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第14讲　线段、角、相交线和平行线
【考点梳理】
1．线段与直线
(1)两个基本事实：
直线的基本事实：两点确定一条直线；
线段的基本事实：两点之间线段最短．
(2)两点间距离：连接两点的线段，叫做两点之间的距离．
(3)线段的中点：如图，点C把线段AB分成相等的两段AC与BC，点C叫做线段AB的中点，即AC＝BC＝AB.
(4)线段的和与差：如图，点C是线段AB上一点，则AC＋BC＝AB，AC＝AB－BC，BC＝AB－AC.
2．角及角平分线
(1)1周角＝_2_平角＝__4_直角＝ 360° ，
1°＝__60′，1′＝60_″.
(2)小于直角的角叫做_锐角_；大于直角而小于平角的角叫做钝角；
度数是90°的角叫做直角．
(3)余角：两个角的和等于90°时，称这两个角互为余角；同角(或等角)的余角_相等_．
补角：两个角的和等于180°时，称这两个角互为补角；同角(或等角)的补角相等．
(4)角平分线：①从一个角的顶点引出一条射线，把这个角平分成相等的两个角，这条射线叫这个角的角平分线；②角平分线上的点，到角两边的距离_相等_；到角两边距离相等的点在这个角的角平分线上。
3．相交线(如图)
(1)①邻补角：在一条直线上且互补的一对角，如：∠1与∠4，∠1与∠2，∠6与∠7等
性质：邻补角和为180°.
②对顶角：相交线中相对的一组角，如：∠1与∠3，∠2与∠4，∠5与∠7，∠6与∠8.
性质：对顶角相等．
(2)三线八角：
同位角有∠4与∠8，∠1与∠5，∠3与∠7，∠2与∠6；
内错角有∠3与∠5，∠2与∠8；
同旁内角有∠3与∠8，∠2与∠5.
(3)①垂线定义：两直线相交所组成的四个角中有一个是直角时，我们称这两条直线互相垂直_，其中一条直线叫另一条直线的_垂线，它们的交点叫垂足；
②垂线基本事实：在同一平面内，经过一点有且只有一条直线与已知直线垂直；
③垂线段性质：连接直线外一点与直线上各点的所有线段中 垂线段 最短；
④点到直线的距离：直线外一点到这条直线的垂线段 ，叫做点到直线的距离；
⑤垂直平分线：垂直于一条线段并且平分这条线段的直线，叫做这条线段的垂直平分线；垂直平分线上的点到线段两端点的距离相等；到线段两个端点距离相等的点在这条线段的垂直平分线上．
4．平行线
(1)在同一平面内，不相交的两条直线叫平行线；
(2)平行线公理：经过直线外一点 有且只有一条直线与已知直线平行；
推论：如果两条直线都与第三条直线平行，那么这两条直线也平行；
(3)平行线判定与性质：
判定定理性质定理
【高频考点】
考点1： 几何图形基本知识
【例题1】若C、D是线段AB上两点，D是线段AC的中点，AB=10cm，BC=4cm，则AD的长是________ cm．
【分析】由AB=10cm，BC=4cm，可求出AC=AB﹣BC=6cm，再由点D是AC的中点，则可求得AD的长．
解析：如图：∵AB=10cm，BC=4cm，∴AC=AB﹣BC=6cm，又点D是AC的中点，∴AD=AC=3cm，故答案为：3
【同步练】已知线段AB=10cm，线段BC=4cm，则线段AC的长是________ cm．
解：（1）如图1，点B在点A、C的中间时，
，
AC=AB+BC=10+4=14（cm）
（2）如图2，点C在点A、B的中间时，
，
AC=AB﹣BC=10﹣4=6（cm）
∴线段AC的长是14或6cm．
故答案为：14或6．
考点2： 平行线的判定
【例题2】一副直角三角板叠放如图所示，现将含45°角的三角板ADE固定不动，把含30°角的三角板ABC绕顶点A顺时针旋转∠α(∠α＝∠BAD且0°＜α＜180°)，使两块三角板至少有一组边平行．
(1)如图1，α＝15°时，DE∥BC；
(2)请你在图2、图3中各画一种符合要求的图形，并写出对应的α的度数和平行线段．
　　　　
　　　图1　　　　　　　　　　　图2　　　　　　　　　图3
【解答】解：当α＝60°时，BC∥DA.
∵∠BAC＝30°，α＝60°，∴∠DAC＝∠C＝90°.
∴∠DAC＋∠C＝180°.∴BC∥DA.
当α＝105°时，BC∥EA.
∵α＝105°，∠DAE＝45°，∴∠EAB＝60°.
∵∠B＝60°，∴∠EAB＝∠B.
∴BC∥EA.
归纳：已知角的大小，判断两直线平行时：(1)先看已知角是哪两条直线被哪条直线所截得到的，是一对什么角；(2)再看是否满足两直线平行的判定条件，若满足，则平行；否则不平行．
考点3：平行线性质
【例题3】如图，AB∥CD，△EFG的顶点F，G分别落在直线AB，CD上，GE交AB于点H，GE平分∠FGD．若∠EFG=90°，∠E=35°，求∠EFB的度数．
【分析】依据三角形内角和定理可得∠FGH=55°，再根据GE平分∠FGD，AB∥CD，即可得到∠FHG=∠HGD=∠FGH=55°，再根据∠FHG是△EFH的外角，即可得出∠EFB=55°﹣35°=20°．
【解答】解：∵∠EFG=90°，∠E=35°，
∴∠FGH=55°，
∵GE平分∠FGD，AB∥CD，
∴∠FHG=∠HGD=∠FGH=55°，
∵∠FHG是△EFH的外角，
∴∠EFB=55°﹣35°=20°．
归纳：对于利用平行线性质求角度的问题：(1)通过观察题图和已知条件得出已知和所求的角是否可以直接通过平行线的哪些性质得出；(2)结合两角互余、两角互补、三角形内角和定理、三角形的内外角关系进行求解；(3)若题中提到角平分线，则在解题过程中注意角之间的等量代换．最后根据角之间的等量关系即可求解．
【自我检测】
一、选择题：
1. 如图，，．若平分，则的大小为（ ）
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】本题主要考查了角平分线的定义，角的计算，熟练掌握角平分线的定义是解题的关键．
先计算出，再结合角平分线的定义求出，即可求解．
【详解】解：∵，，
∴，
∵平分，
∴，
∴ ，
故选：B．
2. 如图，一束光线先后经平面镜，反射后，反射光线与平行，当时，的度数为（ ）
A. B. C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】根据题意得：∠ABM=∠OBC， ∠BCO=∠DCN，然后平行线的性质可得∠BCD =70°，即可求解．
【详解】解：根据题意得：∠ABM=∠OBC， ∠BCO=∠DCN，
∵∠ABM=35°，
∴∠OBC=35°，
∴∠ABC=180°-∠ABM-∠OBC=180°-35°-35°=110°，
∵CD∥AB，
∴∠ABC+∠BCD=180°，
∴∠BCD=180°-∠ABC=70°，
∵∠BCO+∠BCD+∠DCN=180°， ∠BCO=∠DCN，
∴．
故选：A
【点睛】本题主要考查了平行线的性质，熟练掌握两直线平行，同旁内角互补是解题的关键．
3. 如图，这是一副“骰子”的展开图，下列选项中的点数在骰子上相对应的是（ ）
A 1和5 B. 2和4 C. 1和6 D. 3和1
【答案】C
【解析】
【分析】本题考查了正方体相对两面上的字，选择任意一个面作为正方体的底面，将展开图折叠即可求解．
【详解】解：若以“”为正方体的下底面，则“”为上底面；
“”、“”分别为正方体的左右侧面；
“”、“”分别为正方体的前后面；
故选：C ．
4. 能说明命题“对于任何实数a，”是假命题的一个反例可以是（ ）
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】本题考查了乘方的计算，实数的大小比较，假命题举反例，根据a的值计算，再比较即可．
【详解】当时，，，∴，不能说明命题“对于任何实数a，”是假命题，故不符合题意；
当时，，，∴，能够说明命题“对于任何实数a，”是假命题，故符合题意；
当时，，，∴，不能说明命题“对于任何实数a，”是假命题，故不符合题意；
当时，，，∴，不能说明命题“对于任何实数a，”是假命题，故不符合题意；
故选：B．
5. （2024·福建·中考真题）在同一平面内，将直尺、含角的三角尺和木工角尺（）按如图方式摆放，若，则的大小为（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【分析】本题考查了平行线的性质，由，可得，即可求解．
【详解】∵，
∴，
∵，则，
∴，
故选：A．
二、填空题：
6. （2024·黑龙江绥化·中考真题）如图，，，．则 ．
【答案】66
【分析】本题考查了平行线的性质，等边对等角，三角形外角的性质，根据等边对等角可得，根据三角形的外角的性质可得，根据平行线的性质，即可求解．
【详解】解：∵，，
∴，
∴，
∵，
∴，
故答案为：．
7.如图，∠AOB的一边OA为平面镜，∠AOB=37°45′，在OB边上有一点E，从点E射出一束光线经平面镜反射后，反射光线DC恰好与OB平行，则∠DEB的度数是　 　．
【分析】首先证明∠EDO=∠AOB=37°45′，根据∠EDB=∠AOB+∠EDO计算即可解决问题；
【解答】解：∵CD∥OB，
∴∠ADC=∠AOB，
∵∠EDO=∠CDA，
∴∠EDO=∠AOB=37°45′，
∴∠EDB=∠AOB+∠EDO=2×37°45′=75°30′（或75.5°），
故答案为75°30′（或75.5°）．
8.如图，将一块含有30°的直角三角板的顶点放在直尺的一边上，若∠1＝48°，那么∠2的度数是（　　）
A．48° B．78° C．92° D．102°
【分析】直接利用已知角的度数结合平行线的性质得出答案．
【解答】解：∵将一块含有30°的直角三角板的顶点放在直尺的一边上，∠1＝48°，
∴∠2＝∠3＝180°﹣48°﹣30°＝102°．
故选：D．
9. 如图，已知点A、点B是直线上的两点，AB=12厘米，点C在线段AB上，且BC=4厘米．点P、点Q是直线上的两个动点，点P的速度为1厘米/秒，点Q的速度为2厘米/秒．点P、Q分别从点C、点B同时出发在直线上运动，则经过　 　秒时线段PQ的长为5厘米．
【解答】解：设运动时间为t秒．
①如果点P向左、点Q向右运动，
由题意，得：t+2t=5﹣4，
解得t=；
②点P、Q都向右运动，
由题意，得：2t﹣t=5﹣4，
解得t=1；
③点P、Q都向左运动，
由题意，得：2t﹣t=5+4，
解得t=9．
④点P向右、点Q向左运动，
由题意，得：2t﹣4+t=5，
解得t=3．
综上所述，经过或1或3秒时线段PQ的长为5厘米．
故答案为或1或3或9．
三、解答题：
10. 已知∠α=76°，∠β=41°31′，求：
（1）∠β的余角；
（2）∠α的2倍与∠β的的差．
【分析】（1）根据互为余角的两个角的和为90度可得∠β的余角=90°﹣∠β，将∠β=41°31′代入计算即可；
（2）将∠α=76°，∠β=41°31′代入2∠α﹣∠β，然后计算即可．
解析：（1）∠β的余角=90°﹣∠β
=90°﹣41°31′
=48°29′；
（2）∵∠α=76°，∠β=41°31′，
∴2∠α﹣∠β=2×76°﹣×41°31′
=152°﹣20°45′30″
11. 已知线段AB=6，在直线AB上取一点P，恰好使AP=2PB，点Q为PB的中点，求线段AQ的长．
【解答】解：如图1所示，∵AP=2PB，AB=6，
∴PB=AB=×6=2，AP=AB=×6=4；
∵点Q为PB的中点，
∴PQ=QB=PB=×2=1；
∴AQ=AP+PQ=4+1=5．
如图2所示，∵AP=2PB，AB=6，
∴AB=BP=6，
∵点Q为PB的中点，
∴BQ=3，
∴AQ=AB+BQ=6+3=9．
故AQ的长度为5或9．
12. 有三个海岛A，B，C，其中C岛在A岛的北偏东60°方向．
(1)如图1，若C岛在B岛的南偏东25°方向，求∠BCA的度数；
(2)如图2，若C岛在B岛北偏西50°方向上，求C岛看A，B两岛的视角∠ACB的度数．
图1图2
　　　　
【解答】解：(1)根据题意，得∠DAC＝60°，∠MBC＝25°.
∵EG∥AD，∴∠ACG＝∠DAC＝60°.
∵BM∥AD，∴BM∥EG.
∴∠ECB＝∠CBM＝25°.
∴∠BCA＝180°－∠ACG－∠ECB＝95°.
(2)过点C作CM∥AD，∴∠ACM＝∠DAC＝60°.
∵AD∥BE，∴BE∥CM.
∴∠BCM＝∠CBE＝50°.
∴∠ACB＝∠ACM＋∠BCM＝110°.
13. 如图①，点O为直线AB上一点，过点O作射线OC，将一直角三角板如图摆放(∠MON＝90°) ．
(1)将图①中的三角板绕点O旋转一定的角度得图②，使边OM恰好平分∠BOC，问：ON是否平分∠AOC 请说明理由；
(2)将图①中的三角板绕点O旋转一定的角度得图③，使边ON在∠BOC的内部，如果∠BOC＝60°，则∠BOM与∠NOC之间存在怎样的数量关系 请说明理由．
【解析】解：(1)ON平分∠AOC．理由如下：
∵ ∠MON＝90°
∴ ∠BOM+∠AON＝90°
∠MOC+∠NOC＝90°
又∵ OM平分∠BOC
∴ ∠BOM＝∠MOC
∴ ∠AON＝∠NOC
∴ ON平分∠AOC
(2)∵ ∠CON+∠NOB＝60°
又∵ ∠BOM+∠NOB＝90°
∴ ∠BOM＝∠NOC+30°
14. 如图，在平面直角坐标系中，点A，B的坐标分别为（﹣1，0），（3，0），现同时将点A，B分别向上平移2个单位，再向右平移1个单位，分别得到点A，B的对应点C，D，连接AC，BD，CD．
（1）求点C，D的坐标；
（2）若在y轴上存在点 M，连接MA，MB，使S△MAB=S平行四边形ABDC，求出点M的坐标．
（3）若点P在直线BD上运动，连接PC，PO．
①若P在线段BD之间时（不与B，D重合），求S△CDP+S△BOP的取值范围；
②若P在直线BD上运动，请直接写出∠CPO、∠DCP、∠BOP的数量关系．
【解答】（1）由平移可知：C（0，2），D（4，2）；
（2）∵AB=4，CO=2，
∴S平行四边形ABOC=AB CO=4×2=8，
设M坐标为（0，m），
∴×4×|m|=8，解得m=±4
∴M点的坐标为（0，4）或（0，﹣4）；
（3）①S梯形OCDB=×（3+4）×2=7，
当点P运动到点B时，S△POC最小，S△POC的最小值=×3×2=3，S△CDP+S△BOP＜4，
当点P运动到点D时，S△POC最大，S△POC的最大值=×4×2=4，S△CDP+S△BOP＞3，
所以3＜S△CDP+S△BOP＜4；
②当点P在BD上，如图1，作PE∥CD，
∵CD∥AB，
∴CD∥PE∥AB，
∴∠DCP=∠EPC，∠BOP=∠EPO，
∴∠DCP+∠BOP=∠EPC+∠EPO=∠CPO；
当点P在线段BD的延长线上时，如图2，作PE∥CD，
∵CD∥AB，
∴CD∥PE∥AB，
∴∠DCP=∠EPC，∠BOP=∠EPO，
∴∠EPO﹣∠EPC=∠BOP﹣∠DCP，
∴∠BOP﹣∠DCP=∠CPO；
同理可得当点P在线段DB的延长线上时，∠DCP﹣∠BOP=∠CPO．
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第14讲　线段、角、相交线和平行线
【考点梳理】
1．线段与直线
(1)两个基本事实：
直线的基本事实：两点确定一条直线；
线段的基本事实：两点之间线段最短．
(2)两点间距离：连接两点的线段，叫做两点之间的距离．
(3)线段的中点：如图，点C把线段AB分成相等的两段AC与BC，点C叫做线段AB的中点，即AC＝BC＝AB.
(4)线段的和与差：如图，点C是线段AB上一点，则AC＋BC＝AB，AC＝AB－BC，BC＝AB－AC.
2．角及角平分线
(1)1周角＝_2_平角＝__4_直角＝ 360° ，
1°＝__60′，1′＝60_″.
(2)小于直角的角叫做_锐角_；大于直角而小于平角的角叫做钝角；
度数是90°的角叫做直角．
(3)余角：两个角的和等于90°时，称这两个角互为余角；同角(或等角)的余角_相等_．
补角：两个角的和等于180°时，称这两个角互为补角；同角(或等角)的补角相等．
(4)角平分线：①从一个角的顶点引出一条射线，把这个角平分成相等的两个角，这条射线叫这个角的角平分线；②角平分线上的点，到角两边的距离_相等_；到角两边距离相等的点在这个角的角平分线上。
3．相交线(如图)
(1)①邻补角：在一条直线上且互补的一对角，如：∠1与∠4，∠1与∠2，∠6与∠7等
性质：邻补角和为180°.
②对顶角：相交线中相对的一组角，如：∠1与∠3，∠2与∠4，∠5与∠7，∠6与∠8.
性质：对顶角相等．
(2)三线八角：
同位角有∠4与∠8，∠1与∠5，∠3与∠7，∠2与∠6；
内错角有∠3与∠5，∠2与∠8；
同旁内角有∠3与∠8，∠2与∠5.
(3)①垂线定义：两直线相交所组成的四个角中有一个是直角时，我们称这两条直线互相垂直_，其中一条直线叫另一条直线的_垂线，它们的交点叫垂足；
②垂线基本事实：在同一平面内，经过一点有且只有一条直线与已知直线垂直；
③垂线段性质：连接直线外一点与直线上各点的所有线段中 垂线段 最短；
④点到直线的距离：直线外一点到这条直线的垂线段 ，叫做点到直线的距离；
⑤垂直平分线：垂直于一条线段并且平分这条线段的直线，叫做这条线段的垂直平分线；垂直平分线上的点到线段两端点的距离相等；到线段两个端点距离相等的点在这条线段的垂直平分线上．
4．平行线
(1)在同一平面内，不相交的两条直线叫平行线；
(2)平行线公理：经过直线外一点 有且只有一条直线与已知直线平行；
推论：如果两条直线都与第三条直线平行，那么这两条直线也平行；
(3)平行线判定与性质：
判定定理性质定理
【高频考点】
考点1： 几何图形基本知识
【例题1】若C、D是线段AB上两点，D是线段AC的中点，AB=10cm，BC=4cm，则AD的长是________ cm．
【同步练】已知线段AB=10cm，线段BC=4cm，则线段AC的长是________ cm．
考点2： 平行线的判定
【例题2】一副直角三角板叠放如图所示，现将含45°角的三角板ADE固定不动，把含30°角的三角板ABC绕顶点A顺时针旋转∠α(∠α＝∠BAD且0°＜α＜180°)，使两块三角板至少有一组边平行．
(1)如图1，α＝ 时，DE∥BC；
(2)请你在图2、图3中各画一种符合要求的图形，并写出对应的α的度数和平行线段．
　　　　
　　　图1　　　　　　　　　　　图2　　　　　　　　　图3
考点3：平行线性质
【例题3】如图，AB∥CD，△EFG的顶点F，G分别落在直线AB，CD上，GE交AB于点H，GE平分∠FGD．若∠EFG=90°，∠E=35°，求∠EFB的度数．
【自我检测】
一、选择题：
1. 如图，，．若平分，则的大小为（ ）
A. B. C. D.
2. 如图，一束光线先后经平面镜，反射后，反射光线与平行，当时，的度数为（ ）
A. B. C. D.
3. 如图，这是一副“骰子”的展开图，下列选项中的点数在骰子上相对应的是（ ）
A 1和5 B. 2和4 C. 1和6 D. 3和1
4. 能说明命题“对于任何实数a，”是假命题的一个反例可以是（ ）
A. B. C. D.
5. （2024·福建·中考真题）在同一平面内，将直尺、含角的三角尺和木工角尺（）按如图方式摆放，若，则的大小为（ ）
A． B． C． D．
二、填空题：
6. （2024·黑龙江绥化·中考真题）如图，，，．则 ．
7.如图，∠AOB的一边OA为平面镜，∠AOB=37°45′，在OB边上有一点E，从点E射出一束光线经平面镜反射后，反射光线DC恰好与OB平行，则∠DEB的度数是　 　．
8.如图，将一块含有30°的直角三角板的顶点放在直尺的一边上，若∠1＝48°，那么∠2的度数是（　　）
A．48° B．78° C．92° D．102°
9. 如图，已知点A、点B是直线上的两点，AB=12厘米，点C在线段AB上，且BC=4厘米．点P、点Q是直线上的两个动点，点P的速度为1厘米/秒，点Q的速度为2厘米/秒．点P、Q分别从点C、点B同时出发在直线上运动，则经过　 　秒时线段PQ的长为5厘米．
三、解答题：
10. 已知∠α=76°，∠β=41°31′，求：
（1）∠β的余角；
（2）∠α的2倍与∠β的的差．
11. 已知线段AB=6，在直线AB上取一点P，恰好使AP=2PB，点Q为PB的中点，求线段AQ的长．
12. 有三个海岛A，B，C，其中C岛在A岛的北偏东60°方向．
(1)如图1，若C岛在B岛的南偏东25°方向，求∠BCA的度数；
(2)如图2，若C岛在B岛北偏西50°方向上，求C岛看A，B两岛的视角∠ACB的度数．
图1图2
　　　　
13. 如图①，点O为直线AB上一点，过点O作射线OC，将一直角三角板如图摆放(∠MON＝90°) ．
(1)将图①中的三角板绕点O旋转一定的角度得图②，使边OM恰好平分∠BOC，问：ON是否平分∠AOC 请说明理由；
(2)将图①中的三角板绕点O旋转一定的角度得图③，使边ON在∠BOC的内部，如果∠BOC＝60°，则∠BOM与∠NOC之间存在怎样的数量关系 请说明理由．
14. 如图，在平面直角坐标系中，点A，B的坐标分别为（﹣1，0），（3，0），现同时将点A，B分别向上平移2个单位，再向右平移1个单位，分别得到点A，B的对应点C，D，连接AC，BD，CD．
（1）求点C，D的坐标；
（2）若在y轴上存在点 M，连接MA，MB，使S△MAB=S平行四边形ABDC，求出点M的坐标．
（3）若点P在直线BD上运动，连接PC，PO．
①若P在线段BD之间时（不与B，D重合），求S△CDP+S△BOP的取值范围；
②若P在直线BD上运动，请直接写出∠CPO、∠DCP、∠BOP的数量关系．
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