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9.2 正弦定理与余弦定理的应用
1.能根据题意建立数学模型，画出示意图.
2.能够运用正弦定理、余弦定理等知识解决与测量高度、距离、角度有关的实际问题.（难点）
太阳
地球
思考：如图，在地球上测量AB之间的距离，以及太阳的高度角，此时要求太阳、地球之间的距离，应该如何计算呢？你有什么思路吗？
可求得AC长度，再由AC=sinα可得太阳、地球之间的距离.
A
B
C
α
β

由正弦定理得
现实中，我们经常会遇到测量距离、高度、角度等实际问题，解决这类问题，通常需要借助经纬仪以及卷尺等测量角和距离的工具进行测量。
具体测量时，常常遇到“不能到达”的困难，这就需要设计恰当的测量方案。
探究一：
如何求解平面上不可直接测量AB之间的距离？
A
B
C
D
条件制约:
1. AB不可直接测量
2. C处不可到达AB处
例1
如图所示，A，B 是某沼泽地上不便到达的两点，C，D 是可到达的两点. 已知 A，B，C，D 4点都在水平面上，而且已经测得∠ACB = 45°，∠BCD = 30°，∠CDA = 45°，∠BDA = 15°，CD = 100 m，求 AB 的长.
解：因为A，B，C，D 4点都在水平面上，
所以∠BDC = ∠BDA + ∠CDA = 15°+ 45°= 60°，
因此∠CBD = 180°– 30°– 60°= 90°，
所以在 Rt△BCD中，BC = 100cos 30°= 50 (m)；
在△ACD中，因为∠CAD = 180°– 45°– 30°–45°= 60°，
所以由正弦定理可知 = ，因此 AC = ；
在△ABC中，由余弦定理可知 AB = .
方法总结：
三角形中与距离有关的问题的求解策略：
(1)解决三角形中与距离有关的问题，若在一个三角形中，则直接利用正、余弦定理求解即可；若所求的线段在多个三角形中，要根据条件选择适当的三角形，再利用正、余弦定理求解．
(2)解决三角形中与距离有关的问题的关键是转化为求三角形中的边，分析所解三角形中已知哪些元素，还需要求出哪些元素，灵活应用正、余弦定理来解决．
探究二：如何求解不可直接测量的高度问题？
条件制约：不可到达底部，不可直接测量高度
探究二：如何求解不可直接测量的高度问题？
知识解读：实际问题中的一些有关角的术语
1.方向角:指正北或正南方向线与目标方向线所成的小于①______度的角.
思考:如图,图1表示北偏东②______,图2表示南偏西③______.
图1 　　　　　　　　　图2
2.涉及高度的常用术语——仰角与俯角:
与目标视线在同一铅垂平面内的水平视线和目标视线的夹角,目标视线在水
平视线④_______时叫仰角,目标视线在水平视线⑤______时叫俯角.(如图所示)

　　　　　　　
探究三：解决方位角度问题
例3 如图所示，在某海滨城市 A 附近的海面出现台风活动. 据监测，目前台风中心位于城市 A 的东偏南 60°方向、距城市 A 300 km的海面点 P 处，并以 20 km/h 的速度向西偏北 30°方向移动. 如果台风影响的范围是以台风中心为圆心的圆形区域，半径为 100 km，将问题涉及范围内的地球表面看成平面，判断城市 A 是否会受到上述台风的影响. 如果会，求出受影响的时间；如果不会，说明理由.
A
P
60°
30°
解：如图所示，设台风的中心 x h 后到达位置 Q，且此时 AQ = 100 km；
在 △AQP 中，有 P = 60°– 30°= 30°，且 AP = 300 km，PQ = 20x km，
因此由正弦定理可得 = = ；
解得sin Q = = ，所以 Q = 60°或 Q = 120°.
当 Q = 60°，A = 180°– 30°– 60°= 90°，
因此 20x = ，x = 10；
当 Q = 120°，A = 30°，因此 20x = 100，x = 5；
综上，城市 A 在5 h 后会受到影响，持续时间为10 - 5 = 5 ( h ).
A
P
60°
30°
Q
方法总结：
D
B
得以解决
结合本课所学，你能说说说解三角形应用题的思路吗？
实际应用问题
建立三角形模型
抽象概括
求解三角形模型的解
实际问题的解
还原作答
利用正余弦
定理解三角形

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