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第15讲　三角形及其基本性质
【考点梳理】
1．三角形的分类
(1)按边分类
(2)按角分类
2．三角形的基本性质
(1)内角和定理：三角形内角和为180°；
(2)内外角关系：
三角形的一个外角等于和它不相邻的两个内角的和；
三角形的一个外角_大于_任何一个与它不相邻的内角．
(3)三边关系：三角形的任意两边之和_大于__第三边；
任意两边之差_小于第三边；
3．三角形中的重要线段
(1)角平分线：①如图，线段AD平分∠BAC，则AD是△ABC的一条角平分线． ②内心：三角形三条角平分线的交点．它到各边的距离相等．
(2)中线：①如图，E是线段BC的中点，则线段AE是△ABC的一条中线， ②重心：三角形三条中线的交点．
(3)高：①如图，AF⊥BC，则线段AF是△ABC的高线．
②垂心：三条高线的交点．
(4)中位线：①连接三角形两边中点的一段，叫做三角形的中位线．
②中位线定理：三角形的中位线平行于第三边，且等于第三边的一半.
(5)垂直平分线：①如图，点D是BC的中点，DE⊥BC，则DE是△ABC的一条垂直平分线．
②外心：三条垂直平分线的交点，它到各顶点的距离相等；锐角三角形的外心在形内，钝角三角形的外心在形外，直角三角形的外心在斜边中点．
4．命题
(1)命题：判断一件事情的语句叫做命题．命题分为题设和结论两部分．题设是已知事项，结论是由已知事项推出的事项．
(2)真命题和假命题：如果题设成立，那么结论一定成立，这样的命题叫做真命题；如果题设成立时，不能保证结论一定成立，这样的命题叫做假命题．
(3)互逆命题：在两个命题中，如果第一个命题的题设是另一个命题的结论，而第一个命题的结论是另一个命题的题设，那么这两个命题叫做互逆命题.
【高频考点】
考点1： 三角形三边关系
【例题1】（2024·内蒙古赤峰·中考真题）等腰三角形的两边长分别是方程的两个根，则这个三角形的周长为（　　）
A．或 B．或 C． D．
【答案】C
【分析】本题考查了解一元二次方程，等腰三角形的定义，三角形的三边关系及周长，由方程可得，，根据三角形的三边关系可得等腰三角形的底边长为，腰长为，进而即可求出三角形的周长，掌握等腰三角形的定义及三角形的三边关系是解题的关键．
【详解】解：由方程得，，，
∵，
∴等腰三角形的底边长为，腰长为，
∴这个三角形的周长为，
故选：．
归纳：三角形的三边关系是判断三条线段能否组成三角形的判定标准，三角形的三边关系：三角形任意两边之和大于第三边，任意两边之差小于第三边．
考点2： 三角形重要线段的计算与应用
【例题2】如图，CD，CE，CF分别是△ABC的高、角平分线、中线．
(1)有四种说法：①BA＝2BF；②∠ACE＝∠ACB；③AE＝BE；④CD⊥AB，则错误的说法是③；
(2)若∠A＝72°，∠ABC＝28°，求∠DCE；
(3)BG是△ABC的高，∠A＝72°，求∠DHB；
(4)若M是BC的中点，若∠A＝90°，AB＝16，BC＝20，求FM的长．
【点拨】　(1)由三角形高线，角平分线，中线的定义进行判断即可；(2)先由∠A，∠ABC可求∠ACB，由CE是角平分线，可求得∠ACE，从而可利用∠ACE和∠ACD作差可解决问题；(3)由四边形内角和是360°，可求得∠DHG，由互补可求得∠DHB；(4)由勾股定理求AC，由中位线定理求AC.
【解答】解：(2)∵∠A＝72°，∠ABC＝28°，
∴∠ACB＝80°.
∵CE是△ABC的角平分线，
∴∠ACE＝∠BCE＝40°.
∵∠A＝72°，CD是△ABC的高，
∴∠ACD＝18°.
∴∠DCE＝∠ACE－∠ACD＝22°.
(3)∵BG是△ABC的高，CD是△ABC的高，
∴∠ADC＝∠AGH＝90°.
∵∠A＋∠ADC＋∠DHG＋∠AGH＝360°，
∴∠DHG＝108°.
∴∠DHB＝180°－∠DHG＝72°.
(4)∵∠A＝90°，AB＝16，BC＝20，
∴AC＝12.
∵FM是△ABC的中位线，
∴FM＝AC＝6.
归纳：中线和中位线是易混淆的两个概念，中线是连接顶点与对边中点之间的线段，中位线是连接两边中点之间的线段，中线把三角形面积等分，中位线把三角形面积分为1∶3.
考点3： 三角形内角和与外角性质的综合应用
【例题3】一副三角板有两个直角三角形，如图叠放在一起，则的度数是（ ）
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】本题主要考查了平行线的判定与性质、三角形外角的定义及性质，由题意得：，，，得出，由平行线的性质可得，再由三角形外角的定义及性质可得，计算即可得出答案，熟练掌握以上知识点并灵活运用是解此题的关键．
【详解】解：如图，
，
由题意得：，，，
，
，
，
，
故选：B．
【自我检测】
一、选择题：
1. 如图，人字梯的支架的长度都为（连接处的长度忽略不计），则B，C两点之间的距离可能是（ ）
A. B. C. D.
【答案】A
【分析】根据三角形任意一边小于其它两边两边之和求出的取值范围，判断各选项即可得的答案．本题主要考查了三角形的三边关系，掌握据三角形任意一边小于其它两边两边之和是解决问题的关键．
【详解】解：，
，
即．
只有A选项数值满足上述的范围，
故选：A．
2.下列长度的三条线段，能组成三角形的是（　　）
A．4cm，5cm，9cm B．8cm，8cm，15cm C．5cm，5cm，10cm D．6cm，7cm，14cm
【分析】结合“三角形中较短的两边之和大于第三边”，分别套入四个选项中得三边长，即可得出结论．
【解答】A、∵5+4=9，9=9，
∴该三边不能组成三角形，故此选项错误；
B、8+8=16，16＞15，
∴该三边能组成三角形，故此选项正确；
C、5+5=10，10=10，
∴该三边不能组成三角形，故此选项错误；
D、6+7=13，13＜14，
∴该三边不能组成三角形，故此选项错误；
故选：B．
3. （2024·四川凉山·中考真题）一副直角三角板按如图所示的方式摆放，点在的延长线上，当时，的度数为（ ）

A． B． C． D．
【答案】B
【分析】本题考查平行线的性质，三角形的外角的性质，掌握平行线的性质，是解题的关键．证明，再利用，进行求解即可．
【详解】解：由题意，得：，
∵，
∴，
∴；
故选B．
4. （2024·青海·中考真题）如图，平分，点P在上，，，则点P到的距离是（ ）
A．4 B．3 C．2 D．1
【答案】C
【分析】本题考查了角平分线的性质定理．过点P作于点E，根据角平分线的性质可得，即可求解．
【详解】解：过点P作于点E，
∵平分，，，
∴，
故选：C．
5.如图所示的网格由边长相同的小正方形组成，点A.B.C.D.E.F、G在小正方形的顶点上，则△ABC的重心是（　　）
A．点D B．点E C．点F D．点G
【分析】根据三角形三条中线相交于一点，这一点叫做它的重心，据此解答即可．
【解答】解：根据题意可知，直线CD经过△ABC的AB边上的中线，直线AD经过△ABC的BC边上的中线，
∴点D是△ABC重心．
故选：A．
二、填空题：
6. （2024·四川凉山·中考真题）如图，中，是边上的高，是的平分线，则的度数是 ．
【答案】/100度
【分析】本题考查了三角形内角和以及外角性质、角平分线的定义．先求出，结合高的定义，得，因为角平分线的定义得，运用三角形的外角性质，即可作答．
【详解】解：∵，
∴，
∵是边上的高，
∴，
∴，
∵是的平分线，
∴，
∴．
故答案为：．
7. 若三角形的周长是60cm，且三条边的比为3：4：5，则三边长分别为　 　．
【分析】先设三角形的三边长分别为3x，4x，5x，再由其周长为60cm求出x的值即可．
【解答】解：∵三角形的三边长的比为3：4：5，
∴设三角形的三边长分别为3x，4x，5x．
∵其周长为60cm，
∴3x+4x+5x=60，解得x=5，
∴三角形的三边长分别是15，20，25，
故答案为：15，20，25
8.已知a，b，c是△ABC的三边长，a，b满足|a﹣7|+（b﹣1）2=0，c为奇数，则c=　 　．
【分析】根据非负数的性质列式求出a、b的值，再根据三角形的任意两边之和大于第三边，两边之差小于第三边求出c的取值范围，再根据c是奇数求出c的值．
【解答】解：∵a，b满足|a﹣7|+（b﹣1）2=0，
∴a﹣7=0，b﹣1=0，
解得a=7，b=1，
∵7﹣1=6，7+1=8，
∴6＜c＜8，
又∵c为奇数，
∴c=7，
故答案是：7．
9.将两张三角形纸片如图摆放，量得∠1+∠2+∠3+∠4=220°，则∠5=　40°　．
【分析】直接利用三角形内角和定理得出∠6+∠7的度数，进而得出答案．
【解答】解：如图所示：∠1+∠2+∠6=180°，∠3+∠4+∠7=180°，
∵∠1+∠2+∠3+∠4=220°，
∴∠1+∠2+∠6+∠3+∠4+∠7=360°，
∴∠6+∠7=140°，
∴∠5=180°﹣（∠6+∠7）=40°．
故答案为：40°．
三、解答题：
10. 如图，在△ABC中，点D为边AC的中点，且DB⊥BC，BC＝4，CD＝5.
(1)求DB的长；
(2)在△ABC中，求边BC上的高．
【解析】：(1)∵DB⊥BC，
∴∠DBC＝90°.
∵在Rt△DBC中，BC＝4，CD＝5，
∴DB＝＝＝3.
(2)过A作AE⊥BC交线段CB延长线于点E，
则AE∥DB.
∵点D为AC的中点，
∴DB为△ACE的中位线．
∴AE＝2DB＝6.
∴边BC上的高为6.
11. 如图，在△ABC中，∠ABC=40°，∠ACB=80°，AD是BC边上的高，AE平分∠BAC．
（1）求∠BAE的度数；
（2）求∠DAE的度数．
【分析】（1）由∠ABC、∠ACB的度数结合三角形内角和定理，可求出∠BAC的度数，再根据角平分线的性质可求出∠BAE的度数；
（2）利用三角形的外角性质可求出∠AEB的度数，结合∠ADE=90°即可求出∠DAE的度数．
【解答】解：（1）∵∠ABC=40°，∠ACB=80°，
∴∠BAC=180°﹣∠ABC﹣∠ACB=60°．
∵AE平分∠BAC，
∴∠BAE=∠BAC=30°．
（2）∵∠CAE=∠BAE=30°，∠ACB=80°，
∴∠AEB=∠CAE+∠ACB=110°，
∵AD是BC边上的高，
∴∠ADE=90°，
∴∠DAE=∠AEB﹣∠ADE=20°．
12. 如图，D是△ABC边BA延长上一点．
(1)①若BC＝3，AC＝6，则AB的长在什么范围？
②若AC＝6，则△ABC的周长可能是( )
A．8 B．10 C．12 D．14
(2)①若∠CAB＝36°，∠B＝∠ACB，则∠ACB＝72°；
②若∠CAB∶∠B∶∠ACB＝3∶5∶7，求∠CAD的度数；
③若CE是△ABC的角平分线，∠CAD＝∠CEA，∠BCA＝80°，求∠CEA的度数．
【点拨】(1)可利用三角形三边大小关系来解；(2)①可利用三角形内角和为180°，通过方程(组)来求解；②设每份为x，利用三角形内角和，求出∠CAB，再利用互补求∠CAD；③需要利用外角与内角之间的数量关系，再结合已知条件求解．
【解答】解：(1)①由三角形任意两边和大于第三边，任意两边之差小于第三边，可得，AC－BC＜AB＜BC＋AC，所以3＜AB＜9.
(2)②∵∠CAB∶∠B∶∠ACB＝3∶5∶7，
∴设∠CAB＝3x°，∠B＝5x°，∠ACB＝7x°.
∵∠CAB＋∠B＋∠ACB＝180°，
∴3x＋5x＋7x＝180，解得x＝12.∴∠CAB＝36°.
∴∠CAD＝180°－∠CAB＝144°.
③∵∠CAD＝∠CEA＋∠ECA，∠CAD＝∠CEA，
∴∠CEA＝3∠ECA.
∵CE是△ABC的角平分线，∴∠CEA＝∠BCA＝120°.
13.如图，△ABC和△ADE中，AB＝AD＝6，BC＝DE，∠B＝∠D＝30°，边AD与边BC交于点P（不与点B，C重合），点B，E在AD异侧，I为△APC的内心．
（1）求证：∠BAD＝∠CAE；
（2）设AP＝x，请用含x的式子表示PD，并求PD的最大值；
（3）当AB⊥AC时，∠AIC的取值范围为m°＜∠AIC＜n°，分别直接写出m，n的值．
【解答】解：（1）在△ABC和△ADE中，（如图1）
∴△ABC≌△ADE（SAS）
∴∠BAC＝∠DAE
即∠BAD+∠DAC＝∠DAC+∠CAE
∴∠BAD＝∠CAE．
（2）∵AD＝6，AP＝x，
∴PD＝6﹣x
当AD⊥BC时，AP＝AB＝3最小，即PD＝6﹣3＝3为PD的最大值．
（3）如图2，设∠BAP＝α，则∠APC＝α+30°，
∵AB⊥AC
∴∠BAC＝90°，∠PCA＝60°，∠PAC＝90°﹣α，
∵I为△APC的内心
∴AI、CI分别平分∠PAC，∠PCA，
∴∠IAC＝∠PAC，∠ICA＝∠PCA
∴∠AIC＝180°﹣（∠IAC+∠ICA）＝180°﹣（∠PAC+∠PCA）
＝180°﹣（90°﹣α+60°）＝α+105°
∵0＜α＜90°，
∴105°＜α+105°＜150°，即105°＜∠AIC＜150°，
∴m＝105，n＝150．
14. 如图1，在△ABC中，CD，CE分别是△ABC的高和角平分线，∠BAC＝α，∠B＝β(α＞β)．
图1　　　　　　　　图2　　　　　图3
(1)若∠BAC＝70°，∠B＝40°，求∠DCE的度数；
(2)若∠BAC＝α，∠B＝β(α＞β)，则∠DCE＝(用含α，β的代数式表示)；
(3)若将△ABC换成钝角三角形，如图2，其他条件不变，试用α，β的代数式表示∠DCE的度数并说明理由；
(4)如图3，若CE是△ABC外角∠ACF的平分线，交BA的延长线于点E.且α－β＝30°，则∠DCE＝75°．(直接写出结果)
【解析】：(1)∵∠BAC＝70°，∠B＝40°，
∴∠ACB＝180°－(∠BAC＋∠B)＝70°.
又∵CE是∠ACB的平分线，
∴∠ACE＝∠ACB＝35°.
∵CD是高线，∴∠ADC＝90°.
∴∠ACD＝90°－∠BAC＝20°.
∴∠DCE＝∠ACE－∠ACD＝15°.
(3)∠DCE＝(α－β)．理由：
∵∠ACB＝180°－(∠BAC＋∠B)＝180°－(α＋β)，CE是∠ACB的平分线，
∴∠ACE＝∠ACB＝90°－(α＋β)．
∵CD是高线，∴∠ADC＝90°.
∴∠ACD＝∠BAC－90°＝α－90°.
∴∠DCE＝∠ACE＋∠ACD
＝90°－(α＋β)＋α－90°＝(α－β)．
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第15讲　三角形及其基本性质
【考点梳理】
1．三角形的分类
(1)按边分类
(2)按角分类
2．三角形的基本性质
(1)内角和定理：三角形内角和为180°；
(2)内外角关系：
三角形的一个外角等于和它不相邻的两个内角的和；
三角形的一个外角_大于_任何一个与它不相邻的内角．
(3)三边关系：三角形的任意两边之和_大于__第三边；
任意两边之差_小于第三边；
3．三角形中的重要线段
(1)角平分线：①如图，线段AD平分∠BAC，则AD是△ABC的一条角平分线． ②内心：三角形三条角平分线的交点．它到各边的距离相等．
(2)中线：①如图，E是线段BC的中点，则线段AE是△ABC的一条中线， ②重心：三角形三条中线的交点．
(3)高：①如图，AF⊥BC，则线段AF是△ABC的高线．
②垂心：三条高线的交点．
(4)中位线：①连接三角形两边中点的一段，叫做三角形的中位线．
②中位线定理：三角形的中位线平行于第三边，且等于第三边的一半.
(5)垂直平分线：①如图，点D是BC的中点，DE⊥BC，则DE是△ABC的一条垂直平分线．
②外心：三条垂直平分线的交点，它到各顶点的距离相等；锐角三角形的外心在形内，钝角三角形的外心在形外，直角三角形的外心在斜边中点．
4．命题
(1)命题：判断一件事情的语句叫做命题．命题分为题设和结论两部分．题设是已知事项，结论是由已知事项推出的事项．
(2)真命题和假命题：如果题设成立，那么结论一定成立，这样的命题叫做真命题；如果题设成立时，不能保证结论一定成立，这样的命题叫做假命题．
(3)互逆命题：在两个命题中，如果第一个命题的题设是另一个命题的结论，而第一个命题的结论是另一个命题的题设，那么这两个命题叫做互逆命题.
【高频考点】
考点1： 三角形三边关系
【例题1】（2024·内蒙古赤峰·中考真题）等腰三角形的两边长分别是方程的两个根，则这个三角形的周长为（　　）
A．或 B．或 C． D．
考点2： 三角形重要线段的计算与应用
【例题2】如图，CD，CE，CF分别是△ABC的高、角平分线、中线．
(1)有四种说法：①BA＝2BF；②∠ACE＝∠ACB；③AE＝BE；④CD⊥AB，则错误的说法是③；
(2)若∠A＝72°，∠ABC＝28°，求∠DCE；
(3)BG是△ABC的高，∠A＝72°，求∠DHB；
(4)若M是BC的中点，若∠A＝90°，AB＝16，BC＝20，求FM的长．
考点3： 三角形内角和与外角性质的综合应用
【例题3】一副三角板有两个直角三角形，如图叠放在一起，则的度数是（ ）
A. B. C. D.
【自我检测】
一、选择题：
1. 如图，人字梯的支架的长度都为（连接处的长度忽略不计），则B，C两点之间的距离可能是（ ）
A. B. C. D.
2.下列长度的三条线段，能组成三角形的是（　　）
A．4cm，5cm，9cm B．8cm，8cm，15cm C．5cm，5cm，10cm D．6cm，7cm，14cm
3. （2024·四川凉山·中考真题）一副直角三角板按如图所示的方式摆放，点在的延长线上，当时，的度数为（ ）

A． B． C． D．
4. （2024·青海·中考真题）如图，平分，点P在上，，，则点P到的距离是（ ）
A．4 B．3 C．2 D．1
5.如图所示的网格由边长相同的小正方形组成，点A.B.C.D.E.F、G在小正方形的顶点上，则△ABC的重心是（　　）
A．点D B．点E C．点F D．点G
二、填空题：
6. （2024·四川凉山·中考真题）如图，中，是边上的高，是的平分线，则的度数是 ．
7. 若三角形的周长是60cm，且三条边的比为3：4：5，则三边长分别为　 　．
8.已知a，b，c是△ABC的三边长，a，b满足|a﹣7|+（b﹣1）2=0，c为奇数，则c=　 　．
9.将两张三角形纸片如图摆放，量得∠1+∠2+∠3+∠4=220°，则∠5=　 　．
三、解答题：
10. 如图，在△ABC中，点D为边AC的中点，且DB⊥BC，BC＝4，CD＝5.
(1)求DB的长；
(2)在△ABC中，求边BC上的高．
11. 如图，在△ABC中，∠ABC=40°，∠ACB=80°，AD是BC边上的高，AE平分∠BAC．
（1）求∠BAE的度数；
（2）求∠DAE的度数．
12. 如图，D是△ABC边BA延长上一点．
(1)①若BC＝3，AC＝6，则AB的长在什么范围？
②若AC＝6，则△ABC的周长可能是( )
A．8 B．10 C．12 D．14
(2)①若∠CAB＝36°，∠B＝∠ACB，则∠ACB＝ ；
②若∠CAB∶∠B∶∠ACB＝3∶5∶7，求∠CAD的度数；
③若CE是△ABC的角平分线，∠CAD＝∠CEA，∠BCA＝80°，求∠CEA的度数．
13.如图，△ABC和△ADE中，AB＝AD＝6，BC＝DE，∠B＝∠D＝30°，边AD与边BC交于点P（不与点B，C重合），点B，E在AD异侧，I为△APC的内心．
（1）求证：∠BAD＝∠CAE；
（2）设AP＝x，请用含x的式子表示PD，并求PD的最大值；
（3）当AB⊥AC时，∠AIC的取值范围为m°＜∠AIC＜n°，分别直接写出m，n的值．
14. 如图1，在△ABC中，CD，CE分别是△ABC的高和角平分线，∠BAC＝α，∠B＝β(α＞β)．
图1　　　　　　　　图2　　　　　图3
(1)若∠BAC＝70°，∠B＝40°，求∠DCE的度数；
(2)若∠BAC＝α，∠B＝β(α＞β)，则∠DCE＝(用含α，β的代数式表示)；
(3)若将△ABC换成钝角三角形，如图2，其他条件不变，试用α，β的代数式表示∠DCE的度数并说明理由；
(4)如图3，若CE是△ABC外角∠ACF的平分线，交BA的延长线于点E.且α－β＝30°，则∠DCE＝ ．(直接写出结果)
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