·b＞0
θ为钝角时，
a·b＜0
θ为直角时，a·b=0
3.a · b不能写成a×b ，a×b 表示
向量的另一种运算．这是一种新的运算法则，“.”不能省略不写.
向量数量积的性质
1.a2=a·a=|a|2或|a|= ；
2.cos= ；
3.a⊥b a·b=0.
用于计算向量的模
用于计算向量的夹角，以及判断三角形的形状
内积为零是判定两向量垂直的条件
4.|a·b|≤|a||b|.
证明：|a·b|=||a||b|cos|=|a||b||cos|，
∵∈[0，π]，∴cos∈[-1，1]，
∴|cos|∈[0，1]，
∴|a·b|≤|a||b|.
例1 在边长为a的正六边形ABCDEF中，试求：
设非零向量 =a，过A，B分别做直线l的垂线，垂足分别为A1，B1，则称向量 为向量a在直线l上的投影向量或投影.
给定平面上的一个非零向量b，设b所在直线为l，则a在直线l上的投影称为a在向量b上的投影.
a
A
B
A1
B1
l
B
a
A
A1
B1
l
b
问题：向量 的方向和长度与有什么关联？
A1
B1
a
b
θ
A1
B1
b
a
θ
A1(B1)
a
b
θ
为锐角时，
=|a|cos＞0
为钝角时，
=|a|cos＜0
θ为直角时，
如果a，b为两个非零向量，则称|a|cos为向量a在向量b上的投影的数量.
O
A
B
b
a
θ
|a|cos θ
a·b=|a||b|cos=(|a|cos)|b|
向量数量积的几何意义：
两个非零向量a，b的数量积a·b，等于a在向量b上的投影的数量与b的模的乘积.
延伸1：向量a在向量b上的投影的数量|a|cos= .
延伸2：当e为单位向量，a·e=|a|cos.
向量投影的数量的求法
即任意向量与单位向量的数量积，等于这个向量在单位向量e上的投影.
思考1：一个向量在一个非零向量上的投影，与这个非零向量共线吗？若共线，它们的方向相同还是相反？
一个向量在一个非零向量上的投影，一定与这个非零向量共线，但它们既有可能方向相同，也有可能方向相反．
思考2：向量b在向量a上的投影的数量与向量a在向量b上的投影的数量相同吗？
向量b在向量a上的投影的数量 |b|cos〈a，b〉
向量a在向量b上的投影的数量 |a|cos〈a，b〉
不相同
例2 (多选题)已知a，b，c是三个非零向量，下列选项正确的是(　 　)
A．|a·b|＝|a|·|b| a∥b
B．a，b反向 a·b＝－|a||b|
C．a⊥b |a＋b|＝|a－b|
D．|a|＝|b| |a·c|＝|b·c|
解析：|a·b|＝|a|·|b|·|cos θ|＝|a|·|b| |cos θ|＝1 cos θ＝±1 θ＝0或π a∥b
a，b反向 θ＝π cos θ＝－1 a·b＝－|a||b|
a⊥b a·b＝0 |a＋b|2＝|a－b|2 |a＋b|＝|a－b|
若|a|＝|b|，则〈a，c〉与〈b，c〉不一定相等，故|a·c|＝|b·c|不成立，
当|a·c|＝|b·c|时，只能说明a，b在c上的投影相等，但|a|＝|b|不一定成立.
ABC
例3 如图所示，求出以下向量的数量积.
(1)b·a； (2)c·a； (3)d·a.
解：(1)(方法一)由图可知：|a|=1，|b|= ，= ，因此b·a=1.
(方法二)由图可知：向量b在向量a上投影的数量为1，且a为单位向量，
因此根据向量数量积的几何意义可知b·a=1.
(2)由图可知：= ，因此c·a=0.
(3)由图可知：向量d在向量a上投影的数量为-1，且a为单位向量，
因此根据向量数量积的几何意义可知d·a=-1.
例4 在△ABC中， 求：
① ；② 在 方向上的投影的数量.
解：∵ ∴△ABC是直角三角形，且∠C=90°，
①
②
1.已知|a|＝3，|b|＝4，且a与b的夹角θ＝150°，则a·b等于( )
A.-6 B.6 C.-6 D.6
2.已知|a|＝9，|b|＝6，a·b＝－54，则a与b的夹角θ为( )
A.45° B.135° C.120° D.150°
C
B
3.已知|a|＝6，|b|＝3，〈a，b〉＝150°，则向量b在a上的投影的数量为( )
A.2 B.-2 C. D.-
D
45°
根据今天所学，回答下列问题：
（1）平面向量数量积的含义是什么？
（2）如何判断两个向量是否垂直？
（3）如何利用向量数量积的几何意义，求解向量的数量积？

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