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10.2.1 复数的加法与减法
1.会进行复数代数形式的加减法运算.（重点）
2.了解复数代数形式的加减运算的几何意义.（难点）
两个实数可以进行加、减运算，两个向量也可以进行加、减运算，根据类比推理，两个复数也可以进行加、减运算，那么，复数的加、减运算法则是什么呢？
设 z1 = 1 + i，z2 = 2 – 2i，z3 = – 2 + 3i，类比实数的加法运算，试着计算 z1 + z2 的值.
z1 + z2 = (1 + i) + (2 – 2i) = (1 + 2) + (1 – 2)i = 3 – i；
结合上述计算结果，猜想任意两个复数相加的运算规则是什么？
探究一: 复数的加法
思考1
思考2
1.复数的加法法则：
设z1=+bi，z2=c+di ,，b，c，d∈R,规定
z1+z2=（+bi)+(c+di)=(+c)+(b+d)i
两个复数相加，就是把实部与实部、虚部与虚部分别相加.
（1）复数的加法运算法则是一种规定.
（2）很明显，两个复数的和仍然是一个复数.
（3）两个共轭复数的和一定是实数.
注 意
2.复数加法的运算律：
设z1=1+b1i, z2=2+b2i, z3=3+b3i.
（1）因为 z1+z2=(1+b1i)+(2+b2i)
=(1+2)+(b1+b2)i,
z2+z1= (2+b2i) + (1+b1i)
=(1+2)+(b1+b2)i,
所以 z1+z2=z2+z1
复数的加法满足交换律、结合律吗？
思考
（2）因为 (z1+z2)+z3=[(1+b1i)+(2+b2i)]+(3+b3i)
=(1+2 +3)+(b1+b2+b3)i,
z1+ (z2+z3)=(1+b1i)+[(2+b2i)+(3+b3i)]
=(1+2 +3)+(b1+b2+b3)i,
所以 (z1+z2)+z3=z1+(z2+z3)
设z1=1+b1i, z2=2+b2i, z3=3+b3i.
z1+z2=z2+z1
(z1+z2)+z3=z1+(z2+z3)
复数的加法满足交换律、结合律，即对任意z1∈C，z2∈C，z3∈C.
实数加法运算的交换律、结合律在复数集C中依然成立.
注 意
3.复数加法运算的几何意义
z1 + z2 = (2 + 2i) + (– 1 – 4i) = 1 – 2i；
x
y
O
Z1
Z
Z2
如图，复数 z1，z2 所对应的向量分别为 与 ，则当 与 不共线时，以 OZ1 和 OZ2 为两条邻边作平行四边形 OZ1ZZ2，则 z1 + z2 所对应的向量就是 ；
设 z1 = 2 + 2i，z2 = – 1 – 4i，求出 z1 + z2，并在复平面内分别作出 z1，z2， z1 + z2 所对应的向量，猜想并归纳复数加法的几何意义.
思考
x
O
y
Z1(,b)
Z2(c,d)
Z(+c,b+d)
结论：复数的加法可以利用向量的加法来进行，复数的和对应向量的和，复数加法的几何意义就是向量加法的平行四边形法则.
复数,
由复数加法的几何意义可以得出：
| | z1 | – | z2 | | ≤ | z1 + z2 | ≤ | z1 | + | z2 |.
探究二： 复数的减法
在实数中，减去一个数可以看成加上这个数的相反数；例如，因为 3 的相反数为 – 3，因此 8 – 3 = 8 + (– 3) = 5.
设 z1 = 5 + 8i，z2 = 5 – 3i，类比实数减法的意义，猜测 z2 的相反数以及 z1 – z2 的值.
z2 的相反数为 – z2 = – (5 – 3i) = – 5 + 3i；
因此 z1 – z2 = z1 + (– z2) = (5 + 8i) + (– 5 + 3i) = 11i.
复数z = + bi (，b∈R) 的相反数记作 – z，
并规定 – z = – ( + bi) = – – bi；
复数 z1 减去 z2 的差记作 z1 – z2，并规定 z1 – z2 = z1 + (– z2).
思考
两个复数相减,就是把实部与实部、虚部与虚部分别相减.
设z1=a+bi，z2=c+di (a,b,c,d∈R),那么它们的差：
综上,两个复数相加（减）,就是把实部与实部、虚部与虚部分别相加（减）.
1.复数的减法：
2.复数减法运算的几何意义
x
O
Z1(a,b)
Z2(c,d)
结论：复数的减法可以利用向量的减法来进行，复数的差对应向量的差，复数的减法的几何意义就是向量减法的三角形法则.
复数,
由复数减法的几何意义可以得出：
| | z1 | – | z2 | | ≤ | z1 – z2 | ≤ | z1 | + | z2 |.
Z=i
例1：计算 (2 – 5i) + (3 + 7i) – (5 + 4i).
解：根据定义有 (2 – 5i) + (3 + 7i) – (5 + 4i)
= (2 + 3 – 5) + (– 5 + 7 – 4)I
= – 2i.
例2：判断命题“两个共轭复数的差一定是纯虚数”的真假，并说明理由.
解析：这是假命题，理由如下.
设 z = + bi (a，b∈R)，则 = – bi ，
从而有 z – = ( + bi) – ( – bi) = 2bi，
当 b = 0 时，z – = 0，这不是纯虚数.
x
y
Z1(a,b)
Z2(c,d)
复数z1-z2
向量Z2Z1
想一想：|z1-z2|表示什么
表示复平面上两点Z1 ,Z2的距离.
O
(1)|z－(1+2i)|
(2)|z+(1+2i)|
已知复数z对应点Z,说明下列各式所表示的几何意义.
点Z到点(1,2)的距离
点Z到点(－1, －2)的距离
(3)|z+2i|
点Z到点(0, －2)的距离
练一练：
1.(6-3i)-(3i+1)+(2-2i)的结果为(　 　)
A.5-3i B.3+5i C.7-8i D.7-2i
2.设z1=3-4i,z2=-2+3i,则z1-z2在复平面内对应的点位于 (　 　)
A.第一象限 B.第二象限 C.第三象限 D.第四象限
C
D
D
复数加减法的几何意义
复数加减运算法则
复数的加减法运算

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