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9.1.2 余弦定理
1.通过对任意三角形边长和角度关系的探索掌握余弦定理.
2.能解决一些简单的三角形度量问题.
什么是正弦定理？运用正弦定理能解怎样的三角形？
（1）正弦定理：
②已知三角形的任意两边与其中一边的对角.
（2）正弦定理能解决的三角形类型
①已知三角形的任意两角及其一边；
（R为三角形的外接圆半径）
复习回顾
问题提出：某地的高铁路线规划要经过一座小山丘,故需要挖隧道.这就需要测量出隧道的长度,而隧道的长度在隧道没打通时是没有办法直接测量的,那怎样才能知道隧道的长度呢
如右图,你能说出要测量出隧道BC的长度至少需要知道哪些量吗
至少需要知道三个量,边AC,AB的长度及角A的值.
思考
如果在一个斜三角形中，已知两边及这两边的夹角，能否用正弦定理解这个三角形，为什么？
不能，在正弦定理 中，已知两边及这两边的夹角，正弦定理的任一等号两边都有两个未知量。
A
B
C
b
a
c = ？
思考
怎么解这个三角形呢？
想一想
方法一:向量法
A
B
C
b
a
c = ？
如图，设 ，，<，> = C，
所以 · = cos <，> = abcos C，
而且 = ，因此
2 = 2 = 2 2· + 2
= 2 – 2cos C + 2，
又因为 = c，因此
2 = 2 + 2 – 2cos C
类似地，可得
2 = 2 + 2 – 2cos A
2 = 2 + 2 – 2cos B
A
B
C
b
a
c
方法二:坐标法
A
C
B
a
b
c
﹚
y
x
(b,0)
(0，0)
方法三:几何法
当角A为锐角时
D
A
B
C
c
b
a
同理有：
方法三:几何法
当角A为直角时:
当角A为钝角时:
b
C
c
a
A
B
D
请同学们自行证明！
余弦定理
三角形中任何一边的平方等于其他两边的平方的和减去这两边与它们夹角的余弦的积的两倍。
a2=b2+c2－2bccosA
b2= a2+c2－2accosB
c2 =a2+ b2－2abcosC
余弦定理的公式变形
a2=b2+c2－2bccosA
b2= a2+c2－2accosB
c2 =a2+ b2－2abcosC
利用余弦定理，可以解决以下两类有关三角形的问题：
（1）已知两边和它们的夹角，求第三边和其他两个角；
（2）已知三边，求三个角。
解：由余弦定理可知 2 = 2 + 2 – 2cos C
= 32 + 62 – 2×3×6×cos 60°
= 27，
因此 c = = 3.
例1：已知 △ABC 中，a = 3，b = 6，C = 60°，求 c.
B
A
C
(1)已知△ABC中,a=1,b=1,C=120°,则边c=　　　　　.
4或5
变式训练1:
解:　(1)∵c2=a2+b2- ab,
∴cos C= = ,
又C∈(0,π),∴C= .
由 = ,
得sin C= = = ,
∴最大角为 ,sin C= .
(2)∵a>c>b,∴A为最大角,
由cos A= = = - ,且A∈(0,π),
得A= ,∴sin A=sin = .
例2　(1)在△ABC中,c2=a2+b2- ab,那么角C的大小是 .
(2)在△ABC中,角A,B,C所对的边分别为a,b,c,已知a=7,b=3,c=5,求最大角和sin C.
变式训练2:上面改为“a∶b∶c=7∶3∶5”,则最大角的度数为　　　 .
120°
解析　∵a∶b∶c=7∶3∶5,∴设a=7k,b=3k,c=5k(k>0),可得a>c>b,∴A为最大
角,∴cos A= = = - ,
∵A∈(0°,180°),∴A=120°.
(2)在△ABC中,角A,B,C所对的边分别为a,b,c,已知a=7,b=3,c=5,求最大角和sin C.
变式训练3:上面改为“sinA:sinB:sinC=7:3:5”则最大角的度数为　 　 .
思路：sinA:sinB:sinC=a∶b∶c=7:3:5
(2)在△ABC中,角A,B,C所对的边分别为a,b,c,已知a=7,b=3,c=5,求最大角和sin C.
例3.在△ABC中，若a2>b2+c2,试判断△ABC的形状.
解： <0
所以,△ABC是钝角三角形
例4.已知 △ABC 中，已知 cos A = cos B，试判断这个三角形的形状.
解：利用余弦定理可知 × = ×
因此 2(b2 + c2 – 2) = b2(2 + c2 – b2)，即 2c2 – b2c2 – 4 + b4 = 0，
从而 (2 – b2)c2 – (2 – b2)(2 + b2) = 0，
所以 (2 – b2)(c2 – 2 – b2) = 0，
因此 2 – b2 = 0 或 c2 – 2 – b2 = 0.
当 2 – b2 = 0 时， = b，此时 ABC 是等腰三角形；
当 c2 – 2 – b2 = 0 时，2 + b2 = c2，此时 ABC 是直角三角形；
故 ABC 是等腰三角形或直角三角形.
B
D
A
C
例5.如图，平面四边形ABCD中，已知 B + D = 180°，AB = 2，BC = 4，CD = 4，AD = 2，求四边形 ABCD 的面积.
本节课你学到了哪些知识？
1.正弦定理：
正弦定理常用变形
2.三角形面积公式：
3．正弦定理的应用
（1）知识：
（2）思想方法：
转化思想、分类讨论、数形结合
B
2.在△ABC中,若aA.直角三角形 B.锐角三角形 C.钝角三角形 D.不存在
3.在△ABC中,角A,B,C所对的边为a,b,c,若a=4,b=6,c=9,则角cos C=　　　　.
B

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