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第8讲　分式方程及其应用
【考点梳理】
1．分式方程定义
分母中含有未知数的方程叫做分式方程．
2．分式方程解法
分式方程转化为整式方程，解方程，求出解，代入最简公分母进行检验，得出分式方程的解．
3．分式方程的增根
使最简公分母为0的根．
注意：分式方程的增根和无解并非同一个概念，分式方程无解，可能是解为增根，也可能是去分母后的整式方程无解；分式方程的增根是去分母后整式方程的根，也是使分式方程的分母为0的根．
4．分式方程的实际应用
(1)分式方程的实际应用常见类型及关系：
①工程问题：
工作效率＝；工作时间＝；
②销售问题：售价＝标价×折扣；
③行程问题：时间＝.
(2)解分式方程的实际应用问题的一般步骤：
①审：审清题意；
②设：设出适当的未知数(直接设未知数或者间接设未知数)；
③找：找出各量之间的等量关系；
④列：根据等量关系，列出分式方程；
⑤解：解这个分式方程；
⑥验：检验所求的解是否是原分式方程的解，是否满足题意；
⑦答：写出答案．
审清题意是前提，找等量关系是关键，列出方程是重点．
【高频考点】
考点1：分式方程的解法
【例题1】（2024·广东广州·中考真题）解方程：．
【答案】
【分析】本题考查的是解分式方程，掌握分式方程的解法是解题关键，注意检验．依次去分母、去括号、移项、合并同类项求解，检验后即可得到答案．
【详解】解：，
去分母得：，
去括号得：，
移项得：，
合并同类项得：，
解得：，
经检验，是原方程的解，
该分式方程的解为．
归纳：把分式方程转化为整式方程，再按照解整式方程的步骤解题，不同的是解分式方程需要验根．
考点2：分式方程的应用
【例题2】（2024·山东威海·中考真题）某公司为节能环保，安装了一批型节能灯，一年用电千瓦·时．后购进一批相同数量的型节能灯，一年用电千瓦·时．一盏型节能灯每年的用电量比一盏型节能灯每年用电量的倍少千瓦·时．求一盏型节能灯每年的用电量．
【答案】千瓦·时
【分析】本题考查分式方程的应用，根据题意列方程是关键，并注意检验．根据两种节能灯数量相等列式分式方程求解即可．
【详解】解：设一盏型节能灯每年的用电量为千瓦·时，
则一盏型节能灯每年的用电量为千瓦·时
整理得
解得
经检验：是原分式方程的解．
答：一盏型节能灯每年的用电量为千瓦·时.
归纳：列方程解实际问题时，必须验根，既要检查所求解是否为分式方程的增根，又要检查看是否满足应用题的实际意义．
考点3：分式方程与其它问题的综合应用
【例题3】阅读材料：被誉为“世界杂交水稻之父”的“共和国勋章”获得者袁隆平，成功研发出杂交水稻，杂交水稻的亩产量是普通水稻的亩产量的2倍．现有两块试验田，块种植杂交水稻，块种植普通水稻，块试验田比块试验田少4亩．
（1）块试验田收获水稻9600千克、块试验田收获水稻7200千克，求普通水稻和杂交水稻的亩产量各是多少千克？
（2）为了增加产量，明年计划将种植普通水稻的块试验田的一部分改种杂交水稻，使总产量不低于17700千克，那么至少把多少亩块试验田改种杂交水稻？
【答案】（1）普通水稻亩产量是600千克，杂交水稻的亩产量是1200千克．
（2）至少把B块试验田改亩种植杂交水稻．
【解析】
【分析】（1）设普通水稻的亩产量是x千克，则杂交水稻的亩产量是2x千克，利用种植亩数=总产量÷亩产量，结合A块试验田比B块试验田少4亩，即可得出关于x的分式方程，解之即可得出普通水稻的亩产量，再将其代入2x中即可求出杂交水稻的亩产量；
（2）设把B块试验田改y亩种植杂交水稻，利用总产量=亩产量×种植亩数，结合总产量不低于17700千克，即可得出关于y的一元一次不等式，解之取其中的最小值即可得出结论．
【详解】（1）解：设普通水稻亩产量是x千克，则杂交水稻的亩产量是2x千克，
依题意得：，
解得：；
经检验，x=600是原方程的解，且符合题意，
∴2x=2×600=1200．
答：普通水稻亩产量是600千克，杂交水稻的亩产量是1200千克．
（2）解：设把B块试验田改y亩种植杂交水稻，
依题意得：9600+600（）+1200y≥17700，
解得：．
答：至少把B块试验田改亩种植杂交水稻．
【点睛】本题考查了分式方程的应用以及一元一次不等式的应用，解题的关键是：（1）找准等量关系，正确列出分式方程；（2）根据各数量之间的关系，正确列出一元一次不等式．
【自我检测】
一、选择题：
1.解分式方程﹣2时，去分母变形正确的是（　　）
A．﹣1+x＝﹣1﹣2（x﹣2） B．1﹣x＝1﹣2（x﹣2）
C．﹣1+x＝1+2（2﹣x） D．1﹣x＝﹣1﹣2（x﹣2）
【分析】分式方程去分母转化为整式方程，即可得到结果．
【解答】解：去分母得：1﹣x＝﹣1﹣2（x﹣2），
故选：D．
2. 甲、乙两人完成一项工作，甲先做了3天，然后乙加入合作，完成剩下的工作，设工作总量为1，工作进度如右表：则完成这项工作共需（　　）
天数 第3天 第5天
工作进度
A. 9天 B. 10天 C. 11天 D. 12天
【答案】A
【详解】设乙自己做需x天，甲自己做需3÷=12天，
根据题意得，2（+）=﹣
解得x=24
则还需÷（+）=4天
所以完成这项工作共需4+5=9天
故选A．
3. （2024·广东省·中考真题）方程的解为（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】把分式方程去分母转化为整式方程，求出整式方程的解得到x的值，经检验即可得到分式方程的解．
【详解】解：
去分母得：，
去括号得：，
移项、合并同类项得：，
解得：x=9，
经检验：x=9是原分式方程的解，
故选：C．
4. （2024·黑龙江大兴安岭地·中考真题）已知关于x的分式方程无解，则k的值为（ ）
A．或 B． C．或 D．
【答案】A
【分析】本题考查了解分式方程无解的情况，理解分式方程无解的意义是解题的关键．先将分式方程去分母，化为整式方程，再分两种情况分别求解即可．
【详解】解：去分母得，，
整理得，，
当时，方程无解，
当时，令，
解得，
所以关于x的分式方程无解时，或．
故选：A．
5. 若数使关于x的不等式组有且只有四个整数解，且使关于y的方程的解为非负数，则符合条件的所有整数的和为( )
A． -3 B． -2 C．1 D．2
【分析】此题考查含参不等式和含参分式方程的应用，需要特别注意分式方程无解情况的考虑。
解析：解不等式，由于不等式有四个整数解，根据题意
A点为，则，解得。解分式方程得，又需排除分式方程无解的情况，故且.结合不等式组的结果有a的取值范围为，又a为整数,所以a的取值为,和为1.故选C
二、填空题：
6. 方程解是_________．
【答案】
【分析】分式方程去分母转化为整式方程，求出整式方程的解得到x的值，经检验即可得到分式方程的解．
本题考查了解分式方程，利用了转化思想，解分式方程注意检验．
【详解】解：，
去分母得，，
移项，合并同类项得，，
解得：，
经检验是分式方程的解，
故答案为： ．
7. 关于x的方程： 的解为正数，则m 的取值范围________．
【答案】且
【分析】本题主要考查分式方程的解，分式方程去分母转化为整式方程，由分式方程的解为正数，确定出的范围即可，在解方程的过程中因为在把分式方程化为整式方程的过程中，扩大了未知数的取值范围，可能产生增根，增根是令分母等于0的值，不是原分式方程的解．
【详解】解：去分母得：，
解得：，
分式方程的解为正数，
且，
解得：且．
故答案为：且．
8.若关于x的分式方程有增根，则m的值为　1　．
【分析】增根是化为整式方程后产生的不适合分式方程的根．所以应先确定增根的可能值，让最简公分母x﹣2＝0，得到x＝2，然后代入化为整式方程的方程算出m的值．
【解答】解：方程两边都乘x﹣2，得x﹣2m＝2m（x﹣2）
∵原方程有增根，
∴最简公分母x﹣2＝0，
解得x＝2，
当x＝2时，m＝1
故m的值是1，
故答案为1
三、解答题：
9. 解分式方程：＝1＋.
【解析】：方程两边同乘(x－5)，得x＋1＝x－5＋2x，
整理得，2x＝6，
解得x＝3.
检验：当x＝3时，x－5≠0，则x＝3是原分式方程的解
10. 每年的月日是全国爱眼日，眼睛是人类感官中最重要的器官之一，不当的用眼习惯会影响健康，某校在爱眼日到来之际，计划购买、两类护眼用具，已知类护眼用具每个的价格比类护眼用具便宜元，且用元购买的类护眼用具的个数与用元购买的类用具的个数相同，求、两类护眼用具的单价各是多少元？
【答案】类护眼用具的单价为元，类护眼用具的单价为元
【解析】
【分析】设类护眼用具的单价为元，则类护眼用具的单价为元，根据用元购买的类护眼用具的个数与用元购买的类用具的个数相同．列出分式方程，解方程即可．
本题考查了分式方程的应用，找准等量关系，正确列出分式方程是解题的关键．
【详解】解：设类护眼用具的单价为元，则类护眼用具的单价为元，
由题意得：，
解得：，
经检验，是原方程的解，且符合题意，
，
答：类护眼用具的单价为元，类护眼用具的单价为元．
11. （2024·四川自贡·中考真题）为传承我国传统节日文化，端午节前夕，某校组织了包粽子活动．已知七（3）班甲组同学平均每小时比乙组多包20个粽子，甲组包150个粽子所用的时间与乙组包120个粽子所用的时间相同．求甲，乙两组同学平均每小时各包多少个粽子．
【答案】甲组平均每小时包100个粽子，乙组平均每小时包80个粽子．
【分析】本题主要考查了分式方程的实际应用．设乙组每小时包个粽子，则甲组每小时包个粽子，根据时间等于总工作量除以工作效率，即可得出关于的分式方程，解之并检验后即可得出结果．
【详解】解：设乙组平均每小时包个粽子，则甲组平均每小时包个粽子，
由题意得：
，解得：，
经检验：是分式方程的解，且符合题意，
∴分式方程的解为：，
∴
答：甲组平均每小时包100个粽子，乙组平均每小时包80个粽子．
12.某公司计划购买A，B两种型号的机器人搬运材料．已知A型机器人比B型机器人每小时多搬运30kg材料，且A型机器人搬运1000kg材料所用的时间与B型机器人搬运800kg材料所用的时间相同．
（1）求A，B两种型号的机器人每小时分别搬运多少材料；
（2）该公司计划采购A，B两种型号的机器人共20台，要求每小时搬运材料不得少于2800kg，则至少购进A型机器人多少台？
【分析】（1）设B型机器人每小时搬运x千克材料，则A型机器人每小时搬运（x+30）千克材料，根据A型机器人搬运1000kg材料所用的时间与B型机器人搬运800kg材料所用的时间相同建立方程求出其解就可以得出结论．
（2）设购进A型机器人a台，根据每小时搬运材料不得少于2800kg列出不等式并解答．
解析：（1）设B型机器人每小时搬运x千克材料，则A型机器人每小时搬运（x+30）千克材料，
根据题意，得=，
解得x=120．
经检验，x=120是所列方程的解．
当x=120时，x+30=150．
答：A型机器人每小时搬运150千克材料，B型机器人每小时搬运120千克材料；
（2）设购进A型机器人a台，则购进B型机器人（20﹣a）台，
根据题意，得150a+120（20﹣a）≥2800，
解得a≥．
∵a是整数，
∴a≥14．
答：至少购进A型机器人14台．
13.列方程解应用题：
小明和小刚约定周末到某体育公园打羽毛球．他们两家到体育公园的距离分别是1200米，3000米，小刚骑自行车的速度是小明步行速度的3倍，若二人同时到达，则小明需提前4分钟出发，求小明和小刚两人的速度．
【分析】直接利用小刚骑自行车的速度是小明步行速度的3倍，若二人同时到达，则小明需提前4分钟出发，进而得出等式求出答案．
【解答】解：设小明的速度是x米/分钟，则小刚骑自行车的速度是3x米/分钟，根据题意可得：
，
解得：x＝50，
经检验得：x＝50是原方程的根，故3x＝150，
答：小明的速度是50米/分钟，则小刚骑自行车的速度是150米/分钟．
14.某商场购进甲、乙两种商品，甲种商品共用了2000元，乙种商品共用了2400元．已知乙种商品每件进价比甲种商品每件进价多8元，且购进的甲、乙两种商品件数相同．
（1）求甲、乙两种商品的每件进价；
（2）该商场将购进的甲、乙两种商品进行销售，甲种商品的销售单价为60元，乙种商品的销售单价为88元，销售过程中发现甲种商品销量不好，商场决定：甲种商品销售一定数量后，将剩余的甲种商品按原销售单价的七折销售；乙种商品销售单价保持不变．要使两种商品全部售完后共获利不少于2460元，问甲种商品按原销售单价至少销售多少件？
解：：（1）设甲种商品的每件进价为x元，则乙种商品的每件进价为（x+8）元．
根据题意，得， =，
解得 x=40．
经检验，x=40是原方程的解．
答：甲种商品的每件进价为40元，乙种商品的每件进价为48元；
（2）甲乙两种商品的销售量为=50．
设甲种商品按原销售单价销售a件，则
（60﹣40）a+（60×0.7﹣40）（50﹣a）+（88﹣48）×50≥2460，
解得 a≥20．
答：甲种商品按原销售单价至少销售20件．
15. （2024·广西·中考真题）综合与实践
在综合与实践课上，数学兴趣小组通过洗一套夏季校服，探索清洗衣物的节约用水策略．
【洗衣过程】
步骤一：将校服放进清水中，加入洗衣液，充分浸泡揉搓后拧干；
步骤二：将拧干后的校服放进清水中，充分漂洗后拧干．重复操作步骤二，直至校服上残留洗衣液浓度达到洗衣目标．
假设第一次漂洗前校服上残留洗衣液浓度为，每次拧干后校服上都残留水．
浓度关系式：．其中、分别为单次漂洗前、后校服上残留洗衣液浓度；w为单次漂洗所加清水量（单位：）
【洗衣目标】经过漂洗使校服上残留洗衣液浓度不高于
【动手操作】请按要求完成下列任务：
(1)如果只经过一次漂洗，使校服上残留洗衣液浓度降为，需要多少清水？
(2)如果把清水均分，进行两次漂洗，是否能达到洗衣目标？
(3)比较（1）和（2）的漂洗结果，从洗衣用水策略方面，说说你的想法．
【答案】(1)只经过一次漂洗，使校服上残留洗衣液浓度降为，需要清水．
(2)进行两次漂洗，能达到洗衣目标；
(3)两次漂洗的方法值得推广学习
【分析】本题考查的是分式方程的实际应用，求解代数式的值，理解题意是关键；
（1）把，代入， 再解方程即可；
（2）分别计算两次漂洗后的残留洗衣液浓度，即可得到答案；
（3）根据（1）（2）的结果得出结论即可．
【详解】（1）解：把，代入
得，
解得．经检验符合题意；
∴只经过一次漂洗，使校服上残留洗衣液浓度降为，需要清水．
（2）解：第一次漂洗：
把，代入，
∴，
第二次漂洗：
把，代入，
∴，
而，
∴进行两次漂洗，能达到洗衣目标；
（3）解：由（1）（2）的计算结果发现：经过两次漂洗既能达到洗衣目标，还能大幅度节约用水，
∴从洗衣用水策略方面来讲，采用两次漂洗的方法值得推广学习．
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第8讲　分式方程及其应用
【考点梳理】
1．分式方程定义
分母中含有未知数的方程叫做分式方程．
2．分式方程解法
分式方程转化为整式方程，解方程，求出解，代入最简公分母进行检验，得出分式方程的解．
3．分式方程的增根
使最简公分母为0的根．
注意：分式方程的增根和无解并非同一个概念，分式方程无解，可能是解为增根，也可能是去分母后的整式方程无解；分式方程的增根是去分母后整式方程的根，也是使分式方程的分母为0的根．
4．分式方程的实际应用
(1)分式方程的实际应用常见类型及关系：
①工程问题：
工作效率＝；工作时间＝；
②销售问题：售价＝标价×折扣；
③行程问题：时间＝.
(2)解分式方程的实际应用问题的一般步骤：
①审：审清题意；
②设：设出适当的未知数(直接设未知数或者间接设未知数)；
③找：找出各量之间的等量关系；
④列：根据等量关系，列出分式方程；
⑤解：解这个分式方程；
⑥验：检验所求的解是否是原分式方程的解，是否满足题意；
⑦答：写出答案．
审清题意是前提，找等量关系是关键，列出方程是重点．
【高频考点】
考点1：分式方程的解法
【例题1】（2024·广东广州·中考真题）解方程：．
考点2：分式方程的应用
【例题2】（2024·山东威海·中考真题）某公司为节能环保，安装了一批型节能灯，一年用电千瓦·时．后购进一批相同数量的型节能灯，一年用电千瓦·时．一盏型节能灯每年的用电量比一盏型节能灯每年用电量的倍少千瓦·时．求一盏型节能灯每年的用电量．
考点3：分式方程与其它问题的综合应用
【例题3】阅读材料：被誉为“世界杂交水稻之父”的“共和国勋章”获得者袁隆平，成功研发出杂交水稻，杂交水稻的亩产量是普通水稻的亩产量的2倍．现有两块试验田，块种植杂交水稻，块种植普通水稻，块试验田比块试验田少4亩．
（1）块试验田收获水稻9600千克、块试验田收获水稻7200千克，求普通水稻和杂交水稻的亩产量各是多少千克？
（2）为了增加产量，明年计划将种植普通水稻的块试验田的一部分改种杂交水稻，使总产量不低于17700千克，那么至少把多少亩块试验田改种杂交水稻？
【自我检测】
一、选择题：
1.解分式方程﹣2时，去分母变形正确的是（　　）
A．﹣1+x＝﹣1﹣2（x﹣2） B．1﹣x＝1﹣2（x﹣2）
C．﹣1+x＝1+2（2﹣x） D．1﹣x＝﹣1﹣2（x﹣2）
2. 甲、乙两人完成一项工作，甲先做了3天，然后乙加入合作，完成剩下的工作，设工作总量为1，工作进度如右表：则完成这项工作共需（　　）
天数 第3天 第5天
工作进度
A. 9天 B. 10天 C. 11天 D. 12天
3. （2024·广东省·中考真题）方程的解为（ ）
A． B． C． D．
4. （2024·黑龙江大兴安岭地·中考真题）已知关于x的分式方程无解，则k的值为（ ）
A．或 B． C．或 D．
5. 若数使关于x的不等式组有且只有四个整数解，且使关于y的方程的解为非负数，则符合条件的所有整数的和为( )
A． -3 B． -2 C．1 D．2
二、填空题：
6. 方程解是_________．
7. 关于x的方程： 的解为正数，则m 的取值范围________．
8.若关于x的分式方程有增根，则m的值为　　．
三、解答题：
9. 解分式方程：＝1＋.
10. 每年的月日是全国爱眼日，眼睛是人类感官中最重要的器官之一，不当的用眼习惯会影响健康，某校在爱眼日到来之际，计划购买、两类护眼用具，已知类护眼用具每个的价格比类护眼用具便宜元，且用元购买的类护眼用具的个数与用元购买的类用具的个数相同，求、两类护眼用具的单价各是多少元？
11. （2024·四川自贡·中考真题）为传承我国传统节日文化，端午节前夕，某校组织了包粽子活动．已知七（3）班甲组同学平均每小时比乙组多包20个粽子，甲组包150个粽子所用的时间与乙组包120个粽子所用的时间相同．求甲，乙两组同学平均每小时各包多少个粽子．
12.某公司计划购买A，B两种型号的机器人搬运材料．已知A型机器人比B型机器人每小时多搬运30kg材料，且A型机器人搬运1000kg材料所用的时间与B型机器人搬运800kg材料所用的时间相同．
（1）求A，B两种型号的机器人每小时分别搬运多少材料；
（2）该公司计划采购A，B两种型号的机器人共20台，要求每小时搬运材料不得少于2800kg，则至少购进A型机器人多少台？
13.列方程解应用题：
小明和小刚约定周末到某体育公园打羽毛球．他们两家到体育公园的距离分别是1200米，3000米，小刚骑自行车的速度是小明步行速度的3倍，若二人同时到达，则小明需提前4分钟出发，求小明和小刚两人的速度．
14.某商场购进甲、乙两种商品，甲种商品共用了2000元，乙种商品共用了2400元．已知乙种商品每件进价比甲种商品每件进价多8元，且购进的甲、乙两种商品件数相同．
（1）求甲、乙两种商品的每件进价；
（2）该商场将购进的甲、乙两种商品进行销售，甲种商品的销售单价为60元，乙种商品的销售单价为88元，销售过程中发现甲种商品销量不好，商场决定：甲种商品销售一定数量后，将剩余的甲种商品按原销售单价的七折销售；乙种商品销售单价保持不变．要使两种商品全部售完后共获利不少于2460元，问甲种商品按原销售单价至少销售多少件？
15. （2024·广西·中考真题）综合与实践
在综合与实践课上，数学兴趣小组通过洗一套夏季校服，探索清洗衣物的节约用水策略．
【洗衣过程】
步骤一：将校服放进清水中，加入洗衣液，充分浸泡揉搓后拧干；
步骤二：将拧干后的校服放进清水中，充分漂洗后拧干．重复操作步骤二，直至校服上残留洗衣液浓度达到洗衣目标．
假设第一次漂洗前校服上残留洗衣液浓度为，每次拧干后校服上都残留水．
浓度关系式：．其中、分别为单次漂洗前、后校服上残留洗衣液浓度；w为单次漂洗所加清水量（单位：）
【洗衣目标】经过漂洗使校服上残留洗衣液浓度不高于
【动手操作】请按要求完成下列任务：
(1)如果只经过一次漂洗，使校服上残留洗衣液浓度降为，需要多少清水？
(2)如果把清水均分，进行两次漂洗，是否能达到洗衣目标？
(3)比较（1）和（2）的漂洗结果，从洗衣用水策略方面，说说你的想法．
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