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10.1.2 复数的几何意义
1.理解复数与以原点为起点的向量的对应关系. （重点）
2.了解复数的几何意义.（难点）
3.会用复数的几何意义解决有关问题.
实数可以用数轴上的点来表示.
实数
数轴上的点
(形)
(数)
一 一
对应
类比实数的表示，可以用什么来表示复数？
在几何上，我们用什么来表示实数
问题导入
探究点1 复数的几何意义（一）
复数的一般形式
z=a+bi(a, b∈R)
实部
虚部
一个复数由什么唯一确定？
思考1
(４)
(３)
(６)
(５)
O
(２)
(１)
复数与点的对应：
x
y
(1) ；
(2)；
(3)；
(4) ；
(5)５；
(6) .
复数z=+bi
有序实数对(,b)
直角坐标系中的点Z(,b)
x
y
o
b
Z(,b)
建立了平面直角坐标系
来表示复数的平面
x轴——实轴
y轴——虚轴
（数）
（形）
——复平面
一 一
对应
z=+bi
探究点2 共轭复数
x
y
O
B
3 – i
A
3 + i
A，B 两点关于实轴对称
设 3 + i 与 3 – i 在复平面内对应的点分别为 A 与 B，在复平面内画出点 A，B，并说说两点的位置关系是怎样的？
思考1
当 ，∈R 时，复数 + bi 与 – bi 在复平面内对应的点又有什么位置关系？
思考2
一般地，如果两个复数的实部相等，而虚部互为相反数，则称这两个复数互为共轭复数，其中复数 z 的共轭复数用 表示；
因此，当 z = + bi (a，b∈R) 时，有 = – bi.
x
y
O
+ bi
– bi
B
A
如图，在复平面内，表示两个共轭复数的点关
于实轴对称；反之，如果表示两个复数的点在复平
面内关于实轴对称，则这两个复数互为共轭复数.
共轭复数定义
探究点3 复数的几何意义（二）
复数z=+bi
复平面内的点Z(,b)
一 一对应
一 一对应
一 一对应
x
y
o
b
Z(,b)
z=+bi
平面向量
平面向量
代数形式
几何形式
向量形式
在复平面内，复数除了用点来表示，还可以用什么来表示呢？
思考
x
y
1.写出图中的各点表示的复数.
2.在复平面内，作出表示下列复数的点和向量： 3-i,4+i,7,i,6-4i,-1+4i.
练一练
解：1.A:3+4i，B:2+i，
C:-5+i，D:-1-i；
x
y
2.如图所示，
A:3-i，B:4+i，C:7,
D:i，E:6-4i，F:-1+4i.
如图，复数 z1 = 3 + i 对应向量= (3，1)，
复数 z2 = 3 – i 对应向量= (3，– 1)；
由图可知 |3 + i| = |3 + i| = ，即两个共轭复数的模相等，|z| = ||.
x
y
O
Z2
3 – i
3 + i
Z1
一般地，向量 = (a，b) 的长度称为复数 z = + bi 的模 (或绝对值)，复数 z 的模用 |z| 表示，因此 |z| = .
注：当 b = 0 时， |z| = = ||（复数的模是实数绝对值概念的推广）.
探究点4 复数的模
实数绝对值的几何意义:
x
O
A
a
|a| = |OA|
实数a在数轴上所对应的点A到原点O的距离.
x
O
z=a+bi
y
|z|=|OZ|=
复数的模的几何意义:
复数 z=a+bi在复平面上对应的点Z(a,b)到原点的距离.
Z(a,b)
解：
解：
求的模和它们的共轭复数.
练一练
设复数 z1 = 3 + 4i 在复平面内对应的点为 Z1，对应的向量为 ；复数 z2 在复平面内对应的点为 Z2 ，对应的向量为 ，已知 Z1 与 Z2 关于虚轴对称，求 z2，并判断 || 与 || 的大小关系.
由题意可知 Z1 (3，4)，又因为 Z1 与 Z2 关于虚轴对称，所以 Z2 (– 3，4)，从而有 Z2 = – 3 + 4i，因此 |Z2| = = 5.
又因为 || = |z1| = = 5，|| = |z2| = 5，所以 || = ||.
例1
解析
例题讲解
设复数 z 在复平面内对应的点为 Z，说明当 z 分别满足下列条件时，点 Z 组成的集合是什么图形，并作图表示.
（1）| z | = 2； （2）1 < | z | ≤ 3.
（1）由 |z| = 2 可知向量的长度等于 2，即点 Z 到原点的距离始终等于 2，因此点 Z 组成的集合是圆心在原点、半径为 2 的圆，图形如图所示；
y
O
x
例2
解析
例题讲解
y
O
x
（2）不等式 1 < |z| ≤ 3 等价于不等式组 ，
又因为满足 |z| ≤ 3 的点 Z 的集合，是圆心在原点、半径为 3 的圆及其内部，
而满足 |z| > 1 的点 Z 的集合，是圆心在原点、半径为 1 的圆的外部，
所以满足条件的点 Z 组成的集合是一个圆环 (包括外边界但不包括内边界).
1.在复平面内，复数对应的点的坐标为（ ）
A.（1,2） B. （-1,2）
C.（2,1） D. （2,-1）
C
2.若复数z的实部是虚部的2倍，且，则复数z等于( )
A. 2-i B. -2-i
C. 2+i D. 2+i 或-2-i
D
复数 z = a + bi
一一对应
一一对应
复数的模及其几何意义
实轴 (x轴)
虚轴 (y轴)
复平面内的点
Z (a，b)
平面向量
一一对应

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