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第12讲　反比例函数
【考点梳理】
反比例函数解析式的确定
(1)确定方法：待定系数法；
(2)一般步骤：
①设所求的反比例函数解析式为y＝(k≠0)；
②根据已知条件，得到反比例函数图象上一点P(a，b)；
③将点P(a，b)代入反比例函数的解析式得到关于系数k的方程；
④解方程得待定系数k的值；
⑤把k的值代入y＝即可得反比例函数解析式
【高频考点】
考点1： 反比例函数的图像与性质
【例题1】如图所示，直线与双曲线交于，两点，与轴交于点．
（1）求的值；
（2）求的面积；
（3）请结合上述两个函数的图象，请直接写出的解集．
【分析】本题反比例函数与一次函数的交点问题，求反比例函数与一次函数的交点坐标，把两个函数关系式联立成方程组求解，若方程组有解则两者有交点，方程组无解，则两者无交点．
（1）将点代入直线得，确定，将代入反比例函数解析式确定即可；
（2）令 中，得，确定，联立解析式求出点，进而求出的面积；
（3）根据图象直接判断即可．
【详解】（1）将点代入 得，
，
将代入，
；
（2）令 中，得，
，
解方程组，
得或，
，
；
（3）即为，
根据图象得或．
考点2： 反比例函数与一次函数的综合
【例题2】如图，在平面直角坐标系中，反比例函数y＝(x＞0)的图象与边长是6的正方形OABC的两边AB，BC分别相交于M，N 两点．
(1)若点M是AB边的中点，求反比例函数y＝的解析式和点N的坐标；
(2)若AM＝2，求直线MN的解析式及△OMN的面积．
【点拨】(1)由已知可知点M的坐标，求出k的值，从而求出点N的坐标；(2)确定点M ，点N的坐标，三角形面积就可求出．
【解答】解：(1)∵点M是AB边的中点，∴M(6，3)．
∵反比例函数y＝经过点M，∴3＝.∴k＝18.
∴反比例函数的解析式为y＝.
当y＝6时，x＝3，∴N(3，6)．
(2)由题意，知M(6，2)，N(2，6)．
设直线MN的解析式为y＝ax＋b，则
解得
∴直线MN的解析式为y＝－x＋8.
∴S△OMN＝S正方形OABC－S△OAM－S△OCN－S△BMN＝36－6－6－8＝16.
【变式】　在例2中，若△OMN的面积为10，求点M，N的坐标．
解：∵OA＝OC＝6，设M(6，y)，则N(y，6)．
∴BM＝BN＝6－y.
∵S△OMN＝10，
∴36－×6×y×2－(6－y)2＝10，即y2＝16.
又∵y>0，∴y＝4，∴M(6，4)．∴N(4，6)．
归纳：1．确定反比例函数解析式只要一个合适的条件(如图象上一个点的坐标)即可．另外将已知点的坐标或部分坐标代入解析式中，从而确定字母的值是我们经常用的方法．
2．双曲线y＝中，根据k的几何意义求图形面积常用图形有：
S阴影＝|k| S阴影＝ S阴影＝|k|
3.第一象限内的双曲线本身是轴对称图形，正方形也是轴对称图形，所以在本题中，图形是关于直线y＝x的轴对称图形，对解答第(2)问提供解题思路．
考点3：反比例函数的实际应用
【例题3】（2024·吉林·中考真题）已知蓄电池的电压为定值，使用蓄电池时，电流I（单位：A）与电阻R（单位：Ω）是反比例函数关系，它的图象如图所示．
(1)求这个反比例函数的解析式（不要求写出自变量R的取值范围）．
(2)当电阻R为时，求此时的电流I．
【答案】(1)
(2)
【分析】本题主要考查了反比例函数的实际应用：
（1）直接利用待定系数法求解即可；
（2）根据（1）所求求出当时I的值即可得到答案．
【详解】（1）解：设这个反比例函数的解析式为，
把代入中得：，
解得，
∴这个反比例函数的解析式为；
（2）解：在中，当时，，
∴此时的电流I为．
归纳：反比例函数实际应用题是近年中考常见的题型，解题时首先要仔细审读题目(或图象)中给予的信息，挖掘题目(或图象)中隐含的条件，提取有用信息，综合运用所学知识解决问题．
【自我检测】
一、选择题：
1. （2024·四川泸州·中考真题）已知关于x的一元二次方程无实数根，则函数与函数的图象交点个数为（ ）
A．0 B．1 C．2 D．3
【答案】A
【详解】解：∵方程无实数根，
∴，
解得：，则函数的图象过二，四象限，
而函数的图象过一，三象限，
∴函数与函数的图象不会相交，则交点个数为0，
故选：A．
2. （2024·江苏扬州·中考真题）在平面直角坐标系中，函数的图像与坐标轴的交点个数是（ ）
A．0 B．1 C．2 D．4
【答案】B
【详解】当时，，
∴与y轴的交点为；
由于是分式，且当时，，即，
∴与x轴没有交点．
∴函数的图像与坐标轴的交点个数是1个，
故选：B．
3. 如图，点在反比例函数的图象上，过点作轴于点，轴于点，以点为位似中心把四边形放大得到四边形，过点的反比例函数表达式为，则四边形和四边形的位似比为（ ）
A. B. C. D.
【答案】A
【详解】解：∵过点作轴于点，轴于点，
∴四边形是矩形，
∵点在反比例函数的图象上，
∴，
∵以点为位似中心把四边形放大得到四边形，点在反比例函数的图象上，
∴四边形也是矩形，，
∴相似比为，
故选：A ．
4. 如图，在平面直角坐标系中，菱形ABCD在第一象限内，边BC与x轴平行，A，B两点的纵坐标分别为4，2，反比例函数y（x＞0）的图象经过A，B两点，若菱形ABCD的面积为2，则k的值为（　　）
A. 2 B. 3 C. 4 D. 6
【答案】C
【详解】过点A作x轴的垂线，交CB的延长线于点E，
∵A，B两点在反比例函数y（x＞0）的图象，且纵坐标分别为4，2，
∴A（，4），B（，2），
∴AE＝2，BEkkk，
∵菱形ABCD的面积为2，
∴BC×AE＝2，即BC，
∴AB＝BC，
在Rt△AEB中，BE1
∴k＝1，
∴k＝4．
故选C．
5. 如图，四个边长均为1的正方形如图摆放，其中三个顶点位于坐标轴上，其中一个顶点在反比例函数的图像上，则k的值为（ ）
A. 5 B. 6 C. 7 D. 8
【答案】B
【详解】过点P作轴于点E， 如图所示：
依题意得：，，，，
在中 ，，，
∴，
∵，
∴，
，
∴，
又∵，
∴，
∴，即，
∴，，
同理可证：，
∴，即
∴，，
∴，
∴点P的坐标为，
∵点P在反比例函数的图象上，
∴．
故选：B
二、填空题：
6. 在平面直角坐标系中，点在反比例函数的图象上，点在反比例函数图象上，若，则_______（填写“>”“<”或“=”）．
【答案】
【详解】解：点在反比例函数的图象上，点在反比例函数图象上，
，，
，
．
故答案为：．
7. 如图，直线与反比例函数的图象交于A，B两点，与x轴交于点C，且，连接OA．已知的面积为12，则k的值为_____________．
【答案】8.
【详解】解：如图所示，过点A作AE⊥x轴交x轴于E，过点B作BF⊥x轴交x轴于F
∵AE⊥x轴，BF⊥x轴，AB=BC
∴EF=FC，AE=2BF（中位线定理）
设A点坐标为（，），则B点坐标为（，）
∵OC=OE+EF+FC
∴OC=OE+EF+FC=3a
∴
解得
故答案为：8.
8. 如图，矩形OABC位于直角坐标系中，点在第一象限内，点A在x轴上，点C在y轴上，反比例函数的图象交于点，交于点，点在边上．若恰好是以为斜边的等腰直角三角形，则k的值为__________．
【答案】
【详解】解：作于，
，
，
，
，
在和中，
，
，
，，
点，
，，
，
，
，
，
解得或（舍去），
故答案为：．
9.如图，在平面直角坐标中，一次函数y＝﹣4x+4的图象与x轴、y轴分别交于A.B两点．正方形ABCD的顶点C.D在第一象限，顶点D在反比例函数y＝（k≠0）的图象上．若正方形ABCD向左平移n个单位后，顶点C恰好落在反比例函数的图象上，则n的值是　3　．
【分析】过点D作DE⊥x轴过点C作CF⊥y轴，可证△ABO≌△DAE（AAS），△CBF≌△BAO（AAS），则可求D（5，1），C（4，5），确定函数解析式y＝，C向左移动n个单位后为（4﹣n，5），进而求n的值；
【解答】解：过点D作DE⊥x轴，过点C作CF⊥y轴，
∵AB⊥AD，
∴∠BAO＝∠DAE，
∵AB＝AD，∠BOA＝∠DEA，
∴△ABO≌△DAE（AAS），
∴AE＝BO，DE＝OA，
易求A（1，0），B（0，4），
∴D（5，1），
∵顶点D在反比例函数y＝上，
∴k＝5，
∴y＝，
易证△CBF≌△BAO（AAS），
∴CF＝4，BF＝1，
∴C（4，5），
∵C向左移动n个单位后为（4﹣n，5），
∴5（4﹣n）＝5，
∴n＝3，
故答案为3；
三、解答题：
10. 如图，在平面直角坐标系中，菱形的顶点在轴上，，两点的坐标分别为，，直线：与反比例函数的图象交于，两点．
（1）求该反比例函数的解析式及的值；
（2）判断点是否在该反比例函数的图象上，并说明理由．
【答案】（1），
（2）点在该反比例函数的图象上，理由见解答
【解析】
（1）解：将点代入中，得，
反比例函数的解析式为，
将点代入中，
得；
（2）解：因为四边形是菱形，，，
，，
，
由（1）知双曲线的解析式为；
，
点在双曲线上．
11. 如图，一次函数与反比例函数为的图象交于，两点．
（1）求两个函数的解析式；
（2）根据图象，直接写出满足时x的取值范围；
（3）点P在线段上，过点P作x轴的垂线，垂足为M，交函数的图象于点Q，若面积为5，求点Q的坐标．
【解析】
（1）解：∵反比例函数的图象经过点，
∴反比例函数的解析式为，
把代入，得，
∴点坐标为，
∵一次函数解析式，经过，，
故得
解得，
∴一次函数解析式为；
（2）∵，，
∴由图象可得，当或时，反比例函数图象在一次函数图象上方，且都在x轴上方
∴时x的取值范围或；
（3）由题意，设且，
解得，
或．
12. 如图，平面直角坐标系中，一次函数的图象与反比例函数的图象交于点和．
（1）求一次函数和反比例函数的表达式；
（2）请直接写出时x的取值范围；
（3）过点B作轴，于点D，点C是直线上一点，若，求点C的坐标．
【解析】（1）解：把代入中得，
反比例函数的表达式为，．
把和代入一次函数得，解得
一次函数的表达式为．
（2）解：从图象可以看出，时的取值范围为或．
（3）解：点，点，则，
，由得，
13.已知反比例函数的图象经过三个点A（﹣4，﹣3），B（2m，y1），C（6m，y2），其中m＞0．
（1）当y1﹣y2=4时，求m的值；
（2）如图，过点B、C分别作x轴、y轴的垂线，两垂线相交于点D，点P在x轴上，若三角形PBD的面积是8，请写出点P坐标（不需要写解答过程）．
【分析】（1）先根据反比例函数的图象经过点A（﹣4，﹣3），利用待定系数法求出反比例函数的解析式为y=，再由反比例函数图象上点的坐标特征得出y1==，y2==，然后根据y1﹣y2=4列出方程﹣=4，解方程即可求出m的值；
（2）设BD与x轴交于点E．根据三角形PBD的面积是8列出方程 PE=8，求出PE=4m，再由E（2m，0），点P在x轴上，即可求出点P的坐标．
【解答】解：（1）设反比例函数的解析式为y=，
∵反比例函数的图象经过点A（﹣4，﹣3），
∴k=﹣4×（﹣3）=12，
∴反比例函数的解析式为y=，
∵反比例函数的图象经过点B（2m，y1），C（6m，y2），
∴y1==，y2== ，
∵y1﹣y2=4，
∴﹣=4，
∴m=1；
（2）设BD与x轴交于点E．
∵点B（2m，），C（6m，），过点B、C分别作x轴、y轴的垂线，两垂线相交于点D，
∴D（2m，），BD=﹣=．
∵三角形PBD的面积是8，
∴BD PE=8，
∴ PE=8，
∴PE=4m，
∵E（2m，0），点P在x轴上，
∴点P坐标为（﹣2m，0）或（6m，0）．
14.( 2018·保定二模)如图，在平面直角坐标系中，O为坐标原点，△ABO的边AB垂直于x轴，垂足为点B，反比例函数y＝(x＞0)的图象经过AO的中点C，且与AB相交于点D，OB＝4，AD＝3.
(1)求反比例函数y＝的解析式；
(2)求cos∠OAB的值；
(3)求经过C，D两点的一次函数解析式．
【解析】：(1)设点D的坐标为(4，m)(m＞0)，则点A的坐标为(4，3＋m)．
∵点C为线段AO的中点，
∴点C的坐标为(2，)．
∵点C，D均在反比例函数y＝的图象上，
∴解得
∴反比例函数的解析式为y＝.
(2)∵m＝1，∴点A的坐标为(4，4)，
∴OB＝4，AB＝4.
∴Rt△AOB是等腰直角三角形．
∴cos∠OAB＝cos45°＝.
(3)∵m＝1，
∴点C的坐标为(2，2)，点D的坐标为(4，1)．
设经过点C，D的一次函数的解析式为y＝ax＋b，则有
解得
∴经过C，D两点的一次函数解析式为y＝－x＋3.
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第12讲　反比例函数
【考点梳理】
反比例函数解析式的确定
(1)确定方法：待定系数法；
(2)一般步骤：
①设所求的反比例函数解析式为y＝(k≠0)；
②根据已知条件，得到反比例函数图象上一点P(a，b)；
③将点P(a，b)代入反比例函数的解析式得到关于系数k的方程；
④解方程得待定系数k的值；
⑤把k的值代入y＝即可得反比例函数解析式
【高频考点】
考点1： 反比例函数的图像与性质
【例题1】如图所示，直线与双曲线交于，两点，与轴交于点．
（1）求的值；
（2）求的面积；
（3）请结合上述两个函数的图象，请直接写出的解集．
考点2： 反比例函数与一次函数的综合
【例题2】如图，在平面直角坐标系中，反比例函数y＝(x＞0)的图象与边长是6的正方形OABC的两边AB，BC分别相交于M，N 两点．
(1)若点M是AB边的中点，求反比例函数y＝的解析式和点N的坐标；
(2)若AM＝2，求直线MN的解析式及△OMN的面积．
考点3：反比例函数的实际应用
【例题3】（2024·吉林·中考真题）已知蓄电池的电压为定值，使用蓄电池时，电流I（单位：A）与电阻R（单位：Ω）是反比例函数关系，它的图象如图所示．
(1)求这个反比例函数的解析式（不要求写出自变量R的取值范围）．
(2)当电阻R为时，求此时的电流I．
【自我检测】
一、选择题：
1. （2024·四川泸州·中考真题）已知关于x的一元二次方程无实数根，则函数与函数的图象交点个数为（ ）
A．0 B．1 C．2 D．3
2. （2024·江苏扬州·中考真题）在平面直角坐标系中，函数的图像与坐标轴的交点个数是（ ）
A．0 B．1 C．2 D．4
3. 如图，点在反比例函数的图象上，过点作轴于点，轴于点，以点为位似中心把四边形放大得到四边形，过点的反比例函数表达式为，则四边形和四边形的位似比为（ ）
A. B. C. D.
4. 如图，在平面直角坐标系中，菱形ABCD在第一象限内，边BC与x轴平行，A，B两点的纵坐标分别为4，2，反比例函数y（x＞0）的图象经过A，B两点，若菱形ABCD的面积为2，则k的值为（　　）
A. 2 B. 3 C. 4 D. 6
5. 如图，四个边长均为1的正方形如图摆放，其中三个顶点位于坐标轴上，其中一个顶点在反比例函数的图像上，则k的值为（ ）
A. 5 B. 6 C. 7 D. 8
二、填空题：
6. 在平面直角坐标系中，点在反比例函数的图象上，点在反比例函数图象上，若，则_______（填写“>”“<”或“=”）．
7. 如图，直线与反比例函数的图象交于A，B两点，与x轴交于点C，且，连接OA．已知的面积为12，则k的值为_____________．
8. 如图，矩形OABC位于直角坐标系中，点在第一象限内，点A在x轴上，点C在y轴上，反比例函数的图象交于点，交于点，点在边上．若恰好是以为斜边的等腰直角三角形，则k的值为__________．
9.如图，在平面直角坐标中，一次函数y＝﹣4x+4的图象与x轴、y轴分别交于A.B两点．正方形ABCD的顶点C.D在第一象限，顶点D在反比例函数y＝（k≠0）的图象上．若正方形ABCD向左平移n个单位后，顶点C恰好落在反比例函数的图象上，则n的值是　3　．
三、解答题：
10. 如图，在平面直角坐标系中，菱形的顶点在轴上，，两点的坐标分别为，，直线：与反比例函数的图象交于，两点．
（1）求该反比例函数的解析式及的值；
（2）判断点是否在该反比例函数的图象上，并说明理由．
11. 如图，一次函数与反比例函数为的图象交于，两点．
（1）求两个函数的解析式；
（2）根据图象，直接写出满足时x的取值范围；
（3）点P在线段上，过点P作x轴的垂线，垂足为M，交函数的图象于点Q，若面积为5，求点Q的坐标．
12. 如图，平面直角坐标系中，一次函数的图象与反比例函数的图象交于点和．
（1）求一次函数和反比例函数的表达式；
（2）请直接写出时x的取值范围；
（3）过点B作轴，于点D，点C是直线上一点，若，求点C的坐标．
13.已知反比例函数的图象经过三个点A（﹣4，﹣3），B（2m，y1），C（6m，y2），其中m＞0．
（1）当y1﹣y2=4时，求m的值；
（2）如图，过点B、C分别作x轴、y轴的垂线，两垂线相交于点D，点P在x轴上，若三角形PBD的面积是8，请写出点P坐标（不需要写解答过程）．
14.( 2018·保定二模)如图，在平面直角坐标系中，O为坐标原点，△ABO的边AB垂直于x轴，垂足为点B，反比例函数y＝(x＞0)的图象经过AO的中点C，且与AB相交于点D，OB＝4，AD＝3.
(1)求反比例函数y＝的解析式；
(2)求cos∠OAB的值；
(3)求经过C，D两点的一次函数解析式．
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