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第16讲　全等三角形
【考点梳理】
全等三角形
(1)性质：全等三角形对应边相等，对应角相等．注意：全等三角形对应线段(中线，高)相等；对应角的平分线相等；全等三角形的周长、面积也相等．
(2)判定：
①两边和夹角对应相等的两个三角形全等(SAS)；
②两角和夹边对应相等的两个三角形全等(ASA )；
③两角和其中一角的对边对应相等的两个三角形全等(AAS)；
④三边对应相等的两个三角形全等(SSS)；
⑤斜边和一条直角边对应相等的两个直角三角形全等(HL).
【高频考点】
考点1： 全等三角形的性质应用
【例题1】已知：∠AOB．求作：∠A'O'B'，使∠A'O′B'=∠AOB
（1）如图1，以点O为圆心，任意长为半径画弧，分别交OA，OB于点C、D；
（2）如图2，画一条射线O′A′，以点O′为圆心，OC长为半径间弧，交O′A′于点C′；
（3）以点C′为圆心，CD长为半径画弧，与第2步中所而的弧交于点D′；
（4）过点D′画射线O′B'，则∠A'O'B'=∠AOB．
根据以上作图步骤，请你证明∠A'O'B′=∠AOB．
【分析】由基本作图得到OD=OC=O′D′=O′C′，CD=C′D′，则根据“SSS“可证明△OCD≌△O′C′D′，然后利用全等三角形的性质可得到∠A'O'B′=∠AOB．
【解答】证明：由作法得OD=OC=O′D′=O′C′，CD=C′D′，
在△OCD和△O′C′D′中
，
∴△OCD≌△O′C′D′，
∴∠COD=∠C′O′D′，
即∠A'O'B′=∠AOB．
考点2： 全等三角形的判定
【例题2】（2024·四川南充·中考真题）如图，在中，点D为边的中点，过点B作交的延长线于点E．
(1)求证：．
(2)若，求证：
【答案】(1)见解析
(2)见解析
【分析】本题考查全等三角形的判定和性质，中垂线的判定和性质：
（1）由中点，得到，由，得到，即可得证；
（2）由全等三角形的性质，得到，进而推出垂直平分，即可得证．
【详解】（1）证明：为的中点，
．
；
在和中，
；
（2）证明：
垂直平分，
．
考点3： 全等三角形的综合应用
【例题3】如图，在中，，，点D是内一点，且．
（1）求证：；
（2）将线段绕点D顺时针旋转得到线段，连接交于点F．
①依题意补全图形；
②若点F恰是的中点，用等式表示与之间的数量关系，并证明．
【答案】（1）见详解 （2）①见详解；②
【解析】
【分析】（1）设，则，即可得解．
（2）①根据题意作图即可；②过点C作于点M，交于点N，证得，再证，得到，得到M为中点， N为中点，即可得解．
本题考查了全等三角形的性质与判定，三角形内角和定理，熟练作出辅助线是解题的关键．
【小问1详解】
设，
∵，，
∴，
∴．
【小问2详解】
①
②，证明如下：
过点C作于点M，交于点N，
∵，
∴，
∴，
∵F恰是的中点，
∴，
又，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，
∵M为中点，，
∴，
∴N为中点，
∴．
【自我检测】
一、选择题：
1. 如图，△ACF≌△BDE，点A、B、C、D在同一条直线上，下列结论中错误的是（　　）
A．AF∥BE B．∠ACF=∠DBE C．AB=CD D．CF∥DE
【解答】解：∵△ACF≌△BDE，
∴∠A=∠EBD，
∴AF∥BE，A正确，不符合题意；
∴∠ACF=∠BDE，B错误，符合题意；
∴AC=BD，
∴AB=CD，C正确，不符合题意；
∴∠D=∠FCA，
∴CF∥DE，D正确，不符合题意；
故选：B．
2.如图，已知∠ABC=∠DCB，添加以下条件，不能判定△ABC≌△DCB的是（　　）
A．∠A=∠D B．∠ACB=∠DBC C．AC=DB D．AB=DC
【分析】全等三角形的判定方法有SAS，ASA，AAS，SSS，根据定理逐个判断即可．
【解答】解：A、∠A=∠D，∠ABC=∠DCB，BC=BC，符合AAS，即能推出△ABC≌△DCB，故本选项错误；
B、∠ABC=∠DCB，BC=CB，∠ACB=∠DBC，符合ASA，即能推出△ABC≌△DCB，故本选项错误；
C、∠ABC=∠DCB，AC=BD，BC=BC，不符合全等三角形的判定定理，即不能推出△ABC≌△DCB，故本选项正确；
D、AB=DC，∠ABC=∠DCB，BC=BC，符合SAS，即能推出△ABC≌△DCB，故本选项错误；
故选：C．
3. 下列命题：①两个周长相等的三角形是全等三角形；②两个周长相等的直角三角形是全等三角形；③两个周长相等的等腰三角形是全等三角形；④两个周长相等的等边三角形是全等三角形．其中，真命题有(　　)
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
【分析】根据全等三角形的判定方法依次分析各选项即可做出判断.
【解析】:A.周长相等的锐角三角形的对应角不一定相等,对应边也不一定相等,假命题;
B.周长相等的直角三角形对应锐角不一定相等, 对应边也不一定相等,假命题;
C.周长相等的等腰三角形对应角不一定相等,对应边也不一定相等,假命题;
D.两个周长相等的等边三角形的对应角一定相等,都是60°,对应边也一定相等,真命题.
故选D.
4.图，五边形ABCDE中有一正三角形ACD，若AB=DE，BC=AE，∠E=115°，则∠BAE的度数为何？（　　）
A．115 B．120 C．125 D．130
【分析】根据全等三角形的判定和性质得出△ABC与△AED全等，进而得出∠B=∠E，利用多边形的内角和解答即可．
【解答】解：∵正三角形ACD，
∴AC=AD，∠ACD=∠ADC=∠CAD=60°，
∵AB=DE，BC=AE，
∴△ABC≌△AED，
∴∠B=∠E=115°，∠ACB=∠EAD，∠BAC=∠ADE，
∴∠ACB+∠BAC=∠BAC+∠DAE=180°﹣115°=65°，
∴∠BAE=∠BAC+∠DAE+∠CAD=65°+60°=125°，
故选：C．
5.如图，BD是△ABC的角平分线，AE⊥BD，垂足为F．若∠ABC＝35°，∠C＝50°，则∠CDE的度数为（　　）
A．35° B．40° C．45° D．50°
【分析】根据角平分线的定义和垂直的定义得到∠ABD＝∠EBD，∠AFB＝∠EFB，根据全等三角形的性质得到AF＝EF，AB＝BE，求得AD＝DE，根据三角形的内角和得到∠BAC＝180°﹣∠ABC﹣∠C＝95°，根据全等三角形的性质得到∠BED＝∠BAD＝95°，根据四边形的内角和平角的定义即可得到结论．
【解答】解：∵BD是△ABC的角平分线，AE⊥BD，
∴∠ABD＝∠EBD，∠AFB＝∠EFB，
∵BF＝BF，
∴△ABF∽△EBF（ASA），
∴AF＝EF，AB＝BE，
∴AD＝DE，
∵∠ABC＝35°，∠C＝50°，
∴∠BAC＝180°﹣∠ABC﹣∠C＝95°，
在△DAB与△DEB中，
∴△ABD≌△EAD（SSS），
∴∠BED＝∠BAD＝95°，
∴∠ADE＝360°﹣95°﹣95°﹣35°＝145°，
∴∠CDE＝180°﹣∠ADE＝35°，
故选：A．
二、填空题：
6. 如图，OC是∠AOB的平分线，点P在OC上，PD⊥OA于D点，PD=6，则P到OB的距离为　 　cm．
【分析】可过点P作PE⊥OB，由角平分线的性质可得，PD=PE，进而可得出结论．
【解答】解：如图，过点P作PE⊥OB，
∵OC是∠AOB的平分线，点P在OC上，且PD⊥OA，PE⊥OB，
∴PE=PD，又PD=6cm，
∴PE=PD=6cm．
故填6．
7.如图，在四边形ABCD中，AB∥DC，过点C作CE⊥BC，交AD于点E，连接BE，∠BEC＝∠DEC，若AB＝6，则CD＝　3　．
【分析】延长BC、AD相交于点F，可证△EBC≌△EFC，可得BC＝CF，则CD为△ABF的中位线，故CD＝可求出．
【解答】解：如图，延长BC、AD相交于点F，
∵CE⊥BC，
∴∠BCE＝∠FCE＝90°，
∵∠BEC＝∠DEC，CE＝CE，
∴△EBC≌△EFC（ASA），
∴BC＝CF，
∵AB∥DC，
∴AD＝DF，
∴DC=3．
故答案为：3．
8.如图，△ABC的两条高AD，BE相交于点F，请添加一个条件，使得△ADC≌△BEC（不添加其他字母及辅助线），你添加的条件是　 ．
【分析】添加AC=BC，根据三角形高的定义可得∠ADC=∠BEC=90°，再证明∠EBC=∠DAC，然后再添加AC=BC可利用AAS判定△ADC≌△BEC．
【解答】解：添加AC=BC，
∵△ABC的两条高AD，BE，
∴∠ADC=∠BEC=90°，
∴∠DAC+∠C=90°，∠EBC+∠C=90°，
∴∠EBC=∠DAC，
在△ADC和△BEC中，
∴△ADC≌△BEC（AAS），
故答案为：AC=BC．
9.如图，点P为定角∠AOB的平分线上的一个定点，且∠MPN与∠AOB互补，若∠MPN在绕点P旋转的过程中，其两边分别与OA、OB相交于M、N两点，则以下结论：（1）PM=PN恒成立；（2）OM+ON的值不变；（3）四边形PMON的面积不变；（4）MN的长不变，其中正确的个数为 。
A．4 B．3 C．2 D．1
【分析】如图作PE⊥OA于E，PF⊥OB于F．只要证明△POE≌△POF，△PEM≌△PFN，即可一一判断．
【解答】解：如图作PE⊥OA于E，PF⊥OB于F．
∵∠PEO=∠PFO=90°，
∴∠EPF+∠AOB=180°，
∵∠MPN+∠AOB=180°，
∴∠EPF=∠MPN，
∴∠EPM=∠FPN，
∵OP平分∠AOB，PE⊥OA于E，PF⊥OB于F，
∴PE=PF，
在△POE和△POF中，
，
∴△POE≌△POF，
∴OE=OF，
在△PEM和△PFN中，
，
∴△PEM≌△PFN，
∴EM=NF，PM=PN，故（1）正确，
∴S△PEM=S△PNF，
∴S四边形PMON=S四边形PEOF=定值，故（3）正确，
∵OM+ON=OE+ME+OF﹣NF=2OE=定值，故（2）正确，
MN的长度是变化的，故（4）错误，故为3个。
三、解答题：
10. 如图，已知平分，．求证：．
【答案】见解析
【解析】
【分析】本题主要考查了全等三角形的判定．根据平分，可得，再根据边角边可证明．
【详解】证明：∵平分，
∴，
在和中，
∵，，，
∴．
11. （2024·云南·中考真题）如图，在和中，，，．
求证：．
【答案】见解析
【分析】本题考查了全等三角形的判定和性质，熟练掌握三角形全等的判定定理是解题关键．利用“”证明，即可解决问题．
【详解】证明：，
，即，
在和中，
，
．
12. （2024·江苏苏州·中考真题）如图，中，，分别以B，C为圆心，大于长为半径画弧，两弧交于点D，连接，，，与交于点E．
(1)求证：；
(2)若，，求的长．
【答案】(1)见解析
(2)
【分析】本题考查了全等三角形的判定与性质，等腰三角形的性质，解直角三角形等知识，解题的关键是：
（1）直接利用证明即可；
（2）利用全等三角形的性质可求出，利用三线合一性质得出，，在中，利用正弦定义求出，即可求解．
【详解】（1）证明：由作图知：．本号资料全部来源#于微信公众号：数学第六感
在和中，
．
（2）解：，，
．
又，
，．
，
，
．
13. 如图，△ABC中，AB＝AC，∠BAC＝40°，将△ABC绕点A按逆时针方向旋转100°，得到△ADE，连接BD，CE交于点F.
(1)求证：△ABD≌△ACE；
(2)求∠ACE的度数；
(3)求证：四边形ABFE是菱形．
【解析】：(1)证明：由旋转性质，得∠BAC＝∠DAE＝40°，∠BAD＝∠CAE＝100°，
又∵AB＝AC，
∴AB＝AC＝AD＝AE.
在△ABD和△ACE中，
∴△ABD≌△ACE(SAS)．
(2)∵∠CAE＝100°，AC＝AE，∴∠ACE＝(180°－∠CAE)＝×(180°－100°)＝40°.
(3)证明：∵∠BAD＝∠CAE＝100°，AB＝AC＝AD＝AE，∴∠ABD＝∠ADB＝∠ACE＝∠AEC＝40°.
∵∠BAE＝∠BAD＋∠DAE＝140°，
∴∠BFE＝360°－∠BAE－∠ABD－∠AEC＝140°.
∴∠BAE＝∠BFE.∴四边形ABFE是平行四边形．
∵AB＝AE，∴四边形ABFE是菱形．
14. 如图1所示，在△ABC中，AB＝AC，∠BAC＝90°，点D为射线BC上一动点，连接AD，以AD为直角边，A为直角顶点，在AD左侧作等腰直角△ADF，连接CF.
(1)当点D在线段BC上时(不与点B重合)，线段CF和BD的数量关系与位置关系分别是什么？请给予证明；
(2)当点D在线段BC的延长线上时，(1)的结论是否仍然成立？请在图2中画出相应的图形，并说明理由．
【点拨】　可证明△ACF≌△ABD，再利用全等三角形的性质，可得CF＝BD，CF⊥BD.
【解答】　解：(1)CF＝BD，且CF⊥BD.
证明：∵∠FAD＝∠CAB＝90°，∴∠FAC＝∠DAB.
在△ACF和△ABD中，∴△ACF≌△ABD(SAS)．
∴CF＝BD，∠FCA＝∠DBA.
∴∠FCD＝∠FCA＋∠ACD＝∠DBA＋∠ACD＝90°，即FC⊥CB.
综上，CF＝BD，且CF⊥BD.
(2)(1)的结论仍然成立．
∵∠CAB＝∠DAF＝90°，
∴∠CAB＋∠CAD＝∠DAF＋∠CAD，即∠CAF＝∠BAD.
在△ACF和△ABD中，∴△ACF≌△ABD(SAS)．
∴CF＝BD，∠ACF＝∠B.
∵AB＝AC，∠BAC＝90°，
∴∠B＝∠ACB＝45°.
∴∠BCF＝∠ACF＋∠ACB＝45°＋45°＝90°，即CF⊥BD.
综上，CF＝BD，且CF⊥BD.
15.如图，△ABC和△ADE中，AB＝AD＝6，BC＝DE，∠B＝∠D＝30°，边AD与边BC交于点P（不与点B，C重合），点B，E在AD异侧，I为△APC的内心．
（1）求证：∠BAD＝∠CAE；
（2）设AP＝x，请用含x的式子表示PD，并求PD的最大值；
（3）当AB⊥AC时，∠AIC的取值范围为m°＜∠AIC＜n°，分别直接写出m，n的值．
【解答】解：（1）在△ABC和△ADE中，（如图1）
∴△ABC≌△ADE（SAS）
∴∠BAC＝∠DAE
即∠BAD+∠DAC＝∠DAC+∠CAE
∴∠BAD＝∠CAE．
（2）∵AD＝6，AP＝x，
∴PD＝6﹣x
当AD⊥BC时，AP＝AB＝3最小，即PD＝6﹣3＝3为PD的最大值．
（3）如图2，设∠BAP＝α，则∠APC＝α+30°，
∵AB⊥AC
∴∠BAC＝90°，∠PCA＝60°，∠PAC＝90°﹣α，
∵I为△APC的内心
∴AI、CI分别平分∠PAC，∠PCA，
∴∠IAC＝∠PAC，∠ICA＝∠PCA
∴∠AIC＝180°﹣（∠IAC+∠ICA）＝180°﹣（∠PAC+∠PCA）
＝180°﹣（90°﹣α+60°）＝α+105°
∵0＜α＜90°，
∴105°＜α+105°＜150°，即105°＜∠AIC＜150°，
∴m＝105，n＝150．
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第16讲　全等三角形
【考点梳理】
全等三角形
(1)性质：全等三角形对应边相等，对应角相等．注意：全等三角形对应线段(中线，高)相等；对应角的平分线相等；全等三角形的周长、面积也相等．
(2)判定：
①两边和夹角对应相等的两个三角形全等( )；
②两角和夹边对应相等的两个三角形全等( )；
③两角和其中一角的对边对应相等的两个三角形全等( )；
④三边对应相等的两个三角形全等( )；
⑤斜边和一条直角边对应相等的两个直角三角形全等( ).
【高频考点】
考点1： 全等三角形的性质应用
【例题1】已知：∠AOB．求作：∠A'O'B'，使∠A'O′B'=∠AOB
（1）如图1，以点O为圆心，任意长为半径画弧，分别交OA，OB于点C、D；
（2）如图2，画一条射线O′A′，以点O′为圆心，OC长为半径间弧，交O′A′于点C′；
（3）以点C′为圆心，CD长为半径画弧，与第2步中所而的弧交于点D′；
（4）过点D′画射线O′B'，则∠A'O'B'=∠AOB．
根据以上作图步骤，请你证明∠A'O'B′=∠AOB．
考点2： 全等三角形的判定
【例题2】（2024·四川南充·中考真题）如图，在中，点D为边的中点，过点B作交的延长线于点E．
(1)求证：．
(2)若，求证：
考点3： 全等三角形的综合应用
【例题3】如图，在中，，，点D是内一点，且．
（1）求证：；
（2）将线段绕点D顺时针旋转得到线段，连接交于点F．
①依题意补全图形；
②若点F恰是的中点，用等式表示与之间的数量关系，并证明．
【自我检测】
一、选择题：
1. 如图，△ACF≌△BDE，点A、B、C、D在同一条直线上，下列结论中错误的是（　　）
A．AF∥BE B．∠ACF=∠DBE C．AB=CD D．CF∥DE
2.如图，已知∠ABC=∠DCB，添加以下条件，不能判定△ABC≌△DCB的是（　　）
A．∠A=∠D B．∠ACB=∠DBC C．AC=DB D．AB=DC
3. 下列命题：①两个周长相等的三角形是全等三角形；②两个周长相等的直角三角形是全等三角形；③两个周长相等的等腰三角形是全等三角形；④两个周长相等的等边三角形是全等三角形．其中，真命题有(　　)
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
4.图，五边形ABCDE中有一正三角形ACD，若AB=DE，BC=AE，∠E=115°，则∠BAE的度数为何？（　　）
A．115 B．120 C．125 D．130
5.如图，BD是△ABC的角平分线，AE⊥BD，垂足为F．若∠ABC＝35°，∠C＝50°，则∠CDE的度数为（　　）
A．35° B．40° C．45° D．50°
二、填空题：
6. 如图，OC是∠AOB的平分线，点P在OC上，PD⊥OA于D点，PD=6，则P到OB的距离为　 　cm．
7.如图，在四边形ABCD中，AB∥DC，过点C作CE⊥BC，交AD于点E，连接BE，∠BEC＝∠DEC，若AB＝6，则CD＝　 　．
8.如图，△ABC的两条高AD，BE相交于点F，请添加一个条件，使得△ADC≌△BEC（不添加其他字母及辅助线），你添加的条件是　 ．
9.如图，点P为定角∠AOB的平分线上的一个定点，且∠MPN与∠AOB互补，若∠MPN在绕点P旋转的过程中，其两边分别与OA、OB相交于M、N两点，则以下结论：（1）PM=PN恒成立；（2）OM+ON的值不变；（3）四边形PMON的面积不变；（4）MN的长不变，其中正确的个数为 。
三、解答题：
10. 如图，已知平分，．求证：．
11. （2024·云南·中考真题）如图，在和中，，，．
求证：．
12. （2024·江苏苏州·中考真题）如图，中，，分别以B，C为圆心，大于长为半径画弧，两弧交于点D，连接，，，与交于点E．
(1)求证：；
(2)若，，求的长．
13. 如图，△ABC中，AB＝AC，∠BAC＝40°，将△ABC绕点A按逆时针方向旋转100°，得到△ADE，连接BD，CE交于点F.
(1)求证：△ABD≌△ACE；
(2)求∠ACE的度数；
(3)求证：四边形ABFE是菱形．
14. 如图1所示，在△ABC中，AB＝AC，∠BAC＝90°，点D为射线BC上一动点，连接AD，以AD为直角边，A为直角顶点，在AD左侧作等腰直角△ADF，连接CF.
(1)当点D在线段BC上时(不与点B重合)，线段CF和BD的数量关系与位置关系分别是什么？请给予证明；
(2)当点D在线段BC的延长线上时，(1)的结论是否仍然成立？请在图2中画出相应的图形，并说明理由．
15.如图，△ABC和△ADE中，AB＝AD＝6，BC＝DE，∠B＝∠D＝30°，边AD与边BC交于点P（不与点B，C重合），点B，E在AD异侧，I为△APC的内心．
（1）求证：∠BAD＝∠CAE；
（2）设AP＝x，请用含x的式子表示PD，并求PD的最大值；
（3）当AB⊥AC时，∠AIC的取值范围为m°＜∠AIC＜n°，分别直接写出m，n的值．
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