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第17讲　特殊三角形
【考点梳理】
1．等腰三角形
(1)性质：
等腰三角形的两底角相等，两腰相等；
等腰三角形的_高线_、中线、顶角平分线“三线合一”；
等腰三角形是轴对称图形，高线(或底边中线、顶角平分线)所在直线是它的对称轴．
(2)判定：
有两角相等的三角形是等腰三角形；
有_两边相等的三角形是等腰三角形．
2．等边三角形
(1)性质：三边相等，三个内角都等于60°；
等边三角形是轴对称图形，有_3__条对称轴．
(2)判定：三边相等、三内角相等或有一个角是60°的等腰三角形是等边三角形．
3．直角三角形
(1)性质：①两锐角之和等于_90°_；②斜边上的中线等于斜边的一半；③30°的角所对应的直角边等于斜边的_一半_；④勾股定理：若直角三角形的两条直角边分别为a，b，斜边为c，则有a2＋b2＝c2.
(2)判定：①有一个角是直角的三角形是直角三角形；②有两个角互余的三角形是直角三角形；③勾股定理逆定理：如果三角形三边长a，b，c满足关系a2＋b2＝c2，那么这个三角形是直角三角形；④一条边上的中线等于这条边的一半的三角形是直角三角形．
4．等腰直角三角形
(1)性质：两直角边相等_；两锐角相等且都等于_45°_.
(2)判定：有两边相等的直角三角形；有一个角为45°的直角三角形；顶角为90°的等腰三角形；有两个角是45°的三角形.
【高频考点】
考点1： 等腰三角形的性质及相关计算
【例题1】在△ABC中，AC＝BC，∠ACB＝120°，点D是线段AB上一动点(D不与A，B重合)．
(1)如图1，当点D为AB的中点，过点B作BF∥AC交CD的延长线于点F，求证：AC＝BF；
(2)连接CD.作∠CDE＝30°，DE交AC于点E.若DE∥BC时，如图2.
①∠CDB＝120°；
②求证：△ADE为等腰三角形；
③在点D的运动过程中，△ECD的形状可以是等腰三角形吗？若可以，请求出∠AED的度数；若不可以，请说明理由．
【解答】　解：(1)证明：∵CA＝CB，CD是△ABC的中线，∴AD＝BD.
∵BF∥AC，∴∠A＝∠FBD.
∵∠ADC＝∠BDF，∴△ACD≌△BFD.∴AC＝BF.
(2)②证明：∵AC＝BC，∴∠A＝∠B.
∵DE∥BC，∴∠EDA＝∠B.
∴∠A＝∠EDA，∴△ADE为等腰三角形．
③△ECD可以是等腰三角形．理由如下：
Ⅰ.当∠CDE＝∠ECD时，EC＝DE，∴∠ECD＝∠CDE＝30°.
∵∠AED＝∠ECD＋∠CDE，
∴∠AED＝60°.
Ⅱ.当∠ECD＝∠CED时，CD＝DE，∵∠ECD＋∠CED＋∠CDE＝180°，
∴∠CED＝＝75°.∴∠AED＝180°－∠CED＝105°.
Ⅲ.当∠CED＝∠CDE时，EC＝CD，∠ACD＝180°－∠CED－∠CDE＝180°－30°－30°＝120°，
∵∠ACB＝120°，
∴此时，点D与点B重合，不合题意．
综上，△ECD可以是等腰三角形，此时∠AED的度数为60°或105°.
归纳：在以等腰三角形为背景求线段长的问题中，最常用的工具为“等腰三角形三线合一”，由此可以找到相应的角度、线段长度以及垂直关系，进而可通过三角形全等、相似、勾股定理等求解，若已知图形中有两个中点时，常用中位线的性质得到线段平行和数量关系．
考点2： 等边三角形的性质及相关计算
【例题2】（2024·吉林·中考真题）如图，在中，，，，是的角平分线．动点P从点A出发，以的速度沿折线向终点B运动．过点P作，交于点Q，以为边作等边三角形，且点C，E在同侧，设点P的运动时间为，与重合部分图形的面积为．

(1)当点P在线段上运动时，判断的形状（不必证明），并直接写出的长（用含t的代数式表示）．
(2)当点E与点C重合时，求t的值．
(3)求S关于t的函数解析式，并写出自变量t的取值范围．
【答案】(1)等腰三角形，
(2)
(3)
【分析】（1）过点Q作于点H，根据“平行线+角平分线”即可得到，由，得到，解得到；
（2）由为等边三角形得到，而，则，故，解得；
（3）当点P在上，点E在上，重合部分为，过点P作于点G，，则，此时；当点P在上，点E在延长线上时，记与交于点F，此时重合部分为四边形，此时，因此，故可得，此时；当点P在上，重合部分为， 此时，，解直角三角形得，故，此时，再综上即可求解．
【详解】（1）解：过点Q作于点H，由题意得：

∵，，
∴，
∵平分，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，
∴为等腰三角形，
∵，
∴，
∴在中，；
（2）解：如图，

∵为等边三角形，
∴，
由（1）得，
∴，
即，
∴；
（3）解：当点P在上，点E在上，重合部分为，过点P作于点G，本号资料全#部来源于微信公众号#：数学第六感

∵，
∴，
∵是等边三角形，
∴，
∴，
由（2）知当点E与点C重合时，，
∴；
当点P在上，点E在延长线上时，记与交于点F，此时重合部分为四边形，如图，

∵是等边三角形，
∴，
而，
∴，
∴，
∴，
当点P与点D重合时，在中，，
∴，
∴；
当点P在上，重合部分为，如图，

∵，
由上知，
∴，
∴此时，
∴，
∵是等边三角形，
∴，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴当点P与点B重合时，，
解得：，
∴，
综上所述：．
【点睛】本题考查了直角三角形的性质，解直角三角形的相关计算，等腰三角形的判定与性质，等边三角形的性质，平行线的性质，熟练掌握知识点，正确添加辅助线是解决本题的关键．
考点3： 直角三角形的性质及相关计算
【例题3】（2024·青海·中考真题）如图，在中，D是的中点，，，则的长是（ ）
A．3 B．6 C． D．
【答案】A
【分析】本题考查了直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半的性质，等边三角形的判定和性质．根据直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半结合等边三角形的判定得到等边三角形，据此求解即可．
【详解】解：∵在中，，D是的中点，#本号资料全部来*源于微信公众号：数学第六感
∴，
∵，
∴等边三角形，
∴．
故选：A．
归纳：解决与直角三角形有关的计算：(1)若直角三角形中含有30°角时，可考虑利用30°角所对的直角边是斜边的一半；(2)若直角三角形出现中线时，可考虑利用直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半进行求解；(3)计算有关线段长问题，如果所求线段是在直角三角形或可通过作辅助线作出含可求出两边的直角三角形中，一般应用勾股定理求解，即直角三角形斜边的平方等于两直角边的平方之和．
【自我检测】
一、选择题：
1.如图，在△ABC中，AB=AC，∠A=30°，AB的垂直平分线l交AC于点D，则∠CBD的度数为（　　）
A．30° B．45° C．50° D．75°
【考点】KH：等腰三角形的性质；KG：线段垂直平分线的性质．
【分析】根据三角形的内角和定理，求出∠C，再根据线段垂直平分线的性质，推得∠A=∠ABD=30°，由外角的性质求出∠BDC的度数，从而得出∠CBD=45°．
【解答】解：∵AB=AC，∠A=30°，
∴∠ABC=∠ACB=75°，
∵AB的垂直平分线交AC于D，
∴AD=BD，
∴∠A=∠ABD=30°，
∴∠BDC=60°，
∴∠CBD=180°﹣75°﹣60°=45°．
故选B．
2. 如图，在△ABC中，AB=AC，∠A=30°，AB的垂直平分线l交AC于点D，则∠CBD的度数为（　　）
A．30° B．45° C．50° D．75°
【分析】根据三角形的内角和定理，求出∠C，再根据线段垂直平分线的性质，推得∠A=∠ABD=30°，由外角的性质求出∠BDC的度数，从而得出∠CBD=45°．
【解答】解：∵AB=AC，∠A=30°，
∴∠ABC=∠ACB=75°，
∵AB的垂直平分线交AC于D，
∴AD=BD，
∴∠A=∠ABD=30°，
∴∠BDC=60°，
∴∠CBD=180°﹣75°﹣60°=45°．
故选B．
3.如图，在正方形ABCD中，点E，F分别在BC，CD上，且∠EAF=45°，将△ABE绕点A顺时针旋转90°，使点E落在点E'处，则下列判断不正确的是（　　）
A．△AEE′是等腰直角三角形 B．AF垂直平分EE'
C．△E′EC∽△AFD D．△AE′F是等腰三角形
【解答】解：∵将△ABE绕点A顺时针旋转90°，使点E落在点E'处，
∴AE′=AE，∠E′AE=90°，
∴△AEE′是等腰直角三角形，故A正确；
∵将△ABE绕点A顺时针旋转90°，使点E落在点E'处，
∴∠E′AD=∠BAE，
∵四边形ABCD是正方形，
∴∠DAB=90°，
∵∠EAF=45°，
∴∠BAE+∠DAF=45°，
∴∠E′AD+∠FAD=45°，
∴∠E′AF=∠EAF，
∵AE′=AE，
∴AF垂直平分EE'，故B正确；
∵AF⊥E′E，∠ADF=90°，
∴∠FE′E+∠AFD=∠AFD+∠DAF，
∴∠FE′E=∠DAF，
∴△E′EC∽△AFD，故C正确；
∵AD⊥E′F，但∠E′AD不一定等于∠DAE′，
∴△AE′F不一定是等腰三角形，故D错误；
故选D．
4. （2024·内蒙古呼伦贝尔·中考真题）如图，在中，，以点为圆心，适当长为半径画弧分别交于点和点，再分别以点为圆心，大于的长为半径画弧，两弧交于点，连接并延长交于点．若的面积为8，则的面积是（ ）
A．8 B．16 C．12 D．24
【答案】B
【分析】本题考查了尺规作图，含的直角三角形的性质，等腰三角形的判定等知识， 由作图知平分，则可求，利用含的直角三角形的性质得出，利用等角对等边得出，进而得出，然后利用面积公式即可求解．
【详解】解： ∵，
∴，
由作图知：平分，
∴，
∴，，
∴，
∴，
∴，
又的面积为8，
∴的面积是，
故选B．
5. （2024·广东广州·中考真题）如图，在中，，，为边的中点，点，分别在边，上，，则四边形的面积为（ ）
A．18 B． C．9 D．
【答案】C
【分析】本题考查等腰直角三角形的性质以及三角形全等的性质与判定，掌握相关的线段与角度的转化是解题关键．连接，根据等腰直角三角形的性质以及得出，将四边形的面积转化为三角形的面积再进行求解．
【详解】解：连接，如图：
∵，，点D是中点，
∴
∴，
∴
又∵
∴
故选：C
二、填空题：
6. 如图，在等边三角形ABC中，点D是边BC的中点，则∠BAD=　 　．
【分析】根据等腰三角形的三线合一的性质和等边三角形三个内角相等的性质填空．
【解答】解：∵△ABC是等边三角形，
∴∠BAC=60°，AB=AC．
又点D是边BC的中点，
∴∠BAD=∠BAC=30°．
故答案是：30°．
7. （2024·浙江·中考真题）如图，D，E分别是边，的中点，连接，．若，则的长为

【答案】4
【分析】本题主要考查三角形中位线定理和等腰三角形的判定，由三角形中位线定理得得出得出
【详解】解：∵D，E分别是边，的中点，
∴是的中位线，
∴
∴
∵
∴
∴
故答案为：4
8. 如图，AB⊥BC，AD⊥DC，∠BAD=130°，在BC、CD上分别找一点E、F，当△AEF周长最小时，∠AEF+∠AFE的度数是　 　．
【解答】解：作A关于BC和CD的对称点A′，A″，连接A′A″，交BC于E，交CD于F，
则A′A″即为△AEF的周长最小值．作DA延长线AH，
∵∠DAB=130°，
∴∠A′+∠A″=50°，
∵∠A′=∠FAA′，∠EAD=∠A″，
∴∠FAA′+∠A″AE=50°，
∴∠EAF=130°﹣50°=80°，
故答案为：80°．
9. （2019 黑龙江哈尔滨 3分）如图，在四边形ABCD中，AB＝AD，BC＝DC，∠A＝60°，点E为AD边上一点，连接BD.CE，CE与BD交于点F，且CE∥AB，若AB＝8，CE＝6，则BC的长为　2　．
【分析】连接AC交BD于点O，由题意可证AC垂直平分BD，△ABD是等边三角形，可得∠BAO＝∠DAO＝30°，AB＝AD＝BD＝8，BO＝OD＝4，通过证明△EDF是等边三角形，可得DE＝EF＝DF＝2，由勾股定理可求OC，BC的长．
【解答】解：如图，连接AC交BD于点O
∵AB＝AD，BC＝DC，∠A＝60°，
∴AC垂直平分BD，△ABD是等边三角形
∴∠BAO＝∠DAO＝30°，AB＝AD＝BD＝8，
BO＝OD＝4
∵CE∥AB
∴∠BAO＝∠ACE＝30°，∠CED＝∠BAD＝60°
∴∠DAO＝∠ACE＝30°
∴AE＝CE＝6
∴DE＝AD﹣AE＝2
∵∠CED＝∠ADB＝60°
∴△EDF是等边三角形
∴DE＝EF＝DF＝2
∴CF＝CE﹣EF＝4，OF＝OD﹣DF＝2
∴OC＝
∴BC＝
三、解答题：
10. 已知，如图，△ABC和△ECD都是等腰直角三角形，∠ACB=∠DCE=90°，D为AB边上一点．
（1）求证：BD=AE．
（2）若线段AD=5，AB=17，求线段ED长．
【答案】（1）见解析；（2）线段ED的长为13．
【解析】
【分析】（1）利用等腰直角三角形的性质，证明△ACE≌△BCD，即可解答；
（2）由AD=5，AB=17，求得BD=17-5=12，由（1）可知△ACE≌△BCD，结合△ABC是等腰直角三角形，得到∠EAC=∠B=45°，AE=BD=12，进而∠EAD=90°，根据勾股定理即可解答．
【详解】解：（1）∵△ABC和△ECD都是等腰直角三角形，
∴AC=BC，CD=CE，
∵∠ACB=∠DCE=90°，
∴∠ACE+∠ACD=∠BCD+∠ACD，
∴∠ACE=∠BCD，
在△ACE和△BCD中，
，
∴△ACE≌△BCD（SAS），
∴BD=AE；
（2）∵AD=5，AB=17，
∴BD=17-5=12，
由（1）得AE=BD=12，
∵△ACE≌△BCD，△ABC是等腰直角三角形，
∴∠EAC=∠B=∠BAC=45°，
∵∠EAD=90°，
∴ED==13．
【点睛】本题考查了全等三角形的性质与判定、等腰直角三角形的性质，解决本题的关键是利用等腰直角三角形的性质证明△ACE≌△BCD．
11.如图，在△ABC中，AB＝AC，D为AC的中点，DE⊥AB，DF⊥BC，垂足分别为E，F，且DE＝DF.求证：△ABC是等边三角形．
证明：∵DE⊥AB，DF⊥BC，
∴∠AED＝∠CFD＝90°.
∵D为AC的中点，∴AD＝DC.
在Rt△ADE和Rt△CDF中，
∴Rt△ADE≌Rt△CDF(HL)．
∴∠A＝∠C.∴BA＝BC.
∵AB＝AC，∴AB＝BC＝AC.
∴△ABC是等边三角形．
12.如图，△ABC中，AB=AC，小聪同学利用直尺和圆规完成了如下操作：
①作∠BAC的平分线AM交BC于点D；
②作边AB的垂直平分线EF，EF与AM相交于点P；
③连接PB，PC．
请你观察图形解答下列问题：
（1）线段PA，PB，PC之间的数量关系是　PA=PB=PC　；
（2）若∠ABC=70°，求∠BPC的度数．
【分析】（1）根据线段的垂直平分线的性质可得：PA=PB=PC；
（2）根据等腰三角形的性质得：∠ABC=∠ACB=70°，由三角形的内角和得：∠BAC=180°﹣2×70°=40°，由角平分线定义得：∠BAD=∠CAD=20°，最后利用三角形外角的性质可得结论．
【解答】解：（1）如图，PA=PB=PC，理由是：
∵AB=AC，AM平分∠BAC，
∴AD是BC的垂直平分线，
∴PB=PC，
∵EP是AB的垂直平分线，
∴PA=PB，
∴PA=PB=PC；
故答案为：PA=PB=PC；
（2）∵AB=AC，
∴∠ABC=∠ACB=70°，
∴∠BAC=180°﹣2×70°=40°，
∵AM平分∠BAC，
∴∠BAD=∠CAD=20°，
∵PA=PB=PC，
∴∠ABP=∠BAP=∠ACP=20°，
∴∠BPC=∠ABP+∠BAC+∠ACP=20°+40°+20°=80°．
13. 如图，在等腰中，，，动点由点出发，沿边以的速度运动到点停止，过作交或边于点，过点作的平行线与过点作的平行线交于点．
（1）填空：______；
（2）当点在边上时，求的值；
（3）与重合部分图形的面积为S，用含的代数式表示，并直接写出的取值范围．
【答案】（1）
（2）t=2 （3）
【解析】
【分析】根据勾股定理求解即可；
根据题意得，，求出，的表达式，根据列方程即可求出的值；
当时，重合部分的面积为的面积；当时，重合部分的面积为四边形的面积；当时，重合部分的面积为的面积，分情况分别求解即可．
【小问1详解】
∵在等腰中，，，
，
故答案为：；
【小问2详解】
如图，等腰直角三角形，
，
，
是等腰直角三角形，
，
，，
，
，
，，
，
，
，
；
小问3详解】
当时，重合部分的面积为的面积，
；
当时，如图所示，设，分别交于点，，
，，
，
，
，
是等腰直角三角形，
，
；
当时，如图所示，
．
综上所述，．
【点睛】本题考查了三角形综合题，考查分类讨论的思想，分三种情况分别求重合部分的面积是解题的关键．
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第17讲　特殊三角形
【考点梳理】
1．等腰三角形
(1)性质：
等腰三角形的两底角相等，两腰相等；
等腰三角形的_高线_、中线、顶角平分线“三线合一”；
等腰三角形是轴对称图形，高线(或底边中线、顶角平分线)所在直线是它的对称轴．
(2)判定：
有两角相等的三角形是等腰三角形；
有_两边相等的三角形是等腰三角形．
2．等边三角形
(1)性质：三边相等，三个内角都等于60°；
等边三角形是轴对称图形，有_3__条对称轴．
(2)判定：三边相等、三内角相等或有一个角是60°的等腰三角形是等边三角形．
3．直角三角形
(1)性质：①两锐角之和等于_90°_；②斜边上的中线等于斜边的一半；③30°的角所对应的直角边等于斜边的_一半_；④勾股定理：若直角三角形的两条直角边分别为a，b，斜边为c，则有a2＋b2＝c2.
(2)判定：①有一个角是直角的三角形是直角三角形；②有两个角互余的三角形是直角三角形；③勾股定理逆定理：如果三角形三边长a，b，c满足关系a2＋b2＝c2，那么这个三角形是直角三角形；④一条边上的中线等于这条边的一半的三角形是直角三角形．
4．等腰直角三角形
(1)性质：两直角边相等_；两锐角相等且都等于_45°_.
(2)判定：有两边相等的直角三角形；有一个角为45°的直角三角形；顶角为90°的等腰三角形；有两个角是45°的三角形.
【高频考点】
考点1： 等腰三角形的性质及相关计算
【例题1】在△ABC中，AC＝BC，∠ACB＝120°，点D是线段AB上一动点(D不与A，B重合)．
(1)如图1，当点D为AB的中点，过点B作BF∥AC交CD的延长线于点F，求证：AC＝BF；
(2)连接CD.作∠CDE＝30°，DE交AC于点E.若DE∥BC时，如图2.
①∠CDB＝ ；
②求证：△ADE为等腰三角形；
③在点D的运动过程中，△ECD的形状可以是等腰三角形吗？若可以，请求出∠AED的度数；若不可以，请说明理由．
考点2： 等边三角形的性质及相关计算
【例题2】（2024·吉林·中考真题）如图，在中，，，，是的角平分线．动点P从点A出发，以的速度沿折线向终点B运动．过点P作，交于点Q，以为边作等边三角形，且点C，E在同侧，设点P的运动时间为，与重合部分图形的面积为．

(1)当点P在线段上运动时，判断的形状（不必证明），并直接写出的长（用含t的代数式表示）．
(2)当点E与点C重合时，求t的值．
(3)求S关于t的函数解析式，并写出自变量t的取值范围．
考点3： 直角三角形的性质及相关计算
【例题3】（2024·青海·中考真题）如图，在中，D是的中点，，，则的长是（ ）
A．3 B．6 C． D．
【自我检测】
一、选择题：
1.如图，在△ABC中，AB=AC，∠A=30°，AB的垂直平分线l交AC于点D，则∠CBD的度数为（　　）
A．30° B．45° C．50° D．75°
2. 如图，在△ABC中，AB=AC，∠A=30°，AB的垂直平分线l交AC于点D，则∠CBD的度数为（　　）
A．30° B．45° C．50° D．75°
3.如图，在正方形ABCD中，点E，F分别在BC，CD上，且∠EAF=45°，将△ABE绕点A顺时针旋转90°，使点E落在点E'处，则下列判断不正确的是（　　）
A．△AEE′是等腰直角三角形 B．AF垂直平分EE'
C．△E′EC∽△AFD D．△AE′F是等腰三角形
4. （2024·内蒙古呼伦贝尔·中考真题）如图，在中，，以点为圆心，适当长为半径画弧分别交于点和点，再分别以点为圆心，大于的长为半径画弧，两弧交于点，连接并延长交于点．若的面积为8，则的面积是（ ）
A．8 B．16 C．12 D．24
5. （2024·广东广州·中考真题）如图，在中，，，为边的中点，点，分别在边，上，，则四边形的面积为（ ）
A．18 B． C．9 D．
二、填空题：
6. 如图，在等边三角形ABC中，点D是边BC的中点，则∠BAD=　 　．
7. （2024·浙江·中考真题）如图，D，E分别是边，的中点，连接，．若，则的长为

8. 如图，AB⊥BC，AD⊥DC，∠BAD=130°，在BC、CD上分别找一点E、F，当△AEF周长最小时，∠AEF+∠AFE的度数是　 　．
9. （2019 黑龙江哈尔滨 3分）如图，在四边形ABCD中，AB＝AD，BC＝DC，∠A＝60°，点E为AD边上一点，连接BD.CE，CE与BD交于点F，且CE∥AB，若AB＝8，CE＝6，则BC的长为　 　．
三、解答题：
10. 已知，如图，△ABC和△ECD都是等腰直角三角形，∠ACB=∠DCE=90°，D为AB边上一点．
（1）求证：BD=AE．
（2）若线段AD=5，AB=17，求线段ED长．
11.如图，在△ABC中，AB＝AC，D为AC的中点，DE⊥AB，DF⊥BC，垂足分别为E，F，且DE＝DF.求证：△ABC是等边三角形．
12.如图，△ABC中，AB=AC，小聪同学利用直尺和圆规完成了如下操作：
①作∠BAC的平分线AM交BC于点D；
②作边AB的垂直平分线EF，EF与AM相交于点P；
③连接PB，PC．
请你观察图形解答下列问题：
（1）线段PA，PB，PC之间的数量关系是　 　；
（2）若∠ABC=70°，求∠BPC的度数．
13. 如图，在等腰中，，，动点由点出发，沿边以的速度运动到点停止，过作交或边于点，过点作的平行线与过点作的平行线交于点．
（1）填空：______；
（2）当点在边上时，求的值；
（3）与重合部分图形的面积为S，用含的代数式表示，并直接写出的取值范围．
21世纪教育网 www.21cnjy.com 精品试卷·第 2 页 （共 2 页）
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