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8.2.1 两角和与差的余弦
人教B版(2019)必修第三册
1. 掌握两角和与差的余弦公式的推导过程，熟悉两角和与差的余弦公式；
2. 会利用两角和与差的余弦公式化简、求值、证明等.
特殊角
任意角
从特殊到一般
问题1：以坐标原点为圆心作单位圆，以Ox为始边作角α与β，它们终边分别与单位圆相交于P，Q，则P，Q的坐标是什么？
问题2：记 ，则θ与α，β有什么关系？
Q
O
P
x
y
1：P(cos α，sin α)，Q(cos β，sin β)
2：α-β=θ+2kπ或α-β=-θ+2kπ(k∈Z)
追问：试用数量积的基底法和坐标法两种形式表示 .
Q
O
P
x
y
∵ = (cos α，sin α)， = (cos β，sin β)；
∴ · = cos α·cos β + sin α·sin β；
∵ <，> = α – β + 2kπ或<，> = β – α + 2kπ(k∈Z)，
∴ cos<，> = cos (α β)，
又∵|| = || = 1，∴· = || || cos<，> = cos (α β)，
故 cos (α β) = cos α·cos β + sin α·sin β .
（Cα – β）
问题3：借助 Cα β 及诱导公式，试着推导出 Cα + β .
① 公式 C(α β)对于任意 α，β 都成立，那么当角 β 换成 β后也一定成立；
② 将 β 带入公式得：cos [α ( β)] = cosα·cos( β) + sinα·sin( β)
cos (α + β) = cosα·cosβ sinα·sinβ
③ 两角和的余弦公式，简记作 Cα + β：
cos (α + β) = cosα·cosβ sinα·sinβ
（Cα + β）
两角和与差余弦公式
Cα + β：cos (α + β) = cosα·cosβ sinα·sinβ
Cα – β：cos (α β) = cosα·cosβ + sinα·sinβ
记忆方法：同名积，异号连
例1 不查表，求cos 15°及cos 105°的值.
解：cos 15°=cos(45°-30°)=cos 45°cos 30°+sin 45°sin 30°
cos 105°=cos(45°+60°)=cos 45°cos 60°-sin 45°sin 60°
例2 化简下列各式：
(1) cos(θ＋21°)cos(θ－24°)＋sin(θ＋21°)sin(θ－24°)；
(2) －sin 167°·sin 223°＋sin 257°·sin 313°.
解：(1)原式＝cos[θ＋21°－(θ－24°)]
＝cos 45°
＝ .
(2)原式＝－sin(180°－13°)sin(180°＋43°)＋sin(180°＋77°)
·sin(360°－47°)
＝sin 13°sin 43°＋sin 77°sin 47°
＝sin 13°sin 43°＋cos 13°cos 43°
＝cos(13°－43°)
＝cos(－30°)
＝
(2) －sin 167°·sin 223°＋sin 257°·sin 313°.
练习：(1)cos 45°cos 15°+sin 45°sin 15°；
(2)cos2 22.5°-sin2 22.5°；
(3)sin 20°sin 25°-cos 20°cos 25°；
(4)cos(27°+α)cos(63°-α)-sin(27°+α)sin(63°-α)；
(5)cos 80°cos 20°+cos 10°cos 70°.
化成cos(90°-80°)cos(90°-20°)，
即sin 80°sin20°.
例3 已知α，β为锐角，且cos α＝ ，cos(α+β)=-，求cos β的值．
解：∵α，β∈(， ) ，∴α+β∈ (，) ，sin α= ，
∴sin(α+β)＝＝＝ ，
∵β＝α+β-α，
∴ cos β＝cos(α+β-α)＝cos(α+β)cos α＋sin(α+β)sin α
＝(－×＋ × ＝ .
变式：已知α，β∈(0，π)，且cos α＝ ，cos(α+β)=-，求cos β的值．
解：∵α，β∈(， ) ，∴α+β∈ (，2) ，sin α= ，
∴sin(α+β)＝＝＝ ，
当sin(α+β)＝时， cos β＝cos(α+β-α)＝ .
当sin(α+β)＝-时， cos β＝cos(α+β-α)＝ -.
1 已知某些角的三角函数值，求另外一些角的三角函数值时，要注意观察已知角与所求表达式中角的关系，即拆角与凑角.
2 由于和、差角与单角是相对的，因此解题过程中可以根据需要灵活地进行拆角或凑角.常见角的变换有：
①α＝ α－β ＋β； ② α＝ ＋
③2α＝ α＋β ＋ α－β ； ④2β＝ α＋β － α－β .
方法归纳
1.sin 40°cos 10°－sin 130°sin 10°＝________.
2.计算cos222.5°－sin222.5°＝________.
3.在△ABC中，若sin Asin B=cos Acos B，则△ABC是( )
A．直角三角形　B．钝角三角形　C．锐角三角形　D．不确定
A
5.已知α为锐角，β为第三象限角，且cos α＝，sin β＝－，则cos(α－β)的值为(　　)
A.－ B.－ C. D.
AD
A
根据今天所学，说说两角和与差的余弦公式，在三角函数计算过程中有何作用？

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