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第18讲　锐角三角函数及其应用
【考点梳理】
1．锐角三角函数：如图，在Rt△ABC中，设∠C＝90°，
∠A、∠B、∠C对应的边分别为a，b，c，则：∠a的正弦sinA＝；
∠a的余弦cosA＝__；∠a的正切tanA＝.
2．特殊角的三角函数值
30°，45°，60°的三角函数值，如下表：
正弦 余弦 正切
30°
45° 1
60°
3.解直角三角形的常见类型及解法
已知条件 图形 解法
一直角边和一锐角(a，∠A) ∠B＝90°－∠A，c＝，b＝
已知斜边和一个锐角(c，∠A) ∠B＝90°－∠A，a＝c·sinA, b＝c·cosA
已知两直角边(a，b) c＝，由tanA＝求∠A，∠B＝90°－∠A
已知斜边和一条直角边(c，a) b＝，由sinA＝求∠A，∠B＝90°－∠A
4．锐角三角函数的实际应用中的常见概念
(1)铅垂线：重力线方向的直线；
(2)水平线：与铅垂线垂直的直线，一般情况下，地平面上的两点确定的直线我们认为是水平线；
(3)仰角：向上看时，视线与水平线的夹角；
(4)俯角：向下看时，视线与水平线的夹角；
(5)坡角：坡面与水平面的夹角；
(6)坡度：坡面的铅直高度与水平宽度的比叫做坡度(或坡比)，一般情况下，我们用h表示坡的铅直高度，用l表示坡的水平宽度，用i表示坡度，即i＝＝tanα，显然，坡度越大，坡角就越大，坡面也就越陡；
(7)方向角：指北或指南的方向线与目标方向线所成的小于90°的锐角叫做方向角．
注意：东北方向指北偏东45°方向，东南方向指南偏东45°方向，西北方向指北偏西45°方向，西南方向指南偏西45°方向．我们一般画图的方位为上北下南，左西右东.
【高频考点】
考点1：直角三角形的边角关系
【例题1】如图，AD是△ABC的中线，tanB＝，cosC＝，AC＝.求：
(1)BC的长；
(2)sin∠ADC的值．
【解析】：(1)过点A作AE⊥BC于点E.
∵cosC＝，∴∠C＝45°.
在Rt△ACE中，CE＝AC·cosC＝1，
∴AE＝CE＝1.
在Rt△ABE中，tanB＝，即＝，
∴BE＝3AE＝3.
∴BC＝BE＋CE＝4.
(2)∵AD是△ABC的中线，∴CD＝BC＝2.
∴DE＝CD－CE＝1.
∵AE⊥BC，DE＝AE，∴∠ADC＝45°.
∴sin∠ADC＝.
归纳： 1．解直角三角形，需知除直角以外的两个条件(一边和一角或两边)，可求得其余的边或角．
2．在求解时，一般选取既含未知边(角)又含有已知边(或角)的直角三角形，通过锐角三角函数的定义或勾股定理，建构已知或未知之间的桥梁；从而实现求解．
3．若所求的线段(或角)不能直接求解，可以通过作出点到直线的距离或三角形高线，进而转化成直角三角形求解．
4．解直角三角形和相似三角形的性质，是几何求解中的重要工具．
考点2：锐角三角函数的实际应用
【例题2】《海岛算经》由我国古代数学家刘徽于公元263年撰写，书中有一测量海岛高度的几何图形．如图，在地面的，两处分别观测到海岛最高处的仰角为，，且，求海岛的高度（即点到直线的距离）．
（参考数据：，，，，，）
【答案】海岛的高度约为
【分析】本题考查了解直角三角形的应用，过点作于点，利用解直角三角形列方程即可解答，熟练利用三角函数解题是关键．
【详解】解：如图，过点作于点．
在中，，
．
在中，，
．
，
，
即，
解得．
答：海岛的高度约为．
归纳：　解决锐角三角函数有关的题目，常结合视角知识通过作辅助线构造“直角三角形”，进而利用直角三角函数进行求解，常见辅助线的作法和基本图形的构造如下所示：
(1)构造一个直角三角形：
(2)构造两个直角三角形：
①不同地点测量：
②同一地点测量：
【自我检测】
一、选择题：
1.如图，要测量小河两岸相对的两点P，A的距离，可以在小河边取PA的垂线PB上的一点C，测得PC=100米，∠PCA=35°，则小河宽PA等于（　　）
A．100sin35°米 B．100sin55°米 C．100tan35°米 D．100tan55°米
【分析】根据正切函数可求小河宽PA的长度．
【解答】解：∵PA⊥PB，PC=100米，∠PCA=35°，
∴小河宽PA=PCtan∠PCA=100tan35°米．
故选：C．
2.如图，在5×4的正方形网格中，每个小正方形的边长都是1，△ABC的顶点都在这些小正方形的顶点上，则sin∠BAC的值为（　　）
A． B． C． D．
【分析】过C作CD⊥AB于D，首先根据勾股定理求出AC，然后在Rt△ACD中即可求出sin∠BAC的值．
【解答】解：如图，过C作CD⊥AB于D，则∠ADC＝90°，
∴AC＝＝＝5．
∴sin∠BAC＝＝．
故选：D．
3. 如图，将放在每个小正方形的边长为1的网格中，点均在格点上，则的值是（ ）
A. B. C. 2 D.
【答案】B
【解析】
【分析】本题考查了网格与勾股定理，求一个角的正弦值，正确掌握相关性质内容是解题的关键．先结合网格，得出，然后运用勾股定理算出，，运用求一个角的正弦值的性质列式进行计算，即可作答．
【详解】解：如图所示：
结合网格，得出，
则，，
∴在中，，
故选：B．
4.如图，有一斜坡AB，坡顶B离地面的高度BC为30m，斜坡的倾斜角是∠BAC，若tan∠BAC＝，则此斜坡的水平距离AC为（　　）
A．75m B．50m C．30m D．12m
【分析】根据题目中的条件和图形，利用锐角三角函数即可求得AC的长，本题得以解决．
【解答】解：∵∠BCA＝90°，tan∠BAC＝，BC＝30m，
∴tan∠BAC＝==，
解得，AC＝75，
故选：A．
5. 已知△ABC中，∠C=90°，tanA=，D是AC上一点，∠CBD=∠A，则sin∠ABD=（　）
A. B. C. D.
【答案】：A
【解析】：解答：作DE⊥AB于点E．
∵∠CBD=∠A，
∴tanA=tan∠CBD==，
设CD=1，则BC=2，AC=4，
∴AD=AC-CD=3，
在直角△ABC中，AB=，
在直角△ADE中，设DE=x，则AE=2x，
∵AE2+DE2=AD2，
∴x2+（2x）2=9，
解得：x=，
则DE=，AE=．
∴BE=AB-AE==，
∴tan∠DBA=，
∴sin∠DBA=．
故选A．
二、填空题：
6. 已知中，，，，则_________．
【答案】或
【分析】本题考查解直角三角形和勾股定理，熟练掌握锐角三角函数的定义，利用锐角三角函数解直角三角形是解题的关键．
分是锐角三角形和钝角三角形两种情况，过点A作交于点D，然后根据锐角三角函数计算出，再结合勾股定理计算出、的长，即可求解．
【详解】解：如图，当是钝角三角形时，过点A作交延长线于点D，
∵，
∴，
在中，，
在中，，
∴，
如图，当是锐角三角形时，过点A作交于点D，
同理可得，，
故答案为：或．
7.如图，在边长为1的小正方形网格中，点A、B、C、D都在这些小正方形的顶点上，AB、CD相交于点O，则tan∠AOD=　2　．
【分析】首先连接BE，由题意易得BF=CF，△ACO∽△BKO，然后由相似三角形的对应边成比例，易得KO：CO=1：3，即可得OF：CF=OF：BF=1：2，在Rt△OBF中，即可求得tan∠BOF的值，继而求得答案．
【解答】解：如图，连接BE，
∵四边形BCEK是正方形，
∴KF=CF=CK，BF=BE，CK=BE，BE⊥CK，
∴BF=CF，
根据题意得：AC∥BK，
∴△ACO∽△BKO，
∴KO：CO=BK：AC=1：3，
∴KO：KF=1：2，
∴KO=OF=CF=BF，
在Rt△PBF中，tan∠BOF==2，
∵∠AOD=∠BOF，
∴tan∠AOD=2．
故答案为：2
8. 如图，一艘轮船位于灯塔的北偏东方向，距离灯塔海里的处，它沿正南方向航行一段时间后，到达位于灯塔的南偏东方向上的处，这时，处距离灯塔有 海里.（结果保留整数，参考数据：，，，）
【答案】处距离灯塔约海里
【分析】过点作于点，由题意可知，，，在中，根据锐角三角函数求得，继而在中，根据锐角三角函数得即可求解．
此题主要考查了解直角三角形的应用方向角问题，求三角形的边或高的问题一般可以转化为解直角三角形的问题，解决的方法就是作高线．
【详解】解：过点作于点，
，
由题意可知，，，
在中，，
（海里）．
在中，，
（海里）．
答：处距离灯塔约海里．
9.有一种落地晾衣架如图1所示，其原理是通过改变两根支撑杆夹角的度数来调整晾衣杆的高度．图2是支撑杆的平面示意图，AB和CD分别是两根不同长度的支撑杆，夹角∠BOD＝α．若AO＝85cm，BO＝DO＝65cm．问：当α＝74°时，较长支撑杆的端点A离地面的高度h约为　120　cm．（参考数据：sin37°≈0.6，cos37°≈0.8，sin53°≈0.8，cos53°≈0.6．）
【分析】过O作OE⊥BD，过A作AF⊥BD，可得OE∥AF，利用等腰三角形的三线合一得到OE为角平分线，进而求出同位角的度数，在直角三角形AFB中，利用锐角三角函数定义求出h即可．
【解答】解：过O作OE⊥BD，过A作AF⊥BD，可得OE∥AF，
∵BO＝DO，
∴OE平分∠BOD，
∴∠BOE＝∠BOD＝×74°＝37°，
∴∠FAB＝∠BOE＝37°，
在Rt△ABF中，AB＝85+65＝150cm，
∴h＝AF＝AB cos∠FAB＝150×0.8＝120cm，
故答案为：120
三、解答题：
10. （1）计算：．
【答案】
【分析】此题主要考查了实数的运算，解答此题的关键是要明确：在进行实数运算时，和有理数运算一样，要从高级到低级，即先算乘方、开方，再算乘除，最后算加减，有括号的要先算括号里面的，同级运算要按照从左到右的顺序进行．首先计算特殊角的三角函数值、负整数指数幂、开平方和绝对值，然后计算乘法，最后从左向右依次计算，求出算式的值即可．
【详解】解：
．
（2）计算：．
【答案】
【分析】本题考查了零次幂、含特殊角的三角函数的混合运算，二次根式的性质，化简绝对值，先化简绝对值，零次幂、特殊角的三角函数值，以及运用二次根式的性质化简，再运算乘法，最后运算加减，即可作答．
【详解】解：
．
（3）计算：．
【答案】
【分析】本题考查特殊角的三角函数的混合运算，熟记特殊角的三角函数值是解答的关键．将特殊角的三角函数值代入求解即可．
【详解】解：
，
故答案为：．
11. 如图1，是一款手机支架图片，由底座、支撑板和托板构成．图2是其侧面结构示意图，量得托板长，支撑板长，底座长，托板AB连接在支撑板顶端点C处，且，托板可绕点C转动，支撑板可绕D点转动．如图2，若．(参考数值，，)
（1）求点C到直线的距离(精确到0.1cm)；
（2）求点A到直线的距离(精确到0.1cm)．
【答案】（1）点C到直线的距离约为13.8cm
（2）点A到直线的距离约为21.5cm
【解析】
【分析】（1）如图2，过点C作，垂足为N，然后根据三角函数可得，即，最后将已知条件代入即可解答；
（2）如图2，过A作，交的延长线于点M，过点C作，垂足为F，再说明中，，，然后根据三角函数和线段的和差即可解答．
【详解】（1）解：如图2，过点C作，垂足为N
由题意可知，，
在中， ，
∴．
答：点C到直线的距离约为．
（2）解：如图3，过A作，交的延长线于点M，过点C作，垂足为F，
∴
在中，，，
∴，
∴．
答：点A到直线的距离约为21.5cm．
【点睛】本题主要考查了解直角三角形，正确的理解正弦、余弦的定义是解答本题的关键．
12. 为积极响应绿色出行的号召，骑车出行已经成为人们的新风尚．图①是某品牌自行车放在水平地面上的实物图，图②是其示意图，其中，车轮半径为，，，坐垫E与点B的距离为．
（1）求坐垫E到地面的距离；
（2）根据经验，当坐垫E到的距离调整为人体腿长的时，坐骑比较舒适．小明的腿长约为，现将坐垫E调整至坐骑舒适高度位置，求的长．
（结果精确到．参考数据：，，）
【答案】（1）坐垫到地面的距离约为
（2）的长约为
【分析】本题主要考查解直角三角形的应用，解题的关键是理解题意构建直角三角形并熟练掌握三角函数的定义．
（1）通过作垂线，构造直角三角形，利用锐角三角函数求解即可；
（2）根据坐 到的距离调整为人体腿长的0.8时，由小明的腿长约为，求出，进而求出即可．
【详解】（1）解：如图，过点作，垂足为，
根据题意可知，，，
，
，
在中，，
所以坐垫到地面的距离为，
答：坐垫到地面的距离约为；
（2）如图，由题意得，当时，人骑行最舒服，
在中，，
所以，
答：的长约为．
13.
教学实践活动：901班测量天封塔高度实践的相关数据
活动1 如图，A点为塔顶，将一根木棒立在D处，的连线交地面于Q点，同理将相同长度的木棒立在F处，同时得到P点．若移动木棒使得，在E点的仰角为，则 ．
活动2 如图，小组2设计了此测量方法，若的长度为，已知，，则可以得到塔的高度大约为 ．（参考数据：，，，，精确到个位）
总结与优化
老师做了一个小小的总结，并且设计了一个新的方案，已知塔前有一高4米的小树，发现水平地面上点E、树顶和塔顶A恰好在一条直线上，测得米，D、E之间有一个花圃无法测量，然后在E处放置一个平面镜，沿后退，退到G处恰好在平面中看到树顶C的像，此时米，测量者眼睛到地面的距离为1.6米，求出塔高．
【答案】活动1：；活动2：塔的高度大约为50米；总结与优化：天封塔的高度为52米
【分析】本题主要考查解直角三角形，等腰三角形的性质和相似三角形的判定和性质，
活动1：过点作于点，则．结合题意得，即有，那么；
活动2：设塔的高度为米，在中，利用得，则．在中，利用即可求得塔的高度；
总结与优化：可证，有，解得．求得．进一步证明，有，即可求得．
【详解】解：活动1：过点作于点，如图，
，
．
，
．
，
，
，
．
活动2：设塔的高度为米，
在中，，
，
．
，
．
在中，，
，
，
解得，即塔的高度大约为50米．
总结与优化：，，
．
，
，
．
，，，
，解得：．
，
．
，，
．
，
，
，
即，解得：，
天封塔的高度为52米．
14. 随着我国科学技术的不断发展，5G移动通信技术日趋完善．某市政府为了实现5G网络全覆盖，2021~2025年拟建设5G基站3000个，如图，在斜坡上有一建成的5G基站塔，小明在坡脚处测得塔顶的仰角为，然后他沿坡面行走了50米到达处，处离地平面的距离为30米且在处测得塔顶的仰角．（点、、、、均在同一平面内，为地平线）（参考数据：，，）
（1）求坡面的坡度；
（2）求基站塔的高．
【答案】（1）
（2）基站塔的高为米
【分析】（1）过点、分别作的垂线，交的延长线于点、，过点作，垂足为，利用勾股定理求出，然后利用坡度的求解方式求解即可；
（2）设米，则米，米，根据，求出米，米．在中，求出；再根据（米．
【详解】（1）解：如图，过点、分别作的垂线，交的延长线于点、，过点作，垂足为．
根据他沿坡面行走了50米到达处，处离地平面的距离为30米，
（米），（米），
根据勾股定理得：（米）
坡面的坡度为；,
即坡面的坡度比为；
（2）解：设米，则米，米，
，
，
米，
米．
在，
米，米，，
，
解得；
（米），
（米，
（米）．
答：基站塔的高为米．
【点睛】本题考查解直角三角形，通过作垂线构造直角三角形，利用直角三角形的边角关系和坡度的意义进行计算是常用的方法．
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第18讲　锐角三角函数及其应用
【考点梳理】
1．锐角三角函数：如图，在Rt△ABC中，设∠C＝90°，
∠A、∠B、∠C对应的边分别为a，b，c，则：∠a的正弦sinA＝；
∠a的余弦cosA＝__；∠a的正切tanA＝.
2．特殊角的三角函数值
30°，45°，60°的三角函数值，如下表：
正弦 余弦 正切
30°
45° 1
60°
3.解直角三角形的常见类型及解法
已知条件 图形 解法
一直角边和一锐角(a，∠A) ∠B＝90°－∠A，c＝，b＝
已知斜边和一个锐角(c，∠A) ∠B＝90°－∠A，a＝c·sinA, b＝c·cosA
已知两直角边(a，b) c＝，由tanA＝求∠A，∠B＝90°－∠A
已知斜边和一条直角边(c，a) b＝，由sinA＝求∠A，∠B＝90°－∠A
4．锐角三角函数的实际应用中的常见概念
(1)铅垂线：重力线方向的直线；
(2)水平线：与铅垂线垂直的直线，一般情况下，地平面上的两点确定的直线我们认为是水平线；
(3)仰角：向上看时，视线与水平线的夹角；
(4)俯角：向下看时，视线与水平线的夹角；
(5)坡角：坡面与水平面的夹角；
(6)坡度：坡面的铅直高度与水平宽度的比叫做坡度(或坡比)，一般情况下，我们用h表示坡的铅直高度，用l表示坡的水平宽度，用i表示坡度，即i＝＝tanα，显然，坡度越大，坡角就越大，坡面也就越陡；
(7)方向角：指北或指南的方向线与目标方向线所成的小于90°的锐角叫做方向角．
注意：东北方向指北偏东45°方向，东南方向指南偏东45°方向，西北方向指北偏西45°方向，西南方向指南偏西45°方向．我们一般画图的方位为上北下南，左西右东.
【高频考点】
考点1：直角三角形的边角关系
【例题1】如图，AD是△ABC的中线，tanB＝，cosC＝，AC＝.求：
(1)BC的长；
(2)sin∠ADC的值．
考点2：锐角三角函数的实际应用
【例题2】《海岛算经》由我国古代数学家刘徽于公元263年撰写，书中有一测量海岛高度的几何图形．如图，在地面的，两处分别观测到海岛最高处的仰角为，，且，求海岛的高度（即点到直线的距离）．
（参考数据：，，，，，）
【自我检测】
一、选择题：
1.如图，要测量小河两岸相对的两点P，A的距离，可以在小河边取PA的垂线PB上的一点C，测得PC=100米，∠PCA=35°，则小河宽PA等于（　　）
A．100sin35°米 B．100sin55°米 C．100tan35°米 D．100tan55°米
2.如图，在5×4的正方形网格中，每个小正方形的边长都是1，△ABC的顶点都在这些小正方形的顶点上，则sin∠BAC的值为（　　）
A． B． C． D．
3. 如图，将放在每个小正方形的边长为1的网格中，点均在格点上，则的值是（ ）
A. B. C. 2 D.
4.如图，有一斜坡AB，坡顶B离地面的高度BC为30m，斜坡的倾斜角是∠BAC，若tan∠BAC＝，则此斜坡的水平距离AC为（　　）
A．75m B．50m C．30m D．12m
5. 已知△ABC中，∠C=90°，tanA=，D是AC上一点，∠CBD=∠A，则sin∠ABD=（　）
A. B. C. D.
二、填空题：
6. 已知中，，，，则_________．
7.如图，在边长为1的小正方形网格中，点A、B、C、D都在这些小正方形的顶点上，AB、CD相交于点O，则tan∠AOD=　 　．
8. 如图，一艘轮船位于灯塔的北偏东方向，距离灯塔海里的处，它沿正南方向航行一段时间后，到达位于灯塔的南偏东方向上的处，这时，处距离灯塔有 海里.（结果保留整数，参考数据：，，，）
9.有一种落地晾衣架如图1所示，其原理是通过改变两根支撑杆夹角的度数来调整晾衣杆的高度．图2是支撑杆的平面示意图，AB和CD分别是两根不同长度的支撑杆，夹角∠BOD＝α．若AO＝85cm，BO＝DO＝65cm．问：当α＝74°时，较长支撑杆的端点A离地面的高度h约为　 　cm．（参考数据：sin37°≈0.6，cos37°≈0.8，sin53°≈0.8，cos53°≈0.6．）
三、解答题：
10. （1）计算：．
（2）计算：．
（3）计算：．
11. 如图1，是一款手机支架图片，由底座、支撑板和托板构成．图2是其侧面结构示意图，量得托板长，支撑板长，底座长，托板AB连接在支撑板顶端点C处，且，托板可绕点C转动，支撑板可绕D点转动．如图2，若．(参考数值，，)
（1）求点C到直线的距离(精确到0.1cm)；
（2）求点A到直线的距离(精确到0.1cm)．
12. 为积极响应绿色出行的号召，骑车出行已经成为人们的新风尚．图①是某品牌自行车放在水平地面上的实物图，图②是其示意图，其中，车轮半径为，，，坐垫E与点B的距离为．
（1）求坐垫E到地面的距离；
（2）根据经验，当坐垫E到的距离调整为人体腿长的时，坐骑比较舒适．小明的腿长约为，现将坐垫E调整至坐骑舒适高度位置，求的长．
（结果精确到．参考数据：，，）
13.
教学实践活动：901班测量天封塔高度实践的相关数据
活动1 如图，A点为塔顶，将一根木棒立在D处，的连线交地面于Q点，同理将相同长度的木棒立在F处，同时得到P点．若移动木棒使得，在E点的仰角为，则 ．
活动2 如图，小组2设计了此测量方法，若的长度为，已知，，则可以得到塔的高度大约为 ．（参考数据：，，，，精确到个位）
总结与优化
老师做了一个小小的总结，并且设计了一个新的方案，已知塔前有一高4米的小树，发现水平地面上点E、树顶和塔顶A恰好在一条直线上，测得米，D、E之间有一个花圃无法测量，然后在E处放置一个平面镜，沿后退，退到G处恰好在平面中看到树顶C的像，此时米，测量者眼睛到地面的距离为1.6米，求出塔高．
14. 随着我国科学技术的不断发展，5G移动通信技术日趋完善．某市政府为了实现5G网络全覆盖，2021~2025年拟建设5G基站3000个，如图，在斜坡上有一建成的5G基站塔，小明在坡脚处测得塔顶的仰角为，然后他沿坡面行走了50米到达处，处离地平面的距离为30米且在处测得塔顶的仰角．（点、、、、均在同一平面内，为地平线）（参考数据：，，）
（1）求坡面的坡度；
（2）求基站塔的高．
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