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(共21张PPT)
8.2.4 三角恒等变换的应用
1. 能用倍角公式导出半角公式，掌握三角恒等变换的基本方法；
2. 能利用三角恒等变换对三角函数式求值以及三角恒等式的证明.
知道电脑输入法中“半角”和“全角”的区别吗？半角、全角主要是针对标点符号来说的，全角标点占两个字节，半角标点占一个字节，但不管是全角还是半角，汉字都要占两个字节.事实上，汉字字符规定了英文字符、图形符号和特殊字符都是全角字符，而通常的英文字母、数字、符号都是半角字符.那么我们学习的任意角中是否也有“全角”与“半角”之分呢？二者的三角函数之间有何关系？
是的半角，α是2α的半角．
问题：你能利用倍角公式C2α推导出以下公式吗？
事实上，由C2α可得
类似地，
概念生成
半角公式
sin = ±，cos =±，tan =±
思考：半角公式中的正负号能否去掉 该如何选择
不能.
①若没有给出决定符号的条件,则在根号前保留正负两个符号;
②若给出α的具体范围(即某一区间)时,则先求所在范围,然后根据所在范围选用符号.
讨论：半角公式对α∈R都成立吗
半角的正弦、余弦公式对α∈R都成立,
但正切公式要求α≠(2k+1)π(k∈Z).
例1 求，，.
解：因为是第一象限角，所以
sin =
=
例2 化简：
解：原式
∴原式=cos α.
思考：如果已知,,你能求出以及的值吗？
cos (α + β) = cos α·cos β – sin α·sin β，①
cos (α – β) = cos α·cos β + sin α·sin β，②
公式推导：
cos (α + β) + cos (α – β) = 2cos α·cos β
①＋②
cos α·cos β = [cos (α+β) + cos (α – β)]
∴cos α·cos β = [+]=
cos (α + β) = cos α·cos β – sin α·sin β，①
cos (α – β) = cos α·cos β + sin α·sin β，②
① ②
cos (α + β) cos (α – β) = 2sin α·sinβ
sinα·sin β = [cos (α+β) cos (α – β)]
∴sinα·sin β =-[ - ]=-
追问：如果已知，的值，如何求以及的值呢？
公式推导：
sin (α + β) = sin α·cos β – cos α·sin β，①
sin (α – β) = sin α·cos β + cos α·sin β，②
sin (α + β) + sin (α – β) = 2sin α·cos β
①＋②
sin α·cos β = [sin (α+β) + sin (α – β)]
sin (α + β) = sin α·cos β – cos α·sin β，①
sin (α – β) = sin α·cos β + cos α·sin β，②
① ②
sin (α + β) sin (α – β) = 2cos α·sinβ
cosα·sin β = [sin (α+β) sin (α – β)]
总结归纳
①cos α·cos β = [cos (α+β) + cos (α – β)]
②sin α·cos β = [sin (α+β) + sin (α – β)]
③sin α·cos β = [sin (α+β) + sin (α – β)]
④cosα·sin β = [sin (α+β) sin (α – β)]
积化和差公式
α = ，β =
（1）sin θ + sin φ = 2sin cos；
（2）sin θ – sin φ = 2cos sin；
（3）cos θ + cos φ = 2cos cos；
（4）cos θ – cos φ = –2sin sin.
和差化积公式
例3 已知sin A+sin 3A+sin 5A=a，cos A+cos 3A+cos 5A=b，求证:(2cos 2A+1)2=a2+b2.
证:由题意知(sin A+sin 5A)+sin 3A=2sin 3A·cos 2A+sin 3A=a，
(cos A+cos 5A)+cos 3A=2cos 3Acos 2A+cos 3A=b，
则sin 3A(2cos 2A+1)=a，①
cos 3A(2cos 2A+1)=b，②
两式平方相加得(2cos 2A+1)2=a2+b2.
例4 (1)求值：sin 20°cos 70°+sin 10°sin 50°.
(2)求值：sin 20°sin 40°sin 60°sin 80°.
解：(1)原式
[思路探究]利用积化和差公式化简求值，注意角的变换，尽量出现特殊角.
(2)求值：sin 20°sin 40°sin 60°sin 80°.
(2)原式=cos 70°cos 50°cos30°cos10°
例5 已知f(x)=-,x∈(0,π).
(1)将f(x)表示成cos x的多项式. (2)求f(x)的最小值.
解：(1)f(x)===2coscos
=cos 2x+cos x
=2cos2x+cos x-1.
(2)因为f(x)=2(cos x+)2-，且-1所以当cos x=-时,f(x)取最小值-.
三角恒等变换的应用
半角公式
三角函数的积化和差与和差化积公式
C
2.sin 75°－sin 15°的值为(　　)　　
　
3.函数 的最大值为(　　)
B
B

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