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第13讲　二次函数及其应用
【考点梳理】
1．二次函数的概念及解析式
(1)概念：形如y＝ax2＋bx＋c(其中a，b，c是常数，且a≠0)的函数叫做二次函数，利用配方可以把二次函数y＝ax2＋bx＋c表示成y＝a(x＋)2＋.
(2)二次函数解析式的三种形式：
①一般式y＝ax2＋bx＋c(a，b，c是常数，a≠0)；
②交点式y＝a(x－x1)(x－x2)(a，x1，x2是常数，a≠0)(x1，0)、(x2，0)是函数与x轴的交点坐标；
③顶点式y＝a(x＋h)2＋k(a，h，k是常数，a≠0)，其顶点坐标为 ．
④三种解析式之间的关系：
顶点式一般式交点式
⑤解析式的求法：
确定二次函数的解析式，一般用待定系数法，由于二次函数解析式有三个待定系数a，b，c(或a，h，k或a，x1，x2)，因而确定二次函数解析式需要已知三个独立的条件：
a．已知抛物线上任意三个点的坐标时，选用一般式．
b．已知抛物线的顶点坐标时，选用顶点式．
c．已知抛物线与x轴两个交点的坐标(或横坐标x1，x2)时，选用交点式．
2．二次函数的图象和性质
二次函数y＝ax2＋bx＋c(其中a，b，c是常数，且a≠0)的图象是抛物线．
(1)当a＞0时，抛物线的开口向上；对称轴是直线x＝－；
当x＝－时，y有最小值，为；
在对称轴左边(即x＜－)时，y随x的增大而减小；
在对称轴右边(即x>－)时，y随x的增大而增大；
顶点(－，)是抛物线上位置最低的点；
(2)当a＜0时，抛物线的开口向下；对称轴是直线x＝－；
当x＝－时，y有最大值，为，在对称轴左边(即x<－)时，
y随x的增大而增大．在对称轴右边(即x>－)时，
y随x的增大而减小；顶点(－，)是抛物线上位置最高的点．
4．二次函数函数的变换
(1)二次函数图象的平移：
①二次函数的平移可看作是二次函数的顶点坐标的平移，即解决这类问题先把二次函数化为顶点式，由顶点坐标的平移确定函数的平移．
②平移规律：将抛物线y＝a(x－h)2＋k向左移m个单位得y＝a(x－h＋m)2＋k；向右平移m个单位得y＝a(x－h－m)2＋k；向上平移m个单位得y＝a(x－h)2＋k＋m；向下平移m个单位得y＝a(x－h)2＋k－m．简记为“h：左加右减，k：上加下减”．
(2)二次函数图象的对称：
①两抛物线关于x 轴对称，此时顶点关于 x 轴对称，a 的符号相反；
②两抛物线关于y 轴对称，此时顶点关于y 轴对称，a 的符号不变；
(3)二次函数图象的旋转：开口反向(或旋转180°)，此时顶点坐标不变，只是a的符号相反．
5．二次函数与一元二次方程之间的关系
方程ax2＋bx＋c＝0的解是二次函数y＝ax2＋bx＋c与x轴交点的横坐标．解一元二次方程ax2＋bx＋c＝k就是求二次函数y＝ax2＋bx＋c与直线y＝k的交点的横坐标．
(1)当b2＋4ac>0时，抛物线与x轴有两个交点，方程有两个不相等的实数根；
(2)当b2－4ac＝0时，抛物线与x轴有一个交点，方程有两个相等的实数根；
(3)当b2－4ac<0时，抛物线与x轴没有交点，方程无实数根．
6．二次函数与一元二次不等式之间的关系
“一元二次不等式” 实际上是指二次函数的函数值“y＞0, y＜0或y≥0，y≤0”，一元二次不等式的解集从图象上看是指抛物线在x 轴上方或x 轴下方的部分对应x的取值范围
【高频考点】
考点1： 二次函数的图象与性质
【例题1】在平面直角坐标系中，已知抛物线（a，b为常数且）．
（1）若，，求抛物线的顶点坐标；
（2）已知，和是抛物线上的两点．对于，都有，求的取值范围．
【答案】（1）
（2）或
【解析】
【分析】（1）将，，代入化成顶点式即可直接得解；
（2）由进而得到抛物线的对称轴为，分类讨论，和，再根据增减性和对称性求解即可；
本题主要考查了二次函数的顶点坐标、二次函数的增减性、二次函数的对称性以及二次函数与直线的交点问题等内容，熟练掌握相关知识是解题的关键．
【详解】（1）解：将，，代入，得，
顶点横坐标为，代入纵坐标为
∴顶点坐标为；
（2）∵，
∴抛物线的对称轴为，
①当时，，则在对称轴右侧，其关于对称轴对称点为 ，
∵开口向上，在抛物线对称轴左侧，y随x的增大而减小，在对称轴右侧，y随x的增大而增大，
∴当有，
可得，
解得；
②当时，，则在对称轴左侧，其关于对称轴对称点为 ，
∵开口向下，在抛物线对称轴左侧，y随x的增大而增大，在对称轴右侧，y随x的增大而减小，
∴当有，
可得或，
，
解得；
综上，或；
考点2： 二次函数的实际应用
【例题2】【综合与实践】
某乒乓球馆使用发球机进行辅助训练，出球口A位于桌面BC左上方，桌面BC的长为．过点作，垂足为，，以点为原点，以直线为轴，所在直线为轴，建立平面直角坐标系，如图所示，从出球口发出的乒乓球运动路线为抛物线的一部分，设乒乓球与出球口的水平距离为，到桌面的高度为，在桌面上的落点为，经测试，得到如下部分数据：
0 0.5 1 1.5 2 …
0.25 0.4 0.45 0.4 0.25 …
（1）当__________m时，乒乓球达到最大高度；求出y与x之间的函数关系式；
（2）桌面正中间位置安装的球网的高度为，问乒乓球位于球网正上方时，乒乓球到球网顶端H的距离约为多少？（结果保留两位小数）
（3）乒乓球落在点后随即弹起，沿抛物线的路线运动，小明拿球拍与桌面夹角为接球，球拍击球面的中心线长为，下沿在轴上，假设拋物线，与在同一平面内，且乒乓球落在上（含端点，点E在点C右侧），直接写出：
①__________．
②球拍到桌边的距离的取值范围__________．
【答案】（1）1，（或）
（2）
（3）①；②
【解析】
【分析】（1）根据待定系数法求出抛物线的关系式，再根据顶点坐标公式进行计算即可；
（2）根据与的函数关系式，与的函数关系式进而得到与的函数关系式，再进行判断即可；
（3）①根据与的函数关系式可求出点的坐标，再代入乒乓球反弹后抛物线的关系式可求出的值；
②根据乒乓球反弹后抛物线的关系式以及解直角三角形可求出的最大值和最小值即可．
【小问1详解】
由题意得，，
设抛物线的关系式为，将，，代入得，
，
．
抛物线的关系式为．
，
当时，．
故答案为：1．
【小问2详解】
由题意得，，
，
当时，
．
乒乓球位于球网正上方，此时乒乓球到球网顶端的距离约为．
答：乒乓球位于球网正上方，此时乒乓球到球网顶端距离约为．
【小问3详解】
①当时，即，
解得，，
，，
即，
乒乓球反弹后沿抛物线的路线运动，而，
，
解得．
故答案为：2.5．
②由①，乒乓球反弹后沿抛物线的关系式为：，
当乒乓球反弹后沿抛物线过点时（即此时抛物线与x轴的右交点为点E），
当时，即，
，．
．
，
如图，当乒乓球反弹后沿抛物线过点时，过点作轴于，
在中，，，
，，
当时，即，
解得在上舍去），，
即，
．
．
故答案为：．
【点睛】本题主要考查二次函数的图象上点的坐标特征，待定系数法求二次函数关系式，掌握二次函数的图象上点的坐标特征以及直角三角形的边角关系是正确解答的关键．
考点3： 二次函数与几何图形的综合应用
【例题3】如图，抛物线与x轴交于点、，与y轴交于点C．
（1）求抛物线的解析式；
（2）点M是抛物线对称轴上的动点，求的最小值；
（3）若点P是直线AC下方抛物线上的动点，过点P作于点Q，线段PQ是否存在最大值？若存在，求出此时点P的坐标；若不存在，请说明理由．
【答案】（1）
（2）
（3）线段PQ存在最大值，此时点P坐标为
【分析】（1）根据点A和点B坐标使用待定系数法求解即可．
（2）连接MA，设直线AC与二次函数的对称轴交于N．根据轴对称的性质，两点之间，线段最短确定当点M与点N重合时，MB+MC取得最小值为AC，根据二次函数解析式求出点C坐标，再根据勾股定理即可求解．
（3）过点P作PD⊥x轴于D，交直线AC于E，设，其中，设直线AC解析式为y=kx+d．根据等边对等角，三角形内角和定理，等角对等边确定QE=PQ，根据勾股定理确定，进而确定当EP取得最大值时，PQ取得最大值，根据点A和点C坐标使用待定系数法求出直线AC解析式，进而用p表示EP的长度，再根据二次函数的最值求出p的值，最后代入计算即可．
详解】（1）解：把点A和点B坐标代入抛物线解析式得
解得
所以抛物线的解析式为．
（2）解：如下图所示，连接MA，设直线AC与二次函数对称轴交于N．
∵、，
∴点A和点B关于二次函数的对称轴对称，OA=2．
∴MA=MB．
∴MB+MC=MA+MC．
∴当点M与点N重合时MA+MC取得最小值，即MB+MC取得最小值为AC．
∵抛物线与y轴交于点C，
∴．
∴OC=2．
∴．
∴MB+MC的最小值为．
（3）解：如下图所示，过点P作PD⊥x轴于D，交直线AC于E，设，其中，设直线AC解析式为y=kx+d．
∵OA=2，OC=2，
∴OA=OC．
∴．
∵PD⊥x轴，
∴∠ADE=90°．
∴∠DEA=180°-∠ADE-∠OAC=45°．
∴∠QEP=∠DEA=45°．
∵PQ⊥AC，
∴∠PQE=90°，．
∴∠QPE=180°-∠PQE-∠QEP=45°．
∴∠QPE=∠QEP．
∴QE=PQ．
∴．
∴．
∴当EP取得最大值时，PQ取得最大值．
把点A和点C坐标代入直线AC解析式得
解得
∴直线AC解析式为．
∴．
∴．
∴当时，EP取得最大值．
∴．
∴线段PQ存在最大值，此时点P坐标为．
【点睛】本题考查待定系数法求二次函数解析式，轴对称的性质，两点之间，线段最短，勾股定理，等边对等角，三角形内角和定理，等角对等边，待定系数法求一次函数解析式，二次函数的最值，综合应用这些知识点是解题关键．
【自我检测】
一、选择题：
1若抛物线过点，，若，，则a的取值范围是（ ）
A. B. C. D.
【答案】D
【详解】解：由题意得，，
则，
，
，
∵，，
∴，
则，
∵，
∴，解得．
故选：D
2. 已知：，，，则下列说法中正确的是 （ ）
A. 有最大值4，最小值1 B. 有最大值3，最小值
C. 有最大值3，最小值1 D. 有最大值3，最小值
【答案】C
【详解】由题意得，，
，
当时，m 有最小值，当时，m有最大值，
，
，，
当时，n随着b的增大而减小，
当时，n 有最小值1，
当时，n有最大值4，
，
，
，
，
解得：，
，
，
n有最大值3，最小值1；
故选：C．
3. 已知抛物线经过点，，其中为互不相等的实数，则下面判断不正确的是（ ）
A. B. 对称轴为直线 C. D.
【答案】D
【详解】解：抛物线经过点，，，
、关于对称轴对称，
抛物线的对称轴为直线，故正确，不合题意；
，在对称轴的右侧，随的增大而减小，
抛物线开口向下，，故A正确，不合题意；
抛物线与轴的交点为，，
，
，故C正确，不合题意；
无法确定的符号，故D不正确，符合题意．
故选：D
4. 已知二次函数和（m是常数）的图象与x轴都有两个交点，且这四个交点中每相邻两点间的距离都相等，则这两个函数图象对称轴之间的距离为（ ）
A. 2 B. C. 4 D.
【答案】A
【详解】解：令，则和，
解得或或或，
不妨设，
∵和关于原点对称，又这四个交点中每相邻两点间的距离都相等，
∴与原点关于点对称，
∴，
∴或（舍去），
∵抛物线的对称轴为，抛物线的对称轴为，
∴这两个函数图象对称轴之间的距离为2，
故选：A．
5. 已知关于的二次函数的图象的顶点在轴的正半轴上，则一次函数和的图象可能是（ ）
A. B. C. D.
【答案】D
【详解】解：根据题意可得，
当时，，
，
，
，
则中，随的增大而增大，且直线经过原点，
中，随的增大而减小，且与轴交于正半轴，没有选项与之相符；
当时，，，
则中，随的增大而减小，且直线经过原点，
中，随的增大而增大，且与轴交于负半轴，只有D选项与之相符，
故选：D．
二、填空题：
6. 如图，二次函数的函数图像经过点（1，2），且与轴交点的横坐标分别为、，其中 －1＜＜0，1＜＜2，下列结论：①；②；③；④当时，；⑤ ，其中正确的有 ___________．（填写正确的序号）
【答案】②④⑤
【详解】解：抛物线开口向下，a＜0，对称轴在y轴的右侧，a、b异号，因此b＞0，与y轴的交点在正半轴，c＞0，
所以abc＜0，故①错误；
对称轴在0～1之间，于是有0＜-＜1，又a＜0，所以2a+b＜0，故②正确；
当x=-2时，y=4a-b+c＜0，故③错误；
当x=m（1＜m＜2）时，y=am2+bm+c＜2，所以am2+bm＜2-c，故④正确；
当x=-1时，y=a-b+c＜0，当x=1时，y=a+b+c=2，所以-2b＜-2，即b＞1，故⑤正确；
综上所述，正确的结论有：②④⑤，
故答案为：②④⑤．
7.右图是抛物线型拱桥，当拱顶离水面2m时，水面宽4m，水面下降2m，水面宽度增加________m。
【答案】4-4
【解答】解：根据题意以AB为x轴，AB的垂直平分线为y轴建立平面直角坐标系（如图），
依题可得：A（-2,0），B（2,0），C（0,2），
设经过A、B、C三点的抛物线解析式为：y=a（x-2）（x+2）,
∵C（0,2）在此抛物线上，
∴a=- ，
∴此抛物线解析式为：y=- （x-2）（x+2）,
∵水面下降2m，
∴- （x-2）（x+2）=-2,
∴x1=2，x2=-2，
∴下降之后的水面宽为：4.
∴水面宽度增加了：4-4.
故答案为：4-4.
8.当0≤x≤3时，直线y＝a与抛物线y＝（x﹣1）2﹣3有交点，则a的取值范围是　﹣3≤a≤1　．
【答案】﹣3≤a≤1
【解答】解：法一：y＝a与抛物线y＝（x﹣1）2﹣3有交点
则有a＝（x﹣1）2﹣3，整理得x2﹣2x﹣2﹣a＝0
∴△＝b2﹣4ac＝4+4（2+a）≥0
解得a≥﹣3，
∵0≤x≤3，对称轴x＝1
∴y＝（3﹣1）2﹣3＝1
∴a≤1
法二：由题意可知，
∵抛物线的 顶点为（1，﹣3），而0≤x≤3
∴抛物线y的取值为﹣3≤y≤1
∵y＝a，则直线y与x轴平行，
∴要使直线y＝a与抛物线y＝（x﹣1）2﹣3有交点，
∴抛物线y的取值为﹣3≤y≤1，即为a的取值范围，
∴﹣3≤a≤1，故答案为：﹣3≤a≤1
9. 在平面直角坐标系中，抛物线y＝x2的图象如图所示．已知A点坐标为（1，1），过点A作AA1∥x轴交抛物线于点A1，过点A1作A1A2∥OA交抛物线于点A2，过点A2作A2A3∥x轴交抛物线于点A3，过点A3作A3A4∥OA交抛物线于点A4……，依次进行下去，则点A2019的坐标为　（﹣1010，10102）　．
【解答】解：∵A点坐标为（1，1），
∴直线OA为y＝x，A1（﹣1，1），
∵A1A2∥OA，
∴直线A1A2为y＝x+2，
解得或，
∴A2（2，4），
∴A3（﹣2，4），
∵A3A4∥OA，
∴直线A3A4为y＝x+6，
解得或，
∴A4（3，9），
∴A5（﹣3，9）
…，
∴A2019（﹣1010，10102），
故答案为（﹣1010，10102）．
三、解答题：
10. 某商人将进价为每件8元的某种商品按每件10元出售，每天可销出100件．他想采用提高售价的办法来增加利润．经试验，发现这种商品每件每提价1元，每天的销售量就会减少10件．
（1）请写出售价x（元/件）与每天所得的利润y（元）之间的函数关系式；
（2）每件售价定为多少元，才能使一天的利润最大？
【分析】（1）题中等量关系为：利润=（售价﹣进价）×售出件数，根据等量关系列出函数关系式；
（2）将（1）中的函数关系式配方，根据配方后的方程式即可求出y的最大值．
【解答】解：（1）根据题中等量关系为：利润=（售价﹣进价）×售出件数，
列出方程式为：y=（x﹣8）[100﹣10（x﹣10）]，
即y=﹣10x2+280x﹣1600（10≤x≤20）；
（2）将（1）中方程式配方得：
y=﹣10（x﹣14）2+360，
∴当x=14时，y最大=360元，
答：售价为14元时，利润最大．
11. 已知抛物线，点O为平面直角坐标系原点，点A坐标为．
（1）抛物线必经过的定点是_______，_______
（2）若抛物线过点A，当时函数的最大值为p，最小值为q，求的值．
（3）若抛物线与线段只有一个交点，求a的取值范围．
【分析】（1）由题意得，根据当或时，，即可求解；
（2）利用待定系数法求得解析式为，再根据二次函数的性质即可求解；
（3）根据题意得的解析式为，，顶点为，分两种情况：当时，原点在上方，顶点在线段下方，当时，原点在上方，在下方，根据抛物线与线段只有一个交点分别讨论即可求解．
（1）解：∵，
∴当时，，当时，，
∴抛物线必经过定点和，
故答案为：，；
（2）将代入，得，解得，
即：抛物线的解析式为：，
当时，随增大而减小，当时，随增大而增大，
当时，，当时，，
则当时函数的最大值为，最小值为，即：，，
∴；
（3）∵点坐标为，
∴的解析式为，
，则顶点为，
若，则，若，则，
当时，原点在上方，顶点在线段下方，
要使抛物线与线段只有一个交点，需使得在上方，
∴，解得；
当时，原点在上方，在下方，
要使抛物线与线段只有一个交点，只需要使得有两个相等的解，
即：有两个相等的解，且该解在0到4之间，
∴，解得：
又∵，则，
∴，
∴；
综上，抛物线与线段只有一个交点时，或．
12. 在平面直角坐标系中，抛物线（）．
（1）求该抛物线的顶点坐标（用含有a的代数式表示）；
（2）若和是抛物线上任意两点，且，当时，求Q的值；
（3）已知A，B两点的坐标分别为．若二次函数的图象与线段只有一个公共点，求a的取值范围．
【分析】本题考查了二次函数的图象与性质，完全平方公式，二次函数与线段综合．熟练掌握二次函数的图象与性质，完全平方公式，二次函数与线段综合并数形结合是解题的关键．
（1）由，可求顶点坐标；
（2）由（1）可知抛物线的对称轴为直线．由，可知和关于对称轴直线对称，则，即，根据，代值求解即可．
（3）由题意知，抛物线的顶点是，由，可知抛物线开口向下，①若顶点在线段上时，如图1，则，计算求解即可；②若顶点在直线上方，即时，如图2，则，计算求解即可．
（1）解：∵，
∴顶点坐标为；
（2）解：由（1）可知抛物线的对称轴为直线．
∵，
∴和关于对称轴直线对称，
∴，即，
∴，
∴Q的值为．
（3）解：由题意知，抛物线的顶点是，
∵，
∴抛物线开口向下，
①若顶点在线段上时，如图1，
∴，
解得；
②若顶点在直线上方，即时，如图2，
二次函数的图象与线段只有一个公共点，，，
∴，
解得．
综上所述，二次函数的图象与线段只有一个公共点，的取值范围是或．
13. 某个农场有一个花卉大棚，是利用部分墙体建造的．其横截面顶部为抛物线型，大棚的一端固定在墙体上，另一端固定在墙体上，其横截面有根支架，，相关数据如图所示，其中支架，，这个大棚用了根支架．
为增加棚内空间，农场决定将图中棚顶向上调整，支架总数不变，对应支架的长度变化，如图所示，调整后与上升相同的高度，增加的支架单价为元/米（接口忽略不计），需要增加经费元．
（1）分别以和所在的直线为x轴和y轴建立平面直角坐标系．
①求出改造前的函数解析式．
②当米，求的长度．
（2）只考虑经费情况下，求出的最大值．
【分析】（1）①设改造前的函数解析式为，根据所建立的平面直角坐标系得到，，，然后代入解析式得到关于、、的方程组，求解即可；
②根据已知条件得到函数的解析式，再利用函数解析式得到、的坐标即可得到结论；
（2）根据已知条件表示出、的坐标得到的不等式，进而得到的最大值．
（1）解：①如图，以为原点，分别以和所在的直线为x轴和y轴建立如图所示的平面直角坐标系，
由题意可知：，，，
设改造前的抛物线解析式为，
∴，
解得：，
∴改造前的抛物线的函数表达式为；
②如图，建立与（1）相同的平面直角坐标系，
由①知改造前抛物线的解析式为，
∴对称轴为直线，
设改造后抛物线解析式为：，
∵调整后与上升相同的高度，且，
∴对称轴为直线，则有，
当时，，
∴，
∴，，
∴改造后抛物线解析式为：，
当时，
改造前：，
改造后：，
∴（米），
∴的长度为米；
（2）如（2）题图，设改造后抛物线解析式为，
∵当时，，
当时，，
∴，，
∴，
由题意可列不等式：，
解得：，
∵，
要使最大，需最小，
∴当时，的值最大，最大值为米．
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第13讲　二次函数及其应用
【考点梳理】
1．二次函数的概念及解析式
(1)概念：形如y＝ax2＋bx＋c(其中a，b，c是常数，且a≠0)的函数叫做二次函数，利用配方可以把二次函数y＝ax2＋bx＋c表示成y＝a(x＋)2＋.
(2)二次函数解析式的三种形式：
①一般式y＝ax2＋bx＋c(a，b，c是常数，a≠0)；
②交点式y＝a(x－x1)(x－x2)(a，x1，x2是常数，a≠0)(x1，0)、(x2，0)是函数与x轴的交点坐标；
③顶点式y＝a(x＋h)2＋k(a，h，k是常数，a≠0)，其顶点坐标为 ．
④三种解析式之间的关系：
顶点式一般式交点式
⑤解析式的求法：
确定二次函数的解析式，一般用待定系数法，由于二次函数解析式有三个待定系数a，b，c(或a，h，k或a，x1，x2)，因而确定二次函数解析式需要已知三个独立的条件：
a．已知抛物线上任意三个点的坐标时，选用一般式．
b．已知抛物线的顶点坐标时，选用顶点式．
c．已知抛物线与x轴两个交点的坐标(或横坐标x1，x2)时，选用交点式．
2．二次函数的图象和性质
二次函数y＝ax2＋bx＋c(其中a，b，c是常数，且a≠0)的图象是抛物线．
(1)当a＞0时，抛物线的开口向上；对称轴是直线x＝－；
当x＝－时，y有最小值，为；
在对称轴左边(即x＜－)时，y随x的增大而减小；
在对称轴右边(即x>－)时，y随x的增大而增大；
顶点(－，)是抛物线上位置最低的点；
(2)当a＜0时，抛物线的开口向下；对称轴是直线x＝－；
当x＝－时，y有最大值，为，在对称轴左边(即x<－)时，
y随x的增大而增大．在对称轴右边(即x>－)时，
y随x的增大而减小；顶点(－，)是抛物线上位置最高的点．
4．二次函数函数的变换
(1)二次函数图象的平移：
①二次函数的平移可看作是二次函数的顶点坐标的平移，即解决这类问题先把二次函数化为顶点式，由顶点坐标的平移确定函数的平移．
②平移规律：将抛物线y＝a(x－h)2＋k向左移m个单位得y＝a(x－h＋m)2＋k；向右平移m个单位得y＝a(x－h－m)2＋k；向上平移m个单位得y＝a(x－h)2＋k＋m；向下平移m个单位得y＝a(x－h)2＋k－m．简记为“h：左加右减，k：上加下减”．
(2)二次函数图象的对称：
①两抛物线关于x 轴对称，此时顶点关于 x 轴对称，a 的符号相反；
②两抛物线关于y 轴对称，此时顶点关于y 轴对称，a 的符号不变；
(3)二次函数图象的旋转：开口反向(或旋转180°)，此时顶点坐标不变，只是a的符号相反．
5．二次函数与一元二次方程之间的关系
方程ax2＋bx＋c＝0的解是二次函数y＝ax2＋bx＋c与x轴交点的横坐标．解一元二次方程ax2＋bx＋c＝k就是求二次函数y＝ax2＋bx＋c与直线y＝k的交点的横坐标．
(1)当b2＋4ac>0时，抛物线与x轴有两个交点，方程有两个不相等的实数根；
(2)当b2－4ac＝0时，抛物线与x轴有一个交点，方程有两个相等的实数根；
(3)当b2－4ac<0时，抛物线与x轴没有交点，方程无实数根．
6．二次函数与一元二次不等式之间的关系
“一元二次不等式” 实际上是指二次函数的函数值“y＞0, y＜0或y≥0，y≤0”，一元二次不等式的解集从图象上看是指抛物线在x 轴上方或x 轴下方的部分对应x的取值范围
【高频考点】
考点1： 二次函数的图象与性质
【例题1】在平面直角坐标系中，已知抛物线（a，b为常数且）．
（1）若，，求抛物线的顶点坐标；
（2）已知，和是抛物线上的两点．对于，都有，求的取值范围．
考点2： 二次函数的实际应用
【例题2】【综合与实践】
某乒乓球馆使用发球机进行辅助训练，出球口A位于桌面BC左上方，桌面BC的长为．过点作，垂足为，，以点为原点，以直线为轴，所在直线为轴，建立平面直角坐标系，如图所示，从出球口发出的乒乓球运动路线为抛物线的一部分，设乒乓球与出球口的水平距离为，到桌面的高度为，在桌面上的落点为，经测试，得到如下部分数据：
0 0.5 1 1.5 2 …
0.25 0.4 0.45 0.4 0.25 …
（1）当__________m时，乒乓球达到最大高度；求出y与x之间的函数关系式；
（2）桌面正中间位置安装的球网的高度为，问乒乓球位于球网正上方时，乒乓球到球网顶端H的距离约为多少？（结果保留两位小数）
（3）乒乓球落在点后随即弹起，沿抛物线的路线运动，小明拿球拍与桌面夹角为接球，球拍击球面的中心线长为，下沿在轴上，假设拋物线，与在同一平面内，且乒乓球落在上（含端点，点E在点C右侧），直接写出：
①__________．
②球拍到桌边的距离的取值范围__________．
考点3： 二次函数与几何图形的综合应用
【例题3】如图，抛物线与x轴交于点、，与y轴交于点C．
（1）求抛物线的解析式；
（2）点M是抛物线对称轴上的动点，求的最小值；
（3）若点P是直线AC下方抛物线上的动点，过点P作于点Q，线段PQ是否存在最大值？若存在，求出此时点P的坐标；若不存在，请说明理由．
【自我检测】
一、选择题：
1若抛物线过点，，若，，则a的取值范围是（ ）
A. B. C. D.
2. 已知：，，，则下列说法中正确的是 （ ）
A. 有最大值4，最小值1 B. 有最大值3，最小值
C. 有最大值3，最小值1 D. 有最大值3，最小值
3. 已知抛物线经过点，，其中为互不相等的实数，则下面判断不正确的是（ ）
A. B. 对称轴为直线 C. D.
4. 已知二次函数和（m是常数）的图象与x轴都有两个交点，且这四个交点中每相邻两点间的距离都相等，则这两个函数图象对称轴之间的距离为（ ）
A. 2 B. C. 4 D.
5. 已知关于的二次函数的图象的顶点在轴的正半轴上，则一次函数和的图象可能是（ ）
A. B. C. D.
二、填空题：
6. 如图，二次函数的函数图像经过点（1，2），且与轴交点的横坐标分别为、，其中 －1＜＜0，1＜＜2，下列结论：①；②；③；④当时，；⑤ ，其中正确的有 ___________．（填写正确的序号）
7.右图是抛物线型拱桥，当拱顶离水面2m时，水面宽4m，水面下降2m，水面宽度增加________m。
8.当0≤x≤3时，直线y＝a与抛物线y＝（x﹣1）2﹣3有交点，则a的取值范围是　﹣3≤a≤1　．
9. 在平面直角坐标系中，抛物线y＝x2的图象如图所示．已知A点坐标为（1，1），过点A作AA1∥x轴交抛物线于点A1，过点A1作A1A2∥OA交抛物线于点A2，过点A2作A2A3∥x轴交抛物线于点A3，过点A3作A3A4∥OA交抛物线于点A4……，依次进行下去，则点A2019的坐标为　 　．
三、解答题：
10. 某商人将进价为每件8元的某种商品按每件10元出售，每天可销出100件．他想采用提高售价的办法来增加利润．经试验，发现这种商品每件每提价1元，每天的销售量就会减少10件．
（1）请写出售价x（元/件）与每天所得的利润y（元）之间的函数关系式；
（2）每件售价定为多少元，才能使一天的利润最大？
11. 已知抛物线，点O为平面直角坐标系原点，点A坐标为．
（1）抛物线必经过的定点是_______，_______
（2）若抛物线过点A，当时函数的最大值为p，最小值为q，求的值．
（3）若抛物线与线段只有一个交点，求a的取值范围．
12. 在平面直角坐标系中，抛物线（）．
（1）求该抛物线的顶点坐标（用含有a的代数式表示）；
（2）若和是抛物线上任意两点，且，当时，求Q的值；
（3）已知A，B两点的坐标分别为．若二次函数的图象与线段只有一个公共点，求a的取值范围．
13. 某个农场有一个花卉大棚，是利用部分墙体建造的．其横截面顶部为抛物线型，大棚的一端固定在墙体上，另一端固定在墙体上，其横截面有根支架，，相关数据如图所示，其中支架，，这个大棚用了根支架．
为增加棚内空间，农场决定将图中棚顶向上调整，支架总数不变，对应支架的长度变化，如图所示，调整后与上升相同的高度，增加的支架单价为元/米（接口忽略不计），需要增加经费元．
（1）分别以和所在的直线为x轴和y轴建立平面直角坐标系．
①求出改造前的函数解析式．
②当米，求的长度．
（2）只考虑经费情况下，求出的最大值．
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