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第19讲　平行四边形(含多边形)
【考点梳理】
1．平行四边形
(1)性质：
①平行四边形两组对边分别__相等__；
②平行四边形对角相等，邻角__互补__；
③平行四边形对角线互相__平分__；
④平行四边形是__中心__对称图形．
(2)判定方法：
①定义：两组对边平行且相等的四边形是平行四边形；
②两组对边分别__相等__的四边形是平行四边形；
③一组对边平行且相等 的四边形是平行四边形；
④两组对角 分别相等 的四边形是平行四边形；
⑤对角线互相平分的四边形是平行四边形．
2．多边形及其性质
(1)多边形：
①内角和定理：n边形的内角和等于 (n－2)·180° ；
②外角和定理：n边形的外角和为 360°；
③对角线：过n边形的一个顶点可引n－3条对角线，n边形共有 条对角线．
(2)正多边形：
①正多边形各边相等，各内角相等，各外角相等；
②正n边形的每一个内角为(n≥3)，每一个外角为；
③对称性：所有的正多边形都是轴对称图形，正n边形有_n__条对称轴；当n是奇数时，是轴对称图形，不是中心对称图形；当n是偶数时，既是轴对称图形又是中心对称图形.
【高频考点】
考点1：多边形内角和计算
【例题1】在一个多边形中，一个内角相邻的外角与其他各内角的和为600°.
(1)如果这个多边形是五边形，请求出这个外角的度数；
(2)是否存在符合题意的其他多边形？如果存在，请求出边数及这个外角的度数；如果不存在，请说明理由．
【解析】：(1)设这个外角的度数是x°.由题意，得
(5－2)×180－(180－x)＋x＝600.解得x＝120.
故这个外角的度数是120°.
(2)存在．设这个多边形的边数为n，这个外角的度数是x°.由题意，得
(n－2)×180－(180－x)＋x＝600.
整理，得x＝570－90n.
∵0＜x＜180，即0＜570－90n＜180.
解得4又∵n为正整数，∴n＝5或n＝6.
当n＝6时，x＝30.
故这个多边形的边数是6，这个外角的度数为30°.
归纳：本题注意隐含条件的挖掘，即邻补角和为180°及凸多边形的一个内角是小于平角的角．
考点2：平行四边形的性质与判定
【例题2】如图，以BC为底边的等腰△ABC，点D，E，G分别在BC，AB，AC上，且EG∥BC，DE∥AC，延长GE至点F，使得BE＝BF.
(1)求证：四边形BDEF为平行四边形；
(2)当∠C＝45°，BD＝2时，求D，F两点间的距离．
【解析】(1)证明：∵△ABC是等腰三角形，
∴∠ABC＝∠C.
∵EG∥BC，DE∥AC，
∴∠AEG＝∠ABC＝∠C，四边形CDEG是平行四边形，
∴∠DEG＝∠C＝∠AEG.
∵BE＝BF，
∴∠F＝∠BEF＝∠AEG，
∴∠F＝∠DEG，
∴BF∥DE.
又∵EG∥BC，即FE∥BD，
∴四边形BDEF为平行四边形；
(2)解：∵∠C＝45°，
∴∠ABC＝∠BFE＝∠BEF＝45°，
∴△BDE，△BEF均是等腰直角三角形，
∴BF＝BE＝BD＝.
过点F作FM⊥BD交DB的延长线于点M，连接DF，如解图所示．
则△BFM是等腰直角三角形．
∴FM＝BM＝BF＝1，
∴DM＝3.
在Rt△DFM中，由勾股定理得DF＝＝.
即D，F两点间的距离为.
考点3： 关于平行四边形的综合探究问题
【例题3】在中，，点为上一点且，连接．分别为的中点，连结与交于点．
（1）求证：四边形是平行四边形；
（2）若，，求的长．
【答案】（1）见解析 （2）
【分析】本题主要考查了三角形中位线定理，平行四边形的判定和性质，勾股定理，直角三角形斜边中线的性质，灵活运用相关性质定理是解决问题的关键．
（1）根据三角形中位线定理结合已知条件证得，，根据平行四边形的判定定理即可证的结论；
（2）由平行四边形的性质理结合已知条件求出，由直角三角形斜边的中线得到，利用得到，，，依据勾股定理求出即可．
小问1详解】
证明：，分别为、的中点，
，
，，
，
，
四边形是平行四边形；
【小问2详解】
解：由（1）知四边形是平行四边形，
，，
，
，
为的中点，
，，
，
，
，
设，则，
根据勾股定理得：，
，
解得：（负值已舍去），
，，
，
，
．
【自我检测】
一、选择题：
1.已知正多边形的一个外角等于40°，那么这个正多边形的边数为（　　）
A．6 B．7 C．8 D．9
【考点】多边形的外角和定理
【分析】根据正多边形的外角和以及一个外角的度数，求得边数．
【解答】解：正多边形的一个外角等于40°，且外角和为360°，
则这个正多边形的边数是：360°÷40°=9．
故选：D．
2. 如图，在中，点D，E分别是，的中点，点F在线段上，且，，，则的长为（ ）
A. 7 B. 8 C. 9 D. 10
【答案】B
【分析】本题考查了三角形的中位线定理的应用，由直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半得到．利用三角形中位线定理得到即可．
【详解】解：∵
∴，
∵D是的中点，且，
∴，
∴
∵，
∴，
∵点D，E分别是边的中点，
∴是的中位线，
∴．
故选：B．
3.如图，在 ABCD中，对角线AC与BD相交于点O，E是边CD的中点，连结OE．若∠ABC=60°，∠BAC=80°，则∠1的度数为（　　）
A．50° B．40° C．30° D．20°
【分析】直接利用三角形内角和定理得出∠BCA的度数，再利用三角形中位线定理结合平行线的性质得出答案．
【解答】解：∵∠ABC=60°，∠BAC=80°，
∴∠BCA=180°﹣60°﹣80°=40°，
∵对角线AC与BD相交于点O，E是边CD的中点，
∴EO是△DBC的中位线，
∴EO∥BC，
∴∠1=∠ACB=40°．故选：B．
4. 如图，与正五边形的两边相切于两点，则的度数是（ ）
A. B. C. D.
【答案】A
【分析】根据切线的性质，可得∠OAE＝90°，∠OCD＝90°，结合正五边形的每个内角的度数为108°，即可求解．
【详解】解： ∵AE、CD切⊙O于点A、C，
∴∠OAE＝90°，∠OCD＝90°，
∴正五边形ABCDE的每个内角的度数为： ，
∴∠AOC＝540° 90° 90° 108° 108°＝144°，
故选：A．
【点睛】本题主要考查正多边形的内角和公式的应用，以及切线的性质定理，掌握正多边形的内角和定理是解题的关键．
5. 如图，点P为正六边形内一点，已知，，的面积分别为a，b，c，已知下列哪个代数式的值便可求正六边形的周长（ ）
A. B. C. D.
【答案】A
【分析】本题考查了六边形的性质，正三角形的判定和性质，解题直角三角形．
延长相交于点M，设正六边形边长为x，通过证明为等边三角形，得出，，进而得出，则，即可得出，即可得出结论．
详解】解：延长相交于点M，连接，
设正六边形边长为x，
∵六边形为正六边形，
∴，
∴为等边三角形，
∴，
∴在边上的高为，
∴
∴，
∴，
∴，
∴，
∴若已知的值，即可求出边长x的值，进而得出正六边形的周长．
故选：A．
二、填空题：
6.如图， ABCD的对角线相交于点O，且AD≠CD，过点O作OM⊥AC，交AD于点M．如果△CDM的周长为8，那么 ABCD的周长是　　．
【解答】解：∵ABCD是平行四边形，
∴OA=OC，
∵OM⊥AC，
∴AM=MC．
∴△CDM的周长=AD+CD=8，
∴平行四边形ABCD的周长是2×8=16．
故答案为16．
7.如图，已知 ABCD的对角线AC，BD交于点O，且AC=8，BD=10，AB=5，则△OCD的周长为　 　．
【分析】根据平行四边形的性质即可解决问题；
【解答】解：∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AB=CD=5，OA=OC=4，OB=OD=5，
∴△OCD的周长=5+4+5=14，
故答案为14．
8. （2024·山东威海·中考真题）如图，在正六边形中，，，垂足为点I．若，则 ．
【答案】/50度
【分析】本题考查了正六边形的内角和、平行线的性质及三角形内角和定理，先求出正六边形的每个内角为，即，则可求得的度数，根据平行线的性质可求得的度数，进而可求出的度数，再根据三角形内角和定理即可求出的度数．
【详解】解：∵正六边形的内角和，
每个内角为：，
，
，
，
，
，
，
，
，
，
．
故答案为：．
9.如图，已知∠XOY=60°，点A在边OX上，OA=2．过点A作AC⊥OY于点C，以AC为一边在∠XOY内作等边三角形ABC，点P是△ABC围成的区域（包括各边）内的一点，过点P作PD∥OY交OX于点D，作PE∥OX交OY于点E．设OD=a，OE=b，则a+2b的取值范围是　 　．
【分析】作辅助线，构建30度的直角三角形，先证明四边形EODP是平行四边形，得EP=OD=a，在Rt△HEP中，∠EPH=30°，可得EH的长，计算a+2b=2OH，确认OH最大和最小值的位置，可得结论．
【解答】解：过P作PH⊥OY交于点H，
∵PD∥OY，PE∥OX，
∴四边形EODP是平行四边形，∠HEP=∠XOY=60°，
∴EP=OD=a，
Rt△HEP中，∠EPH=30°，
∴EH=EP=a，
∴a+2b=2（a+b）=2（EH+EO）=2OH，
当P在AC边上时，H与C重合，此时OH的最小值=OC=OA=1，即a+2b的最小值是2；
当P在点B时，OH的最大值是：1+=，即（a+2b）的最大值是5，
∴2≤a+2b≤5．
三、解答题：
10. 已知n边形的内角和θ＝(n－2)×180°.
(1)甲同学说，θ能取360°；而乙同学说，θ也能取630°.甲、乙的说法对吗？若对，求出边数n；若不对，说明理由；
(2)若n边形变为(n＋x)边形，发现内角和增加了360°，用列方程的方法确定x.
【解析】：(1)甲对，乙不对．理由：
∵θ＝360°，∴(n－2)×180＝360.解得n＝4.
∵θ＝630°，∴(n－2)×180＝630.解得n＝.
∵n为整数，∴θ不能取630°.
∴甲对，乙不对．
(2)依题意，得
(n－2)×180＋360＝(n＋x－2)×180.
解得x＝2.
11. 如图，已知四边形中，，平分交于点F，交延长线于点E，．
（1）求证：四边形是平行四边形；
（2）作交于G，连接交于点．若，，，求的长．
【答案】（1）见详解 （2）
【解析】
【分析】（1）根据角平分线的性质，等边对等角的性质，判断，由此即可得出结论；
（2）先证四边形是平行四边形，再证四边形是菱形，再证明，得到，设，则，
得到，则，再由勾股定理即可解答．
【小问1详解】
证明： ∵平分，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，
∵，
∴四边形是平行四边形．
【小问2详解】
∵，，
∴四边形是平行四边形，
∵，
∴四边形是菱形，
∴⊥，，
∵，
∴，
∵，
∴，
∴，
设，则，
，
，
∴，则，
∴，
∴，
∴．
【点睛】本题考查了平行四边形的判定与性质，菱形的判定与性质，平行线的判断与性质，相似三角形的判定与性质，熟练掌握平行四边形的判定与性质，菱形的判定与性质是解题的关键．
12. 如图，在 ABCD中，E，F在对角线AC上．
(1)若BE，DF分别是△ABO，△CDO的中线，求证：四边形BEDF是平行四边形；
(2)若BE，DF分别是△ABO，△CDO的角平分线，四边形BEDF还是平行四边形吗？若BE，DF分别是△ABO，△CDO的高线时，四边形BEDF还是平行四边形吗？
【点拨】(1)可从对角线互相平分上证明四边形BEDF是平行四边形；(2)BE，DF分别是△ABO，△CDO的角平分线和高线时，可得到△BOE≌△DOF，仍有OE＝OF，则有四边形BEDF是平行四边形．
【解答】解：(1)证明：∵四边形ABCD是平行四边形，
∴OA＝OC，OB＝OD.
∵BE，DF分别是△ABO，△CDO的中线，
∴OE＝OF.
∴四边形BEDF是平行四边形．
(2)∵四边形ABCD是平行四边形，
∴OB＝OD，AB∥CD.
∴∠ABO＝∠CDO.
∵BE，DF分别是△ABO，△CDO的角平分线，
∴∠OBE＝∠ODF.
又∵∠BOE＝∠DOF，
∴△BOE≌△DOF(ASA)．
∴OE＝OF.
∴四边形BEDF是平行四边形．
同理可证得BE，DF分别是△ABO，△CDO的高线时，仍有四边形BEDF是平行四边形．
13. 正方形ABCD的边长是5，点M是直线AD上一点，连接BM，将线段BM绕点M逆时针旋转90°得到线段ME，在直线AB上取点F，使AF＝AM，且点F与点E在AD同侧，连接EF，DF.
(1)如图1，当点M在DA延长线上时，求证：△ADF≌△ABM；
(2)如图2，当点M在线段AD上时，求证：四边形DFEM是平行四边形；
(3)在(2)的条件下，线段AM与线段AD有什么数量关系时，四边形EFDM的面积最大？并求出这个面积的最大值．
图1　　　　　　　　图2
【解析】：(1)证明：∵四边形ABCD是正方形，
∴∠DAF＝∠BAM＝90°，AD＝AB.
在△ADF和△ABM中，
∴△ADF≌△ABM(SAS)．
(2)证明：延长BM交DF于K.
∵△ADF≌△ABM，
∴DF＝BM，∠ABM＝∠ADF.
∵EM＝BM，∴EM＝DF.
∵∠ABM＋∠AMB＝90°，∠AMB＝∠DMK，
∴∠ADF＋∠DMK＝90°.∴∠BKD＝90°.
∵∠EMB＝90°，∴∠EMB＝∠BKF＝90°.
∴EM∥DF.
∴四边形EFDM是平行四边形．
(3)设DM＝x，则AM＝AF＝5－x，
S EFDM＝DM·AF＝x(5－x)＝－(x－)2＋.
∵－1＜0，
∴x＝时， EFDM的面积最大，最大面积为，
即当AM＝AD时， EFDM的面积最大，最大面积为.
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第19讲　平行四边形(含多边形)
【考点梳理】
1．平行四边形
(1)性质：
①平行四边形两组对边分别__相等__；
②平行四边形对角相等，邻角__ __；
③平行四边形对角线互相_ _；
④平行四边形是_ __对称图形．
(2)判定方法：
①定义：两组对边平行且相等的四边形是平行四边形；
②两组对边分别__ __的四边形是平行四边形；
③一组对边 的四边形是平行四边形；
④两组对角 的四边形是平行四边形；
⑤对角线互相平分的四边形是平行四边形．
2．多边形及其性质
(1)多边形：
①内角和定理：n边形的内角和等于 ；
②外角和定理：n边形的外角和为 ；
③对角线：过n边形的一个顶点可引n－3条对角线，n边形共有 条对角线．
(2)正多边形：
①正多边形各边相等，各内角相等，各外角相等；
②正n边形的每一个内角为(n≥3)，每一个外角为；
③对称性：所有的正多边形都是轴对称图形，正n边形有_n__条对称轴；当n是奇数时，是轴对称图形，不是中心对称图形；当n是偶数时，既是轴对称图形又是中心对称图形.
【高频考点】
考点1：多边形内角和计算
【例题1】在一个多边形中，一个内角相邻的外角与其他各内角的和为600°.
(1)如果这个多边形是五边形，请求出这个外角的度数；
(2)是否存在符合题意的其他多边形？如果存在，请求出边数及这个外角的度数；如果不存在，请说明理由．
考点2：平行四边形的性质与判定
【例题2】(2017·大庆)如图，以BC为底边的等腰△ABC，点D，E，G分别在BC，AB，AC上，且EG∥BC，DE∥AC，延长GE至点F，使得BE＝BF.
(1)求证：四边形BDEF为平行四边形；
(2)当∠C＝45°，BD＝2时，求D，F两点间的距离．
考点3： 关于平行四边形的综合探究问题
【例题3】在中，，点为上一点且，连接．分别为的中点，连结与交于点．
（1）求证：四边形是平行四边形；
（2）若，，求的长．
【自我检测】
一、选择题：
1.已知正多边形的一个外角等于40°，那么这个正多边形的边数为（　　）
A．6 B．7 C．8 D．9
2. 如图，在中，点D，E分别是，的中点，点F在线段上，且，，，则的长为（ ）
A. 7 B. 8 C. 9 D. 10
3.如图，在 ABCD中，对角线AC与BD相交于点O，E是边CD的中点，连结OE．若∠ABC=60°，∠BAC=80°，则∠1的度数为（　　）
A．50° B．40° C．30° D．20°
4. 如图，与正五边形的两边相切于两点，则的度数是（ ）
A. B. C. D.
5. 如图，点P为正六边形内一点，已知，，的面积分别为a，b，c，已知下列哪个代数式的值便可求正六边形的周长（ ）
A. B. C. D.
二、填空题：
6.如图， ABCD的对角线相交于点O，且AD≠CD，过点O作OM⊥AC，交AD于点M．如果△CDM的周长为8，那么 ABCD的周长是　　．
7.如图，已知 ABCD的对角线AC，BD交于点O，且AC=8，BD=10，AB=5，则△OCD的周长为　 　．
8. （2024·山东威海·中考真题）如图，在正六边形中，，，垂足为点I．若，则 ．
9.如图，已知∠XOY=60°，点A在边OX上，OA=2．过点A作AC⊥OY于点C，以AC为一边在∠XOY内作等边三角形ABC，点P是△ABC围成的区域（包括各边）内的一点，过点P作PD∥OY交OX于点D，作PE∥OX交OY于点E．设OD=a，OE=b，则a+2b的取值范围是　 　．
三、解答题：
10. 已知n边形的内角和θ＝(n－2)×180°.
(1)甲同学说，θ能取360°；而乙同学说，θ也能取630°.甲、乙的说法对吗？若对，求出边数n；若不对，说明理由；
(2)若n边形变为(n＋x)边形，发现内角和增加了360°，用列方程的方法确定x.
11. 如图，已知四边形中，，平分交于点F，交延长线于点E，．
（1）求证：四边形是平行四边形；
（2）作交于G，连接交于点．若，，，求的长．
12. 如图，在 ABCD中，E，F在对角线AC上．
(1)若BE，DF分别是△ABO，△CDO的中线，求证：四边形BEDF是平行四边形；
(2)若BE，DF分别是△ABO，△CDO的角平分线，四边形BEDF还是平行四边形吗？若BE，DF分别是△ABO，△CDO的高线时，四边形BEDF还是平行四边形吗？
13. 正方形ABCD的边长是5，点M是直线AD上一点，连接BM，将线段BM绕点M逆时针旋转90°得到线段ME，在直线AB上取点F，使AF＝AM，且点F与点E在AD同侧，连接EF，DF.
(1)如图1，当点M在DA延长线上时，求证：△ADF≌△ABM；
(2)如图2，当点M在线段AD上时，求证：四边形DFEM是平行四边形；
(3)在(2)的条件下，线段AM与线段AD有什么数量关系时，四边形EFDM的面积最大？并求出这个面积的最大值．
图1　　　　　　　　图2
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