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11.1.4 棱锥与棱台
1.了解棱锥、棱台的定义和结构特征
2.知道棱锥、棱台的表面积计算公式，能用公式解决简单的实际问题.（重点）
下图所示的建筑是什么几何体呢？你还能举出一些例子吗？
情景导入
思考1：观察下图，如何将棱柱变换成下方的几何体
方头方脑：棱柱
尖头窄脸：棱锥
知识点1： 棱锥
思考2：这些棱锥具有怎样的共性？你能归纳出一个几何体是棱台的充要条件是什么吗？
1.棱锥的定义
有一个面是多边形，其余各面都是有一个公共顶点的三角形，由这些面围成的多面体称为棱锥.
注意：其余各面必须要满足有一个公共顶点.
①底面是多边形
②侧面是三角形
③都有一个公共顶点
棱锥的底面
棱锥的侧面
棱锥的顶点
棱锥的侧棱
S
A
B
C
D
E
O
棱锥的高
(1)这个多边形面叫做棱锥的底面；
(2)有公共顶点的各个三角形面叫做棱锥的侧面；
(3)相邻两侧面的公共边叫做棱锥的侧棱；
(4)各侧面的公共顶点叫做棱锥的顶点.
(5)过棱锥的顶点作棱锥底面的垂线，所得到的线段(或它的长度)称为棱锥的高．
(6)棱锥所有侧面的面积之和称为棱锥的侧面积．
2.棱锥的元素
(1)用表示顶点和底面各顶点的字母表示，如棱锥S-ABCD.
(2)用表示顶点和底面的一条对角线端点的字母来表示，如棱锥S-AC.
S
A
B
C
D
3.棱锥的表示
4.棱锥的分类
棱锥的底面可以是
三角形、四边形、五边形……
把这样的棱锥分别叫做
三棱锥、四棱锥、五棱锥……
三棱锥 (四面体）
四棱锥
五棱锥
按底面边数分类
正棱椎：
如图，PO为棱锥P-ABCD的高，因此PO⊥面ABCD.
从而可知：
如果棱锥的底面是正多边形，且棱锥的顶点与底面中心的连线垂直于底面，则称这个棱锥为正棱锥．正棱锥的侧面都全等，而且都是等腰三角形，这些等腰三角形底边上的高也都相等，称为棱锥的斜高.
1．能保证棱锥是正棱锥的一个条件是( )
（A）底面为正多边形 （B）各侧棱都相等
（C）各侧面与底面都是全等的正三角形 （D）各侧面都是等腰三角形
C
例1 如图是底面边长为1且侧棱长为 的正六棱锥
(1)写出直线PA与直线CD，直线PA与面ABCDEF之间的关系；
(2)求棱锥的高和斜高；
(3)求棱锥的侧面积.
解：(1)直线PA与直线CD异面，直线PA∩面ABCDEF=A.
(2)作出棱锥的高PO，因为是正六棱锥，所以O是底面的中心，连接OC，可知OC=1.
在Rt△POC中，可知：
设BC的中点为M，由△PBC为等腰三角形可知，PM⊥MC ，
因此PM为斜高，从而
(3)因为△PBC的面积为：
故棱锥的侧面积为：
2.已知正四棱锥V-ABCD,底面面积为16，一条侧棱长为 ，计算它的高和斜高.
因为底面正方形ABCD的面积是16，所以BC=4，MB=OM=2，
又因为VB= ,在Rt VOB中,由勾股定理得
在Rt△VOM中，由勾股定理得
即正四棱锥的高为6，斜高为
解：
知识点2：棱台
思考1：观察下图，如何将棱锥变换成下方的几何体
棱锥被平行于底面的平面所截，截面和底面间的多面体叫做棱台.
1.棱台的定义：
(1)原棱锥的底面与截面分别称为棱台的下底面和上底面，其余各面称为棱台的侧面；
(2)相邻两侧面的公共边称为棱台的侧棱．
(3)过棱台一个底面上的任意一个顶点，
作另一个底面的垂线所得到的线段(或它的长度)称为棱台的高．
上底面
侧面
侧棱
高
下底面
2.棱台的元素
3.棱台的性质：两底面是相似的多边形，侧棱的延长线交于一点.
思考2：下图中的几何体是不是棱台 为什么
不是.
因为棱台是用一个平行于棱锥底面的平面去截棱锥得到的，所以棱台的各侧棱延长后必须交于一点.
4.棱台的表示
可用上底面与下底面的顶点表示.
例如，如图所示的棱台ABCD-A′B′C′D′.
A
B
C
D
5.棱台的分类
按底面的形状分为三棱台(底面是三角形)、四棱台(底面是四边形)、……
正棱台：由正棱锥截得的棱台，其中正棱台上、下底面都是正多边形，两者中心的连线是棱台的高；
斜高
正四棱台
高
正棱台的侧面都全等，且都是等腰梯形，这些等腰梯形的高也都相等，称为棱台的斜高．
例2 如图所示是一个正三棱台，而且下底面边长为2，上底面边长和侧棱长都为1，O与O′分别是下底面和上底面的中心.
(1)求棱台的斜高；
(2)求棱台的高.
解：(1)因为是正三棱台，所以侧面都是全等的等腰梯形.
如图所示，在梯形ACC′A′中，分别过A′，C′作AC的垂线A′E与C′F，
则由 AC=2，AA′=A′C′=C′C=1 可知 ，
从而 ，即斜高为 .
因此：O′O 因此棱台的高为：
方法归纳：计算锥体和台体的表面积，注意四个基本量：底面边长、高、斜高、侧棱，并注意它们组成的直角三角形的应用.
O′
O
B′
B
H
在tB′中,B′H
(2)根据O与O′分别为下底面和上底面的中心，以及下底面边长和上底面的边长分别为2，1，可以算出：
连接O′B′与,过B′作B′H，则
棱锥、棱台的定义与几何特征；
棱锥、棱台的棱长、斜高与高之间的关系.
棱锥
棱台
正棱锥
正棱台
本节课你学到了哪些知识？

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