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第01讲　实数及其有关概念
【考点梳理】
1．实数分类
(1)按实数的定义分类
(2)按正负分类
实数
2．实数的有关概念
(1)数轴：如图，规定了原点、正方向和单位长度的直线叫做数轴．
其中实数和数轴上的点一一对应．
(2)相反数：只有符号不相同的两个数互为相反数，即实数a的相反数是_－a___，0的相反数是0；a与b 互为相反数 a＋b＝_0_．
(3)绝对值
①定义：数轴上表示数a的点与原点的___距离___叫做数a的绝对值，记作|a|；
②性质：
|a|＝
|a|是一个非负数，即|a|>0.
(4)倒数：实数a的倒数是___，其中a≠0，a，b互为倒数 ab＝_1___．
3．科学记数法，近似数
(1)科学记数法
①定义：把数x写成a×10n(1≤|a|＜10，且n为整数)的形式，这种记数方法叫做科学记数法；
②其中a是整数位数只有一位的数，即1≤|a|＜10；
当|x|≥1时，n为正整数，等于数x的整数部分的位数减1；
当|x|＜1时，n为负整数，其绝对值等于数x中非0数字前面所有0的个数(包含小数点前的0)．或将原数变为a时小数点向右平移的位数．
(2)近似数
一个近似数__四舍五入___到哪一位，就说这个数精确到哪一位．
4. 有理数的运算
(1)有理数的加法
①法则：同号两数相加，取相同的符号，并把绝对值相加，绝对值不相等的异号两数相加，取绝对值较大的数的符号，并用较大的绝对值减去较小的绝对值；互为相反数的两个数相加为0；一个数加0，仍得这个数．
②运算律：加法交换律：a＋b＝b＋a；
加法结合律：(a＋b)＋c＝a＋(b＋c)．
(2)有理数的减法
减去一个数等于加上这个数的相反数，即a－b＝a＋(－b)．
(3)有理数的乘法
①法则：两数相乘，同号得正，异号得负，并把绝对值相乘．
任何数与0相乘，都得0.
②运算律：
a．乘法交换律：ab＝__ba ____．
b．乘法结合律：(ab)c＝a(ac)．
c．乘法分配律：a(b＋c)＝ab＋ac.
(4)有理数的除法
①除以一个不等于0的数，等于乘以这个数的倒数，即a÷b＝a·.
②两数相除，同号得正，异号得负，并把绝对值相除.0除以任何一个不等于0的数，都得0.
(5)有理数运算的顺序
①先乘方，再乘除，最后加减；
②同级运算，从左到右进行；
③如有括号，先做括号内的运算，按小括号、中括号、大括号依次进行计算.
【高频考点】
考点1：实数的分类
【例题1】2024的相反数是（ ）
A. B. C. 2024 D.
【答案】D
【分析】本题考查了相反数的概念，根据只有符号不同的两个数互为相反数即可求得答案．
【详解】解：2024的相反数是．
故选：D．
考点2：科学记数法
【例题2】新时代我国教育事业取得了历史性成就，目前我国已建成世界上规模最大的教育体系，教育现代化发展总体水平跨入世界中上国家行列，其中高等教育在学总规模达到4430万人，处于高等教育普及化阶段．4430万用科学记数法表示为（ ）
A. B. C. D.
【答案】B
【分析】科学记数法的表示形式为的形式，其中，n为整数．确定n的值时，要看把原数变成a时，小数点移动了多少位，n的绝对值与小数点移动的位数相同，当原数绝对值时，n是正整数，当原数绝对值时，n是负整数．
【详解】解：4430万，
故选：B．
【点睛】此题考查科学记数法的表示方法．科学记数法的表示形式为的形式，其中，n为整数，表示时关键要正确确定a的值以及n的值．
考点3： 关于实数的概念考查
【例题3】实数在数轴上对应点的位置如图所示，若，则下列结论中正确的是（ ）
A. B. C. D.
【答案】C
【分析】本题考查了实数与数轴，由数轴及可得，，进而根据实数的运算法则逐项判断即可求解，掌握实数的运算法则是解题的关键．
【详解】解：由数轴可知，
∵，
∴，，
∴，，，，
∴选项错误，选项正确，
故选：．
【自我检测】
一、选择题：
1. 下面哪个数的绝对值最小（ ）
A. 0 B. C. D.
【答案】A
【分析】本题考查的是有理数大小比较，根据绝对值的意义，计算出各选项的绝对值，然后再比较大小即可，熟知绝对值的性质是解答此题的关键．
【详解】解：，，，，，
，
的绝对值最小．
故选：A．
2. 实数 ，，，中无理数是（ ）
A. B. C. D.
【答案】A
【分析】本题考查了无理数的定义，根据无理数的三种形式：开方开不尽的数，无限不循环小数，含有的数，结合所给数据进行判断即可，解题的关键是掌握无理数的几种形式．
【详解】、是无理数，符合题意；
、是整数，属于有理数，不符合题意；
、是负分数，不符合题意；
、是小数，是有理数，不符合题意；
故选：．
3. 某种芯片每个探针单元的面积为0.0000064cm2，0.0000064用科学记数法表示为( )
A. 6.4×10－5 B. 6.4×106 C. 6.4×10－6 D. 6.4×105
【答案】C
【分析】科学记数法表现形式为的形式，其中，n为整数，确定n的值时，要看把原数变成a时，小数点移动了多少位，n的绝对值与小数点移动的位数相同，当原数绝对值大于等于10时，n是正数，当原数绝对值小于1时n是负数；由此进行求解即可得到答案．
【详解】解：
故选C．
【点睛】本题主要考查了科学记数法，解题的关键在于能够熟练掌握科学记数法的定义．
4. 在比例尺为的宁波地图上，量得杭州湾大桥在地图上的距离为厘米，则桥实际长度用科学记数法可表示为（ ）米
A. B. C. D.
【答案】B
【分析】本题考查科学记数法，按照定义，用科学记数法表示较大的数时，一般形式为，其中，为整数，按要求表示即可得到答案，确定与的值是解决问题的关键．
【详解】解：由题意可知, 桥实际长度为厘米米，的3后面有4个位数，根据科学记数法要求表示为，
故选：B．
5. 如图，数轴上点A、B对应的实数分别是a、b，下列结论一定成立的是（ ）
A. B. C. D.
【答案】D
【分析】本题考查实数与数轴的关系，不等式的基本性质．由数轴判断出，是解题的关键．由数轴可得，，然后对各项进行判断即可．
【详解】解：由数轴可得，，
那么，则选项不符合题意；
，则选项不符合题意；
，则选项不符合题意；
，则选项符合题意；
故选：．
二、填空题：
6. 计算：________．
【答案】3
【分析】本题考查了零指数幂，立方根，先算零指数幂和立方根，再加减即可，熟练计算是解题的关键．
【详解】解：，
故答案为：．
7.某地举办主题为“不忘初心，牢记使命”的报告会，参加会议的人员3451人，将3451用科学记数法表示为　3.451×103　．
【分析】科学记数法的表示形式为a×10n的形式，其中1≤|a|＜10，n为整数．确定n的值时，要看把原数变成a时，小数点移动了多少位，n的绝对值与小数点移动的位数相同．当原数绝对值大于10时，n是正数；当原数的绝对值小于1时，n是负数．
【解答】解：3451=3.451×103，
故答案为：3.451×103．
8.如图，数轴的单位长度为1，如果点A表示的数是﹣1，那么点B表示的数是 .
【分析】直接利用数轴结合A，B点位置进而得出答案．
【解答】解：∵数轴的单位长度为1，如果点A表示的数是﹣1，[来源:z^z@*%]
∴点B表示的数是：3．
三、计算题：
9. 计算：．
【答案】
【分析】本题考查了实数运算，零指数幂，负整数指数幂，绝对值，算术平方根等知识，准确熟练地进行计算是解答本题的关键．
先根据零指数幂，负整数指数幂，绝对值，算术平方根化简，然后再进行计算即可解答．
【详解】解：，
，
，
．
10. 已知2a﹣1的算术平方根是5，a+b﹣2的平方根是±3，c+1的立方根是2，求a+b+c的值．
【解答】：∵2a﹣1的算术平方根是5，
∴2a﹣1=52=25，解得a=13，
∵a+b﹣2的平方根是±3
∴a+b﹣2=（±3）2=9，
∴b=﹣2，
又∵c+1的立方根是2，
∴c+1=23，解得c=7，
∴a+b+c=18．
11.利用运算律有时能进行简便计算．
请你参考黑板上老师的讲解，用运算律简便计算：
(1)999×(－15)；
(2)999×118＋999×(－)－999×18.
解：(1)原式＝(1 000－1)×(－15)
＝－15 000＋15
＝－14 985.
(2)原式＝999×[118＋(－)－18]
＝999×100
＝99 900.
三、解答题：
12.我们知道，实数与数轴上的点是一一对应的，任意一个实数在数轴上都能找到与之对应的点，比如我们可以在数轴上找到与数字2对应的点．
(1)在如图所示的数轴上，画出一个你喜欢的无理数，并用点A表示；
(2)(1)中所取点A表示的数字是2，相反数是－2，绝对值是2，倒数是，其到点5的距离是5－2；
(3)取原点为O，表示数字1的点为B，将(1)中点A向左平移2个单位长度，再取其关于点B的对称点C，求CO的长．
【解答】　解：(1)如图所示．(答案不唯一)
(3)将点A向左平移2个单位长度，得到点A′，则点A′表示的数字为2－2，其关于点B的对称点为C，
∵点B表示的数字为1，
∴点C表示的数字为2×1－(2－2)＝4－2.
∵2≈2×1.414＝2.828<4，
∴CO＝4－2.
13.小明早晨跑步，他从自己家出发，向东跑了2 km到达小彬家，继续向东跑了1.5 km到达小红家，然后又向西跑了4.5 km到达学校，最后又向东跑回到自己家．
(1)以小明家为原点，以向东为正方向，用1个单位长度表示1 km，在如图所示的数轴上，分别用点A表示出小彬家、用点B表示出小红家、用点C表示出学校的位置；
(2)求小彬家与学校之间的距离；
(3)如果小明跑步的速度是250 m/min，那么小明跑步一共用了多长时间？
解：(1)如图．
(2)小彬家与学校的距离是2－(－1)＝3(km)．
(3)小明一共跑了2＋1.5＋4.5＋1＝9(km)．
答：小明跑步一共用的时间是9 000÷250＝36(min)．
14. 已知a是最大的负整数，b是多项式2m2n﹣m3n2﹣m﹣2的次数，c是单项式﹣2xy2的系数，且a、b、c分别是点A、B、C在数轴上对应的数．
（1）求a、b、c的值，并在数轴上标出点A、B、C．
（2）若动点P、Q同时从A、B出发沿数轴负方向运动，点P的速度是每秒个单位长度，点Q的速度是每秒2个单位长度，求运动几秒后，点Q可以追上点P？
（3）在数轴上找一点M，使点M到A、B、C三点的距离之和等于10，请直接写出所有点M对应的数．（不必说明理由）．
【解答】解：（1）∵a是最大的负整数，∴a=﹣1，
∵b是多项式2m2n﹣m3n2﹣m﹣2的次数，∴b=3+2=5，
∵c是单项式﹣2xy2的系数，∴c=﹣2，
（2）∵动点P、Q同时从A、B出发沿数轴负方向运动，点P的速度是每秒个单位长度，点Q的速度是每秒2个单位长度，
∴AB=6，两点速度差为：2﹣，
∴=4，
答：运动4秒后，点Q可以追上点P．
（3）存在点M，使P到A、B、C的距离和等于10，
当M在AB之间，则M对应的数是2，
当M在C点左侧，则M对应的数是： .
　
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第01讲　实数及其有关概念
【考点梳理】
1．实数分类
(1)按实数的定义分类
(2)按正负分类
实数
2．实数的有关概念
(1)数轴：如图，规定了原点、正方向和单位长度的直线叫做数轴．
其中实数和数轴上的点一一对应．
(2)相反数：只有符号不相同的两个数互为相反数，即实数a的相反数是 ___，0的相反数是0；a与b 互为相反数 a＋b＝ _．
(3)绝对值
①定义：数轴上表示数a的点与原点的 _叫做数a的绝对值，记作|a|；
②性质：
|a|＝
|a|是一个非负数，即|a|>0.
(4)倒数：实数a的倒数是___，其中a≠0，a，b互为倒数 ab＝ __．
3．科学记数法，近似数
(1)科学记数法
①定义：把数x写成a×10n(1≤|a|＜10，且n为整数)的形式，这种记数方法叫做科学记数法；
②其中a是整数位数只有一位的数，即1≤|a|＜10；
当|x|≥1时，n为正整数，等于数x的整数部分的位数减1；
当|x|＜1时，n为负整数，其绝对值等于数x中非0数字前面所有0的个数(包含小数点前的0)．或将原数变为a时小数点向右平移的位数．
(2)近似数
一个近似数_ ___到哪一位，就说这个数精确到哪一位．
4. 有理数的运算
(1)有理数的加法
①法则：同号两数相加，取相同的符号，并把绝对值相加，绝对值不相等的异号两数相加，取绝对值较大的数的符号，并用较大的绝对值减去较小的绝对值；互为相反数的两个数相加为0；一个数加0，仍得这个数．
②运算律：加法交换律：a＋b＝b＋a；
加法结合律：(a＋b)＋c＝a＋(b＋c)．
(2)有理数的减法
减去一个数等于加上这个数的相反数，即a－b＝a＋(－b)．
(3)有理数的乘法
①法则：两数相乘，同号得正，异号得负，并把绝对值相乘．
任何数与0相乘，都得0.
②运算律：
a．乘法交换律：ab＝_ ____．
b．乘法结合律：(ab)c＝a(ac)．
c．乘法分配律：a(b＋c)＝ab＋ac.
(4)有理数的除法
①除以一个不等于0的数，等于乘以这个数的倒数，即a÷b＝a·.
②两数相除，同号得正，异号得负，并把 相除.0除以任何一个不等于0的数，都得0.
(5)有理数运算的顺序
①先乘方，再乘除，最后加减；
②同级运算，从左到右进行；
③如有括号，先做括号内的运算，按小括号、中括号、大括号依次进行计算.
【高频考点】
考点1：实数的分类
【例题1】2024的相反数是（ ）
A. B. C. 2024 D.
考点2：科学记数法
【例题2】新时代我国教育事业取得了历史性成就，目前我国已建成世界上规模最大的教育体系，教育现代化发展总体水平跨入世界中上国家行列，其中高等教育在学总规模达到4430万人，处于高等教育普及化阶段．4430万用科学记数法表示为（ ）
A. B. C. D.
考点3： 关于实数的概念考查
【例题3】实数在数轴上对应点的位置如图所示，若，则下列结论中正确的是（ ）
A. B. C. D.
【自我检测】
一、选择题：
1. 下面哪个数的绝对值最小（ ）
A. 0 B. C. D.
2. 实数 ，，，中无理数是（ ）
A. B. C. D.
3. 某种芯片每个探针单元的面积为0.0000064cm2，0.0000064用科学记数法表示为( )
A. 6.4×10－5 B. 6.4×106 C. 6.4×10－6 D. 6.4×105
4. 在比例尺为的宁波地图上，量得杭州湾大桥在地图上的距离为厘米，则桥实际长度用科学记数法可表示为（ ）米
A. B. C. D.
5. 如图，数轴上点A、B对应的实数分别是a、b，下列结论一定成立的是（ ）
A. B. C. D.
二、填空题：
6. 计算：________．
7.某地举办主题为“不忘初心，牢记使命”的报告会，参加会议的人员3451人，将3451用科学记数法表示为　 　．
8.如图，数轴的单位长度为1，如果点A表示的数是﹣1，那么点B表示的数是 .
三、计算题：
9. 计算：．
10. 已知2a﹣1的算术平方根是5，a+b﹣2的平方根是±3，c+1的立方根是2，求a+b+c的值．
11.利用运算律有时能进行简便计算．
请你参考黑板上老师的讲解，用运算律简便计算：
(1)999×(－15)；
(2)999×118＋999×(－)－999×18.
四、解答题：
12.我们知道，实数与数轴上的点是一一对应的，任意一个实数在数轴上都能找到与之对应的点，比如我们可以在数轴上找到与数字2对应的点．
(1)在如图所示的数轴上，画出一个你喜欢的无理数，并用点A表示；
(2)(1)中所取点A表示的数字是2，相反数是－2，绝对值是2，倒数是，其到点5的距离是 ；
(3)取原点为O，表示数字1的点为B，将(1)中点A向左平移2个单位长度，再取其关于点B的对称点C，求CO的长．
13.小明早晨跑步，他从自己家出发，向东跑了2 km到达小彬家，继续向东跑了1.5 km到达小红家，然后又向西跑了4.5 km到达学校，最后又向东跑回到自己家．
(1)以小明家为原点，以向东为正方向，用1个单位长度表示1 km，在如图所示的数轴上，分别用点A表示出小彬家、用点B表示出小红家、用点C表示出学校的位置；
(2)求小彬家与学校之间的距离；
(3)如果小明跑步的速度是250 m/min，那么小明跑步一共用了多长时间？
14. 已知a是最大的负整数，b是多项式2m2n﹣m3n2﹣m﹣2的次数，c是单项式﹣2xy2的系数，且a、b、c分别是点A、B、C在数轴上对应的数．
（1）求a、b、c的值，并在数轴上标出点A、B、C．
（2）若动点P、Q同时从A、B出发沿数轴负方向运动，点P的速度是每秒个单位长度，点Q的速度是每秒2个单位长度，求运动几秒后，点Q可以追上点P？
（3）在数轴上找一点M，使点M到A、B、C三点的距离之和等于10，请直接写出所有点M对应的数．（不必说明理由）．
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