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第10讲　平面直角坐标系与函数
【考点梳理】
1．平面直角坐标系中点坐标的特征
注意：坐标轴不属于任何象限．
2．对称点坐标的规律
(1)坐标平面内，点P(x，y)关于x轴(横轴)的对称点P1的坐标为(x，－y)；
(2)坐标平面内，点P(x，y)关于y轴(纵轴)的对称点P2的坐标为(－x，y)；
(3)坐标平面内，点P(x，y)关于原点的对称点P3的坐标为(－x，－y)．
口诀记忆：关于谁轴对称谁不变，关于原点对称都要变．
3．平移前后，点的坐标的变化规律
(1)点(x，y)左移a个单位长度：(x－a，y)；
(2)点(x，y)右移a个单位长度：(x＋a，y)；
(3)点(x，y)上移a个单位长度：(x，y＋a)；
(4)点(x，y)下移a个单位长度：(x，y－a)．
口诀记忆：正向右负向左，正向上负向下．
4．点坐标到坐标轴及原点的距离
(1)点P(a，b)到x轴的距离为|b|；
(2)点P(a，b)到y轴的距离为|a| ；
(3)点P(a，b)到原点的距离为.
5．常量、变量
在某一过程中，保持数值不变的量叫做常量；可以取不同数值的量叫做变量．
6．函数
一般地，设在一个变化过程中有两个变量x与y，如果对于x的每一个确定的值，y都有唯一确定的值与它对应，那么就说x是自变量，y是x的函数．
7．函数自变量的取值范围
①整式型：自变量取全体实数；
②分式型：自变量取值要使分母不为0；
③二次根式型：自变量取值要使被开方数大于等于0.对于具有实际意义的函数，自变量取值范围还应使实际问题有意义．
8．函数的表示方法及图象：
(1)函数的三种表示方法：列表法；图象法；解析式法．
(2)函数图象的画法：
①描点法画函数图象的步骤：列表、描点、连线．
②画函数图象时应注意该函数的自变量的取值范围.
【高频考点】
考点1： 直角坐标系与点坐标
【例题1】在平面直角坐标系中，点P（﹣2，x2+1）所在的象限是（　　）
A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限
【分析】根据非负数的性质确定出点P的纵坐标是正数，然后根据各象限内点的坐标特征解答．
解析：∵x2≥0，
∴x2+1≥1，
∴点P（﹣2，x2+1）在第二象限．
故选：B．
归纳：考查通过作坐标系确定点的位置，关键是根据题中所给坐标画出适当的坐标系，再根据所求点在坐标系中的位置求出点坐标即可．
考点2： 坐标与变换
【例题2】在平面直角坐标系中，将点先向左平移1个单位，再向下平移2个单位，最后所得点的坐标是 （ ）
A. B. C. D.
【答案】A
【分析】本题考查坐标与图形变化．根据点的坐标平移规则“左减右加，上加下减”求解即可．
【详解】解：将点向左平移1个单位长度，再向下平移2个单位长度得到的点的坐标是，
故选：A．
归纳：采用列表、绘图、对比等方法来感知图形变换与坐标之间的关系，平移问题就可利用坐标平面内图形左、右或上、下平移后对应点的坐标关系来解决．本类题主要考查坐标与图形的变化﹣平移，解题的关键是掌握点的坐标的平移规律：横坐标，右移加，左移减；纵坐标，上移加，下移减．
考点3： 关于坐标的规律探究
【例题3】（2024·黑龙江绥化·中考真题）如图，已知，，，，，，，…，依此规律，则点的坐标为 ．
【答案】
【分析】本题考查了点坐标的规律探究．解题的关键在于根据题意推导出一般性规律．根据题意可知个点坐标的纵坐标为一个循环，的坐标为，据此可求得的坐标．
【详解】解：∵，，，，，，，…，，
∴可知个点坐标的纵坐标为一个循环，的坐标为，
∵，
∴的坐标为．
∴的坐标为
故答案为：．
考点3： 函数图像的判断
【例题3】(（2024·四川凉山·中考真题）匀速地向如图所示的容器内注水，直到把容器注满．在注水过程中，容器内水面高度随时间变化的大致图象是（ ）
A．B．C． D．
【答案】C
【分析】本题考查了函数图象，根据容器最下面圆柱底面积最小，中间圆柱底面积最大，最上面圆柱底面积最较大即可判断求解，正确识图是解题的关键．
【详解】解：由容器可知，最下面圆柱底面积最小，中间圆柱底面积最大，最上面圆柱底面积最较大，所以一开始水面高度上升的很快，然后很慢，最后又上升的更快点，
故选：．
【自我检测】
一、选择题：
1. 如图，点都在方格纸的格点上，若点A的坐标为，点B的坐标为，则点C的坐标是（ ）
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】根据点的坐标建立平面直角坐标系，由此即可得出答案．
【详解】解：由点的坐标建立平面直角坐标系如下：
则点的坐标为，
故选：D．
【点睛】本题考查了求点的坐标，正确建立平面直角坐标系是解题关键．
2.点A（2，﹣5）关于x轴对称的点的坐标是（　　）
A．（2，5） B．（﹣2，5） C．（﹣2，﹣5） D．（﹣5，2）
【分析】根据“关于x轴对称的点，横坐标相同，纵坐标互为相反数”解答．
【解答】解：点A（2，﹣5）关于x轴的对称点B的坐标为（2，5）．
故选：A．
3. （2024·广西·中考真题）如图，在平面直角坐标系中，点O为坐标原点，点P的坐标为，则点Q的坐标为（ ）

A． B． C． D．
【答案】C
【分析】本题主要考查点的坐标，理解点的坐标意义是关键．根据点P的坐标可得出横、纵轴上一格代表一个单位长度，然后观察坐标系即可得出答案．
【详解】解：∵点P的坐标为，
∴点Q的坐标为，
故选：C．
4. （2024·山东威海·中考真题）定义新运算：
①在平面直角坐标系中，表示动点从原点出发，沿着轴正方向（）或负方向（）．平移个单位长度，再沿着轴正方向（）或负方向（）平移个单位长度．例如，动点从原点出发，沿着轴负方向平移个单位长度，再沿着轴正方向平移个单位长度，记作．
②加法运算法则：，其中，，，为实数．
若，则下列结论正确的是（ ）
A．， B．，
C．， D．，
【答案】B
【分析】本题考查了新定义运算，平面直角坐标系，根据新定义得出，即可求解．
【详解】解：∵，
∴
解得：，
故选：B．
5.如图，在矩形ABCD中，AB＝2，BC＝3，动点P沿折线BCD从点B开始运动到点D．设运动的路程为x，△ADP的面积为y，那么y与x之间的函数关系的图象大致是（　　）
A．B．C．D．
【分析】由题意当0≤x≤3时，y＝3，当3＜x＜5时，y＝×3×（5﹣x）＝﹣x+ ．由此即可判断．
【解答】解：由题意当0≤x≤3时，y＝3，
当3＜x＜5时，y＝×3×（5﹣x）＝﹣x+．
故选：D．
二、填空题：
6. 已知点位于第三象限，则a的取值范围是________．
【答案】
【解析】
【分析】本题考查了点的坐标，在第三象限的点的横坐标和纵坐标都是负数，据此列式计算，即可作答．
【详解】解：∵点位于第三象限，
∴
∴
故答案为：
7. 函数中，自变量x的取值范围是________．
【答案】x≥0
【解析】
【分析】根据二次根式有意义的条件：被开方数为非负数列不等式即可得答案．
【详解】∵有意义，
∴x≥0．
故答案为：x≥0
【点睛】本题考查了函数自变量的取值范围，主要涉及二次根式有意义的条件，解题关键是熟记二次根式有意义的条件为：被开方数必须大于或等于0．
8.中国象棋是中华名族的文化瑰宝，因趣味性强，深受大众喜爱．如图，若在象棋棋盘上建立平面直角坐标系，使“帅”位于点（0，﹣2），“马”位于点（4，﹣2），则“兵”位于点　（﹣1，1）　．
【分析】直接利用“帅”位于点（0，﹣2），可得原点的位置，进而得出“兵”的坐标．
【解答】解：如图所示：可得原点位置，则“兵”位于（﹣1，1）．
故答案为：（﹣1，1）．
9. （2024·山东·中考真题）任取一个正整数，若是奇数，就将该数乘3再加上1；若是偶数，就将该数除以2．反复进行上述两种运算，经过有限次运算后，必进入循环圈1→4→2→1，这就是“冰雹猜想”．在平面直角坐标系中，将点中的，分别按照“冰雹猜想”同步进行运算得到新的点的横、纵坐标，其中，均为正整数．例如，点经过第1次运算得到点，经过第2次运算得到点，以此类推．则点经过2024次运算后得到点 ．
【答案】
【分析】本题考查了新定义，点的规律，根据新定义依次计算出各点的坐标，然后找出规律，最后应用规律求解即可．
【详解】解：点经过1次运算后得到点为，即为，
经过2次运算后得到点为，即为，
经过3次运算后得到点为，即为，
……，
发现规律：点经过3次运算后还是，
∵，
∴点经过2024次运算后得到点，
故答案为：．
三、解答题：
10.若点P的坐标为（，2x﹣9），其中x满足不等式组，求点P所在的象限．
【分析】先求出不等式组的解集，进而求得P点的坐标，即可求得点P所在的象限．
【解答】解：，
解①得：x≥4，
解②得：x≤4，
则不等式组的解是：x＝4，
∵＝1，2x﹣9＝﹣1，
∴点P的坐标为（1，﹣1），
∴点P在的第四象限．
11. 线段AB在直角坐标系中的位置如图．
（1）写出A、B两点的坐标．
（2）在y轴上找点C，使BC长度最短，写出点C的坐标．
（3）连接AC、BC并求出三角形ABC的面积．
（4）将三角形ABC平移，使点B与原点重合，画出平移后的三角形A1B1C1．
【解答】（1）A（1，3），B（3，1）；
（2）C（0，1）；
（3）三角形ABC的面积：×3×2=3；
（4）如图所示：△A1B1C1即为所求．
12. 在直角坐标系中，已知线段AB，点A的坐标为（1，﹣2），点B的坐标为（3，0），如图1所示．
（1）平移线段AB到线段CD，使点A的对应点为D，点B的对应点为C，若点C的坐标为（﹣2，4），求点D的坐标；
（2）平移线段AB到线段CD，使点C在y轴的正半轴上，点D在第二象限内，连接BC，BD，如图2所示．若S△BCD=7（S△BCD表示三角形BCD的面积），求点C、D的坐标．
（3）在（2）的条件下，在y轴上是否存在一点P，使=（S△PCD表示三角形PCD的面积）？若存在，求出点P的坐标；若不存在，请说明理由．
【分析】（1）利用平移得性质确定出平移得单位和方向；
（2）根据平移得性质，设出平移单位，根据S△BCD=7（S△BCD建立方程求解，即可，
（3）设出点P的坐标，表示出PC用=，建立方程求解即可．
【解答】解：（1）∵B（3，0）平移后的对应点C（﹣2，4），
∴设3+a=﹣2，0+b=4，
∴a=﹣5，b=4，
即：点B向左平移5个单位，再向上平移4个单位得到点C（﹣2，4），
∴A点平移后的对应点D（﹣4，2），
（2）∵点C在y轴上，点D在第二象限，
∴线段AB向左平移3个单位，再向上平移（2+y）个单位，符合题意，
∴C（0，2+y），D（﹣2，y），
连接OD，
S△BCD=S△BOC+S△COD﹣S△BOD
=OB×OC+OC×2﹣OB×y=7，
∴y=2，
∴C（0，4）．D（﹣2，2）；
（3）设点P（0，m），
∴PC=|4﹣m|，
∵=，
∴|4﹣m|×2=×7，
∴|4﹣m|=，
∴m=﹣或m=，
∴存在点P，其坐标为（0，﹣）或（0，）．
13.如图①，在矩形ABCD中，AB＜AD，对角线AC，BD相交于点O，动点P由点A出发，沿AB→BC→CD向点D运动．设点P的运动路程为x，△AOP的面积为y，y与x的函数关系图象如图②所示，则AD边的长为多少？
【分析】当P点在AB上运动时，△AOP面积逐渐增大，当P点到达B点时，结合图象可得△AOP面积最大为3，得到AB与BC的积为12；当P点在BC上运动时，△AOP面积逐渐减小，当P点到达C点时，△AOP面积为0，此时结合图象可知P点运动路径长为7，得到AB与BC的和为7，构造关于AB的一元二方程可求解．
【解答】解：当P点在AB上运动时，△AOP面积逐渐增大，当P点到达B点时，△AOP面积最大为3．
∴AB BC＝3，即AB BC＝12．
当P点在BC上运动时，△AOP面积逐渐减小，当P点到达C点时，△AOP面积为0，此时结合图象可知P点运动路径长为7，
∴AB+BC＝7．
则BC＝7﹣AB，代入AB BC＝12，得AB2﹣7AB+12＝0，解得AB＝4或3，
因为AB＜AD，即AB＜BC，
所以AB＝3，BC＝4．
14.小红帮弟弟荡秋千（如图1），秋千离地面的高度h（m）与摆动时间t（s）之间的关系如图2所示．
（1）根据函数的定义，请判断变量h是否为关于t的函数？
（2）结合图象回答：
①当t=0.7s时，h的值是多少？并说明它的实际意义．
②秋千摆动第一个来回需多少时间？
【分析】（1）根据图象和函数的定义可以解答本题；
（2）①根据函数图象可以解答本题；
②根据函数图象中的数据可以解答本题．
【解答】（1）由图象可知，
对于每一个摆动时间t，h都有唯一确定的值与其对应，
∴变量h是关于t的函数；
（2）①由函数图象可知，
当t=0.7s时，h=0.5m，它的实际意义是秋千摆动0.7s时，离地面的高度是0.5m；
②由图象可知，
秋千摆动第一个来回需2.8s．
15. 某机器工作至电量剩余时开始充电．充电系统提供两种不同的充电模式，机器剩余电量（单位：）与充电时间（单位：min）的关系如下表所示：
充电时间（） 0 5 10 15 20 25 30
模式一剩余电量（） 10 25 55 70 85 100
模式二剩余电量（） 10 31 57 78 90 97 100
（1）① ；
②通过数据分析，发现可以用函数来刻画与，与之间的关系，在给定的平面直角坐标系（图）中画出这两个函数图象；
（2）充电系统通过调节充电电流（单位：安培）来控制电量，已知充电模式一的初始电流为安培，剩余电量每增加，充电电流将减小安培，则分钟时充电模式一的充电电流 安培；充电模式二的充电电流与充电时间的函数关系如图所示．根据以上数据并结合函数图象判断：当两种充电模式的电流相同时，剩余电量相差约 ．
【答案】（1）①；②画图见解析
（2），
【分析】（）由表格可知，的值每增加，的值增加，进而即可求解；
（）①根据表格数值描点连线画出图象即可；②根据题意可求出的值及与的函数关系式，进而画出图象即可求解；
本题考查了函数的综合应用，理解题意是解题的关键
【详解】（1）解：①由表格可知，的值每增加，的值增加，
∴，
故答案为：；
②根据表格数据描点连线画出函数图象如下：
（2）解：∵时，，
∴安培；
由题意得，充电模式一的电流：，
当时，；当时，，
∴充电模式一的充电电流与充电时间的函数关系图象如下：
由函数图象可知，当时，两种充电模式的电流相同，
∴剩余电量相差约，
故答案为：，．
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第10讲　平面直角坐标系与函数
【考点梳理】
1．平面直角坐标系中点坐标的特征
注意：坐标轴不属于任何象限．
2．对称点坐标的规律
(1)坐标平面内，点P(x，y)关于x轴(横轴)的对称点P1的坐标为(x，－y)；
(2)坐标平面内，点P(x，y)关于y轴(纵轴)的对称点P2的坐标为(－x，y)；
(3)坐标平面内，点P(x，y)关于原点的对称点P3的坐标为(－x，－y)．
口诀记忆：关于谁轴对称谁不变，关于原点对称都要变．
3．平移前后，点的坐标的变化规律
(1)点(x，y)左移a个单位长度：(x－a，y)；
(2)点(x，y)右移a个单位长度：(x＋a，y)；
(3)点(x，y)上移a个单位长度：(x，y＋a)；
(4)点(x，y)下移a个单位长度：(x，y－a)．
口诀记忆：正向右负向左，正向上负向下．
4．点坐标到坐标轴及原点的距离
(1)点P(a，b)到x轴的距离为|b|；
(2)点P(a，b)到y轴的距离为|a| ；
(3)点P(a，b)到原点的距离为.
5．常量、变量
在某一过程中，保持数值不变的量叫做常量；可以取不同数值的量叫做变量．
6．函数
一般地，设在一个变化过程中有两个变量x与y，如果对于x的每一个确定的值，y都有唯一确定的值与它对应，那么就说x是自变量，y是x的函数．
7．函数自变量的取值范围
①整式型：自变量取全体实数；
②分式型：自变量取值要使分母不为0；
③二次根式型：自变量取值要使被开方数大于等于0.对于具有实际意义的函数，自变量取值范围还应使实际问题有意义．
8．函数的表示方法及图象：
(1)函数的三种表示方法：列表法；图象法；解析式法．
(2)函数图象的画法：
①描点法画函数图象的步骤：列表、描点、连线．
②画函数图象时应注意该函数的自变量的取值范围.
【高频考点】
考点1： 直角坐标系与点坐标
【例题1】在平面直角坐标系中，点P（﹣2，x2+1）所在的象限是（　　）
A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限
考点2： 坐标与变换
【例题2】在平面直角坐标系中，将点先向左平移1个单位，再向下平移2个单位，最后所得点的坐标是 （ ）
A. B. C. D.
考点3： 关于坐标的规律探究
【例题3】（2024·黑龙江绥化·中考真题）如图，已知，，，，，，，…，依此规律，则点的坐标为 ．
考点3： 函数图像的判断
【例题3】(（2024·四川凉山·中考真题）匀速地向如图所示的容器内注水，直到把容器注满．在注水过程中，容器内水面高度随时间变化的大致图象是（ ）
A．B．C． D．
【自我检测】
一、选择题：
1. 如图，点都在方格纸的格点上，若点A的坐标为，点B的坐标为，则点C的坐标是（ ）
A. B. C. D.
2.点A（2，﹣5）关于x轴对称的点的坐标是（　　）
A．（2，5） B．（﹣2，5） C．（﹣2，﹣5） D．（﹣5，2）
3. （2024·广西·中考真题）如图，在平面直角坐标系中，点O为坐标原点，点P的坐标为，则点Q的坐标为（ ）

A． B． C． D．
4. （2024·山东威海·中考真题）定义新运算：
①在平面直角坐标系中，表示动点从原点出发，沿着轴正方向（）或负方向（）．平移个单位长度，再沿着轴正方向（）或负方向（）平移个单位长度．例如，动点从原点出发，沿着轴负方向平移个单位长度，再沿着轴正方向平移个单位长度，记作．
②加法运算法则：，其中，，，为实数．
若，则下列结论正确的是（ ）
A．， B．，
C．， D．，
5.如图，在矩形ABCD中，AB＝2，BC＝3，动点P沿折线BCD从点B开始运动到点D．设运动的路程为x，△ADP的面积为y，那么y与x之间的函数关系的图象大致是（　　）
A．B．C．D．
二、填空题：
6. 已知点位于第三象限，则a的取值范围是________．
7. 函数中，自变量x的取值范围是________．
8.中国象棋是中华名族的文化瑰宝，因趣味性强，深受大众喜爱．如图，若在象棋棋盘上建立平面直角坐标系，使“帅”位于点（0，﹣2），“马”位于点（4，﹣2），则“兵”位于点　（﹣1，1）　．
9. （2024·山东·中考真题）任取一个正整数，若是奇数，就将该数乘3再加上1；若是偶数，就将该数除以2．反复进行上述两种运算，经过有限次运算后，必进入循环圈1→4→2→1，这就是“冰雹猜想”．在平面直角坐标系中，将点中的，分别按照“冰雹猜想”同步进行运算得到新的点的横、纵坐标，其中，均为正整数．例如，点经过第1次运算得到点，经过第2次运算得到点，以此类推．则点经过2024次运算后得到点 ．
三、解答题：
10.若点P的坐标为（，2x﹣9），其中x满足不等式组，求点P所在的象限．
11. 线段AB在直角坐标系中的位置如图．
（1）写出A、B两点的坐标．
（2）在y轴上找点C，使BC长度最短，写出点C的坐标．
（3）连接AC、BC并求出三角形ABC的面积．
（4）将三角形ABC平移，使点B与原点重合，画出平移后的三角形A1B1C1．
12. 在直角坐标系中，已知线段AB，点A的坐标为（1，﹣2），点B的坐标为（3，0），如图1所示．
（1）平移线段AB到线段CD，使点A的对应点为D，点B的对应点为C，若点C的坐标为（﹣2，4），求点D的坐标；
（2）平移线段AB到线段CD，使点C在y轴的正半轴上，点D在第二象限内，连接BC，BD，如图2所示．若S△BCD=7（S△BCD表示三角形BCD的面积），求点C、D的坐标．
（3）在（2）的条件下，在y轴上是否存在一点P，使=（S△PCD表示三角形PCD的面积）？若存在，求出点P的坐标；若不存在，请说明理由．
13.如图①，在矩形ABCD中，AB＜AD，对角线AC，BD相交于点O，动点P由点A出发，沿AB→BC→CD向点D运动．设点P的运动路程为x，△AOP的面积为y，y与x的函数关系图象如图②所示，则AD边的长为多少？
14.小红帮弟弟荡秋千（如图1），秋千离地面的高度h（m）与摆动时间t（s）之间的关系如图2所示．
（1）根据函数的定义，请判断变量h是否为关于t的函数？
（2）结合图象回答：
①当t=0.7s时，h的值是多少？并说明它的实际意义．
②秋千摆动第一个来回需多少时间？
15. 某机器工作至电量剩余时开始充电．充电系统提供两种不同的充电模式，机器剩余电量（单位：）与充电时间（单位：min）的关系如下表所示：
充电时间（） 0 5 10 15 20 25 30
模式一剩余电量（） 10 25 55 70 85 100
模式二剩余电量（） 10 31 57 78 90 97 100
（1）① ；
②通过数据分析，发现可以用函数来刻画与，与之间的关系，在给定的平面直角坐标系（图）中画出这两个函数图象；
（2）充电系统通过调节充电电流（单位：安培）来控制电量，已知充电模式一的初始电流为安培，剩余电量每增加，充电电流将减小安培，则分钟时充电模式一的充电电流 安培；充电模式二的充电电流与充电时间的函数关系如图所示．根据以上数据并结合函数图象判断：当两种充电模式的电流相同时，剩余电量相差约 ．
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