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10.2.2 复数的乘法与除法
1.掌握复数的代数形式的乘法和除法;
2.理解复数乘法的交换律、结合律和乘法对加法的分配律.
3.会在复数范围内求实系数一元二次方程的根.
思考：设a，b，c，d∈R，则(a＋b)(c＋d)怎样展开？
(a＋b)(c＋d)＝ac＋ad＋bc＋bd
设复数z1＝a＋bi，z2＝c＋di，其中a，b，c，d∈R，则z1z2＝(a＋bi)(c＋di)，按照上述运算法则将其展开，z1z2等于什么？
探究1 复数的乘法运算
设 z1 = 3，z2 = 1– 2i，z3 = – 5i，类比实数的乘法运算，试着计算 z1z2 与z2z3的值？
z1z2 = 3(1 – 2i) = 3 – 6 i；
z2z3 = (1 – 2i)(– 5i) =– 5i+10i2=–10–5i
思考1
结合上述计算结果，猜想任意两个复数相乘的运算规则是什么？
思考2
1.复数的乘法法则：
设 z1 = + bi，z2 = c + di (，b，c，d∈R)，则称 z1z2 (或 z1×z2) 为 z1与 z2 的积.
z1z2=(+bi)(c+di)=c+bci+di+bd i2
=(c-bd)+(bc+d)i
显然,两个复数的积仍为复数.
由上可知，只需要按照多项式乘法的方式进行，并利用 i2 = – 1 即可算出两个复数的积.
规定：i2 = – 1
2.复数乘法的运算律：
z1 z2= z2 z1 ,
(z1 z2) z3= z1 (z2 z3) ,
z1 (z2 +z3)= z1 z2 +z1 z3 .
容易验证，复数的乘法运算满足交换律、结合律和乘法对加法的分配律，即对任意复数z1,z2,z3,有
1.已知z1=2+i, z2=3-4i,计算z1·z2.
解： z1·z2=(2+i)(3-4i)
=6-8i+3i-4i2
=10-5i.
练一练
例1：已知 ，b∈R，求证：( + bi)( – bi) = 2 + b2.
证明：( + i)(– i)
= 2 – bi + i – 2i2 = 2 + .
= 2 + .
（1）共轭复数的积： ∈C， = ||2 = ||2；
（2）复数的完全平方及平方差公式：
方法小结
2.计算 (1 + i)2 与 (1 – i)2 的值.
解：(1 + i)2 = 12 + 2i + i2 = 2i；
(1 – i)2 = 12 – 2i + i2 = – 2i.
练一练
n 个相同的复数 z 相乘时，仍称为 z 的 n 次方(或 n 次幂)，记作 zn，即
3.复数的乘方：
实数范围内正整指数幂的运算律在复数范围内仍然成立，即对z,z1,z2∈C及m,n∈N有:
zm·zn=zm+n,
(zm)n=zmn,
(z1·z2)n=z1n·z2n.
n 个
zn = z×z×···×z.
【探究】 i 的指数变化规律:
你能发现规律吗？有怎样的规律？
思考
探究2 复数的除法运算
设实数 满足求 的值.
思路2: 因为 均不为 0，所以上述式子可以改写为
思路1: 利用乘法运算展开，根据复数相等列方程组求.
两个复数能否相除？如何求解？
将等式右边看成一个分式，根据(1 + 2i)(1 – 2i) = 12 – (2i)2 = 5使分母变为实数 ，
因此 = = = = – i，所以 = ，b = .
思考1
思考2
如果复数 z2 ≠ 0，则满足 zz2 = z1 的复数 z 称为 z1 除以 z2 的商，并记作
z = (或 z = z1 ÷ z2)，
复数的倒数：
一般地，给定复数 z ≠ 0，称 为 z 的倒数； z1 除以 z2 的商 可看成 z1 与 z2 的倒数之积.
利用复数除法的定义可以证明，当 w 为非零复数时，有
= ， = + .
1.复数除法的定义：
而且同以前一样，z1 称为被除数，z2 称为除数.
设z1=+bi，z2=c+di (,b,c,d∈R),那么它们的商：
2.复数的除法法则：
因为c+di ≠0 即 c2+d2 ≠0，所以
商 是唯一确定的复数.
分母实数化：分子、分母同乘分母的共轭复数
注：非零复数的 0 次幂与负整数次幂：
当 z 为非零复数且 n 是正整数时，规定:
z0 = 1，z – n = .
=
=
例3：求 (1 + 2i) ÷ (3 – 4i) 的值.
解析：(1 + 2i) ÷ (3 – 4i) =
=
= – + i .
=
最后结果要写成
一般代数形式
1．复数的乘法运算法则的记忆
复数的乘法运算可以把i看作字母，类比多项式的乘法进行，注意要把i2化为－1，进行最后结果的化简．
2．复数的除法运算法则的记忆
复数除法一般先写成分数形式，再把分母实数化，即分子、分母同乘以分母的共轭复数，若分母为纯虚数，则只需同乘以i.
【方法归纳】
A.2+i B.2-i C.-1+i D.-1-i
D
4.若复数z满足z(2-i)=11+7i(i为虚数单位)，则z为（ ）
A.3+5i B.3-5i C.-3+5i D.-3-5i
A
3.复数的共轭复数是（ ）
练一练
探究3 实系数一元二次方程在复数范围内的解集
已知虚数单位 i 是方程 x2 = – 1 的一个解，则这个方程还有其他复数的解吗？
因为 i2 = (– i)2 = – 1，所以方程 x2 = – 1 在复数范围内的解集为 {i，– i}.
当实数时，方程在复数范围内的解集为.
思考
例4：在复数范围内求方程 x2 + 2x + 3 = 0 的解集.
解析： 因为 x2 + 2x + 3 = x2 + 2x + 1 + 2 = (x + 1)2 + 2，
所以原方程可以化为 (x + 1)2 = – 2 ，
从而可知 x + 1 = i 或 x + 1 = – i，
因此 x = –1 + i 或 x = – 1 – i，
所求解集为 { – 1 + i，– 1 – i }.
实系数一元二次方程在复数范围内的解集：
当 都是实数且 时，关于 x 的方程 称为实系数一元二次方程，这个方程在复数范围内总是有解的，且
（1）当 时，方程有两个不相等的实数根；
（2）当 时，方程有两个相等的实数根；
（3）当 时，方程有两个互为共轭的虚数根.
知识归纳
运算律
复数的乘法
复数的除法
共轭复数积的特点
运算法则
定义
运算法则
定义
2.设 , 则 ( )
A. B.1 C. D.3
B
D
3.

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