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第7讲　一元二次方程及其应用
【考点梳理】
1．定义
只含有一个未知数，并且未知数的最高次数是2，这样的整式方程叫做一元二次方程．通常可写成如下的一般形式：ax2＋bx＋c＝0，其中a、b、c分别叫做二次项系数、一次项系数、常数项．
2．解法
(1)直接开平方法：方程符合x2＝m(m≥0)或(x±m)2＝n(n≥0)的形式；
(2)配方法：①二次项系数化为1；②移项；③配方：方程两边都加上一次项系数一半的平方；④原方程写成a(x＋h)2＝k的形式；⑤当k≥0时，直接开平方求解；
(3)公式法：①化为一般形式；②确定a，b，c的值；③求出b2－4ac的值；④当b2－4ac≥0时，将a，b，c的值代入得x＝；
(4)因式分解法：①将方程右边化为0；②将方程左边进行因式分解；③令每个因式为零，得两个一元一次方程；④解这两个一元一次方程，得原方程的两个根．
3．一元二次方程的根的判别式
对于一元二次方程ax2＋bx＋c＝0(a≠0)，其根的判别式为b2－4ac(或记为“Δ”)．
(1)b2－4ac＞0 方程有两个不相等的实数根；
(2)b2－4ac＝0 方程有两个相等的实数根；
(3)b2－4ac＜0 方程没有实数根；
(4)b2－4ac≥0 方程有实数根．
4．一元二次方程的根与系数的关系
若一元二次方程ax2＋bx＋c＝0(a≠0)的两根分别为x1，x2，则有x1＋x2＝－，x1x2＝．
5．一元二次方程的实际应用常见类型及关系
(1)增长率问题：设a为原来量，m为平均增长率，n为增长次数，b为增长后的量，则a(1＋m)n＝b；当m为平均下降率时，n为下降次数，b为下降后的量，则有a(1－m)n＝b.
(2)几何图形问题：
①面积问题：S长方形＝ab(a，b分别表示长和宽)；
S正方形＝a2(a表示边长)；
S圆＝πr2(r表示圆的半径)；
②体积问题：V长方体＝abh(a、b、h分别表示长、宽、高)；
V正方体＝a3(a表示边长)；
V圆锥＝πr2h(r表示底面圆的半径，h表示高)；
【高频考点】
考点1：一元二次方程的解法
【例题1】嘉淇同学用配方法推导一元二次方程ax2＋bx＋c＝0(a≠0)的求根公式时，对于b2－4ac＞0的情况，她是这样做的：由于a≠0，方程ax2＋bx＋c＝0变形为：
x2＋x＝－，……第一步
x2＋x＋()2＝－＋()2，……第二步
(x＋)2＝，……第三步
x＋＝(b2－4ac＞0)，……第四步
x＝.……第五步
(1)嘉淇的解法从第四步开始出现错误；事实上，当b2－4ac＞0时，方程ax2＋bx＋c＝0(a≠0)的求根公式是x＝；
(2)用配方法解方程：x2－2x－24＝0.
解：x2－2x＝24，
x2－2x＋1＝24＋1，
(x－1)2＝25，
x－1＝±5，
x＝1±5，
∴x1＝－4，x2＝6.
归纳：一元二次方程有四种解法：因式分解法、直接开平方法、配方法和公式法．
(1)若一元二次方程缺少常数项，且方程的右边为0，可考虑用因式分解法求解；
(2)若一元二次方程可分解因式或缺少一次项，可考虑用因式分解法或直接开平方法求解；
(3)若一元二次方程的二次项系数为1，且一次项的系数是偶数时或常数项非常大时，可考虑用配方法求解；
(4)若用以上三种方法都不容易求解时，可考虑用公式法求解．
考点2：一元二次方程的实际应用
【例题2】（2024·重庆·中考真题）随着经济复苏，某公司近两年的总收入逐年递增．该公司2021年缴税40万元，2023年缴税48.4万元，该公司这两年缴税的年平均增长率是 ．
【答案】
【分析】本题主要考查一元二次方程的应用．设平均增长率为x，然后根据题意可列方程进行求解．
【详解】解：设平均增长率为x，由题意得：
，
解得：，（不符合题意，舍去）；
故答案为：．
归纳：利用一元二次方程解决实际应用问题的关键是根据题干寻找等量关系，从而建立方程；解方程时要注意检验方程的根是否符合实际意义．
考点3： 一元二次方程与其它问题的综合应用
【例题3】在美丽乡村建设中，某县政府投入专项资金，用于乡村沼气池和垃圾集中处理点建设．该县政府计划：2018年前5个月，新建沼气池和垃圾集中处理点共计50个，且沼气池的个数不低于垃圾集中处理点个数的4倍．
（1）按计划，2018年前5个月至少要修建多少个沼气池？
（2）到2018年5月底，该县按原计划刚好完成了任务，共花费资金78万元，且修建的沼气池个数恰好是原计划的最小值．据核算，前5个月，修建每个沼气池与垃圾集中处理点的平均费用之比为1：2．为加大美丽乡村建设的力度，政府计划加大投入，今年后7个月，在前5个月花费资金的基础上增加投入10a%，全部用于沼气池和垃圾集中处理点建设．经测算：从今年6月起，修建每个沼气池与垃圾集中处理点的平均费用在2018年前5个月的基础上分别增加a%，5a%，新建沼气池与垃圾集中处理点的个数将会在2018年前5个月的基础上分别增加5a%，8a%，求a的值．
【分析】（1）设2018年前5个月要修建x个沼气池，则2018年前5个月要修建（50﹣x）个垃圾集中处理点，根据沼气池的个数不低于垃圾集中处理点个数的4倍，即可得出关于x的一元一次不等式，解之取其最小值即可得出结论；
（2）根据单价=总价÷数量可求出修建每个沼气池的平均费用，进而可求出修建每个垃圾集中点的平均费用，设y=a%结合总价=单价×数量即可得出关于y的一元二次方程，解之即可得出y值，进而可得出a的值．
【解答】（1）设2018年前5个月要修建x个沼气池，则2018年前5个月要修建（50﹣x）个垃圾集中处理点，
根据题意得：x≥4（50﹣x），
解得：x≥40．
答：按计划，2018年前5个月至少要修建40个沼气池．
（2）修建每个沼气池的平均费用为78÷[40+（50﹣40）×2]=1.3（万元），
修建每个垃圾处理点的平均费用为1.3×2=2.6（万元）．
根据题意得：1.3×（1+a%）×40×（1+5a%）+2.6×（1+5a%）×10×（1+8a%）=78×（1+10a%），
设y=a%，整理得：50y2﹣5y=0，
解得：y1=0（不合题意，舍去），y2=0.1，
∴a的值为10．
【自我检测】
一、选择题：
1. 若关于的一元二次方程有两个不相等的实数根，则c的值可能为（ ）
A. 3 B. 9 C. 10 D. 12
【答案】A
【分析】本题主要考查了根的判别式，熟知一元二次方程根的判别式是解题的关键．利用一元二次方程根的判别式即可解决问题．
【详解】解：由题知，
因为关于的一元二次方程有两个不相等的实数根，
所以△，
解得，
显然只有A选项符合题意．
故选：A．
2. 一元二次方程x2﹣3x+1＝0的两个根为x1，x2，则x12+3x2+x1x2﹣2的值是（　　）
A. 10 B. 9 C. 8 D. 7
【答案】D
【分析】先利用一元二次方程的解的定义得到x12=3x1-1，则x12+3x2+x1x2-2=3（x1+x2）+x1x2-3，接着利用根与系数的关系得到x1+x2=3，x1x2=1，然后利用整体代入的方法计算．
【详解】解：∵x1为一元二次方程x2﹣3x+1＝0的根，
∴x12﹣3x1+1＝0，
∴x12＝3x1﹣1，
∴x12+3x2+x1x2﹣2＝3x1﹣1+3x2+x1x2﹣2＝3（x1+x2）+x1x2﹣3，
根据题意得x1+x2＝3，x1x2＝1，
∴x12+3x2+x1x2﹣2＝3×3+1﹣3＝7．
故选D．
【点睛】本题考查了根与系数的关系：若x1，x2是一元二次方程ax2+bx+c=0（a≠0）的两根时，x1+x2=-，x1x2=．
3. 关于的一元二次方程有两个相等的实数根，则________．
【答案】
【分析】根据一元二次方程根与判别式的关系，列出关于m的方程，即可求解．
【详解】解：∵关于的一元二次方程有两个相等的实数根，
∴，解得：，
故答案是：．
【点睛】本题主要考查一元二次方程根与判别式的关系，掌握一元二次方程有两个实数根，则，是解题的关键．
4.若关于x的一元二次方程（k﹣2）x2﹣2kx+k＝6有实数根，则k的取值范围为（　　）
A．k≥0 B． k≥0且k≠2 C．k≥ D．k≥且k≠2
【分析】根据二次项系数非零结合根的判别式△≥0，即可得出关于k的一元一次不等式组，解之即可得出k的取值范围．
【解答】解：（k﹣2）x2﹣2kx+k﹣6＝0，
∵关于x的一元二次方程（k﹣2）x2﹣2kx+k＝6有实数根，
∴，
解得：k≥且k≠2．
故选：D．
5.欧几里得的《原本》记载，形如x2+ax=b2的方程的图解法是：画Rt△ABC，使∠ACB=90°，BC=，AC=b，再在斜边AB上截取BD=．则该方程的一个正根是（　　）
A．AC的长 B．AD的长 C．BC的长 D．CD的长
【分析】表示出AD的长，利用勾股定理求出即可．
【解答】欧几里得的《原本》记载，形如x2+ax=b2的方程的图解法是：画Rt△ABC，使∠ACB=90°，BC=，AC=b，再在斜边AB上截取BD=，
设AD=x，根据勾股定理得：（x+）2=b2+（）2，
整理得：x2+ax=b2，
则该方程的一个正根是AD的长，
故选：B．
二、填空题：
6. （2024·山东·中考真题）若关于的方程有两个相等的实数根，则的值为 ．
【答案】/
【分析】本题考查了根的判别式，牢记“当时，方程有两个相等的实数根”是解题的关键．
根据方程的系数结合根的判别式，即可得出，解之即可得出结论．
【详解】解：∵关于的方程有两个相等的实数根，
∴，
解得：．
故答案为：．
7. 如果关于x的一元二次方程有两个不相等的实数根，则m的取值范围是_________．
【答案】且
【分析】根据一元二次方程根的判别式，即可求解．
【详解】解：∵关于x的一元二次方程有两个不相等的实数根，
∴ 且 ，
即且 ，
∴且．
故答案为：且
【点睛】本题主要考查了一元二次方程根的判别式，熟练掌握一元二次方程 ，当 时，方程有两个不相等实数根；当 时，方程有两个相等实数根；当 时，方程没有实数根是解题的关键．
8. （2024·湖南·中考真题）若关于x的一元二次方程有两个相等的实数根，则k的值为 ．
【答案】2
【分析】本题考查根据一元二次方程根的情况求参数．一元二次方程有两个不相等的实数根，则；有两个相等的实数根，则；没有实数根，则．据此即可求解．
【详解】解：由题意得：，
解得：
故答案为：2
9. 我国三国时期的数学家赵爽巧妙地利用面积关系（后人称“赵爽弦图”）证明了勾股定理，是我国古代数学的骄傲．如图，该“赵爽弦图”是由四个全等的直角三角形和一个小正方形拼成的一个大正方形．已知小正方形的边长为3，大正方形的边长为7．设每个直角三角形的周长介于和之间，则整数的值为________．
【答案】16
【分析】本题考查了一元二次方程，勾股定理，无理数的估算，根据题意可得，根据题意可得的值，即可估算每个直角三角形的周长，熟练利用二次根式的估算是解题的关键．
【详解】解：小正方形的边长为3，大正方形的边长为7，
，
根据题意可得，
则设，
根据勾股定理可得，
即，
解得（负值舍去），
的周长为，
，
，
，
每个直角三角形的周长介于和之间，
，
故答案为：．
三、解答题：
10. 解方程：x2－1＝2(x＋1)．
【解答】　解：方法一(因式分解法)：
(x＋1)(x－1)＝2(x＋1)，
(x＋1)(x－3)＝0.
∴x＋1＝0或x－3＝0.
∴x1＝－1，x2＝3.
方法二(配方法)：
整理，得x2－2x＝3.
配方，得(x－1)2＝4.
两边开平方，得x－1＝±2.
解得x1＝－1，x2＝3.
方法三(公式法)：
整理成一般形式为x2－2x－3＝0.
∵a＝1，b＝－2，c＝－3，
∴Δ＝(－2)2－4×1×(－3)＝16>0.
∴x＝＝1±2.
∴x1＝－1，x2＝3.
11. 已知，一个矩形周长为56厘米．
(1)当矩形面积为180平方厘米时，长、宽分别为多少？
(2)能围成面积为200平方厘米的矩形吗？请说明理由．
【分析】　(1)设矩形的一边长为未知数，用周长公式表示出另一边长，根据矩形的面积公式列出相应方程求解即可；(2)同样列出方程，若方程有解则可，否则就不可以．
【解答】　解：(1)设矩形的长为x厘米，则另一边长为(28－x)厘米，依题意，得
x(28－x)＝180.解得x1＝10(舍去)，x2＝18.
则28－x＝28－18＝10.
答：长为18厘米，宽为10厘米．
(2)不能围成面积为200平方厘米的矩形．
理由：设矩形的长为x厘米，则宽为(28－x)厘米，依题意，得
x(28－x)＝200，即x2－28x＋200＝0，
则b2－4ac＝282－4×200＝784－800＜0，∴原方程无解．
故不能围成一个面积为200平方厘米的矩形．
12. （2024·四川凉山·中考真题）阅读下面材料，并解决相关问题：
下图是一个三角点阵，从上向下数有无数多行，其中第一行有1个点，第二行有2个点……第行有个点……
容易发现，三角点阵中前4行的点数之和为10．
(1)探索：三角点阵中前8行的点数之和为_____，前15行的点数之和为______，那么，前行的点数之和为______
(2)体验：三角点阵中前行的点数之和______（填“能”或“不能”）为500．
(3)运用：某广场要摆放若干种造型的盆景，其中一种造型要用420盆同样规格的花，按照第一排2盆，第二排4盆，第三排6盆……第排盆的规律摆放而成，则一共能摆放多少排？
【答案】(1)36；120；
(2)不能
(3)一共能摆放20排．
【分析】本题考查了一元二次方程的应用，找准等量关系，正确列出一元二次方程是解题的关键．
（1）根据图形，总结规律，列式计算即可求解；本号资料全部来源#于微信公众号：数学第六感
（2）根据前n行的点数和是500，即可得出关于n的一元二次方程，解之即可判断；
（2）先得到前n行的点数和是，再根据题意得出关于n的一元二次方程，解之即可得出n的值．
【详解】（1）解：三角点阵中前8行的点数之和为，
前15行的点数之和为，
那么，前行的点数之和为；
故答案为：36；120；；
（2）解：不能，
理由如下：
由题意得，
得，
，
∴此方程无正整数解，
所以三角点阵中前n行的点数和不能是500；
故答案为：不能；
（3）解：同理，前行的点数之和为，
由题意得，
得，即，
解得或（舍去），
∴一共能摆放20排．
13. 已知关于x的方程x2－(2m＋1)x＋m(m＋1)＝0.
(1)求证：方程总有两个不相等的实数根；
(2)已知方程的一个根为x＝0，求代数式(2m－1)2＋(3＋m)(3－m)＋7m－5的值．(要求先化简，再求值)
【解析】：(1)证明：∵Δ＝(2m＋1)2－4m(m＋1)＝1＞0.
∴方程总有两个不相等的实数根．
(2)∵x＝0是此方程的一个根，
∴把x＝0代入方程中得到m(m＋1)＝0.
∴原式＝4m2－4m＋1＋9－m2＋7m－5
＝3m2＋3m＋5
＝3m(m＋1)＋5
＝5.
14.已知关于的一元二次方程.
（1）求证：无论为任何实数，此方程总有两个实数根；
（2）若方程的两个实数根为、，满足，求的值；
（3）若△的斜边为5，另外两条边的长恰好是方程的两个根、，求的内切圆半径.
【解析】 （1）证明：，
无论为任何实数时，此方程总有两个实数根.
（2）由题意得：，，
，，即，
解得：；
（3）解方程得：，，
根据题意得：，即，
设直角三角形的内切圆半径为，如图，
由切线长定理可得：，
直角三角形的内切圆半径=；
15. 学习小组探究一元二次方程的新解法．
（1）运用函数与方程的思想，通过观察反比例函数与一次函数的图象，可判断方程的根的情况．
【解答过程】
∵；
∴方程两边同时除以，得．
移项，得，
∴，；
观察函数图象，若，则方程有两个不相等的实数根．
（2）运用转化思想，将方程变形为后可得或，从而解得原方程的根为，，当时，方程的两根，可使变形为．
【实际应用】
运用从上方法可解方程，直接写出因式分解的结果．
（3）运用数形结合的思想，从赵爽的《勾股图方注》解答，解为例，将其变形为，画出四个长为，宽为的图形．以图1的方式拼成一个“空心大正方形”，由图中大正方形的面积为，还可以表示四个矩形与一个边长为2的小正方形面积之和，即，可得方程，，不过这种做法只能得到方程的一个正根．
对于形如的一元二次方程可用于构造图来解，已知图是一个由四个面积为的全等的矩形构成，中间围成的正方形面积为，那么该方程的系数，分别为多少？并求得方程的一个正根，写出完整的解答过程．
【答案】（），，两函数图象有两个交点；（），；（），，方程的一个正根为或．
【解析】
【分析】（）根据等式的性质和函数图象性质即可求解；
（）按照仿例即可求解；
（）按照仿例即可求解；
本题考查了函数图象与一元二次方程，熟练掌握知识点的应用是解题的关键．
【详解】（）解：由得，
∵；
∴方程两边同时除以，得．
移项，得，
设，，
∴观察函数与图象，
∴两函数图象有两个交点，则方程有两个不相等的实数根，
故答案为：，，两函数图象有两个交点；
（）解：∵当时，方程的两根，，可使，
∴，
故答案为：；
∵，
∴，
∴，
∴，
∴，
，
故答案为：，；
（）解：∵，
∴，
如图，
设四个全等小矩形的长为，宽为，面积设为，大正方形的面积是，其中它又等于四个矩形的面积加中间小正方形的面积，即，
∵图是一个由四个面积为的全等的矩形构成，中间围成的正方形面积为，
∴，，解得：，
当时，，
∴，解得：，
∴方程的一个正根为；
当时，，
∴，解得：，
∴方程的一个正根为；
∴方程的一个正根为或．
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第7讲　一元二次方程及其应用
【考点梳理】
1．定义
只含有一个未知数，并且未知数的最高次数是2，这样的整式方程叫做一元二次方程．通常可写成如下的一般形式：ax2＋bx＋c＝0，其中a、b、c分别叫做二次项系数、一次项系数、常数项．
2．解法
(1)直接开平方法：方程符合x2＝m(m≥0)或(x±m)2＝n(n≥0)的形式；
(2)配方法：①二次项系数化为1；②移项；③配方：方程两边都加上一次项系数一半的平方；④原方程写成a(x＋h)2＝k的形式；⑤当k≥0时，直接开平方求解；
(3)公式法：①化为一般形式；②确定a，b，c的值；③求出b2－4ac的值；④当b2－4ac≥0时，将a，b，c的值代入得x＝；
(4)因式分解法：①将方程右边化为0；②将方程左边进行因式分解；③令每个因式为零，得两个一元一次方程；④解这两个一元一次方程，得原方程的两个根．
3．一元二次方程的根的判别式
对于一元二次方程ax2＋bx＋c＝0(a≠0)，其根的判别式为b2－4ac(或记为“Δ”)．
(1)b2－4ac＞0 方程有两个不相等的实数根；
(2)b2－4ac＝0 方程有两个相等的实数根；
(3)b2－4ac＜0 方程没有实数根；
(4)b2－4ac≥0 方程有实数根．
4．一元二次方程的根与系数的关系
若一元二次方程ax2＋bx＋c＝0(a≠0)的两根分别为x1，x2，则有x1＋x2＝－，x1x2＝．
5．一元二次方程的实际应用常见类型及关系
(1)增长率问题：设a为原来量，m为平均增长率，n为增长次数，b为增长后的量，则a(1＋m)n＝b；当m为平均下降率时，n为下降次数，b为下降后的量，则有a(1－m)n＝b.
(2)几何图形问题：
①面积问题：S长方形＝ab(a，b分别表示长和宽)；
S正方形＝a2(a表示边长)；
S圆＝πr2(r表示圆的半径)；
②体积问题：V长方体＝abh(a、b、h分别表示长、宽、高)；
V正方体＝a3(a表示边长)；
V圆锥＝πr2h(r表示底面圆的半径，h表示高)；
【高频考点】
考点1：一元二次方程的解法
【例题1】嘉淇同学用配方法推导一元二次方程ax2＋bx＋c＝0(a≠0)的求根公式时，对于b2－4ac＞0的情况，她是这样做的：由于a≠0，方程ax2＋bx＋c＝0变形为：
x2＋x＝－，……第一步
x2＋x＋()2＝－＋()2，……第二步
(x＋)2＝，……第三步
x＋＝(b2－4ac＞0)，……第四步
x＝.……第五步
(1)嘉淇的解法从第四步开始出现错误；事实上，当b2－4ac＞0时，方程ax2＋bx＋c＝0(a≠0)的求根公式是 ；
(2)用配方法解方程：x2－2x－24＝0.
考点2：一元二次方程的实际应用
【例题2】（2024·重庆·中考真题）随着经济复苏，某公司近两年的总收入逐年递增．该公司2021年缴税40万元，2023年缴税48.4万元，该公司这两年缴税的年平均增长率是 ．
考点3： 一元二次方程与其它问题的综合应用
【例题3】在美丽乡村建设中，某县政府投入专项资金，用于乡村沼气池和垃圾集中处理点建设．该县政府计划：2018年前5个月，新建沼气池和垃圾集中处理点共计50个，且沼气池的个数不低于垃圾集中处理点个数的4倍．
（1）按计划，2018年前5个月至少要修建多少个沼气池？
（2）到2018年5月底，该县按原计划刚好完成了任务，共花费资金78万元，且修建的沼气池个数恰好是原计划的最小值．据核算，前5个月，修建每个沼气池与垃圾集中处理点的平均费用之比为1：2．为加大美丽乡村建设的力度，政府计划加大投入，今年后7个月，在前5个月花费资金的基础上增加投入10a%，全部用于沼气池和垃圾集中处理点建设．经测算：从今年6月起，修建每个沼气池与垃圾集中处理点的平均费用在2018年前5个月的基础上分别增加a%，5a%，新建沼气池与垃圾集中处理点的个数将会在2018年前5个月的基础上分别增加5a%，8a%，求a的值．
【自我检测】
一、选择题：
1. 若关于的一元二次方程有两个不相等的实数根，则c的值可能为（ ）
A. 3 B. 9 C. 10 D. 12
2. 一元二次方程x2﹣3x+1＝0的两个根为x1，x2，则x12+3x2+x1x2﹣2的值是（　　）
A. 10 B. 9 C. 8 D. 7
3. 关于的一元二次方程有两个相等的实数根，则（ ）
A. 10 B. 9 C. 8 D. 7
4.若关于x的一元二次方程（k﹣2）x2﹣2kx+k＝6有实数根，则k的取值范围为（　　）
A．k≥0 B． k≥0且k≠2 C．k≥ D．k≥且k≠2
5.欧几里得的《原本》记载，形如x2+ax=b2的方程的图解法是：画Rt△ABC，使∠ACB=90°，BC=，AC=b，再在斜边AB上截取BD=．则该方程的一个正根是（　　）
A．AC的长 B．AD的长 C．BC的长 D．CD的长
二、填空题：
6. （2024·山东·中考真题）若关于的方程有两个相等的实数根，则的值为 ．
7. 如果关于x的一元二次方程有两个不相等的实数根，则m的取值范围是_________．
8. （2024·湖南·中考真题）若关于x的一元二次方程有两个相等的实数根，则k的值为 ．
9. 我国三国时期的数学家赵爽巧妙地利用面积关系（后人称“赵爽弦图”）证明了勾股定理，是我国古代数学的骄傲．如图，该“赵爽弦图”是由四个全等的直角三角形和一个小正方形拼成的一个大正方形．已知小正方形的边长为3，大正方形的边长为7．设每个直角三角形的周长介于和之间，则整数的值为________．
三、解答题：
10. 解方程：x2－1＝2(x＋1)．
11. 已知，一个矩形周长为56厘米．
(1)当矩形面积为180平方厘米时，长、宽分别为多少？
(2)能围成面积为200平方厘米的矩形吗？请说明理由．
12. （2024·四川凉山·中考真题）阅读下面材料，并解决相关问题：
下图是一个三角点阵，从上向下数有无数多行，其中第一行有1个点，第二行有2个点……第行有个点……
容易发现，三角点阵中前4行的点数之和为10．
(1)探索：三角点阵中前8行的点数之和为_____，前15行的点数之和为______，那么，前行的点数之和为______
(2)体验：三角点阵中前行的点数之和______（填“能”或“不能”）为500．
(3)运用：某广场要摆放若干种造型的盆景，其中一种造型要用420盆同样规格的花，按照第一排2盆，第二排4盆，第三排6盆……第排盆的规律摆放而成，则一共能摆放多少排？
13. 已知关于x的方程x2－(2m＋1)x＋m(m＋1)＝0.
(1)求证：方程总有两个不相等的实数根；
(2)已知方程的一个根为x＝0，求代数式(2m－1)2＋(3＋m)(3－m)＋7m－5的值．(要求先化简，再求值)
14.已知关于的一元二次方程.
（1）求证：无论为任何实数，此方程总有两个实数根；
（2）若方程的两个实数根为、，满足，求的值；
（3）若△的斜边为5，另外两条边的长恰好是方程的两个根、，求的内切圆半径.
15. 学习小组探究一元二次方程的新解法．
（1）运用函数与方程的思想，通过观察反比例函数与一次函数的图象，可判断方程的根的情况．
【解答过程】
∵；
∴方程两边同时除以，得．
移项，得，
∴，；
观察函数图象，若，则方程有两个不相等的实数根．
（2）运用转化思想，将方程变形为后可得或，从而解得原方程的根为，，当时，方程的两根，可使变形为．
【实际应用】
运用从上方法可解方程，直接写出因式分解的结果．
（3）运用数形结合的思想，从赵爽的《勾股图方注》解答，解为例，将其变形为，画出四个长为，宽为的图形．以图1的方式拼成一个“空心大正方形”，由图中大正方形的面积为，还可以表示四个矩形与一个边长为2的小正方形面积之和，即，可得方程，，不过这种做法只能得到方程的一个正根．
对于形如的一元二次方程可用于构造图来解，已知图是一个由四个面积为的全等的矩形构成，中间围成的正方形面积为，那么该方程的系数，分别为多少？并求得方程的一个正根，写出完整的解答过程．
21世纪教育网 www.21cnjy.com 精品试卷·第 2 页 （共 2 页）
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