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8.1.3 向量数量积的坐标运算
人教B版(2019)必修第三册
1.掌握平面向量数量积的坐标表示，会进行平面向量数量积的坐标运算.
2.能运用数量积进行两个向量夹角和模的计算，并能推导平面内两点间的距离公式，解决平面几何问题.
平面内建立了直角坐标系，点A可以用什么来表示
平面向量是否也有类似的表示呢
a
y
O
x
e1
e2
a·e2
a·e1
回顾：在平面直角坐标系中，分别给定与 x 轴、y 轴正方向相同的单位向量 e1，e2，则对平面内的向量a，有a= xe1+ ye2，其中(x，y)就是向量 的坐标，记作a= (x，y)；且{e1，e2}是一组单位正交基底，即
e1·e1= e2·e2= 1，e1·e2= e2·e1= 0；
因此a·e1= (xe1+ ye2)·e1= xe1·e1+ ye2·e1= x；
同理，a·e2 = y，所以a= (a·e1)·e1 + (a·e2)·e2；
即a在单位正交基底{e1，e2}下的坐标为 (a·e1，a·e2)，
（如图所示）.
问题1：设a，b，如何用坐标表示a· b呢？
即：两个向量的数量积等于它们对应坐标的乘积的和.
由向量坐标的定义可知，存在单位正交基底{e1，e2}，
使得 a= x1e1+ y1e2，b= x2e1+ y2e2，
因此a·b = (x1e1 + y1e2)·(x2e1+ y2e2)
= x1x2e1·e1+ x1y2e1·e2 + y1x2e2·e1+ y1y2e2·e2
= x1x2e12 + y1y2e22 = x1x2 + y1y2.
从而
问题2：若 ，该如何计算向量的模 || 呢？
由可知，，即
.
问题3：设， 都是非零向量， 如何用坐标表示向量，的夹角 θ？
由上可知，，，，
又，所以
拓展：平面直角坐标系中两点之间的距离公式
在平面直角坐标系中，如果 A(x1，y1)，B(x2，y2)，则
=(x2 – x1，y2 – y1)，
从而 ·= (x2 – x1)2 + (y2 – y1)2，因此 || = .
（1）向量的数量积坐标公式：；
（2）向量的模坐标公式：，；
（3）向量夹角坐标公式：
（4）两点间的距离公式：|| = .
讨论1：公式a·b＝|a||b|cos〈a，b〉与a·b＝x1x2＋y1y2有什么区别与联系？
两个公式都是用来求两向量的数量积的，没有本质区别，只是书写形式的差异，可以相互推导；
若题目给出的是两向量的模与夹角，则可直接利用a·b＝|a||b|cos〈a，b〉求解，
若已知两向量的坐标，则可选用a·b＝x1x2＋y1y2求解．
讨论2：若两个非零向量的夹角θ满足cosθ>0，则两向量的夹角θ一定是锐角，对吗？
不对，
当两向量同向共线时，cos θ＝1>0，但夹角θ＝0，不是锐角．
例1 已知向量a=(-1，2)，b=(3，2).
(1)求a·(a-b)；(2)求(a+b)·(2a-b)；(3)若c=(2，1)，求(a·b)·c，a·(b·c).
解：(1)(方法一)∵a=(-1，2)，b=(3，2)，∴a-b=(-4，0)，
∴a·(a-b)=(-1，2)·(-4，0)=(-1)×(-4)+2×0=4.
(方法二)a·(a-b)=a2-a·b=(-1)2+22-[(-1)×3+2×2]=4.
(2)∵a+b=(-1，2)+(3，2)=(2，4)，2a-b=2(-1，2)-(3，2)=(-5，2)，
∴(a+b)·(2a-b)=(2，4)·(-5，2)=2×(-5)+4×2=-2.
(3)(a·b)·c=[(-1，2)·(3，2)]·(2，1)=(2，1)，
a·(b·c)=(-1，2)·[(3，2)·(2，1)]=(-8，16).
例2 已知向量a=(1，2)，b=(-3，4)，求cos.
问题4：设a，b，如何用坐标表示a⊥b呢？
由向量垂直可知，如果⊥，则；反之，如果，则⊥.
换用两向量的数量积坐标表示，即为：
如果⊥，则 x1x2 + y1y2 = 0；反之，如果 x1x2 + y1y2 = 0，则⊥.
综上所述，有
⊥ x1x2 + y1y2 = 0
例3 已知a＝(4，－3)，b＝(－1，2).若(a－λb)⊥(2a＋b)，求实数λ的值.
解：∵(a－λb)⊥(2a＋b)，
∴(a－λb)·(2a＋b)＝0，
∴2a2＋(1－2λ)a·b－λb2＝0，
∵a2＝25，b2＝5，a·b＝－4－6＝－10，
∴50－10(1－2λ)－5λ＝0，
解得λ＝－.
例4 已知△ABC中，C是直角，CA＝CB，D是CB的中点，E是AB上一点，且AE＝2EB，求证：AD⊥CE.
证：建立如图所示的平面直角坐标系，设A(a，0)，则B(0，a)，E(x，y).
∵D是BC的中点，∴D(0，)，
又∵=2，即(x-a，y)=2(-x，a-y)，∴，
解得，∴E(，).
例4 已知△ABC中，C是直角，CA＝CB，D是CB的中点，E是AB上一点，且AE＝2EB，求证：AD⊥CE.
∵=(0，)-(a，0)=(-a，)，==(，)，
∴·=(-a)·+·=0，
∴⊥，即AD⊥CE.
1.若向量a＝(m，1)，b＝(－2，2)，且a·b＝2，则m等于( )
A.－1 B.0 C.1 D.2
2.已知A(2，1)，B(3，2)，C(－1，4)，则△ABC是(　　)
A.锐角三角形　　　　　B.直角三角形
C.钝角三角形 D.任意三角形
B
B
3.若a＝(－4，3)，b＝(5，6)，则3|a|2－4a·b等于(　　)
A.23 B.57 C.63 D.83
4.已知向量a＝(2，1)，a·b＝10，|a＋b|＝5，则|b|＝(　　)
A. B.10 C.5 D.25
D
C
平面向量数量积的坐标表示
平面向量数量积的坐标表示
平面向量垂直、夹角的坐标表示
平面向量模的坐标表示

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