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8.2.4 三角恒等变换的应用
人教B版(2019)必修第三册
1.能用倍角公式导出半角公式.
2.掌握和差化积、积化和差公式的结构特征.
3.能利用三角恒等变换对三角函数式化简、求值和证明.
S2α ：sin 2α = 2sin α·cos α；
C2α：cos 2α = cos2α sin2α = 1 2sin2α = 2cos2α 1；
T2α：tan 2α = .
忆一忆：写出α的倍角公式.
问题1：试以 cos α 表示 sin2，cos2，tan2 .
α 是 的二倍角，在倍角公式 cos 2α = 1 2sin2α 中，
以 α 代替 2α，以 代替 α 得：cos α = 1 2sin2 ，所以 sin2 = ①；
同理：根据倍角公式 cos 2α = 2cos2α 1得：cos2 = ②；
将①②两个等式的左右两边分别相除得：tan2 = .
已知：sin2 = ，cos2 = ，tan2 = ；
问题2：已知 cos α = ，求出 sin ，cos ，tan 的值.
由上式可得：sin =±，cos =±，tan =± ；
将 cos α = 分别带入即可求出 sin ，cos ，tan 的值.
半角公式
下列公式称为半角公式，符号由角 的象限决定.
sin = ±，cos =±，tan =±
思考：若 = β，你能表示出 sin β ，cos β ，tan β 的半角公式吗？
降幂与升幂公式
sin2β = ，cos2β = ，tan2β =
降幂公式
半角公式：
cos 2β = cos2β – sin2β = 2cos2β – 1 = 1 – 2sin2β；
tan 2β = ；
升幂公式
倍角公式：
1.公式的“本质”是用 角的余弦表示 角的正弦、余弦、正切.
2.根号前均有“± ”，它是由角“ ”所在象限来确定的，如果没有给定角的范围，“± ”应保留.
3.半角之间的相对性.
注意：
例1 求证：
证：左边
=右边.
例2 等腰三角形顶角的余弦值为,求它的底角的正弦、余弦和正切.
解：设顶角为α，底角为θ，则cos α=,α+2θ=2π，
∴θ∈(0，)，cos 2θ=cos(π-α)=-cos α=-，
∴sin θ==，cos θ==，tanθ==.
问题3：求证：
（1）sin α·cos β = [sin (α+β) + sin (α – β)]；
（2）sin θ + sin φ = 2 sin · cos .
证明：（1）因为 sin (α + β) = sin α·cos β + cos α·sin β，
sin (α – β) = sin α·cos β – cos α·sin β，
将以上两式的左右两边分别相加，得 sin (α + β) + sin (α – β) = 2sin α·cos β ①，
即 sin α·cos β = [sin (α+β) + sin (α – β)]，故（1）得证；
求证：（2）sin θ + sin φ = 2 sin · cos .
证明：（2）由（1）可得：sin (α + β) + sin (α – β) = 2sin α·cos β ① ，
设：α = ，β = ，把 α、β 带入 ① 中，
即得：sin θ + sin φ = 2 sin · cos ，故（2）得证；
问题4：参照问题3，证明下列式子.
（1）cos α·cos β = [cos(α+β)+cos(α–β)]；
（2）cos θ+cos φ = 2coscos .
思考：结合上述证明，你还能发现其他类似的式子吗？
积化和差与和差化积公式
（1）sin α·cos β = [sin(α + β) + sin(α – β)]；
（2）cos α·sin β = [sin(α + β) – sin(α – β)]；
（3）cos α·cos β = [cos(α + β) + cos(α – β)]；
（4）sin α·sin β = – [cos(α + β) – cos(α – β)].
积化和差
（1）sin θ + sin φ = 2sin cos；
（2）sin θ – sin φ = 2cos sin；
（3）cos θ + cos φ = 2cos cos；
（4）cos θ – cos φ = –2sin sin.
和差化积
例3 已知sin(θ+)sin(θ-)=，求tan θ.
解：∵sin(θ+)sin(θ-)=-，
∴cos 2θ=-=，
∴tan θ=±2.
分析:先化简条件,再求值.
例4 求函数y=sin x[sin x-sin(x+)]的最值.
解：y=sin x[sin x-sin(x+)]=sin x·2cos(x+)sin(-)
=-sin xcos(x+)
=-[sin(2x+)+sin(-)]
=-sin(2x+)+，
∵sin(2x+)∈[-1，1]，
∴当sin(2x+)=-1，即x=kπ-，k∈Z时，ymax=.
当sin(2x+)=1，即x=kπ+，k∈Z时，ymin=.
B
B
D
4.sin 15°sin 30°sin 75°的值是　　　　　.
根据今天所学，回答下列问题：
（1）说说你对倍角公式和半角公式间相互转化关系的理解；
（2）写出积化和差与和差化积公式公式.

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