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8.2.3 倍角公式
人教B版(2019)必修第三册
1. 掌握二倍角的正弦、余弦、正切公式及其推导过程；
2. 能熟练运用二倍角的公式进行简单的恒等变换，并能灵活地将公式变形应用.
忆一忆：写出所有的和(差)角公式!
sin (α + β) = sinα·cosβ + cosα·sinβ
sin (α β) = sinα·cosβ cosα·sinβ
cos (α + β) = cosα·cosβ sinα·sinβ
cos (α β) = cosα·cosβ + sinα·sinβ
tan (α + β) =
tan (α – β) =
问题：以六个和(差)公式为基础，请利用 S(α±β)，C(α±β)，T(α±β)，推导出 sin 2α，cos 2α，tan 2α 的公式.
通过观察和（差）公式可知，当 α = β 时，有下列结论：
① sin 2α = sin (α + α) = sin α·cos α + cos α·sin α = 2sin α·cos α；
② cos 2α = cos (α + α) = cos α·cos α sin α·sinα = cos2α sin2α；
③ tan 2α = tan (α + α) = = .
思考：结合 sin2α + cos2α = 1，说说上述公式，还有其他表示方法吗？
cos 2α = cos2α sin2α
cos 2α = 1 2sin2α= 2cos2α 1
倍角公式
S2α ：sin 2α = 2sin α·cos α；
C2α：cos 2α = cos2α sin2α = 1 2sin2α = 2cos2α 1；
T2α：tan 2α = .
注意：1.掌握公式特征的同时，掌握二倍角函数公式与和角的三角函数公式之间关系.
2.二倍角三角函数公式表示了一个角的三角函数和它的二倍的角的三角函数间的关系，不仅限于2α与α，也同样适用于α与 ，或 与 等等,要注意倍数关系.
练习：（1）sin 4α=2sin( )cos( )；
（2）sin α=2sin( )cos( )；
（3）cos 6α=cos2( )-sin2( )=2cos2( )-1=1-2sin2( )；
（4）cos25α-sin25α=cos( )；
（5） ；
（6）
2α 2α
3α 3α 3α 3α
10α
4α
3α
(2)原式=
例2 化简：
解：(1)原式
(2)原式
(3)原式
(4)原式
例3 设 ，k∈Z，求证：
证：左边
=右边.
证明恒等式的一般步骤:
(1)先观察，找出角、函数名称、式子结构等方面的差异；
(2)本着“复角化单角”、“异名化同名”、“变换式子结构”、“变量集中”等原则，设法消除差异，达到证明的目的.
方法归纳
例4 已知 ，求：
(1)f(x)的最值； (2)f(x)的对称轴方程.
解：
(1)f(x)max=1，f(x)min=0；
(2)令 得
所以函数对称轴方程为：
例5 如图所示，已知△ABC中，α 为锐角，sin α = ，D 是 AC 边上一点，且 AD = BD，求 γ 的正弦值.
解：因为 sin α = 且 α∈(0，)，所以 cos α = = ；
又因为 AD = BD，所以 β = α，因此 γ = 2α，
从而 sin γ = sin 2α = 2sin αcos α = .
A
D
α
C
B
β
γ
C
BCD
4.若 则tan 2x的值为(　　)
A
D
倍角公式
公 式
应 用
化 简
求 值

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